Special types of matrices, Transpose of matrices and Trace of matrices Questions in Hindi

(B) एक आव्यूह $A = [a_{ij}]$ को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है यदि $A^T = -A$ हो,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$।
विकर्ण अवयवों के लिए,हम $i = j$ रखते हैं,जिससे $a_{ii} = -a_{ii}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2a_{ii} = 0$,इसलिए सभी $i$ के लिए $a_{ii} = 0$।
अतः,एक विषम-सममित आव्यूह के सभी विकर्ण अवयव शून्य होते हैं।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ है।
परिवर्तित आव्यूह $A'$ ज्ञात करने के लिए,हम पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलते हैं:
$A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -5 \\ -2 & 5 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,आव्यूह $A'$ से $-1$ कॉमन लेने पर:
$A' = -1 \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि अंदर का आव्यूह $A$ है,इसलिए हमें $A' = -A$ प्राप्त होता है।
अतः,आव्यूह $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है।

(B) आव्यूहों के गुणनफल के परिवर्त के लिए सही गुणधर्म $(AB)' = B'A'$ है।
विकल्प $(B)$ कहता है कि $(AB \dots L)' = A'B' \dots L'$,जो गलत है क्योंकि गुणनफल के परिवर्त में आव्यूहों का क्रम उलट जाता है।
विकल्प $(D)$ में $(A)' = A$ लिखा है,लेकिन यदि यह $(A')' = A$ को संदर्भित करता है,तो यह एक मानक सर्वसमिका है।
दिए गए विकल्पों में से,$(B)$ आव्यूह बीजगणित के संदर्भ में मौलिक रूप से गलत संबंध है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A' = A$ और $B' = B$ है।
आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'$
गुणधर्म $(XY)' = Y'X'$ का उपयोग करने पर:
$(AB - BA)' = B'A' - A'B'$
चूंकि $A' = A$ और $B' = B$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(AB - BA)' = BA - AB$
$(AB - BA)' = -(AB - BA)$
चूंकि आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक मान के बराबर है,इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(A) आव्यूह $M'AM$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका परिवर्त आव्यूह (transpose) लेते हैं:
$(M'AM)' = M'A'(M')'$
परिवर्त आव्यूह के गुणधर्म $(ABC)' = C'B'A'$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(M'AM)' = M'A'M$
चूंकि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A' = A$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(M'AM)' = M'AM$
चूंकि आव्यूह $M'AM$ का परिवर्त आव्यूह स्वयं के बराबर है,इसलिए $M'AM$ एक सममित आव्यूह है।

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि $A'A = I = AA'$ हो,जहाँ $A'$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है और $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
$AA'$ की गणना करने पर:
$AA' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
इसी प्रकार,$A'A = I$ होता है।
चूँकि $AA' = A'A = I$,इसलिए विकल्प $(b)$ में दिया गया आव्यूह एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

(D) एक आव्यूह $M$ सममित होता है यदि $M' = M$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $(A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'$। अतः,$A + A'$ सममित है।
विकल्प $B$ के लिए: $(AA')' = (A')'A' = AA'$। अतः,$AA'$ सममित है।
विकल्प $C$ के लिए: $(A'A)' = A'(A')' = A'A$। अतः,$A'A$ सममित है।
विकल्प $D$ के लिए: $(A - A')' = A' - (A')' = A' - A = -(A - A')$। चूंकि $(A - A')' = -(A - A')$,इसलिए आव्यूह $A - A'$ विषम-सममित (skew-symmetric) है,सममित नहीं है।

(B) दो आव्यूहों के गुणनफल का परिवर्त आव्यूह उनके परिवर्त आव्यूहों के व्युत्क्रम क्रम में गुणनफल के बराबर होता है।
समान कोटि के किन्हीं भी दो आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,यह गुण $(AB)' = B'A'$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही गुण है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$ होता है।
यह जांचने के लिए कि $A^n$ सममित है या नहीं,हमें $A^n$ का परिवर्त आव्यूह $(A^n)^T$ ज्ञात करना होगा।
परिवर्त आव्यूह के गुणधर्म $(A^k)^T = (A^T)^k$ का उपयोग करने पर:
$(A^n)^T = (A^T)^n$
चूंकि $A^T = A$,इसलिए हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(A^n)^T = (A)^n = A^n$
अतः,$(A^n)^T = A^n$ होने के कारण,$A^n$ एक सममित आव्यूह है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T$ प्राप्त करने के लिए पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर:
$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
अब,हम $A + A^T$ का योग ज्ञात करते हैं:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -2+5 \\ 5+(-2) & 3+3 \end{bmatrix}$
$A + A^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $A$,$n \times n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः $\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,या $\det(A) = 0$।
जिस आव्यूह का सारणिक $0$ होता है,उसे अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह कहा जाता है।
इसलिए,विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह हमेशा अव्युत्क्रमणीय होता है।

