Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(B) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$। हमें दिया गया है कि $|A| = 5$।
दिया गया सारणिक $A$ के सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) का सारणिक है,जिसे $|adj(A)|$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $|adj(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|adj(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$।
दिया गया मान रखने पर,$|adj(A)| = 5^2 = 25$।

(B) दिया गया है कि $AB = O$ और $B$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
चूँकि $B$ व्युत्क्रमणीय है,इसका सारणिक $|B| \neq 0$ है,जिसका अर्थ है कि प्रतिलोम आव्यूह $B^{-1}$ का अस्तित्व है।
अब,समीकरण $AB = O$ के दोनों पक्षों को दाईं ओर से $B^{-1}$ से गुणा करने पर:
$(AB)B^{-1} = OB^{-1}$
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए:
$A(BB^{-1}) = O$
चूँकि $BB^{-1} = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है:
$AI = O$
अतः,$A = O$.

(D) एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
दूसरे स्तंभ के अनुदिश सारणिक $|A|$ का विस्तार करने पर:
$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -k \\ k & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -k \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \cdot (1 - (-k^2)) = 1 + k^2$.
चूँकि सभी वास्तविक $k$ के लिए $k^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $1 + k^2 \geq 1$ होगा।
अतः,$|A|$ का मान हमेशा $1$ या उससे अधिक रहता है,जिसका अर्थ है कि $|A|$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता।
इसलिए,आव्यूह $A$ सभी वास्तविक $k$ के मानों के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(C) माना $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 2}&{ - 1}\\{ - 4}&1&{ - 1}\\2&0&1\end{array}} \right]$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3(1(1) - (-1)(0)) - (-2)((-4)(1) - (-1)(2)) + (-1)((-4)(0) - 1(2))$
$|A| = 3(1) + 2(-4 + 2) - 1(0 - 2) = 3 - 4 + 2 = 1$.
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = 1, C_{12} = 2, C_{13} = -2$
$C_{21} = 2, C_{22} = 5, C_{23} = -4$
$C_{31} = 3, C_{32} = 7, C_{33} = -5$
सहखंडज आव्यूह $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{-2}\\2&5&{-4}\\3&7&{-5}\end{array}} \right]$ है।
एडजॉइंट आव्यूह $adj(A)$ सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&5&7\\{-2}&{-4}&{-5}\end{array}} \right]$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ और $|A| = 1$,इसलिए:
$A^{-1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&5&7\\{-2}&{-4}&{-5}\end{array}} \right]$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) समान कोटि के किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,उनके गुणनफल का व्युत्क्रम,व्युत्क्रम के उत्क्रमण नियम (reversal law of inverses) द्वारा दिया जाता है।
विशेष रूप से,$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = AA^{-1} = I$ है।
इसी प्रकार,$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1}B = I$ है।
अतः,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$।

(A) आव्यूह $N$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करने के लिए,हम सहखंड आव्यूह $C$ की गणना करते हैं और फिर उसका परिवर्त (transpose) $C^T$ लेते हैं।
आव्यूह $N = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ है।
सहखंडों की गणना इस प्रकार है:
$c_{11} = +((0)(3) - (1)(4)) = -4$
$c_{12} = -((1)(3) - (1)(4)) = -(-1) = 1$
$c_{13} = +((1)(4) - (0)(4)) = 4$
$c_{21} = -((-3)(3) - (-3)(4)) = -(-9 + 12) = -3$
$c_{22} = +((-4)(3) - (-3)(4)) = -12 + 12 = 0$
$c_{23} = -((-4)(4) - (-3)(4)) = -(-16 + 12) = 4$
$c_{31} = +((-3)(1) - (-3)(0)) = -3$
$c_{32} = -((-4)(1) - (-3)(1)) = -(-4 + 3) = 1$
$c_{33} = +((-4)(0) - (-3)(1)) = 3$
सहखंड आव्यूह $C = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 4 \\ -3 & 0 & 4 \\ -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ है।
सहखंडज (adjoint) सहखंड आव्यूह का परिवर्त है:
$adj(N) = C^T = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \end{bmatrix} = N$.

