Rolling On Inclined Plane Questions in Gujarati

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = v/R$,તેથી $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I (v/R)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2}$
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = M g h = M g \left( \frac{3 v^2}{4 g} \right) = \frac{3}{4} M v^2$
$K_i = U_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2$
$\frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2 - \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{4} M v^2$
$I \frac{1}{R^2} = \frac{1}{2} M \implies I = \frac{1}{2} M R^2$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ એ તકતી (Disc) માટે હોય છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ગતિઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
કુલ ગતિઉર્જા $K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ઘનગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને શુદ્ધ રોલિંગ માટે,$\omega = v/R$.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
આને ઊંચાઈ $h$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE = mgh)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{10gh}{7}$ મળે છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
ગોળાએ ઓછામાં ઓછી $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવું જરૂરી હોવાથી,લઘુત્તમ વેગ $v \ge \sqrt{\frac{10gh}{7}}$ હોવો જોઈએ.

(B) ટ્રેકની ટોચ $(A)$ અને સમક્ષિતિજ ભાગ $(BC)$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mgh_A = mgh_B + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$I = \frac{2}{5}mR_s^2$ અને $\omega = \frac{v}{R_s}$,જ્યાં $R_s$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
$mg(h_A - h_B) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR_s^2)(\frac{v^2}{R_s^2})$
$mg(2.4 - 1.0) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mg(1.4) = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{1.4 \times 10 \times g}{7} = 2g = 20 \ m^2/s^2 \implies v = \sqrt{20} \ m/s$.
હવે,બિંદુ $C$ થી જમીન સુધીની પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે:
ઊંચાઈ $h = 1.0 \ m$. જમીન પર પડવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.0}{10}} = \sqrt{0.2} \ s$.
સમક્ષિતિજ અંતર $R = v \times t = \sqrt{20} \times \sqrt{0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m$.

(B) ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$
અહીં,$I$ એ કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે ટોર્કનું સમીકરણ $\tau = I \alpha$ અને બળનું સમીકરણ $F = Ma$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને પ્રવેગના છેદમાં $\frac{I}{M R^2}$ પદ મળે છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડ્યા વિના સરકતા ઘન ગોળાનો પ્રવેગ:
${a_{slipping}} = g \sin \theta \,\,\,\,\,\,\,(i)$
ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા ઘન ગોળાનો પ્રવેગ:
${a_{rolling}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}}$
(ઘન ગોળા માટે,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$)
$= \frac{5}{7} g \sin \theta \,\,\,\,\,(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{a_{rolling}}{a_{slipping}} = \frac{5}{7}$

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $l$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \sqrt{\frac{2l(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin \theta}}$
જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $l$,$\theta$ અને $g$ બંને માટે સમાન હોવાથી,સમય $(1 + \frac{k^2}{R^2})$ અવયવ પર આધાર રાખે છે.
ડિસ્ક માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,જે $(1 + \frac{k^2}{R^2}) = 1 + 0.5 = 1.5$ આપે છે.
ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $k^2 = \frac{2}{5}R^2$,જે $(1 + \frac{k^2}{R^2}) = 1 + 0.4 = 1.4$ આપે છે.
$1.4 < 1.5$ હોવાથી,ગોળા દ્વારા લેવાયેલ સમય ડિસ્ક દ્વારા લેવાયેલ સમય કરતા ઓછો છે $(t_s < t_d)$.
તેથી,ગોળો પહેલા તળિયે પહોંચશે.

(A) ટોચ પર કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા છે,$PE = mgh$.
તળિયે,આ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
તેથી,$v^2 = \frac{10gh}{7}$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}mv^2$ છે.
$v^2 = \frac{10gh}{7}$ મૂકતા,$K_r = \frac{1}{5}m(\frac{10gh}{7}) = \frac{2}{7}mgh$.
અહીં $m = 3 \; kg$,$g = 10 \; m/s^2$,અને $h = 7 \; m$ આપેલ છે:
$K_r = \frac{2}{7} \times 3 \times 10 \times 7 = 60 \; J$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતી સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.4} = \frac{g \sin \theta}{1.4} \approx 0.71g \sin \theta$.
પોલા ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}MR^2$ છે,તેથી $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.67} = \frac{g \sin \theta}{1.67} \approx 0.60g \sin \theta$.
નક્કર ગોળાનો પ્રવેગ વધારે હોવાથી,તે પોલા ગોળા કરતા ઢળતી સપાટીના તળિયે વહેલો પહોંચશે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,કુલ ગતિ ઉર્જા $E_{total}$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $E_t$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $E_r$ નો સરવાળો છે.
$E_t = \frac{1}{2}mv^2$
$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$
$E_{total} = E_t + E_r = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$
કુલ ઉર્જાનો ચાકગતિ ઉર્જાનો ભાગ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})}{\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})}$
$= \frac{K^2/R^2}{(R^2 + K^2)/R^2} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$

