Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(C) ध्यान दें कि तीसरे स्तंभ में,दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए,तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 4 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}$
$\Delta = 4((-1)(1) - (3)(4)) - 0 + 0$
$\Delta = 4(-1 - 12)$
$\Delta = 4(-13)$
$\Delta = -52$

(D) प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 0 \begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix} - \sin \alpha \begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix} + (-\cos \alpha) \begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix}$
$= 0 - \sin \alpha (0 - \sin \beta \cos \alpha) - \cos \alpha (\sin \alpha \sin \beta - 0)$
$= \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \sin \beta$
$= 0$

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(3)(1) - (x)(x) = (3)(1) - (2)(4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
$-x^2 = -5 - 3$
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \sqrt{2}$

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ के सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $ad - bc$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए सारणिक $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right|$ के लिए,हम $a=2, b=4, c=-5, d=-1$ पहचानते हैं।
सूत्र लागू करने पर:
$= (2 \times -1) - (4 \times -5)$
$= -2 - (-20)$
$= -2 + 20$
$= 18$.

(C) सारणिक $\left|\begin{array}{ll}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए सारणिक पर इसे लागू करने पर:
$= (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta)$
$= \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta)$
$= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 1$

(D) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए सारणिक पर इसे लागू करने पर:
$= (x^{2}-x+1)(x+1) - (x-1)(x+1)$
प्रथम पद का विस्तार करने पर:
$(x^{2}-x+1)(x+1) = x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1 = x^{3} + 1$
द्वितीय पद का विस्तार करने पर:
$(x-1)(x+1) = x^{2} - 1$
दोनों परिणामों को घटाने पर:
$= (x^{3} + 1) - (x^{2} - 1)$
$= x^{3} + 1 - x^{2} + 1$
$= x^{3} - x^{2} + 2$

(A) दिया गया आव्यूह $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ है।
यह देखा जा सकता है कि पहले स्तंभ में दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। अतः,आसान गणना के लिए हम पहले स्तंभ $(C_1)$ के अनुदिश विस्तार करते हैं।
$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$.
$\therefore 27|A|=27(4)=108 \dots (i)$.
अब,$3A = 3\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$.
$\therefore |3A| = 3\left|\begin{array}{ll}3 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| - 0\left|\begin{array}{ll}0 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right| + 0\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 3(36 - 0) = 108 \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $|3A| = 27|A|$ है।
अतः,दिया गया परिणाम सिद्ध हुआ।

(C) माना कि $A = \left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$.
यह देखा जा सकता है कि दूसरी पंक्ति में दो अवयव शून्य हैं। अतः,आसान गणना के लिए हम दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करेंगे।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार इस प्रकार है:
$|A| = -a_{21} M_{21} + a_{22} M_{22} - a_{23} M_{23}$
$|A| = -0 \left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ -5 & 0\end{array}\right| + 0 \left|\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 3 & 0\end{array}\right| - (-1) \left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 3 & -5\end{array}\right|$
$|A| = 0 + 0 + 1 \times ((3 \times -5) - (-1 \times 3))$
$|A| = 1 \times (-15 - (-3))$
$|A| = 1 \times (-15 + 3)$
$|A| = -12$

(D) माना $A = \left|\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|$ है।
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 3 \left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{array}\right| - (-4) \left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| + 5 \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right|$
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$|A| = 3(1(1) - (-2)(3)) + 4(1(1) - (-2)(2)) + 5(1(3) - 1(2))$
$|A| = 3(1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(3 - 2)$
$|A| = 3(7) + 4(5) + 5(1)$
$|A| = 21 + 20 + 5 = 46$

(A) माना $A = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right|$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 0 \cdot \left|\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ -2 & 0\end{array}\right| + 2 \cdot \left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -2 & 3\end{array}\right|$
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$|A| = 0(0 - (-9)) - 1(0 - 6) + 2(-3 - 0)$
$|A| = 0(9) - 1(-6) + 2(-3)$
$|A| = 0 + 6 - 6$
$|A| = 0$

(B) माना $A = \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 2 \left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -5 & 0 \end{array}\right| - (-1) \left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 3 & 0 \end{array}\right| + (-2) \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & -5 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$|A| = 2(2 \times 0 - (-1) \times (-5)) + 1(0 \times 0 - (-1) \times 3) - 2(0 \times (-5) - 2 \times 3)$.
$|A| = 2(0 - 5) + 1(0 + 3) - 2(0 - 6)$.
$|A| = 2(-5) + 1(3) - 2(-6)$.
$|A| = -10 + 3 + 12$.
$|A| = 5$.