(B) माना $B = AA^T$.
यह जाँचने के लिए कि क्या $B$ सममित है,हम इसका परिवर्त आव्यूह $B^T$ ज्ञात करते हैं।
$B^T = (AA^T)^T$.
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B^T = (A^T)^T A^T$.
चूँकि $(A^T)^T = A$,इसलिए:
$B^T = AA^T = B$.
अतः,चूँकि $B^T = B$,इसलिए आव्यूह $AA^T$ एक सममित आव्यूह है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -7 \\ -5 & 0 & 11 \\ 7 & -11 & 0 \end{bmatrix}$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या आव्यूह विषम सममित है,हम इसका परिवर्त आव्यूह $A'$ ज्ञात करते हैं।
$A' = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 7 \\ 5 & 0 & -11 \\ -7 & 11 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A'$ से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$A' = -1 \begin{bmatrix} 0 & 5 & -7 \\ -5 & 0 & 11 \\ 7 & -11 & 0 \end{bmatrix} = -A$।
चूँकि $A' = -A$ है,इसलिए यह आव्यूह एक विषम सममित आव्यूह है।

(B) माना $S = A + A^T$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $S$ सममित है,हम इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करते हैं:
$S^T = (A + A^T)^T$।
परिवर्त आव्यूह के गुणधर्म $(X + Y)^T = X^T + Y^T$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S^T = A^T + (A^T)^T$।
चूँकि $(A^T)^T = A$ होता है,इसलिए:
$S^T = A^T + A = A + A^T = S$।
चूँकि $S^T = S$ है,अतः आव्यूह $A + A^T$ एक सममित आव्यूह है।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} i & 1 - 2i \\ -1 - 2i & 0 \end{bmatrix}$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसके संयुग्मी परिवर्त $(\bar{A})^T$ की गणना करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक तत्व के काल्पनिक भाग का चिह्न बदलकर संयुग्मी आव्यूह $\bar{A}$ ज्ञात करें:
$\bar{A} = \begin{bmatrix} -i & 1 + 2i \\ -1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,संयुग्मी आव्यूह का परिवर्त $(\bar{A})^T$ ज्ञात करें:
$(\bar{A})^T = \begin{bmatrix} -i & -1 + 2i \\ 1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
अब,इसकी तुलना $-A$ से करें:
$-A = -\begin{bmatrix} i & 1 - 2i \\ -1 - 2i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -1 + 2i \\ 1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि $(\bar{A})^T = -A$ है,इसलिए आव्यूह $A$ विषम-हर्मिटी (skew-hermitian) है।

(A) मान लीजिए $A$ एक विषम कोटि $n$ का विषम-सममित आव्यूह है,जहाँ $n = 2k + 1$ एक विषम संख्या है।
विषम-सममित आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^T| = |A|$ और $|cA| = c^n|A|$ का उपयोग करने पर:
$|A| = (-1)^n |A|$.
चूंकि $n$ विषम है,इसलिए $(-1)^n = -1$ होगा।
अतः,$|A| = -|A|$.
$2|A| = 0 \Rightarrow |A| = 0$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,इसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,हम गुणनफल $AA'$ की गणना करते हैं:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 & 1 \times 2 & 1 \times 3 \\ 2 \times 1 & 2 \times 2 & 2 \times 3 \\ 3 \times 1 & 3 \times 2 & 3 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$।