(B) मान लीजिए $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है,जो $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है।
तब,$kI = \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ होगा।
एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(a, b, c)$ का सहखंडज (adjoint) $\text{diag}(bc, ac, ab)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$adj(kI) = \begin{bmatrix} k \times k & 0 & 0 \\ 0 & k \times k & 0 \\ 0 & 0 & k \times k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k^2 & 0 & 0 \\ 0 & k^2 & 0 \\ 0 & 0 & k^2 \end{bmatrix} = k^2 I$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है,$A=I$ और $n=3$ के लिए,हमें $adj(kI) = k^{3-1} adj(I) = k^2 I$ प्राप्त होता है।

(B) एक आव्यूह $A$ के सहखंडज (adjoint) को $adj(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज के सहखंडज का गुणधर्म निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$adj(adj \,A) = |A|^{n - 2}A$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i/2 \end{bmatrix}$.
$A$ का सारणिक $|A| = (i)(i/2) - (0)(0) = i^2/2 = -1/2$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$A^{-1} = \frac{1}{-1/2} \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & -2i \end{bmatrix}$।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का मूलभूत गुणधर्म इस प्रकार है:
$A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$,जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है और $I$ उसी कोटि का तत्समक आव्यूह है।
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$।
अतः,सही व्यंजक $|A|I$ है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 1(1-0) - 2(2-0) + 1(0 - (-1)) = 1 - 4 + 1 = -2$ की गणना करते हैं।
व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है।
$A^{-1}$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव $\frac{1}{|A|} \times C_{32}$ है,जहाँ $C_{32}$,$A$ की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड (cofactor) है।
सहखंड $C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - 2) = 2$.
अतः,अभीष्ट अवयव $\frac{C_{32}}{|A|} = \frac{2}{-2} = -1$ है।

(A) किसी आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम (inverse) सूत्र $A^{-1} = \frac{adj(A)}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} a & c \\ d & b \end{vmatrix} = ab - cd$.
इसके बाद,हम मुख्य विकर्ण के अवयवों को आपस में बदलकर और अन्य अवयवों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं:
$adj(A) = \begin{bmatrix} b & -c \\ -d & a \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{ab - cd} \begin{bmatrix} b & -c \\ -d & a \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया आव्यूह $3$ कोटि का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है,जिसे $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
व्युत्क्रम आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,यदि $AB = BA = I$ है,तो $B$ को $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है,जिसे $A^{-1}$ के रूप में लिखा जाता है।
तत्समक आव्यूह $I$ के लिए,हम जानते हैं कि $I \times I = I$ होता है।
इसलिए,तत्समक आव्यूह का व्युत्क्रम स्वयं तत्समक आव्यूह ही होता है,अर्थात $I^{-1} = I$।
अतः,$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (2)(2) - (-3)(-4) = 4 - 12 = -8$ ज्ञात करते हैं।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए प्रतिलोम का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
प्रतिलोम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-8} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।

(D) आव्यूह $A$ का एड्जॉइंट ज्ञात करने के लिए,हम पहले सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & 6 & 1 \end{bmatrix}$.
सहखंड इस प्रकार हैं:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(5 - 0) = -5$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = 30 - (-2) = 32$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 0) = 0$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = -(6 - 0) = -6$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 0) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$
अतः,सहखंड आव्यूह $C = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 32 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का एड्जॉइंट,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 32 & -6 & 2 \end{bmatrix}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प मेल नहीं खाता है। इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A(\text{adj } A) = |A|I$ होता है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (3 \times 4) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10$ की गणना करें।
चूंकि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसलिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।
अतः,$A(\text{adj } A) = |A|I = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$ होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\cos \alpha)(\cos \alpha) - (\sin \alpha)(-\sin \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
अतः,$A \cdot \text{adj}(A) = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $3A^3 + 2A^2 + 5A + I = 0$
दोनों पक्षों से $I$ घटाने पर: $3A^3 + 2A^2 + 5A = -I$
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $(3A^3 + 2A^2 + 5A)A^{-1} = -I A^{-1}$
$AA^{-1} = I$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $3A^2(AA^{-1}) + 2A(AA^{-1}) + 5(AA^{-1}) = -A^{-1}$
$3A^2(I) + 2A(I) + 5(I) = -A^{-1}$
$3A^2 + 2A + 5I = -A^{-1}$
अतः,$A^{-1} = -(3A^2 + 2A + 5I)$