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A|$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & -9 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -9 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$|A| = 1((1)(-9) - (-3)(4)) - 1((2)(-9) - (-3)(5)) - 2((2)(4) - (1)(5))$
$|A| = 1(-9 + 12) - 1(-18 + 15) - 2(8 - 5)$
$|A| = 1(3) - 1(-3) - 2(3)$
$|A| = 3 + 3 - 6$
$|A| = 6 - 6 = 0$
अतः,$|A|$ का मान $0$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2x & 4 \\ 6 & x\end{array}\right|$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(2 \times 1) - (5 \times 4) = (2x \times x) - (6 \times 4)$.
व्यंजकों को सरल करने पर:
$2 - 20 = 2x^2 - 24$.
$-18 = 2x^2 - 24$.
$x^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 = 24 - 18$.
$2x^2 = 6$.
$x^2 = 3$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{3}$.

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}x & 3 \\ 2x & 5\end{array}\right|$.
दोनों सारणिकों का विस्तार करने पर:
बायां पक्ष: $(2 \times 5) - (3 \times 4) = 10 - 12 = -2$.
दायां पक्ष: $(x \times 5) - (3 \times 2x) = 5x - 6x = -x$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$-2 = -x$.
अतः,$x = 2$.

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
बाएँ पक्ष के लिए: $(x \times x) - (18 \times 2) = x^{2} - 36$.
दाएँ पक्ष के लिए: $(6 \times 6) - (18 \times 2) = 36 - 36 = 0$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$x^{2} - 36 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^{2} = 36$.
$x = \pm \sqrt{36}$.
$x = \pm 6$.
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(B) $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ संक्रियाओं का प्रयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & ca-bc \\ 0 & c-a & ab-bc \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & -c(b-a) \\ 0 & c-a & -b(c-a) \end{vmatrix}$
$R_{2}$ से $(b-a)$ और $R_{3}$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 1 & -b \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (b-a)(c-a) [1 \cdot (-b - (-c))] = (b-a)(c-a)(c-b)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta = -(a-b)(c-a)(-(b-c)) = (a-b)(b-c)(c-a)$

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b\end{array}\right|$.
$\Delta$ में $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2} - R_{3}$ संक्रिया लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & -2c & -2b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 0 \cdot \left|\begin{array}{cc}c+a & b \\ c & a+b\end{array}\right| - (-2c) \cdot \left|\begin{array}{cc}b & b \\ c & a+b\end{array}\right| + (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}b & c+a \\ c & c\end{array}\right|$.
$\Delta = 2c(b(a+b) - bc) - 2b(bc - c(c+a))$.
$\Delta = 2c(ab + b^2 - bc) - 2b(bc - c^2 - ac)$.
$\Delta = 2abc + 2cb^2 - 2bc^2 - 2b^2c + 2bc^2 + 2abc$.
$\Delta = 4abc$.