(B) दो आव्यूहों के गुणनफल का परिवर्त (transpose),उनके परिवर्त आव्यूहों के विपरीत क्रम में गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,किन्हीं दो आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए जिनका गुणनफल $AB$ परिभाषित है,परिवर्त का गुणधर्म इस प्रकार है:
$(AB)' = B'A'$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $B = A - A^T$ है। यह जांचने के लिए कि $B$ सममित है या विषम सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह $B^T$ ज्ञात करते हैं।
$B^T = (A - A^T)^T$
गुणधर्म $(X - Y)^T = X^T - Y^T$ का उपयोग करने पर:
$B^T = A^T - (A^T)^T$
चूंकि $(A^T)^T = A$,इसलिए:
$B^T = A^T - A$
$B^T = -(A - A^T)$
$B^T = -B$
चूंकि $B^T = -B$ है,इसलिए आव्यूह $A - A^T$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(C) आव्यूह $A$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) & (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) \\ (-1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) & (-1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1/2 - 1/2 & 1/2 - 1/2 \\ -1/2 + 1/2 & -1/2 + 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$
चूंकि $A^2 = O$,इसलिए आव्यूह $A$ कोटि $2$ का एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A' = A$ और $B' = B$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या $ABA$ सममित है,हम इसका परिवर्त आव्यूह (transpose) ज्ञात करते हैं:
$(ABA)' = A'B'A'$
$(XYZ)' = Z'Y'X'$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(ABA)' = A'B'A'$
चूंकि $A' = A$ और $B' = B$,हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(ABA)' = ABA$
चूंकि $ABA$ का परिवर्त आव्यूह स्वयं $ABA$ के बराबर है,इसलिए $ABA$ एक सममित आव्यूह है।

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ का ट्रेस,जिसे $t_r(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसके विकर्ण तत्वों के योग के रूप में परिभाषित होता है।
ट्रेस के गुण इस प्रकार हैं:
$1$. $t_r(A + B) = t_r(A) + t_r(B)$,जो सत्य है।
$2$. $t_r(\alpha A) = \alpha t_r(A)$,जो किसी भी अदिश $\alpha \in R$ के लिए सत्य है।
$3$. $t_r(A^T) = t_r(A)$,जो सत्य है क्योंकि परिवर्त आव्यूह में विकर्ण तत्व अपरिवर्तित रहते हैं।
$4$. $t_r(AB) = t_r(BA)$ आव्यूहों के गुणन के ट्रेस का एक मूलभूत गुण है। इसलिए,कथन $t_r(AB) \ne t_r(BA)$ गलत है।

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ लांबिक (orthogonal) होता है यदि $AA^T = A^TA = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों के वर्गों का योग $1$ होता है,और किन्हीं दो अलग-अलग पंक्तियों (या स्तंभों) के संगत तत्वों के गुणनफल का योग $0$ होता है।
आइए विकल्प $A$ की जाँच करें:
पंक्ति $1$: $(6/7)^2 + (2/7)^2 + (-3/7)^2 = (36+4+9)/49 = 49/49 = 1$.
पंक्ति $2$: $(2/7)^2 + (3/7)^2 + (6/7)^2 = (4+9+36)/49 = 49/49 = 1$.
पंक्ति $3$: $(3/7)^2 + (-6/7)^2 + (2/7)^2 = (9+36+4)/49 = 49/49 = 1$.
पंक्ति $1$ और पंक्ति $2$ का अदिश गुणनफल: $(6/7)(2/7) + (2/7)(3/7) + (-3/7)(6/7) = (12+6-18)/49 = 0/49 = 0$.
पंक्ति $2$ और पंक्ति $3$ का अदिश गुणनफल: $(2/7)(3/7) + (3/7)(-6/7) + (6/7)(2/7) = (6-18+12)/49 = 0/49 = 0$.
पंक्ति $1$ और पंक्ति $3$ का अदिश गुणनफल: $(6/7)(3/7) + (2/7)(-6/7) + (-3/7)(2/7) = (18-12-6)/49 = 0/49 = 0$.
चूंकि सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए विकल्प $A$ में दिया गया आव्यूह लांबिक है।

(C) एक आव्यूह $A$ को शून्यंभावी (nilpotent) कहा जाता है यदि एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक $m$ मौजूद हो कि $A^m = 0$ हो,जहाँ $0$ शून्य आव्यूह है।
विकल्प $C$ के लिए,मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
तब $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 0 + 0 \times 1 & 0 \times 0 + 0 \times 0 \\ 1 \times 0 + 0 \times 1 & 1 \times 0 + 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $A^2 = 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी आव्यूह है।