(D) आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:
$(i)$ यदि $A$ एक सममित आव्यूह है,तो $A^T = A$। आव्यूह का सहखंडज (adjoint) सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि $adj(A^T) = (adj\,A)^T$। चूंकि $A^T = A$,हमारे पास $adj(A) = (adj\,A)^T$ है,जिसका अर्थ है कि $adj(A)$ सममित है। यह कथन सत्य है।
$(ii)$ यदि $A = I$ (इकाई आव्यूह) है,तो $adj(I) = |I|I^{-1} = 1 \times I = I$। अतः,एक इकाई आव्यूह का सहखंडज एक इकाई आव्यूह होता है। यह कथन सत्य है।
$(iii)$ आव्यूह के सहखंडज के मूलभूत गुण के अनुसार,$A(adj\,A) = (adj\,A)A = |A|I$। यह कथन सत्य है।
$(iv)$ यदि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो इसके सहखंड एक अन्य विकर्ण आव्यूह के रूप में प्राप्त होंगे। अतः,एक विकर्ण आव्यूह का सहखंडज एक विकर्ण आव्यूह होता है। यह कथन सत्य है।
चूंकि सभी कथन $(i), (ii), (iii),$ और $(iv)$ सही हैं,इसलिए कोई भी कथन गलत नहीं है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) माना कि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{10}\end{array}} \right]$ है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1 \times 10) - (3 \times 3) = 10 - 9 = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right]$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right]$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना कि $A$ एक सममित आव्यूह है।
सममित आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,$A^T = A$ होता है।
हम जानते हैं कि $A A^{-1} = I$ होता है।
दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,$(A A^{-1})^T = I^T$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(AB)^T = B^T A^T$ का उपयोग करने पर,$(A^{-1})^T A^T = I$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^T = A$,इसलिए यह समीकरण $(A^{-1})^T A = I$ बन जाता है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,$(A^{-1})^T A A^{-1} = I A^{-1}$ प्राप्त होता है।
$(A^{-1})^T I = A^{-1}$.
$(A^{-1})^T = A^{-1}$.
अतः,$A^{-1}$ का परिवर्त स्वयं $A^{-1}$ के बराबर है,इसलिए एक सममित आव्यूह का व्युत्क्रम सममित होता है।

(A) माना $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&5\\{ - 7}&6\end{array}} \right]$ है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (-6)(6) - (5)(-7) = -36 + 35 = -1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{-5}\\7&{-6}\end{array}} \right]$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{-5}\\7&{-6}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}-6&5\\-7&6\end{array}} \right]$।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ है। $A$ का एड्जॉइंट,कोफैक्टर मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ होता है,$adj(A) = [C_{ij}]^T = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$।
कोफैक्टर्स की गणना:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (6 - 3) = 3$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 + 6) = -9$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 4) = -5$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 + 1) = -4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 2) = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-3 - 2) = -5$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 - 1) = 4$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 1) = 1$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$। सही विकल्प $B$ है।

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (5)(1) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर सहखंडज आव्यूह $\text{adj}(A)$ ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$।
अब,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (3)(4) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है: $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ \frac{-1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 0(0-0) - 1(1-0) + 0(0-0) = -1$ ज्ञात करते हैं।
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
हम सहखंड आव्यूह $C$ ज्ञात करते हैं जहाँ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ है।
$C_{11} = +(0-0) = 0, C_{12} = -(1-0) = -1, C_{13} = +(0-0) = 0$.
$C_{21} = -(1-0) = -1, C_{22} = +(0-0) = 0, C_{23} = -(0-0) = 0$.
$C_{31} = +(0-0) = 0, C_{32} = -(0-0) = 0, C_{33} = +(0-1) = -1$.
अतः,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = A$।