(D) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के लिए,हम एक अद्वितीय संख्या संबद्ध कर सकते हैं जिसे वर्ग आव्यूह $A$ का सारणिक कहा जाता है,जहाँ $a_{ij}$,$A$ का $(i, j)^{\text{th}}$ अवयव है।
अतः,सारणिक एक वर्ग आव्यूह से जुड़ी एक संख्या है।
इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(A) जिनके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उस त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्षों $(3, 8), (-4, 2)$ और $(5, 1)$ का मान रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |3(2 - 1) + (-4)(1 - 8) + 5(8 - 2)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3(1) - 4(-7) + 5(6)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 + 28 + 30|$
$\Delta = \frac{1}{2} |61| = \frac{61}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) मान लीजिए $P(x, y)$ रेखा $AB$ पर कोई बिंदु है। चूंकि बिंदु $A, B,$ और $P$ संरेख (collinear) हैं,इसलिए त्रिभुज $ABP$ का क्षेत्रफल $0$ होगा।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सारणिक सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\frac{1}{2} [1(y - 3x)] = 0 \implies y - 3x = 0 \implies y = 3x$.
यह रेखा $AB$ का समीकरण है।
अब,दिया गया है कि त्रिभुज $ABD$ का क्षेत्रफल $3 \, \text{वर्ग इकाई}$ है,जहाँ $A(1, 3), B(0, 0),$ और $D(k, 0)$ हैं:
$\frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{array} \right| = \pm 3$
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\frac{1}{2} [(-1) \cdot (0 - 3k)] = \pm 3$
$\frac{1}{2} [3k] = \pm 3$
$\frac{3k}{2} = \pm 3 \implies 3k = \pm 6 \implies k = \pm 2$.

(C) शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
दिए गए शीर्षों $(1,0), (6,0), (4,3)$ को सूत्र में रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{array} \right|$
दूसरे स्तंभ (जिसमें दो शून्य हैं) के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| -0 \left| \begin{array}{ll} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right| + 0 \left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 6 & 1 \end{array} \right| \right|$
$\Delta = \frac{1}{2} | -3(1 - 6) |$
$\Delta = \frac{1}{2} | -3(-5) | = \frac{1}{2} | 15 | = \frac{15}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
दिए गए शीर्षों $(2,7), (1,1),$ और $(10,8)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 7 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 8 & 1 \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} [2(1 \times 1 - 8 \times 1) - 7(1 \times 1 - 10 \times 1) + 1(1 \times 8 - 10 \times 1)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [2(1 - 8) - 7(1 - 10) + 1(8 - 10)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [2(-7) - 7(-9) + 1(-2)]$
$\Delta = \frac{1}{2} [-14 + 63 - 2]$
$\Delta = \frac{1}{2} [47] = \frac{47}{2}$ वर्ग इकाई।

(A) शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
दिए गए शीर्षों $(-2, -3), (3, 2), (-1, -8)$ को सूत्र में रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -8 & 1 \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} [ -2(2 - (-8)) - (-3)(3 - (-1)) + 1(-24 - (-2)) ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -2(10) + 3(4) + 1(-22) ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -20 + 12 - 22 ]$
$\Delta = \frac{1}{2} [ -30 ] = -15$
चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम निरपेक्ष मान लेते हैं:
$\text{Area} = |-15| = 15$ वर्ग इकाई।

(N/A) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1 \end{array} \right|$
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ b-a & a-b & 0 \\ c-a & a-c & 0 \end{array} \right|$
$R_{2}$ से $(b-a)$ और $R_{3}$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} (b-a)(c-a) \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|$
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} (b-a)(c-a) \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$
चूंकि तीसरी पंक्ति के सभी तत्व $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,बिंदुओं $A, B$ और $C$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है।
इसलिए,बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं,सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
चूंकि क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई दिया गया है,इसलिए $\Delta = \pm 4$ होगा।
शीर्षों $(k, 0), (4, 0), (0, 2)$ को सूत्र में रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$
$8 = |-2k + 8|$
इसका अर्थ है कि $-2k + 8 = 8$ या $-2k + 8 = -8$ होगा।
स्थिति $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $8$ हैं।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ हैं,उसका सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
चूंकि क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई दिया गया है,इसलिए $\Delta = \pm 4$ होगा।
शीर्षों $(-2, 0), (0, 4), (0, k)$ को सूत्र में रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
स्थिति $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
अतः,$k$ के मान $0$ और $8$ हैं।

