Rolling On Inclined Plane Questions in Gujarati

(C) સરક્યા વિના ઢળતા સમતલ પર ઉપર જતાં ગોળા માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
અહીં $g = 9.8 \, m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $v_0 = 1 \, m/s$ આપેલ છે.
$g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા: $a = \frac{5}{7} \times 9.8 \times \sin(30^{\circ}) = \frac{5}{7} \times 9.8 \times 0.5 = 3.5 \, m/s^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{up} = \frac{v_0}{a} = \frac{1}{3.5} = \frac{2}{7} \, s$.
બિંદુ $A$ પર પાછા આવવા માટેનો કુલ સમય $T = 2 \times t_{up} = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57 \, s$.

(C) ધારો કે નક્કર નળાકાર સંતુલનમાં છે.
ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ અને ઘર્ષણ $f$ છે. સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ છે.
સ્થળાંતર સંતુલન માટે: $T + f = mg \sin 60^{\circ} \quad ......(i)$
નળાકારના કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે: $TR - fR = 0 \implies T = f \quad ......(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2f = mg \sin 60^{\circ} \implies f = \frac{mg \sin 60^{\circ}}{2} = \frac{mg \sqrt{3}}{4} \approx 0.433 mg$.
મર્યાદિત ઘર્ષણ $f_{L} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg \cos 60^{\circ} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg$ છે.
જરૂરી ઘર્ષણ $(0.433 mg)$ એ મર્યાદિત ઘર્ષણ $(0.2 mg)$ કરતા વધારે હોવાથી,નળાકાર સ્થિર સંતુલનમાં રહેશે નહીં અને નીચે ગબડશે.
લાગતું ઘર્ષણ ગતિક ઘર્ષણ હશે: $f_{k} = \mu_{k} N$. જો આપણે $\mu_{k} = \mu_{s} = 0.4$ લઈએ,તો $f_{k} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg = \frac{mg}{5}$ મળે છે.

(A) ગોળાની કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega_0^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega_0 = \frac{v_0}{a}$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}ma^2$ છે.
આ કિંમતો ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}ma^2)(\frac{v_0}{a})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{5}mv_0^2 = \frac{7}{10}mv_0^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગોળો ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f = mgh$.
તેથી,$mgh = \frac{7}{10}mv_0^2$,જે આપણને $h = \frac{7v_0^2}{10g}$ આપે છે.
ઢાળ પર કાપેલું અંતર $d$ એ ઊંચાઈ $h$ સાથે $h = d \sin \theta$ સંબંધ ધરાવે છે.
આમ,$d \sin \theta = \frac{7v_0^2}{10g}$,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{7v_0^2}{10g \sin \theta}$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(D) જો તકતી ઢળતા સમતલ પર સરકે,તો તેનો પ્રવેગ $a_{1} = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_{1} = \sqrt{\frac{2L}{a_{1}}} \quad \dots (i)$ મળે છે.
જો તકતી ઢળતા સમતલ પર ગબડે,તો તેનો પ્રવેગ $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^{2}}}$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^{2}$ છે,તેથી $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_{2} = \sqrt{\frac{2L}{a_{2}}} \quad \dots (ii)$ મળે છે.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{\frac{a_{1}}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે છે.
આને $\sqrt{\frac{3}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $K_r$ એ ચાકગતિ ઉર્જા છે અને $K_t$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $K_r = 0.5 K_t$,જ્યાં $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ અને $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પદાર્થ સરક્યા વગર ગબડતો હોવાથી,$v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_r = \frac{1}{2} I (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2 = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{I}{R^2} = 0.5 m$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $I = 0.5 m R^2 = \frac{1}{2} m R^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m R^2$ એ નક્કર નળાકાર અથવા તકતી માટે હોય છે.

(B) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે,ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ થાય.
$v = R\omega$ હોવાથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{I}{mR^2})$ મળે.
રીંગ માટે,$I = mR^2$,તેથી $mgh = \frac{1}{2}mv_R^2(1 + 1) = mv_R^2$. આમ,$v_R = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $mgh = \frac{1}{2}mv_c^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv_c^2$. આમ,$v_c = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_R}{v_c} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{4gh/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
આને $\frac{\sqrt{x}}{2}$ સાથે સરખાવતા,$x = 3$ મળે.