(C) एक आव्यूह $A$ लांबिक (orthogonal) होता है यदि $AA^T = I$ हो।
$A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
तब $AA^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चूंकि $AA^T = I$,इसलिए आव्यूह $A$ सभी $\theta \in \mathbb{R}$ के लिए एक लांबिक आव्यूह है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) एक आव्यूह का ट्रेस,$Tr(M)$,उसके विकर्ण तत्वों का योग होता है।
$A + 2B$ के लिए,विकर्ण तत्व $1, -3, 1$ हैं। अतः,$Tr(A + 2B) = 1 - 3 + 1 = -1$।
गुणधर्म $Tr(A + 2B) = Tr(A) + 2Tr(B)$ का उपयोग करते हुए,हमें $Tr(A) + 2Tr(B) = -1$ प्राप्त होता है।
$2A - B$ के लिए,विकर्ण तत्व $2, -1, 2$ हैं। अतः,$Tr(2A - B) = 2 - 1 + 2 = 3$।
गुणधर्म $Tr(2A - B) = 2Tr(A) - Tr(B)$ का उपयोग करते हुए,हमें $2Tr(A) - Tr(B) = 3$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $Tr(A) = x$ और $Tr(B) = y$।
हमें समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x + 2y = -1$
$2x - y = 3$
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $4x - 2y = 6$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(x + 2y) + (4x - 2y) = -1 + 6 \implies 5x = 5 \implies x = 1$।
$x = 1$ को $2x - y = 3$ में रखने पर: $2(1) - y = 3 \implies 2 - y = 3 \implies y = -1$।
अतः,$Tr(A) - Tr(B) = x - y = 1 - (-1) = 2$।

(A) दिया गया है कि $Q = PAP^T$ और $P$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है,इसलिए $P^TP = PP^T = I$.
हमें $X = P^TQ^{2005}P$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^TP)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2P^T$ की गणना करें।
गणितीय आगमन द्वारा,$Q^n = PA^nP^T$।
अतः,$Q^{2005} = PA^{2005}P^T$।
इस मान को $X$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$X = P^T(PA^{2005}P^T)P = (P^TP)A^{2005}(P^TP) = I \cdot A^{2005} \cdot I = A^{2005}$।
चूंकि $A$ एक $4$ के आवर्तकाल वाला आवर्ती आव्यूह है,$A^{k+1} = A$ जहाँ $k=4$ है। अतः $A^5 = A$।
हम $2005 = 4 \times 501 + 1$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$A^{2005} = A^{4 \times 501 + 1} = (A^4)^{501} \cdot A = I^{501} \cdot A = A$।
अतः,$X = A$।

(B) किसी आव्यूह का ट्रेस,$Tr(M)$,उसके विकर्ण तत्वों का योग होता है।
दिया गया है $2A + B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}$,अतः $Tr(2A + B) = 1 + 4 + 2 = 7$ है।
चूंकि $Tr(2A + B) = 2Tr(A) + Tr(B)$,इसलिए $2Tr(A) + Tr(B) = 7$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $A - 2B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$,अतः $Tr(A - 2B) = 2 + 3 + 1 = 6$ है।
चूंकि $Tr(A - 2B) = Tr(A) - 2Tr(B)$,इसलिए $Tr(A) - 2Tr(B) = 6$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $4Tr(A) + 2Tr(B) = 14$।
इसे समीकरण $2$ में जोड़ने पर: $(4Tr(A) + 2Tr(B)) + (Tr(A) - 2Tr(B)) = 14 + 6 \Rightarrow 5Tr(A) = 20 \Rightarrow Tr(A) = 4$।
$Tr(A) = 4$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2(4) + Tr(B) = 7 \Rightarrow 8 + Tr(B) = 7 \Rightarrow Tr(B) = -1$।
अंततः,$Tr(A) - Tr(B) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$।

(B) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$।
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^T = -B$।
हमें आव्यूह $M = AB - BA$ की प्रकृति की जाँच करनी है।
$M$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$M^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$M^T = B^T A^T - A^T B^T$
$A^T = A$ और $B^T = -B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M^T = (-B)(A) - (A)(-B)$
$M^T = -BA + AB = AB - BA = M$
चूँकि $M^T = M$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$।
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^T = -B$।
हमें दिया गया है $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \quad (1)$।
दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(A + B)^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}^T \implies A^T + B^T = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$।
$A^T = A$ और $B^T = -B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \quad (2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2A = \begin{bmatrix} 2+2 & 3+5 \\ 5+3 & -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & -2 \end{bmatrix} \implies A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$।
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2B = \begin{bmatrix} 2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \implies B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(0) + (4)(1) & (2)(-1) + (4)(0) \\ (4)(0) + (-1)(1) & (4)(-1) + (-1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & -4 \end{bmatrix}$।