(A) यदि किसी आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य है,तो वह सिंगुलर आव्यूह कहलाता है,अर्थात $|A| = 0$।
हम जानते हैं कि आव्यूह के एड्जॉइंट का गुणधर्म है: $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह $A$ की कोटि है।
यदि $n > 1$ है,तो चूँकि $|A| = 0$ है,इसलिए $|\text{adj } A| = 0^{n-1} = 0$ होगा।
अतः,$\text{adj } A$ भी एक सिंगुलर आव्यूह है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 0) - 2(0 \times 1 - 2 \times 0) + 3(0 \times 0 - 1 \times 0) = 1(1) = 1$ की गणना करते हैं।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
इसके बाद,हम सहखंडज (cofactor) मैट्रिक्स $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1, C_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 0, C_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$
$C_{21} = -|\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -2, C_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1, C_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$
$C_{31} = +|\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| = 4-3 = 1, C_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| = -2, C_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$
अतः,$Adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) विकल्प $A$ के लिए: एक व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह का प्रतिलोम हमेशा अद्वितीय होता है,इसलिए यह कथन गलत है।
विकल्प $B$ के लिए: परिभाषा के अनुसार,एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं होता है $(|A| \neq 0)$,इसलिए यह कथन गलत है।
विकल्प $C$ के लिए: यदि $A' = A$ है,तो पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $A$ एक वर्ग आव्यूह है। अतः,यह कथन सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj } A = |A| I_n$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A \cdot \text{adj } A| = ||A| I_n| = |A|^n |I_n| = |A|^n$ प्राप्त होता है। दिया गया व्यंजक $|A|^{n-1}$ गलत है। इसलिए,यह कथन गलत है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करने के लिए,हम सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]$ की गणना करेंगे और फिर उसका परिवर्त (transpose) लेंगे।
सहखंडों की गणना इस प्रकार है:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
सहखंड आव्यूह $C = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & 1 & 4 \\ 4 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सहखंडज,सहखंड आव्यूह का परिवर्त है:
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) हम जानते हैं कि समान कोटि के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,गुणनफल के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म इस प्रकार है:
$Adj(AB) = (Adj B)(Adj A)$।
अतः,दोनों पक्षों से $(Adj B)(Adj A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Adj(AB) - (Adj B)(Adj A) = O$,जहाँ $O$ समान कोटि का शून्य आव्यूह है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (3)(1) - (2)(0) = 3$।
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) ज्ञात करें: $Adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,$(A^{-1})^2 = \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \right) \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$।
अंत में,$(A^{-1})^3 = (A^{-1})^2 \cdot A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -2 - 24 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$।

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\text{adj } A) = |A|I$ सत्य है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
यह दिया गया है कि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसलिए $A(\text{adj } A) = |A| \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}$ होता है।
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $|A| = 10$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (4 \times 2) - (7 \times 1) = 8 - 7 = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) $Adj(A)$ ज्ञात करें:
$Adj(A) = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(-3 + 4) - (-3)(2 - 0) + 4(-2 - 0) = 3(1) + 3(2) + 4(-2) = 3 + 6 - 8 = 1$.
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A^{-1} = A^3$ है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(B) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह और उसके सहखंडज के बीच का संबंध $A(\text{adj } A) = |A| I_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_n$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A(\text{adj } A)| = ||A| I_n|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $|A| |\text{adj } A| = |A|^n |I_n|$ है।
चूंकि $|I_n| = 1$,यह समीकरण $|A| |\text{adj } A| = |A|^n$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $|A| = d$,इसलिए $d |\text{adj } A| = d^n$।
अतः,$|\text{adj } A| = d^{n-1}$।