(A) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વસ્તુઓ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે: $I_{\text{ring}} = mR^2$,$I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2}mR^2$,અને $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5}mR^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની સરખામણી કરતા: $I_{\text{ring}} > I_{\text{cylinder}} > I_{\text{sphere}}$.
જેમ કે $a$ એ $(1 + \frac{I}{mR^2})$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી પ્રવેગનો ક્રમ: $a_{\text{ring}} < a_{\text{cylinder}} < a_{\text{sphere}}$ થશે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,અંતિમ વેગ $v = \sqrt{2as}$ એ પ્રવેગના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સપાટીના તળિયે અંતિમ વેગનો ક્રમ: $v_{\text{ring}} < v_{\text{cylinder}} < v_{\text{sphere}}$ થશે.
આમ,ગોળાનો વેગ સૌથી વધુ અને રીંગનો વેગ સૌથી ઓછો હોય છે.

(D) ધારો કે $M = 12 \, kg$ એ પૈડાનું દળ છે અને $m = 3 \, kg$ એ લટકતું દળ છે. જ્યારે પૈડું શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ જેટલું નીચે જાય છે,ત્યારે દળ $m$ શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ જેટલું ઉપર જાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પૈડાની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = દળ $m$ ની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો + તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં વધારો.
$Mgh = mgh + \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$
પૈડું તકતી છે તેમ ધારતા,$I = \frac{1}{2} Mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$.
$(M - m)gh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} Mr^2) (\frac{v}{r})^2 + \frac{1}{2} mv^2$
$(12 - 3)gh = \frac{1}{2} (12)v^2 + \frac{1}{4} (12)v^2 + \frac{1}{2} (3)v^2$
$9gh = 6v^2 + 3v^2 + 1.5v^2 = 10.5v^2$
$v^2 = \frac{9gh}{10.5} = \frac{90gh}{105} = \frac{6}{7} gh$
$v = \sqrt{\frac{6}{7} gh} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{24}{7} gh}$.
$\frac{1}{2} \sqrt{xgh}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{24}{7} \approx 3.43$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે.

(D) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો વેગ $V$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \sqrt{\frac{2gH}{1 + k^2/R^2}}$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k^2/R^2 = 1/2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $k^2/R^2 = 2/5$.
વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + k_{\text{sphere}}^2/R^2}{1 + k_{\text{cylinder}}^2/R^2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત + ભ્રમણીય) માં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે. દોરી સરક્યા વિના ઉકેલાતી હોવાથી,$v = R\omega$ શરતનું પાલન થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2$
અહીં $g = 10\,ms^{-2}$ અને $v = 4\,ms^{-1}$ આપેલ છે:
$10h = \frac{3}{4}(4)^2$
$10h = \frac{3}{4} \times 16$
$10h = 12$
$h = 1.2\,m = 120\,cm$.

(B) $P_{1}$ પર,રીંગ નીચે તરફ ગતિ કરી રહી છે અને તેની કોણીય વેગ $\omega$ ગબડવાની શરત $(v_{CM} = R\omega)$ સંતોષવા માટે વધી રહ્યો છે. ઘર્ષણ બળ $f$ ઉપરની તરફ ( $v_{CM}$ ની વિરુદ્ધ) લાગે છે જેથી $\omega$ વધારવા માટે જરૂરી ટોર્ક મળે.
$P_{2}$ પર,વેગ $v_{CM}$ સમક્ષિતિજ છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી છે. ત્યાં કોઈ સ્પર્શક પ્રવેગ નથી,તેથી ઘર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
$P_{3}$ પર,રીંગ ઉપર તરફ ગતિ કરી રહી છે અને તેની કોણીય વેગ $\omega$ ગબડવાની શરત સંતોષવા માટે ઘટી રહ્યો છે. ઘર્ષણ બળ $f$ ઉપરની તરફ ($v_{CM}$ ની દિશામાં) લાગે છે જેથી $\omega$ ઘટાડવા માટે જરૂરી ટોર્ક મળે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $P_{1}$ પર $v_{CM}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં અને $P_{3}$ પર $v_{CM}$ ની દિશામાં છે.