(B) નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળો લપસ્યા વિના ગબડતો હોવાથી,તેનો રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ થાય.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કિસ્સો $(i)$: જ્યારે પોલો નળાકાર પરિભ્રમણ વગર સરકે છે,ત્યારે તેની પાસે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા હોય છે.
$K_T = \frac{1}{2}mv^2$
કિસ્સો (ii): જ્યારે તે સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે તેની પાસે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ બંને પ્રકારની ગતિઊર્જા હોય છે.
કુલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે.
પાતળા પોલા નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k = R$ હોવાથી,$\frac{k^2}{R^2} = 1$ થાય.
તેથી,$K_R = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$.
ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_T}{K_R} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,આપણને $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}g \sin \theta$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,તળિયે વેગ $v$ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર નીચે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{K^2}{R^2} \right)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,ગાયરેશન ત્રિજ્યાનો ગુણાંક $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ છે.
પોલા ગોળીય કવચ માટે,ગાયરેશન ત્રિજ્યાનો ગુણાંક $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$ છે.
સમય $t$ એ $\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થ માટે $\frac{K^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય ઓછું હશે તે તળિયે પહોંચવા માટે ઓછો સમય લેશે.
અહીં $\left( \frac{K^2}{R^2} \right)_{\text{solid}} < \left( \frac{K^2}{R^2} \right)_{\text{hollow}}$ હોવાથી,નક્કર ગોળો તળિયે પહેલા પહોંચશે.

(D) ઢળતી સપાટી પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
અહીં $\theta = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^\circ = 1/2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^\circ}{1 + 2/5} = \frac{g(1/2)}{7/5} = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.
આમ,રેખીય પ્રવેગ $5g/14$ થશે.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
પદાર્થ નક્કર ગોળો હોવાથી,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ થાય છે.
લપસ્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ લેતા.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{10}{7}gh$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.

(D) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વગર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,તળિયે રેખીય વેગ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ અને ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $K^2 = \frac{R^2}{2}$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{40}{1.5}} = \sqrt{26.66} \approx 5.16 \ m/s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$. આપેલ વ્યાસ $= 30 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.15 \ m$.
$\omega = \frac{5.16}{0.15} \approx 34.4 \ rad/s$. નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $34 \ rad/s$ છે.

(B) તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h(1 + K^2/R^2)}{g \sin^2 \theta}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$g$ અને $\theta$ અચળ હોવાથી,$t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$ થાય.
$K^2/R^2$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
નક્કર ગોળા માટે: $K^2/R^2 = 0.4$
તકતી માટે: $K^2/R^2 = 0.5$
વલય માટે: $K^2/R^2 = 1.0$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $(K^2/R^2)_{\text{sphere}} < (K^2/R^2)_{\text{disc}} < (K^2/R^2)_{\text{ring}}$.
તેથી,લાગતા સમયનો ક્રમ $t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{ring}}$ થશે.
આમ,ગોળો સૌથી પહેલા,ત્યારબાદ તકતી અને અંતે વલય તળિયે પહોંચશે.

(C) જ્યારે $m$ દળની વસ્તુ ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર સરકે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,જે $v = \sqrt{2gh}$ આપે છે.
જ્યારે વસ્તુ રીંગ સ્વરૂપે ઢળતી સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ અને $\omega = \frac{v_{ring}}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v_{ring}}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}mv_{ring}^2 = mv_{ring}^2$.
આમ,$v_{ring} = \sqrt{gh}$.
કારણ કે $v = \sqrt{2gh}$,આપણે લખી શકીએ કે $\sqrt{gh} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
તેથી,રીંગનો વેગ $\frac{v}{\sqrt{2}}$ થશે.