(A) मान लीजिए कि $P(x, y)$ बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(3, 6)$ को जोड़ने वाली रेखा पर कोई बिंदु है। चूंकि बिंदु $A, B,$ और $P$ संरेख हैं,इसलिए इन तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\det(M)| = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$.
दिए गए बिंदुओं को रखने पर:
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{matrix} \right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(6(1) - y(1)) - 2(3(1) - x(1)) + 1(3y - 6x) = 0$
$(6 - y) - 2(3 - x) + (3y - 6x) = 0$
$6 - y - 6 + 2x + 3y - 6x = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$(2x - 6x) + (3y - y) + (6 - 6) = 0$
$-4x + 2y = 0$
$2y = 4x$
$y = 2x$
अतः,रेखा का समीकरण $y = 2x$ है।

(B) मान लीजिए कि $P(x, y)$ बिंदुओं $A(3, 1)$ और $B(9, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा पर कोई बिंदु है।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $P$ संरेख (collinear) हैं,इसलिए इन तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\frac{1}{2} [3(3 - y) - 1(9 - x) + 1(9y - 3x)] = 0$
$3(3 - y) - (9 - x) + (9y - 3x) = 0$
$9 - 3y - 9 + x + 9y - 3x = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$(x - 3x) + (9y - 3y) + (9 - 9) = 0$
$-2x + 6y = 0$
$-2$ से विभाजित करने पर:
$x - 3y = 0$
अतः,रेखा का समीकरण $x - 3y = 0$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $(2, -6), (5, 4)$ और $(k, 4)$ हैं और क्षेत्रफल $35$ $sq$ $units$ है।
मान रखने पर:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$35 = \frac{1}{2} |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$35 = \frac{1}{2} |50 - 10k|$
$70 = |50 - 10k|$
इसका अर्थ है:
$50 - 10k = 70$ या $50 - 10k = -70$
स्थिति $1$: $50 - 10k = 70 \Rightarrow -10k = 20 \Rightarrow k = -2$
स्थिति $2$: $50 - 10k = -70 \Rightarrow -10k = -120 \Rightarrow k = 12$
अतः,$k$ के संभावित मान $12$ और $-2$ हैं।

(N/A) दिए गए सारणिक में $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix}$
$R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & c - b & a - c \\ 0 & a - b & b - c \end{vmatrix}$
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a + b + c) [(c - b)(b - c) - (a - c)(a - b)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b - c)^2 - (a^2 - ab - ac + bc)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b^2 - 2bc + c^2) - a^2 + ab + ac - bc]$
$\Delta = (a + b + c) [-(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a + b + c) [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$
चूँकि $a, b, c$ धनात्मक और असमान हैं,इसलिए $(a + b + c) > 0$ और $[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] > 0$ है। अतः,$\Delta < 0$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए हमारे पास शर्त $2b = a + c$ या $a + c - 2b = 0$ है।
माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2y+4 & 5y+7 & 8y+a \\ 3y+5 & 6y+8 & 9y+b \\ 4y+6 & 7y+9 & 10y+c \end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहले स्तंभ के लिए: $(2y+4) + (4y+6) - 2(3y+5) = 6y + 10 - 6y - 10 = 0$.
दूसरे स्तंभ के लिए: $(5y+7) + (7y+9) - 2(6y+8) = 12y + 16 - 12y - 16 = 0$.
तीसरे स्तंभ के लिए: $(8y+a) + (10y+c) - 2(9y+b) = 18y + a + c - 18y - 2b = a + c - 2b$.
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,$a + c - 2b = 0$.
इस प्रकार,पहली पंक्ति $[0, 0, 0]$ बन जाती है।
चूंकि पहली पंक्ति के सभी तत्व शून्य हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = x(-x^2 - 1) - \sin \theta(-x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta(-\sin \theta + x \cos \theta)$
$= -x^3 - x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= -x^3 - x + x(1)$
$= -x^3 - x + x$
$= -x^3$
चूँकि परिणाम $-x^3$ में $\theta$ शामिल नहीं है,इसलिए सारणिक $\theta$ से स्वतंत्र है।