(B) રીંગ લપસ્યા વગર ગબડી રહી હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ અંતિમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા + ચાકગતિની ગતિઊર્જા
$\Rightarrow K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^{2}$ અને શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R \omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = v / R$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (m R^{2}) (v / R)^{2}$
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ ગતિઊર્જા શૂન્ય થાય છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$m v^{2} = m g h$
$h = \frac{v^{2}}{g}$

(B) નળાકાર $P$ માટે (સરક્યા વગર ગબડતો):
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને $v_p = r\omega$ હોવાથી:
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v_p}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{4}mv_p^2 = \frac{3}{4}mv_p^2$
$v_p = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
નળાકાર $Q$ માટે (ઘર્ષણ વગર સરકતો):
ઘર્ષણ ન હોવાથી,નળાકાર ફરતો નથી. બધી સ્થિતિ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv_q^2$
$v_q = \sqrt{2gh}$
ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_q}{v_p} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\frac{4gh}{3}}} = \sqrt{2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(A) ધારો કે ગોળાની પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઝડપ $v$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,સમક્ષિતિજ સપાટી પર તેની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે અને સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v = R \omega$ છે,તેથી $\omega = v/R$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગોળો નીચે પાછો ગબડતા પહેલા ક્ષણિક સ્થિર થાય છે. યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $h$ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{7}{10} m v^2 = m g h$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{10}{7} g h$
$v = \sqrt{\frac{10 g h}{7}}$

(D) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે ગોળાના ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$N - Mg \cos \theta = 0 \quad \dots(i)$
$Mg \sin \theta - f = Ma_{CM} \quad \dots(ii)$
$\tau = f \times R = I \alpha = I \frac{a_{CM}}{R} \quad \dots(iii)$
કારણ કે $I = \frac{2}{5} MR^2$,સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા $f = \frac{2}{5} Ma_{CM}$ મળે છે.
$f$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$Mg \sin \theta - \frac{2}{5} Ma_{CM} = Ma_{CM} \implies Mg \sin \theta = \frac{7}{5} Ma_{CM} \implies a_{CM} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
હવે,$a_{CM}$ ની કિંમત $f$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = \frac{2}{5} M \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$.
સરક્યા વિના શુદ્ધ ગબડવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણ $f \leq \mu_s N$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$f = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$ અને $N = Mg \cos \theta$ મૂકતા:
$\frac{2}{7} Mg \sin \theta \leq \mu_s Mg \cos \theta$
$\tan \theta \leq \frac{7}{2} \mu_s$
$\theta \leq \tan^{-1} \left( \frac{7}{2} \mu_s \right)$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2s(1 + \beta)}{g \sin \theta}}$ છે,જ્યાં $\beta = \frac{I}{MR^2}$. પાતળા ગોલીય કવચ માટે,$I = \frac{2}{3}MR^2$,તેથી $\beta = 2/3$. જોકે,$t$ જાડાઈ ધરાવતા કવચ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}M \frac{R_o^5 - R_i^5}{R_o^3 - R_i^3}$ થાય. $R_o = 20 \,cm$ અને $t \ll R_o$ હોવાથી,$I \approx \frac{2}{3}MR^2(1 + \frac{t}{R})$. આમ,$\beta \approx \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$. સમય $t \propto \sqrt{1 + \beta}$. સમયનો તફાવત $1 \%$ હોવાથી,$\frac{\Delta t}{t} = \frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{1 + \beta} \approx 0.01$. $\beta \approx 2/3$ લેતા,$1 + \beta \approx 5/3$. તેથી $\frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{5/3} = 0.01 \implies \Delta \beta = 0.033$. $\beta = \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$ હોવાથી,$\Delta \beta = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{R}$. કિંમતો મૂકતા: $0.033 = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{20} \implies \Delta t = 0.033 \times 30 = 0.99 \,cm$. કુલ જાડાઈ $0.5 + 0.99 = 1.49 \,cm$ થાય,જે $1.5 \,cm$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડતી વસ્તુ માટે,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે કુલ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$mgh = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
અંતિમ વેગ $v$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,અને તે તકતીના દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને તકતીઓ જમીન પર પહોંચતી વખતે સમાન રેખીય વેગ ધરાવશે.
તેથી,તેમના રેખીય વેગનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ દરમિયાન કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_{trans})$ અને ચાકગતિ ઊર્જા $(K_{rot})$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$v = R\omega$ હોવાથી,$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{I}{mR^2})$.
ચાકગતિ ઊર્જા અને કુલ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\text{Ratio} = \frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{I}{mR^2 + I} = \frac{1}{1 + \frac{mR^2}{I}}$.
તકતી માટે $(I = \frac{1}{2}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.
ઘન ગોળા માટે $(I = \frac{2}{5}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 2.5} = \frac{2}{7} \approx 0.28$.
રિંગ માટે $(I = mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$.
પોલા ગોળા માટે $(I = \frac{2}{3}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 1.5} = \frac{2}{5} = 0.4$.
આમ,રિંગ માટે ચાકગતિ ઊર્જાનો હિસ્સો સૌથી વધુ છે. તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી કુલ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$PE = Mgh$
$KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતોને ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$
સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાને સરખાવતા:
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3} \implies v = 2 \sqrt{\frac{gh}{3}}$
કારણ કે $\omega = \frac{v}{R}$,તેથી કોણીય વેગ:
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $I = kMR^2$ જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતા પદાર્થ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વખતે લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{MR^2}{I}} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{1}{k}}$
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $k = \frac{1}{2}$. આમ,$f_{cylinder} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + 2} = \frac{1}{3}Mg \sin\theta$.
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $k = \frac{2}{5}$. આમ,$f_{sphere} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{5}{2}} = \frac{Mg \sin\theta}{3.5} = \frac{2}{7}Mg \sin\theta$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{3} \approx 0.333$ અને $\frac{2}{7} \approx 0.285$.
$\frac{1}{3} > \frac{2}{7}$ હોવાથી,નળાકાર માટે ઘર્ષણ બળ વધારે છે.