(A) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુ માટે નીચે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ વસ્તુની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ છે.
તકતી માટે,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ છે.
નક્કર ગોળા માટે $\frac{K^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોવાથી,તેને નીચે પહોંચવા માટે લાગતો સમય પણ ન્યૂનતમ હશે.
તેથી,નક્કર ગોળો સૌથી પહેલાં જમીન પર પહોંચશે.

(D) આપેલ છે કે રેખીય ગતિ ઉર્જા $(K_T)$ એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K_R)$ જેટલી છે.
$K_T = K_R$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}I\omega^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = mk^2$ અને $v = R\omega$,તેથી $\omega = v/R$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(mk^2)(v/R)^2$
$1 = \frac{k^2}{R^2}$
આ સૂચવે છે કે ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k = R$ છે.
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે,તેથી $mk^2 = mR^2$,જે દર્શાવે છે કે $k = R$.
તેથી,તે પદાર્થ પોલો નળાકાર છે.

(A) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુ દ્વારા લેવાયેલ સમયનું સૂત્ર $t = \sqrt{\frac{2L(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin \theta}}$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,જે $\frac{k^2}{R^2} = 0.5$ આપે છે.
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = MR^2$ છે,તેથી $k^2 = R^2$,જે $\frac{k^2}{R^2} = 1$ આપે છે.
પોલા નળાકાર માટે $\frac{k^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય મોટું હોવાથી,તેનો સમય $t$ પણ વધુ હશે.
તેથી,પોલા નળાકારને તળિયે પહોંચવામાં વધુ સમય લાગશે.

(A) ઢાળવાળા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,રેખીય પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ અને ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $K^2 = \frac{R^2}{2}$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ થાય.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^\circ = 1/2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^\circ}{1 + 1/2} = \frac{g(1/2)}{3/2} = \frac{g}{3}$.

(B) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,ગોળાની કોણીય ગતિમાં ફેરફાર કરવા માટે કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી. તેથી,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેની ચાકગતિ ઉર્જા અચળ રહે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પર કુલ અંતિમ ઉર્જા
$\frac{1}{2}I{\omega ^2} + \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}I{\omega ^2} + mgh$
ગોળાએ ઓછામાં ઓછી $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવું જરૂરી હોવાથી,પ્રારંભિક સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારાને પહોંચી વળવા માટે પૂરતી હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2}m{v^2} \ge mgh$
$v^2 \ge 2gh$
$v \ge \sqrt {2gh}$

(B) જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર ઉપર તરફ ગબડે છે,ત્યારે તેનો રેખીય વેગ $v$ ઢાળની ઉપરની દિશામાં હોય છે અને તેનો કોણીય વેગ $\omega$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) હોય છે. તે ઉપર જાય છે તેમ તેનો રેખીય વેગ ઘટે છે,એટલે કે તે રેખીય મંદન અનુભવે છે. સરક્યા વગર ગબડવા માટે,તેને કોણીય મંદનની જરૂર પડે છે. ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જે જરૂરી કોણીય મંદન પૂરું પાડે છે.
જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ ગબડે છે,ત્યારે તેનો રેખીય વેગ $v$ ઢાળની નીચેની દિશામાં હોય છે અને તેનો કોણીય વેગ $\omega$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તે નીચે આવે છે તેમ તેનો રેખીય વેગ વધે છે,એટલે કે તે રેખીય પ્રવેગ અનુભવે છે. સરક્યા વગર ગબડવા માટે,તેને કોણીય પ્રવેગની જરૂર પડે છે. ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એવું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં કોણીય વેગ વધારવા માટે જરૂરી કોણીય પ્રવેગ આપે છે.