(N/A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ है।
परिवर्त आव्यूह $A'$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलते हैं:
$A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,$A'$ का परिवर्त आव्यूह $(A')'$ ज्ञात करने के लिए,हम $A'$ की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलते हैं:
$(A')' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$।
इस परिणाम की मूल आव्यूह $A$ से तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(A')' = A$ है।
अतः,यह गुणधर्म सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A+B$ की गणना करें:
$A+B = \begin{bmatrix} 3+2 & \sqrt{3}-1 & 2+2 \\ 4+1 & 2+2 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & \sqrt{3}-1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$।
अब,इसका परिवर्त आव्यूह $(A+B)^{\prime}$ ज्ञात करें:
$(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ ज्ञात करें:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$,$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^{\prime} + B^{\prime}$ की गणना करें:
$A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3+2 & 4+1 \\ \sqrt{3}-1 & 2+2 \\ 2+2 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$।
चूंकि $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$,इसलिए यह गुण सत्यापित होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,गुणनफल $AB$ ज्ञात कीजिए:
$AB = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30 \end{bmatrix}$।
अब,गुणनफल का परिवर्त $(AB)^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$A$ और $B$ के परिवर्त $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ और $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}$।
अब,गुणनफल $B^{\prime} A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$B^{\prime} A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}$।
परिणामों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}$। अतः,गुणधर्म सत्यापित होता है।

किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(B + B')$ और $Q = \frac{1}{2}(B - B')$ है।
दिया गया है $B = \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$,इसका परिवर्त आव्यूह $B' = \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right]$ है।
$P = \frac{1}{2}(B + B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ की गणना करने पर।
चूंकि $P' = P$,इसलिए $P$ एक सममित आव्यूह है।
$Q = \frac{1}{2}(B - B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$ की गणना करने पर।
चूंकि $Q' = -Q$,इसलिए $Q$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः,$B = P + Q = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$।

(A) माना कि $A = \left[\begin{array}{c}5 \\ \frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right]$.
आव्यूह का परिवर्त ज्ञात करने के लिए,हम उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल देते हैं।
दिया गया आव्यूह $A$ एक $3 \times 1$ कोटि का स्तंभ आव्यूह है।
इसका परिवर्त $A^T$ एक $1 \times 3$ कोटि का पंक्ति आव्यूह होगा।
अतः,$A^T = \left[\begin{array}{lll}5 & \frac{1}{2} & -1\end{array}\right]$.

(A) माना कि $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$ है।
आव्यूह का परिवर्त ज्ञात करने के लिए,हम उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल देते हैं।
$A$ की पहली पंक्ति $(1, -1)$ है,जो $A^T$ का पहला स्तंभ बन जाती है।
$A$ की दूसरी पंक्ति $(2, 3)$ है,जो $A^T$ का दूसरा स्तंभ बन जाती है।
अतः,$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$।

(A) आव्यूह का परिवर्त ज्ञात करने के लिए,हम उसकी पंक्तियों (rows) और स्तंभों (columns) को आपस में बदल देते हैं।
माना $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]$ है।
$A$ का परिवर्त,जिसे $A^T$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A$ की पहली पंक्ति को $A^T$ के पहले स्तंभ के रूप में,$A$ की दूसरी पंक्ति को $A^T$ के दूसरे स्तंभ के रूप में और $A$ की तीसरी पंक्ति को $A^T$ के तीसरे स्तंभ के रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1\end{array}\right]$ है।

(A) हमारे पास है:
$A^{\prime}=\begin{bmatrix}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$A+B=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2\end{bmatrix}$
$\therefore (A+B)^{\prime}=\begin{bmatrix}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{bmatrix}$
$A^{\prime}+B^{\prime}=\begin{bmatrix}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{bmatrix}$
अतः,$(A+B)^{\prime} = A^{\prime}+B^{\prime}$ सत्यापित होता है।

(A) सबसे पहले,$A-B$ की गणना करें:
$A-B = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0\end{array}\right]$
अब,परिवर्त आव्यूह $(A-B)^{\prime}$ ज्ञात करें:
$(A-B)^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right]$
आगे,$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ ज्ञात करें:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right]$,$B^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right]$
अब,$A^{\prime}-B^{\prime}$ की गणना करें:
$A^{\prime}-B^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right]$
चूंकि $(A-B)^{\prime} = A^{\prime}-B^{\prime}$,इसलिए गुणधर्म सत्यापित हो गया है।