(D) જ્યારે ગોળાને ઢાળ પર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પાસે સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ બંને હોય છે. ઢાળ પર શુદ્ધ રોલિંગ માટે,ઘર્ષણે લપસવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરવો પડે છે. જેમ જેમ ગોળો ઉપર જાય છે,તેમ ઘર્ષણ ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે જેથી રોલિંગની સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક મળી રહે.
જ્યારે ગોળો તેના સર્વોચ્ચ બિંદુએ પહોંચે છે અને નીચે આવવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેના સ્થાનાંતરિત વેગની દિશા ઉલટાઈ જાય છે. ઢાળ પર નીચે આવતી વખતે શુદ્ધ રોલિંગ જાળવી રાખવા માટે,ઘર્ષણ ફરીથી ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે જેથી ગોળાની ઢાળ પર નીચે લપસવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરી શકાય.
તેથી,ઉપરની અને નીચેની બંને ગતિ દરમિયાન રોલિંગ ઘર્ષણની દિશા ઉપરની તરફ હોય છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
ઢળતા સમતલ પર $L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $L = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2L}{a_{cm}}}$.
$a_{cm}$ ની કિંમત મૂકતા:
$t = \sqrt{\frac{2L}{\frac{5}{7} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{14L}{5g \sin \theta}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે સમય $t$ માત્ર ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L$,ઢાળનો ખૂણો $\theta$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે. તે ગોળાના દળ $M$,ત્રિજ્યા $R$ અને ઘનતા $\rho$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,સમય આ તમામ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.