(C) નત સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઊંચાઈ અને ખૂણા માટે,નીચે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે,જ્યાં $s$ એ નત સમતલ પરનું અંતર છે.
આમ,$t \propto \sqrt{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
જે વસ્તુની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નો સહગુણક સૌથી ઓછો હશે,તેનો પ્રવેગ સૌથી વધુ હશે અને તે સૌથી પહેલા નીચે પહોંચશે.
વસ્તુઓ માટે $I$ ના સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગોળો: $I = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. તકતી: $I = \frac{1}{2}MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. પોલો ગોળો: $I = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67 MR^2$
$4$. વલય: $I = MR^2 = 1.0 MR^2$
સહગુણકોનો ક્રમ $0.4 < 0.5 < 0.67 < 1.0$ હોવાથી,નીચે પહોંચવાનો ક્રમ ગોળો,તકતી,પોલો ગોળો,વલય છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણે ગબડતી વસ્તુ માટે લાગતો સમય $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{K^2}{R^2} \right)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો વર્ગ $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ થાય.
ચકતી માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો વર્ગ $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ થાય.
ગોળા દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t_S)$ અને ચકતી દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t_D)$ નો ગુણોત્તર: $\frac{t_S}{t_D} = \sqrt{\frac{1 + (K^2/R^2)_S}{1 + (K^2/R^2)_D}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{t_S}{t_D} = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{14}:\sqrt{15}$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુ માટે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
સમાન ગોલીય કવચ માટે,તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}mr^2$ છે.
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = \frac{v}{r}$ થાય.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2$
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$
$gh = \frac{5}{6}v^2$
$v^2 = \frac{6gh}{5}$
$v = \sqrt{\frac{6gh}{5}}$

(D) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી નક્કર તકતી માટે,સપાટીની દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
રેખીય પ્રવેગ માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg \sin \theta - f = ma$ $(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ: $\tau = I \alpha = fR$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\alpha = a/R$. નક્કર તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $fR = (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{a}{R})$
$fR = \frac{1}{2} maR$
$f = \frac{1}{2} ma$

(C) જ્યારે નળાકાર ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગબડે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચે સરકવાનો પ્રયત્ન કરે છે,તેથી સ્થિત ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે જે ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડે છે અને સરકવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરે છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,નળાકાર ક્ષણવાર માટે અટકે છે. જેમ તે પાછો નીચે ગબડવાનું શરૂ કરે છે,ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ સમતલ પર નીચેની તરફ લાગે છે,અને નળાકાર નીચે સરકવાનો પ્રયત્ન કરે છે. શુદ્ધ ગબડતી ગતિ જાળવી રાખવા માટે,પરિભ્રમણ માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે સ્થિત ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગવું આવશ્યક છે.
તેથી,ઉપરની અને નીચેની બંને મુસાફરી દરમિયાન,ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.

(D) ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમાન દડા માટે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ અચળ હોવાથી,ગતિ દરમિયાન પ્રવેગ $a$ અચળ રહે છે. તેથી,વિધાન $(ii)$ ખોટું છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,આપણને $S = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$.
ધારો કે $S_P$ એ $PO$ અંતર છે અને $S_Q$ એ $QO$ અંતર છે. $S_P = \frac{h}{\sin \theta}$ અને $S_Q = \frac{2h}{\sin \theta}$ હોવાથી,$S_Q = 2S_P$ થાય.
તેથી,લાગતો સમય $t_Q = \sqrt{\frac{2(2S_P)}{a}} = \sqrt{2} t_P$. આમ,વિધાન $(i)$ ખોટું છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતના બિંદુએ સ્થિતિઊર્જાનું નીચે $O$ બિંદુએ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે. $K.E._P = mgh$ અને $K.E._Q = mg(2h) = 2mgh$. તેથી,$K.E._Q = 2 K.E._P$. આમ,વિધાન $(iii)$ સાચું છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યારે પદાર્થ લપસ્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે $\omega = v/R$ અને $I = mk^2$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v/R)^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + k^2/R^2)$
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgh}{1 + k^2/R^2}$.
રીંગ માટે,$k^2 = R^2 \implies K_{ring} = \frac{mgh}{1+1} = \frac{mgh}{2}$.
સિક્કા (તકતી) માટે,$k^2 = R^2/2 \implies K_{coin} = \frac{mgh}{1+1/2} = \frac{2mgh}{3}$.
નક્કર દડા (ગોળા) માટે,$k^2 = 2R^2/5 \implies K_{ball} = \frac{mgh}{1+2/5} = \frac{5mgh}{7}$.
ગુણોત્તર લેતા $K_{ring} : K_{coin} : K_{ball} = \frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{5}{7}$.
છેદના લ.સા.અ. $(42)$ વડે ગુણતા: $21 : 28 : 30$.