(A) हम जानते हैं कि $A = (A^{\prime})^{\prime}$ होता है।
इसलिए,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$,अतः $B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ होगा।
अब,$A+B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त (transpose) लेने पर,$(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
आगे,$A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ और $A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ है,अतः यह सत्यापित होता है कि $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$ है।

(A) दिया गया है कि $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $A = (A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A-B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$(A-B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
आगे,$B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ होता है।
तब,$A^{\prime}-B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(A-B)^{\prime} = A^{\prime}-B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$,अतः गुणधर्म सत्यापित होता है।

(A) सबसे पहले,हम गुणनफल $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 1 & 0 \times 5 & 0 \times 7 \\ 1 \times 1 & 1 \times 5 & 1 \times 7 \\ 2 \times 1 & 2 \times 5 & 2 \times 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14 \end{bmatrix}$
अब,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर हम परिवर्त आव्यूह $(AB)^{\prime}$ प्राप्त करते हैं:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix}$
इसके बाद,हम $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ ज्ञात करते हैं:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$
अब,हम गुणनफल $B^{\prime} A^{\prime}$ की गणना करते हैं:
$B^{\prime} A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 0 & 1 \times 1 & 1 \times 2 \\ 5 \times 0 & 5 \times 1 & 5 \times 2 \\ 7 \times 0 & 7 \times 1 & 7 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix}$
चूँकि $(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}$,अतः गुणधर्म सत्यापित होता है।

(N/A) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A^{\prime} = A$ हो,जहाँ $A^{\prime}$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
परिवर्त $A^{\prime}$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलते हैं:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
चूँकि $A^{\prime} = A$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक सममित आव्यूह है।

(N/A) एक आव्यूह $A$ को विषम-सममित कहा जाता है यदि $A^{\prime} = -A$ हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$,इसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,आव्यूह $A^{\prime}$ से $-1$ को बाहर निकालने पर:
$A^{\prime} = -1 \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$।
चूंकि $A^{\prime} = -A$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(N/A) दिया गया है: $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,योग $(A + A^{\prime})$ की गणना कीजिए:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 5+6 \\ 6+5 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$.
यह सत्यापित करने के लिए कि $(A + A^{\prime})$ सममित है,हम जाँचते हैं कि क्या $(A + A^{\prime})^{\prime} = (A + A^{\prime})$ है:
$(A + A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$.
चूँकि $(A + A^{\prime})^{\prime} = (A + A^{\prime})$,अतः यह सिद्ध होता है कि $(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है।

(N/A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A - A^{\prime}$ की गणना करते हैं:
$A - A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
मान लीजिए $B = A - A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,$B$ का परिवर्त आव्यूह ज्ञात करते हैं:
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
यहाँ देखा जा सकता है कि $B^{\prime} = -\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -B$.
चूँकि $(A - A^{\prime})^{\prime} = -(A - A^{\prime})$,अतः यह सत्यापित होता है कि $(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

दिया गया आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right].$
अब,$A+A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A+A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A+A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
अगला,$A-A^{\prime}$ की गणना कीजिए:
$A-A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0\end{array}\right].$
अतः,$\frac{1}{2}(A-A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right].$

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$A + A^{\prime}$ की गणना करें:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6+6 & -2-2 & 2+2 \\ -2-2 & 3+3 & -1-1 \\ 2+2 & -1-1 & 3+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right]$.
अतः,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
चूंकि $P^{\prime} = P$,इसलिए $P$ एक सममित आव्यूह है।
अगला,$A - A^{\prime}$ की गणना करें:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6-6 & -2-(-2) & 2-2 \\ -2-(-2) & 3-3 & -1-(-1) \\ 2-2 & -1-(-1) & 3-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
चूंकि $Q^{\prime} = -Q$,इसलिए $Q$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अंत में,$A = P + Q = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.

(N/A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ है। तब $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ है।
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ ज्ञात कीजिए।
अतः,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$। चूँकि $P^{\prime} = P$ है,इसलिए $P$ एक सममित आव्यूह है।
अब,$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$ ज्ञात कीजिए।
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$। चूँकि $Q^{\prime} = -Q$ है,इसलिए $Q$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अतः,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ है।
शर्त $A + A^{\prime} = I$ दी गई है,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ एक तत्समक आव्यूह है।
$A$ और $A^{\prime}$ को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2 \cos \alpha = 1$
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \alpha = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।