(C) કિસ્સો $(i)$: લીસી ઢાળ પર લપસવું.
આ કિસ્સામાં,રીંગ શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે છે. પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,આપણને $s = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_1^2$ મળે છે,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$.
કિસ્સો $(ii)$: ખરબચડા ઢાળ પર ગબડવું.
આ કિસ્સામાં,રીંગ ગબડવાની ગતિ કરે છે. પ્રવેગ $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ છે.
પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે. આ કિંમત મૂકતા,$a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ મળે છે.
સમાન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = \frac{1}{2} a_2 t_2^2$,તેથી $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{a_2}} = \sqrt{\frac{4s}{g \sin \theta}}$.
સમયનો ગુણોત્તર:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}}{\sqrt{\frac{4s}{g \sin \theta}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પદાર્થ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતી ગતિ માટે પ્રવેગ $a = \frac{mg \sin \theta}{m + \frac{I}{r^2}}$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mr^2}{I}}$ મળે છે.
નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
આ કિંમત ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mr^2}{(2/5)mr^2}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{2}{7} mg \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f \le \mu N$ અને $N = mg \cos \theta$,તેથી $\mu \ge \frac{f}{N} = \frac{(2/7) mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \frac{2}{7} \tan \theta$.
આમ,ઘર્ષણાંકનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\mu_{min} = \frac{2}{7} \tan \theta$ છે.

(B) લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$.
ઢળતા સમતલ પર ગબડતી રીંગ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે $I = mr^2$ અને $\omega = \frac{v'}{r}$ હોવાથી:
$mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(\frac{v'^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}mv'^2 = mv'^2$.
$mgh$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mv'^2 = \frac{1}{2}mv^2 \implies v'^2 = \frac{v^2}{2} \implies v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ ઢળતા સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
$1$. ગોળો નીચે તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ઘર્ષણ $f$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જે સ્થાનાંતરિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
$2$. ગોળાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઘર્ષણ $f$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = f \times R$ છે. આ ટોર્ક ગબડવાની દિશામાં કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ઉત્પન્ન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે ઘર્ષણ પરિભ્રમણ ગતિને ટેકો આપે છે.
$3$. સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ $mg \sin \theta - f = ma$ છે અને પરિભ્રમણ માટે $fR = I\alpha$ છે. પોલા ગોળા માટે,$I = \frac{2}{3}mR^2$. આને ઉકેલતા,આપણને $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mR^2}{I}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{2}{5} mg \sin \theta$ મળે છે.
$4$. કારણ કે $f = \frac{2}{5} mg \sin \theta$,તે સ્પષ્ટ છે કે $f \propto \sin \theta$. તેથી,જો $\theta$ ઘટે,તો $\sin \theta$ ઘટે છે,અને પરિણામે,ઘર્ષણ બળ $f$ ઘટે છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પરથી ગબડતા નળાકાર માટે,યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{3}{4}mv^2$. આમ,$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$. $h$ સમાન હોવાથી,અંતિમ ઝડપ $v$ બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.
ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$ છે. ઢાળ $\theta$ અલગ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ અલગ હશે. નીચે ઉતરવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s = \frac{h}{\sin \theta}$. $a$ ની કિંમત મૂકતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{I}{mr^2})}$. $\theta$ અલગ હોવાથી,નીચે ઉતરવાનો સમય $t$ અલગ હશે. તેથી,ઝડપ સમાન છે,પરંતુ નીચે ઉતરવાનો સમય અલગ-અલગ છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = K_{trans} + K_{rot}$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} mv^2$.
આમ,$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
અહીં $m = 3 \, kg$,$h = 5 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$3 \times 10 \times 5 = \frac{3}{4} mv^2$
$150 = \frac{3}{4} mv^2$
$mv^2 = 200$
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} (200) = 100 \, J$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2 / R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
$(i)$ નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5} MR^2 = MK^2$,તેથી $K^2 = \frac{2}{5} R^2$. પ્રવેગ $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$ થાય.
$(ii)$ ડિસ્ક માટે,$I = \frac{1}{2} MR^2 = MK^2$,તેથી $K^2 = \frac{1}{2} R^2$. પ્રવેગ $a_d = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ થાય.
$(iii)$ કારણ કે $a_s > a_d$,નક્કર ગોળો વહેલો નીચે પહોંચે છે. પ્રવેગમાં આ તફાવત બંને પદાર્થોની જુદી જુદી ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ ને કારણે છે.