(D) જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર સરકતા ગબડતો હોય, ત્યારે ગતિજ ઘર્ષણ બળ પદાર્થની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિમાં ફેરફાર કરે છે.
જો પ્રારંભિક શરતો (જેમ કે પ્રારંભિક વેગ અથવા કોણીય વેગ) એવી હોય કે ઘર્ષણ બળ પદાર્થને શુદ્ધ ગબડવાની સ્થિતિ $(v = r\omega)$ માં લાવી શકે, તો તે થોડા સમય પછી શુદ્ધ ગબડવાની ગતિ શરૂ કરશે.
જો કે, જો ઢળતી સપાટી પૂરતી લાંબી ન હોય અથવા શરતો એવી હોય કે પદાર્થ શુદ્ધ ગબડવાની સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરે તે પહેલાં જ નીચે પહોંચી જાય, તો તે કદાચ ક્યારેય શુદ્ધ ગબડવાની ગતિ શરૂ ન કરે.
તેથી, પ્રારંભિક પરિમાણો અને ઢળતી સપાટીની લંબાઈના આધારે બંને શક્યતાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) $1$. ઘર્ષણ બળ $f$ ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $Mg \sin \theta$ નીચેની તરફ લાગે છે. આમ,ઘર્ષણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ ઘર્ષણ બળ $f$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = f \cdot R$. આ ટોર્ક ગબડવા માટે જરૂરી કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. શુદ્ધ ગબડવા માટે,$v = \omega R$ શરત સંતોષાવી જોઈએ. ઘર્ષણ વગર,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ઉત્પન્ન કરવા માટે કોઈ ટોર્ક હોતું નથી,તેથી પદાર્થો માત્ર સમતલ પર સરકશે. આમ,ગબડવા માટે ઘર્ષણ અનિવાર્ય છે.
$4$. વિધાન $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,$I = MR^2$,તેથી $a_{ring} = \frac{g \sin \theta}{2}$. ઘર્ષણ બળ $f_{ring} = Mg \sin \theta - Ma_{ring} = \frac{1}{2} Mg \sin \theta$.
નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2} MR^2$,તેથી $a_{cyl} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$. ઘર્ષણ બળ $f_{cyl} = Mg \sin \theta - Ma_{cyl} = \frac{1}{3} Mg \sin \theta$.
ઘર્ષણ બળોની સરખામણી કરતા,$f_{ring} = 0.5 Mg \sin \theta$ અને $f_{cyl} = 0.33 Mg \sin \theta$. આમ,$f_{ring} > f_{cyl}$.
વળી,શુદ્ધ ગબડવાની શરત $f \le \mu N = \mu Mg \cos \theta$ છે. કારણ કે $f_{ring} > f_{cyl}$,જો ઘર્ષણ રીંગ માટે પૂરતું હોય,તો તે નળાકાર માટે પણ પૂરતું જ હશે. તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સરક્યા વિના ઢળતા સમતલ પર ગબડે છે,ત્યારે તેની યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$v = R\omega$ હોવાથી,$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{I}{MR^2})$.
રીંગ માટે,$I = MR^2$,તેથી $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + 1) = Mv^2$,જે $v_{ring} = \sqrt{gh}$ આપે છે.
નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}Mv^2$,જે $v_{cylinder} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = 2\sqrt{\frac{gh}{3}}$ આપે છે.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થ માટે,તેના પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $Mg \sin \theta$ અને ઉપરની તરફ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $Mg \sin \theta - f = Ma$ (જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ: $\tau = I \alpha = fR$,જ્યાં $\alpha = a/R$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
રેખીય સમીકરણમાં $f = I \alpha / R = I a / R^2$ મૂકતા:
$Mg \sin \theta - \frac{I a}{R^2} = Ma$
$Mg \sin \theta = Ma + \frac{I a}{R^2} = Ma(1 + \frac{I}{M R^2})$
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(D) રીંગની ત્રિજ્યા $R = 4a$ છે. તકતીની ત્રિજ્યા $r = a$ છે.
જ્યારે તકતી તેના માર્ગના ઉપરના ભાગમાં (રીંગના કેન્દ્રની સપાટીએ) હોય છે,ત્યારે તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રીંગના સૌથી નીચલા બિંદુથી $h = R - r = 4a - a = 3a$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તકતી દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ તકતી દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = v/r$.
તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg(3a) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$3mga = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$3mga = \frac{3}{4}mv^2$
$3ga = \frac{3}{4}v^2$
$v^2 = 4ga$
$v = \sqrt{4ga}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી કુલ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgl\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
સરક્યા વગર ગબડવા માટે $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ હોવાથી:
$mgl\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{4gl\sin\theta}{3}}$ મળે છે.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $L = I_{cm}\omega + mvR$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = (\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R}) + mvR = \frac{1}{2}mvR + mvR = \frac{3}{2}mvR$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \frac{3}{2}mR\sqrt{\frac{4gl\sin\theta}{3}} = \sqrt{\frac{9}{4}m^2R^2 \cdot \frac{4gl\sin\theta}{3}} = \sqrt{3m^2R^2gl\sin\theta}$.