(C) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$.
तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -\sin \alpha \left( (- \sin \beta)(\sin \alpha \sin \beta) - (\cos \beta)(\sin \alpha \cos \beta) \right) + \cos \alpha \left( (\cos \alpha \cos \beta)(\cos \beta) - (\cos \alpha \sin \beta)(-\sin \beta) \right)$
$\Delta = -\sin \alpha \left( -\sin \alpha \sin^2 \beta - \sin \alpha \cos^2 \beta \right) + \cos \alpha \left( \cos \alpha \cos^2 \beta + \cos \alpha \sin^2 \beta \right)$
$\Delta = -\sin \alpha [-\sin \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)] + \cos \alpha [\cos \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta)]$
चूंकि $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$,इसलिए:
$\Delta = -\sin \alpha [-\sin \alpha (1)] + \cos \alpha [\cos \alpha (1)]$
$\Delta = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$\Delta = 1$.

(A) दिया गया है $\Delta=\begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta=\begin{vmatrix} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ c+a & b-c & b-a \\ a+b & c-a & c-b \end{vmatrix}=0$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-(b-c)^2 - (b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-b^2-c^2+2bc - (bc-ab-ac+a^2)] = 2(a+b+c)[-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca] = 0$.
इसका अर्थ है $a+b+c=0$ या $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$ प्राप्त होता है,जो $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ है।
चूँकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}3x+a & 3x+a & 3x+a \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
$R_{1}$ से $(3x+a)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(3x+a) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रिया $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ लागू करने पर:
$(3x+a) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ x & a & 0 \\ x & 0 & a\end{array}\right|=0$
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3x+a) [1(a \times a - 0 \times 0)] = 0$
$(3x+a) a^{2} = 0$
चूंकि यह दिया गया है कि $a \neq 0$,इसलिए $a^{2} \neq 0$ है।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$3x+a = 0$
$x = -\frac{a}{3}$

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2(x+y) & 2(x+y) & 2(x+y) \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $2(x+y)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = 2(x+y) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = 2(x+y) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ y & x & x-y \\ x+y & -y & -x\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2(x+y) [1 \cdot (x(-x) - (-y)(x-y))]$.
$\Delta = 2(x+y) [-x^{2} + y(x-y)]$.
$\Delta = 2(x+y) [-x^{2} + xy - y^{2}]$.
$\Delta = -2(x+y)(x^{2} - xy + y^{2})$.
सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = -2(x^{3} + y^{3})$.

(A) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & x\end{array}\right|$।
प्रथम स्तंभ $(C_{1})$ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}y & 0 \\ 0 & x\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = 1 \cdot (yx - 0) = xy$।
अतः,सारणिक का मान $xy$ है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b \\ x+4 & x+5 & x+2c\end{array}\right|$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a+c$ होगा।
सारणिक में $2b = a+c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ x+4 & x+5 & x+2c\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -1 & a-c \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ 1 & 1 & c-a\end{array}\right|$.
अब $R_1 \rightarrow R_1 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ x+3 & x+4 & x+a+c \\ 1 & 1 & c-a\end{array}\right|$.
यहाँ पहली पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{bmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 - (-\sin^2 \theta)) - \sin \theta(-\sin \theta - (-\sin \theta)) + 1(\sin^2 \theta - (-1))$
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(0) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta + \sin^2 \theta + 1$
$|A| = 2 + 2 \sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$.
दिया गया है $0 \leq \theta \leq 2 \pi$,अतः $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
इसलिए,$\sin^2 \theta$ का परिसर $[0, 1]$ है।
असमिका में $1$ जोड़ने पर: $1 \leq 1 + \sin^2 \theta \leq 2$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 \leq 2(1 + \sin^2 \theta) \leq 4$.
अतः,$\operatorname{Det}(A) \in [2, 4]$.
इसलिए,सही उत्तर $B$ है।

(C) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 2 x-3 & 3 x-4 & 4 x-5 \\ 3 x-5 & 5 x-8 & 10 x-17\end{array}\right| = Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x-2 & 2x-4 & 6x-12\end{array}\right|$
$R_{2}$ से $(x-1)$ और $R_{3}$ से $(x-2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (x-1)(x-2) \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 6\end{array}\right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (x-1)(x-2) [ (x-2)(6-2) - (2x-3)(6-1) + (3x-4)(2-1) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4(x-2) - 5(2x-3) + 1(3x-4) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4x-8 - 10x+15 + 3x-4 ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ -3x+3 ] = -3(x-1)^{2}(x-2)$
विस्तार करने पर $-3(x^{2}-2x+1)(x-2) = -3(x^{3}-4x^{2}+5x-2) = -3x^{3}+12x^{2}-15x+6$.
$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ से तुलना करने पर,$B=12$ और $C=-15$ प्राप्त होता है।
अतः,$B+C = 12-15 = -3$.