(C) ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
સમાન ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે. $I = MK^2$ હોવાથી,આપણને $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
પ્રવેગ $a$ એ દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ બંનેથી સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને ગોળાઓનો પ્રવેગ સમાન રહેશે. તેઓ સમાન ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરતા હોવાથી,તેઓ એકસાથે નીચે પહોંચશે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ છે.
અહીં,$h$ એ ઢળતા સમતલની શિરોલંબ ઊંચાઈ છે,$h = L \sin \theta = 60 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,m$.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{R^2}{2}$ થાય,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 0.3}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{6}{1.5}} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$.

(A) સૌથી ઊંચા બિંદુએ,અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0$ થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
પોલા ગોળાકાર દડા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે. શુદ્ધ ગબડતી ગતિના કિસ્સામાં,$v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3} mR^2) \times (\frac{v}{R})^2$
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$KE_i = PE_f$
$\frac{5}{6} mv^2 = mgh$
$h = \frac{5v^2}{6g}$
અહીં $v = 3\, m/s$ અને $g = 10\, m/s^2$ લેતા:
$h = \frac{5 \times (3)^2}{6 \times 10} = \frac{5 \times 9}{60} = \frac{45}{60} = 0.75\, m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $0.75\, m = 75\, cm$.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે કારણ કે સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(PE = mgh)$ ઢળતા સમતલના તળિયે કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તળિયે તેમની કુલ ગતિઊર્જા સમાન હશે.
તેથી,$KE_{\text{ring}} = KE_{\text{sphere}}$.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_{\text{ring}}}{KE_{\text{sphere}}} = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{7}{x}$ છે,તેથી $\frac{7}{x} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = 7$.

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુ માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$
નળાકાર માટે,તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે:
$a = \frac{2}{3} \times 10 \times \sin(60^{\circ}) = \frac{20}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s^2$
આપેલ પદ $\frac{x}{\sqrt{3}} \ m/s^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 10$ મળે છે.

(C) તકતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,તેથી તે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t = \frac{1}{2} Mv^2)$ અને ચાકગતિઊર્જા $(K_r = \frac{1}{2} I\omega^2)$ બંને ધરાવે છે.
જ્યારે તકતી લીસી ઢળતી સપાટી પર ઉપર ચઢે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક શૂન્ય રહે છે અને ચાકગતિઊર્જા સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
જ્યારે તકતી ઢાળ પર ઉપર ચઢે છે ત્યારે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
સ્થાનાંતરિત ભાગ માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2} Mv^2 = Mgh$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{v^2}{2g}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$mgh = K.E._{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યારે પદાર્થ લપસ્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે $\omega = \frac{v}{R}$ અને $I = Mk^2$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$
આમ,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
નક્કર ગોળા માટે,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$,તેથી $h_1 \propto (1 + \frac{2}{5}) = \frac{7}{5}$.
પોલા નળાકાર માટે,$\frac{k^2}{R^2} = 1$,તેથી $h_2 \propto (1 + 1) = 2$.
તેથી,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{7/5}{2} = \frac{7}{10}$.
આપેલ છે કે $\frac{h_1}{h_2} = \frac{n}{10}$,તેથી $n = 7$.

(A) ઘર્ષણ વગર સમતલ પર સરકતી વખતે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે. $l$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}}$ છે.
સમતલ પર ગબડતી વખતે,પ્રવેગ $a' = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ છે. વર્તુળાકાર ડિસ્ક માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$a' = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
ગબડવા માટે લાગતો સમય $t' = \sqrt{\frac{2l}{a'}} = \sqrt{\frac{2l}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} t$.
આને $t' = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} t$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3$.

(D) જ્યારે કોઈ વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોય,ત્યારે તેની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2})$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $K_i = mgh$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = mgh$.
આપેલ છે કે $h = \frac{3v^2}{4g}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2}v^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = g(\frac{3v^2}{4g})$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{3}{4}$
$1 + \frac{k^2}{r^2} = \frac{3}{2}$
$\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
તકતી (disc) માટે ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ નો વર્ગ $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ હોવાથી,તે વસ્તુ તકતી છે.