(D) $1$. આડી સપાટી પર, કોઈપણ બાહ્ય બળ વિના શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે અને કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે। તેથી, ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
$2$. જ્યારે ઢળતી સપાટી પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક અનુભવે છે જે તેની કોણીય ઝડપ ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે। શુદ્ધ ગબડતી ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ ઢાળ પર ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$3$. જ્યારે ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક અનુભવે છે જે તેની કોણીય ઝડપ વધારવાનું વલણ ધરાવે છે। આ વધારાનો વિરોધ કરવા અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ જાળવી રાખવા માટે ઘર્ષણ ઢાળ પર ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$4$. ઘર્ષણ હંમેશા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિનો વિરોધ કરતું નથી; તે શુદ્ધ ગબડતી ગતિની શરત $(v = r\omega)$ જાળવી રાખવા માટે કાર્ય કરે છે। તેથી, એ વિધાન કે ઘર્ષણ બળ હંમેશા ગોળાની ગતિની વિરુદ્ધ હોય છે તે ખોટું છે।

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ છે. પ્રવાહી અશ્યાન હોવાથી અને અંદરની સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,પ્રવાહી ગોળા સાથે પરિભ્રમણ કરતું નથી. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા ફક્ત પોલા ગોળાને કારણે છે,$I = \frac{2}{3}mR^2$.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$v = \omega R$,તેથી $\omega = v/R$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (2m) v^2 = mv^2$.
પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{3} mv^2$.
ગુણોત્તર $\frac{K_{trans}}{K_{rot}} = \frac{mv^2}{\frac{1}{3} mv^2} = \frac{3}{1}$ છે.
આમ,$x = 3$ અને $y = 1$. તેથી $(x+y) = 3+1 = 4$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ડિસ્ક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg \sin \theta - f_k = ma$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ: $f_k R = I \alpha = \left(\frac{mR^2}{2}\right) \alpha$.
ટોર્ક સમીકરણ પરથી,આપણને $f_k = \frac{mR \alpha}{2}$ મળે છે.
$f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ ને ટોર્ક સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{mR \alpha}{2} = \mu mg \cos \theta$.
કારણ કે $\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,તેથી:
$\frac{mR \alpha}{2} = \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) mg \cos \theta = mg \sin \theta$.
$R \alpha$ માટે ઉકેલતા:
$R \alpha = 2 g \sin \theta$.

(A) જ્યારે એક ગોળો ઢળતી સપાટી પર ઉપરની તરફ ગબડે છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f)$ ને કારણે નીચેની તરફ પ્રવેગ લાગે છે.
ગબડવાની ગતિ જાળવી રાખવા માટે,ગોળામાં કોણીય મંદન (જો ગોળો ઉપરની તરફ જતો હોય તો ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક) હોવું જરૂરી છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે. ગોળો ઉપરની તરફ જતી વખતે તેની પરિભ્રમણ ગતિ ધીમી કરવા માટે,ઘર્ષણ બળ એવી દિશામાં લાગવું જોઈએ જે ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે.
સંપર્ક બિંદુ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની નીચે હોવાથી,સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જે પ્રારંભિક કોણીય વેગનો વિરોધ કરે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગે છે.