(B) हम जानते हैं कि समान कोटि के किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,गुणनफल के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म इस प्रकार है:
$adj(AB) = adj(B) \cdot adj(A)$.
यह गुणधर्म इस तथ्य से प्राप्त होता है कि $adj(AB) = |AB|(AB)^{-1} = |A||B|B^{-1}A^{-1} = (|B|B^{-1})(|A|A^{-1}) = adj(B) \cdot adj(A)$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = 1(1(1) - 2(0)) - 2(0(1) - 2(0)) + (-3)(0(0) - 1(0)) = 1(1) - 0 + 0 = 1$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,हम सहखंड आव्यूह $C$ ज्ञात करते हैं जहाँ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ है।
$C_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$,$C_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 0$,$C_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$.
$C_{21} = -|\begin{smallmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -2$,$C_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$,$C_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$.
$C_{31} = +|\begin{smallmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| = 4 - (-3) = 7$,$C_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| = -(2 - 0) = -2$,$C_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$.
अतः,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ और $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव $7$ है।

(C) परिभाषा के अनुसार,आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम (inverse) एक ऐसा आव्यूह $B$ है कि $AB = BA = I$ हो,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
तत्समक आव्यूह ${I_3}$ के लिए,हमारे पास ${I_3} \times {I_3} = {I_3}$ है।
इसे परिभाषा $A \times A^{-1} = I$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि ${I_3}^{-1} = {I_3}$ है।

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
यहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ दिया गया है,जहाँ $a = 1, b = -1, c = 2, d = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -(-1) \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सारणिक $|A| = ad - bc$ होता है।
आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $\text{adj}(A)$ के रूप में दर्शाया जाता है,मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया समीकरण: ${A^2} - A + I = 0$
$I$ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = A - {A^2}$
दाहिनी ओर से $A$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = A(I - A)$
दोनों पक्षों को बाईं ओर से ${A^{-1}}$ से गुणा करने पर:
${A^{-1}}I = {A^{-1}}A(I - A)$
चूंकि ${A^{-1}}A = I$ और ${A^{-1}}I = {A^{-1}}$ होता है:
${A^{-1}} = I(I - A)$
अतः:
${A^{-1}} = I - A$

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ उपयुक्त कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।
आव्यूहों के गुणनफल के व्युत्क्रम के गुणधर्म के अनुसार,दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम उनके व्युत्क्रमों का विपरीत क्रम में गुणनफल होता है।
अतः,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1)(-5) - (2)(3) = -5 - 6 = -11$ की गणना करें।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) $adj(A)$ ज्ञात करें। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम ${A^{-1}} = \frac{adj(A)}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है,बशर्ते $|A| \neq 0$ हो।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2 \times 6) - (3 \times 4) = 12 - 12 = 0$.
चूंकि आव्यूह $A$ का सारणिक $0$ है,इसलिए $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
अतः,$A$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$adj\,A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,सारणिक $|adj\,A|$ की गणना करते हैं:
$|adj\,A| = (4 \times 4) - (-3 \times -2)$
$|adj\,A| = 16 - 6$
$|adj\,A| = 10$.
वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $|adj\,A| = |A|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है:
$|A| = (4 \times 4) - (3 \times 2) = 16 - 6 = 10$.
चूँकि $n=2$ है,इसलिए $|adj\,A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 10$.

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
$C_{11} = + \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-3)(1) - (4)(-1) = -3 + 4 = 1$
$C_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{13} = + \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2 - 0) = -2$
$C_{21} = - \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-3 + 4) = -1$
$C_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (3 - 0) = 3$
$C_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3$
$C_{31} = + \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (-12 + 12) = 0$
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - 8) = -4$
$C_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-9 + 6) = -3$
सहखंडज आव्यूह,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$adj(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (0 \times 0) - (3 \times 2) = 0 - 6 = -6$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-6} adj(A) = \frac{-1}{6} adj(A)$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \lambda (adj(A))$ से करने पर,हमें $\lambda = \frac{-1}{6}$ प्राप्त होता है।

(B) समान कोटि के किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,उनके गुणनफल का व्युत्क्रम,व्युत्क्रमों के उत्क्रमण नियम (reversal law) द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = AA^{-1} = I$ है।
इसी प्रकार,$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1}B = I$ है।
चूंकि $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ और $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$,इसलिए $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह और उसके सहखंडज (adjoint) का गुणनफल इस गुणधर्म द्वारा दिया जाता है: $A \cdot (adj(A)) = |A| \cdot I$,जहाँ $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = (\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
चूंकि $|A| = 1$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$A \cdot (adj(A)) = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.