(D) ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,$I = mR^2$,તેથી $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
અહીં $a_{solid} > a_{hollow}$ હોવાથી,નક્કર નળાકાર પહેલા તળિયે પહોંચશે. આમ,$STATEMENT-1$ ખોટું છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $(mgh)$ એ કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total} = K_{trans} + K_{rot})$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. બંનેનું દળ અને ઊંચાઈ સમાન હોવાથી,તળિયે તેમની કુલ ગતિ ઉર્જા સમાન હોય છે. આમ,$STATEMENT-2$ સાચું છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે, $k^2 = R^2$, તેથી $a_R = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
ડિસ્ક માટે, $k^2 = \frac{R^2}{2}$, તેથી $a_D = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
ઢાળ પર કાપેલું અંતર $d = \frac{h}{\sin \theta}$ છે.
$d = \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}}$.
રીંગ માટે: $t_R = \sqrt{\frac{2h}{(g \sin \theta / 2) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g \sin^2 \theta}}$.
ડિસ્ક માટે: $t_D = \sqrt{\frac{2h}{(2g \sin \theta / 3) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g \sin^2 \theta}}$.
આપેલ છે $\theta = 60^{\circ}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
$t_R = \sqrt{\frac{4h}{g(3/4)}} = \sqrt{\frac{16h}{3g}}$ અને $t_D = \sqrt{\frac{3h}{g(3/4)}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.
આપેલ છે $t_R - t_D = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$, તેથી $\sqrt{\frac{h}{g}} \left( \frac{4}{\sqrt{3}} - 2 \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{\frac{h}{10}} \left( \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{h} \left( \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right) = 2-\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{4} = 0.75 \,m$.

(B) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,$k^2 = R^2$,તેથી $a_R = \frac{g \sin \theta}{1+1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
ડિસ્ક માટે,$k^2 = R^2/2$,તેથી $a_D = \frac{g \sin \theta}{1+0.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
ઢાળ પર કાપવાનું અંતર $d = \frac{h}{\sin \theta}$ છે.
$d = \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}}$ મળે છે.
રીંગ માટે: $t_R = \sqrt{\frac{2h}{(g \sin \theta / 2) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g \sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g (3/4)}} = \sqrt{\frac{16h}{3g}}$.
ડિસ્ક માટે: $t_D = \sqrt{\frac{2h}{(2g \sin \theta / 3) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g \sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g (3/4)}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.
આપેલ છે કે $t_R - t_D = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$,તેથી $\sqrt{\frac{h}{g}} \left( \sqrt{\frac{16}{3}} - 2 \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{\frac{h}{10}} \left( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{h} \left( \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right) = 2-\sqrt{3}$.
$\sqrt{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies h = \frac{3}{4} = 0.75 \ m$.

(D) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_c$ છે અને ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
સ્થાનાંતર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $F - f = ma_c$ $(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
સરક્યા વિના ગબડવા માટે: $a_c = \alpha R$,તેથી $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ માં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ ખોટું: $a_c$ એ $I_c$ પર આધાર રાખે છે,જે નક્કર $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ અને પોલા $(I_c = mR^2)$ નળાકાર માટે અલગ હોય છે.
$(D)$ સાચું: પાતળી દીવાલવાળા પોલા નળાકાર માટે,$I_c = mR^2$. તેથી,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ ખોટું: ઘર્ષણ બળ $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,જે હંમેશા $\mu mg$ હોવું જરૂરી નથી.
$(B)$ સાચું: સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$f \leq \mu mg$. કારણ કે $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,તેથી $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. નક્કર નળાકાર માટે,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.