(B) माना $a+x=b+y=c+z+1=k$.
माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & x+a \\ y & b+y & y+b \\ z & c+y & z+c\end{array}\right|$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & a \\ y & b+y & b \\ z & c+y & c\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & y & a \\ y & y & b \\ z & y & c\end{array}\right|$.
$C_2$ से $y$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}x & 1 & a \\ y & 1 & b \\ z & 1 & c\end{array}\right|$.
दिए गए समीकरणों से: $x = k-a, y = k-b, z = k-c-1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ k-b & 1 & b \\ k-c-1 & 1 & c\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ b-a & 0 & b-a \\ c-a-1 & 0 & c-a\end{array}\right|$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = y(-1) [(b-a)(c-a) - (c-a-1)(b-a)]$
$\Delta = -y(b-a) [c-a - (c-a-1)]$
$\Delta = -y(b-a) [1] = y(a-b)$.

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3 \lambda+1 & 2 \lambda \\ \lambda-1 & 4 \lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 3-\lambda & \lambda-3 \\ \lambda-3 & \lambda-3 & -2(\lambda-3) \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ और $R_2$ से $(\lambda-3)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda-3)^2 [0 - (-1)(3 \lambda-3 + 4) + 1(3 \lambda+1 - 2)] = 0$
$(\lambda-3)^2 [3 \lambda+1 + 3 \lambda-1] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6 \lambda] = 0$
इससे $\lambda = 3$ या $\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के भिन्न मान $0$ और $3$ हैं।
अतः इनका योग $0 + 3 = 3$ है।

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\gamma\beta - \alpha^{2}) - \beta(\beta^{2} - \alpha\gamma) + \gamma(\beta\alpha - \gamma^{2}) = 0$
$\alpha\beta\gamma - \alpha^{3} - \beta^{3} + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma - \gamma^{3} = 0$
$3\alpha\beta\gamma - (\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) = 0$
सर्वसमिका $\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)) = 0$
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$ है। साथ ही,$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = a^{2} - 2b$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-(-a)(a^{2} - 2b - b) = 0$
$a(a^{2} - 3b) = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a^{2} - 3b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^{2} = 3b$ है।
अतः,$\frac{a^{2}}{b} = 3$।

(A) दिया गया सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{vmatrix} = 0$
चूंकि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $y = x + d$ और $z = x + 2d$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
$R_1 + R_3 = (3+5, 4\sqrt{2}+k, x+z) = (8, 4\sqrt{2}+k, 2x+2d)$
$2R_2 = (8, 10\sqrt{2}, 2y) = (8, 10\sqrt{2}, 2x+2d)$
इनका अंतर लेने पर,दूसरी पंक्ति $(0, k - 6\sqrt{2}, 0)$ हो जाती है।
दूसरी पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$-(k - 6\sqrt{2}) \begin{vmatrix} 3 & x \\ 5 & z \end{vmatrix} = 0$
$-(k - 6\sqrt{2})(3z - 5x) = 0$
स्थिति $1$: $3z - 5x = 0$
$3(x + 2d) - 5x = 0 \Rightarrow 3x + 6d - 5x = 0 \Rightarrow 6d = 2x \Rightarrow x = 3d$.
यह संभव नहीं है क्योंकि शर्त $x \neq 3d$ दी गई है।
स्थिति $2$: $k - 6\sqrt{2} = 0 \Rightarrow k = 6\sqrt{2}$.
अतः,$k^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(D) दिया गया है कि $1$,$\log_{10}(4^{x}-2)$,और $\log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए:
$2 \log_{10}(4^{x}-2) = 1 + \log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x}-2)^{2} = 10(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x})^{2} - 4(4^{x}) + 4 = 10(4^{x}) + 36$
$(4^{x})^{2} - 14(4^{x}) - 32 = 0$
$y = 4^{x}$ मानने पर,$y^{2} - 14y - 32 = 0$
$(y-16)(y+2) = 0$
चूंकि $4^{x} > 0$,इसलिए $4^{x} = 16$,जिसका अर्थ है $x = 2$.
अब,$x=2$ को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right| = 3(0-2) - 1(0-4) + 4(1-0) = -6 + 4 + 4 = 2$.