(A) પોલા નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે.
જ્યારે તેને ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f$ સરકવાની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta = (\tan \theta) mg \cos \theta = mg \sin \theta$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = fR = (mg \sin \theta) R$ થાય.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$(mg \sin \theta) R = (mR^2) \alpha$,જે કોણીય પ્રવેગ $\alpha = (g \sin \theta) / R$ આપે છે.
નળાકાર ક્લોકવાઈઝ દિશામાં ફરે છે,તેથી ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે,જે કોણીય પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે. અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ થાય.
જ્યારે નળાકાર ફરવાનું બંધ કરે (અને શુદ્ધ ગબડવાની ગતિ શરૂ થાય ત્યાં સુધી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે) તે સમય શોધવા માટે $\omega = 0$ લેતા,$0 = \omega_0 - (g \sin \theta / R) t$ મળે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \omega_0 R / (g \sin \theta)$ મળે.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$ છે. કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{a_{cm}}{R} = \frac{5g \sin \theta}{7R}$ છે.
ગોળા પરના કોઈપણ બિંદુ પાસે પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે: કેન્દ્ર તરફનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\omega^2 R$ અને ત્રિજ્યાને લંબ સ્પર્શકીય પ્રવેગ $R\alpha$.
સંપર્ક બિંદુ $C$ પર,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે ગોળાના કેન્દ્ર તરફ એટલે કે $CA$ રેખાની દિશામાં હોય છે.

(B) નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$V = \omega R$ શરતનું પાલન થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{V}{R}$.
ચાકગતિ ઉર્જા $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{V}{R})^2 = \frac{1}{5} MV^2$ છે.
સ્થાનંતરિત ગતિ ઉર્જા $E_t = \frac{1}{2} MV^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $E_{total} = E_r + E_t = \frac{1}{5} MV^2 + \frac{1}{2} MV^2 = \frac{7}{10} MV^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{5} MV^2}{\frac{7}{10} MV^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ છે.
ટકાવારી શોધવા માટે,આપણે $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.57\%$ ગણીએ છીએ,જે આશરે $28.6\%$ થાય છે.

(D) ઢળતા પાટિયા પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
અહીં $\theta = 30^o$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^o = 0.5$.
તેથી,$a = \frac{5}{7} g \times 0.5 = \frac{5}{14} g$.

(A) ઢાળવાળા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુ માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એવી છે કે $k^2 = \frac{1}{2} R^2$,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
ઢાળની દિશામાં બળનું સમીકરણ $mg \sin \theta - f = ma$ છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$f = mg \sin \theta - m(\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$.
કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ $f R = I \alpha = (\frac{1}{2} m R^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2} m R a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$f = \frac{1}{2} m (\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$.
કારણ કે $f \le \mu N$ અને $N = mg \cos \theta$,તેથી $\frac{1}{3} mg \sin \theta \le \mu mg \cos \theta$.
તેથી,$\mu \ge \frac{1}{3} \tan \theta$.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ બળ ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
આ ઘર્ષણ બળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સાથે જ,આ બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક પૂરું પાડે છે જે પદાર્થને ભ્રમણ કરાવે છે.
આમ,ઘર્ષણ બળ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું અમુક અંશે ઘૂર્ણન ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતર કરવાનું કાર્ય કરે છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,$k^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $v_{solid} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 0.4}} = \sqrt{\frac{2gh}{1.4}}$.
પોલા ગોળા માટે,$k^2 = \frac{2}{3}R^2$,તેથી $v_{hollow} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 0.67}} = \sqrt{\frac{2gh}{1.67}}$.
નક્કર ગોળા માટે છેદ નાનો હોવાથી,નક્કર ગોળો વધુ ઝડપ સાથે તળિયે પહોંચે છે.
બંને ગોળા સમાન ઊંચાઈએથી શરૂ થાય છે,તેથી તેમની સ્થિતિ ઊર્જા $mgh$ સમાન છે. કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,તળિયે બંનેની કુલ ગતિ ઊર્જા (સ્થળાંતરિત + ભ્રમણીય) સમાન હોય છે.