(D) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ તેના દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે. નળાકાર $P$ નું દળ તેની સપાટીની નજીક હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે છે $(I_P > I_Q)$.
ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_P > I_Q$ હોવાથી,$a_P < a_Q$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નળાકાર $Q$ ઝડપથી પ્રવેગિત થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,નીચે પહોંચવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે. $a_P < a_Q$ હોવાથી,$t_P > t_Q$ મળે છે,એટલે કે $Q$ પહેલા જમીન પર પહોંચે છે.
અંતિમ વેગ $v$ એ $v^2 = 2as$ દ્વારા મળે છે. $a_Q > a_P$ હોવાથી,$v_Q > v_P$ થાય. સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $Q$ ની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા વધારે હોય છે.
અંતે,$v = \omega R$ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{v}{R}$ થાય. $v_Q > v_P$ હોવાથી,$\omega_Q > \omega_P$ થાય છે. આમ,નળાકાર $Q$ વધુ કોણીય ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચે છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્કની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાઓનો સરવાળો,વત્તા તેની સ્થિતિ ઉર્જા છે.
કુલ ઉર્જા $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
એકસમાન ડિસ્ક માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આમ,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
બિંદુઓ $A$ અને $B$,તથા $C$ અને $D$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
માર્ગ $AB$ માટે: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_1 = 30 \ m$.
માર્ગ $CD$ માટે: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.

(D) આપેલ છે: દળ $M = 1 kg$,ત્રિજ્યા $R = 1 m$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 m s^{-2}$.
સમતલ પર નીચે તરફ વજનનો ઘટક: $Mg \sin \theta = 1 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 5 N$.
ધારો કે $f$ એ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ છે. બે $1 N$ ના બાહ્ય બળો વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ: $Mg \sin \theta - f = Ma \Rightarrow 5 - f = a \Rightarrow f = 5 - a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની આસપાસ ભ્રમણ માટેનું સમીકરણ: $\tau_{net} = I \alpha$.
ઘર્ષણ બળ $f$ ને કારણે ટોર્ક $fR$ છે અને બે $1 N$ ના બળોને કારણે ટોર્ક $2 \times (1 N \times 0.5 m) = 1 N m$ છે.
તેથી,$fR - 1 = I \alpha$,જ્યાં $I = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 kg m^2$ અને $\alpha = \frac{a}{R} = a$.
$f(1) - 1 = 0.4 a \Rightarrow f = 1 + 0.4 a$.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $5 - a = 1 + 0.4 a$.
$4 = 1.4 a \Rightarrow a = \frac{40}{14} = \frac{20}{7} \approx 2.86 m s^{-2}$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય $(WET)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W_g = K_f - K_i$
ગોળો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$. ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = mgL \sin \theta$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{r}$.
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
થયેલ કાર્યને ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$mgL \sin \theta = \frac{7}{10} mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7} gL \sin \theta$
આ દર્શાવે છે કે $v^2 \propto \sin \theta$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$v_1^2 : v_2^2$ નો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) ઢાળવાળા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$.
સમાન નક્કર નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mr^2$ છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 mr^2}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ}$ ની કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a = \frac{2}{3} g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} g}{3}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર $\ell$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2\ell}{a_{cm}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5g \sin \theta}{7}$.
પોલા ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$,તેથી $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3g \sin \theta}{5}$.
પ્રવેગની સરખામણી કરતા,$a_1 = \frac{5}{7}g \sin \theta \approx 0.714 g \sin \theta$ અને $a_2 = \frac{3}{5}g \sin \theta = 0.6 g \sin \theta$. આમ,$a_1 > a_2$.
કારણ કે $t \propto \frac{1}{\sqrt{a_{cm}}}$,તેથી વધુ પ્રવેગ એટલે ઓછો સમય. તેથી,$t_1 < t_2$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે પહોંચતા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$,તેથી $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
રીંગ માટે,$I = MR^2$,તેથી $k^2 = R^2$ અને $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ અને $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\text{ring}}}{v_{\text{sphere}}} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{10gh/7}} = \sqrt{\frac{7}{10}}$ છે.
$\sqrt{\frac{x}{5}}$ સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,$\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{\frac{3.5}{5}}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$x = 4$ મળે છે.

(A) ઢાળ પર સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થ માટે,તળિયે રેખીય વેગ $v$ નું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આપેલ કિંમતો $g = 10 \ \text{m/s}^2$ અને $h = 14 \ \text{m}$ મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 14}{1 + \frac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{280}{\frac{7}{5}}} = \sqrt{\frac{280 \times 5}{7}}$.
$v = \sqrt{40 \times 5} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ \text{m/s}$.