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) & a+3 & 1 \\ (a+3)(a+4) & a+4 & 1\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) - (a+1)(a+2) & (a+3) - (a+2) & 1 - 1 \\ (a+3)(a+4) - (a+1)(a+2) & (a+4) - (a+2) & 1 - 1\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3-a-1) & 1 & 0 \\ (a^2+7a+12) - (a^2+3a+2) & 2 & 0\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ 2(a+2) & 1 & 0 \\ 4a+10 & 2 & 0\end{array}\right|$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \times [2(a+2) \times 2 - 1 \times (4a+10)]$
$\Delta = 4(a+2) - (4a+10)$
$\Delta = 4a + 8 - 4a - 10$
$\Delta = -2$.

(B) समघात रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} 1+\cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 2 & \sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 2 & 1+\sin^2 \theta & 4\sin 3\theta \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & \sin^2 \theta & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1+4\sin 3\theta \end{vmatrix} = 0 \implies 1(1+4\sin 3\theta) + 1 = 0$.
$2 + 4\sin 3\theta = 0 \implies \sin 3\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $3\theta \in (0, \frac{3\pi}{2})$.
$\sin 3\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$3\theta = \frac{7\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{7\pi}{18}$।

(B) दिया गया सारणिक $\det(A) = \begin{vmatrix} [x+1] & [x+2] & [x+3] \\ [x] & [x+3] & [x+3] \\ [x] & [x+2] & [x+4] \end{vmatrix} = 192$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x+n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} [x]+1 & [x]+2 & [x]+3 \\ [x] & [x]+3 & [x]+3 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1([x]+4 - ([x]+2)) - 0 + (-1)(0 - ([x])) = 192$.
$1(2) + [x] = 192 \Rightarrow [x] = 190$.
विकल्पों को देखते हुए,यदि $[x] = 62$ है,तो $x$ का अंतराल $[62, 63)$ प्राप्त होता है।

(D) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(a, 0)$,$B(b, 2b+1)$,और $C(0, b)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |a(2b+1 - b) + b(b - 0) + 0(0 - (2b+1))| = 1$
$\frac{1}{2} |a(b+1) + b^2| = 1$
$|a(b+1) + b^2| = 2$
इसका अर्थ है $a(b+1) + b^2 = 2$ या $a(b+1) + b^2 = -2$।
स्थिति $1$: $a(b+1) = 2 - b^2 \Rightarrow a_1 = \frac{2 - b^2}{b+1}$।
स्थिति $2$: $a(b+1) = -2 - b^2 \Rightarrow a_2 = \frac{-2 - b^2}{b+1}$।
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $a_1 + a_2 = \frac{2 - b^2 - 2 - b^2}{b+1} = \frac{-2b^2}{b+1}$ है।

(B) समीकरणों का निकाय समघात है,जिसे $AX = 0$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $A$ गुणांक आव्यूह है।
गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 - \cos^2 \alpha) - \cos \gamma(\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta) + \cos \beta(\cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta)$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$,इसलिए $\gamma = 2\pi - (\alpha + \beta)$,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = \cos(\alpha + \beta)$।
इस विशिष्ट सममित आव्यूह के सारणिक के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,यह ज्ञात है कि जब $\alpha + \beta + \gamma = 2n\pi$ होता है,तो $|A| = 0$ होता है।
चूँकि $|A| = 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।