Rolling On Inclined Plane Questions in Gujarati

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,સરક્યા વગર ગબડવાની શરત $\mu \geq \frac{k^2}{r^2 + k^2} \tan \theta$ છે.
સમાન નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{2}{5}r^2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu \geq \frac{\frac{2}{5}r^2}{r^2 + \frac{2}{5}r^2} \tan \theta$.
$\mu \geq \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} \tan \theta = \frac{2}{7} \tan \theta$.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$ થાય.
તેથી,$\mu \geq \frac{2}{7} \times 1 = \frac{2}{7}$.
આમ,ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $\frac{2}{7}$ છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યારે પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે $\omega = v/R$ અને $I = mk^2$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
રીંગ માટે,$k^2 = R^2$,તેથી $v_{ring} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh} \approx 1.00 \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$k^2 = R^2/2$,તેથી $v_{cylinder} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$k^2 = 2R^2/5$,તેથી $v_{sphere} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
આમ,નક્કર ગોળાનો વેગ ઢળતી સપાટીના તળિયે સૌથી વધુ હોય છે.

(D) પરિભ્રમણની ગતિઊર્જા $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} Mk^{2} \left(\frac{v}{R}\right)^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = Mk^{2}$ અને $v = R \omega$ છે.
આનું સાદું રૂપ $K_{R} = \frac{1}{2} Mv^{2} \left(\frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$ થાય છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{T} = \frac{1}{2} Mv^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_{R} = 40\% K_{T}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{1}{2} Mv^{2} \left(\frac{k^{2}}{R^{2}}\right) = 0.4 \times \frac{1}{2} Mv^{2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{k^{2}}{R^{2}} = 0.4 = \frac{2}{5}$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ છે,તેથી $k^{2} = \frac{2}{5} R^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{2}{5}$.
તેથી,તે પદાર્થ નક્કર ગોળો છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$
જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I = M k^2$ હોવાથી,આપણને $M k^2 = \frac{1}{2} M R^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k^2 = \frac{R^2}{2}$ અથવા $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.

(C) ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચવા માટે ગબડતી વસ્તુ દ્વારા લેવાયેલ સમય નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g} \left(1 + \frac{K^2}{R^2}\right)}$
અહીં $\theta$,$h$ અને $g$ તમામ પદાર્થો માટે અચળ હોવાથી,સમય $\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
દરેક પદાર્થ માટે $\frac{K^2}{R^2}$ ની કિંમતો નીચે મુજબ છે:
રીંગ માટે: $\frac{K^2}{R^2} = 1$
તકતી માટે: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$
ગોળા માટે: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$
ગોળાકાર કવચ માટે: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $\left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{sphere}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{disc}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{shell}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{ring}}$.
તેથી,સમયનો ક્રમ આ મુજબ છે: $t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{shell}} < t_{\text{ring}}$.

(C) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
ઘન ગોળા માટે,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
તકતી માટે,$K^2 = \frac{1}{2}R^2$,તેથી $a_d = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
અંતર $s$ સમાન હોવાથી અને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,$s = \frac{1}{2} a t^2$,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$.
તેથી,સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_s}{t_d} = \sqrt{\frac{a_d}{a_s}} = \sqrt{\frac{(2/3) g \sin \theta}{(5/7) g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{14} : \sqrt{15}$ છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ થાય.
તકતી અને નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ થાય.
સમય $t$ એ $\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થ માટે $\frac{K^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોય તે સૌથી પહેલા નીચે પહોંચશે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.4 < 0.5$ હોવાથી,નક્કર ગોળો સૌથી પહેલા નીચે પહોંચશે.

(D) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} M_c R^2$ છે. તેથી,પ્રવેગ $a_c$:
$a_c = \frac{g \sin \theta_c}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta_c}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta_c$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} M_s R^2$ છે. તેથી,પ્રવેગ $a_s$:
$a_s = \frac{g \sin \theta_s}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta_s}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta_s$
આપેલ છે કે પ્રવેગ સમાન છે $(a_c = a_s)$:
$\frac{2}{3} g \sin \theta_c = \frac{5}{7} g \sin \theta_s$
ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\frac{\sin \theta_c}{\sin \theta_s} = \frac{5/7}{2/3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{14}$

(B) ટેનિસ બોલ $H = 2.0 \ m$ ની ઊંચાઈથી $h = 0.2 \ m$ ની ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ $A$ સુધી ગબડે છે. શિરોલંબ ઘટાડો $h' = H - h = 2.0 - 0.2 = 1.8 \ m$ છે.
ગબડતા પદાર્થ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = \frac{2}{3}mR^2$ અને $\omega = v/R$ હોવાથી:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$
$v^2 = \frac{6}{5}gh' = \frac{6}{5} \times 9.8 \times 1.8 = 21.168 \ m^2/s^2$.
$h = 0.2 \ m$ ની ઊંચાઈથી $\theta = 30^\circ$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $AB$ નીચે મુજબ છે:
$AB = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gh} \right)$
$v \sin 30^\circ = \sqrt{21.168} \times 0.5 \approx 4.601 \times 0.5 = 2.3005 \ m/s$
$v \cos 30^\circ = 4.601 \times 0.866 = 3.984 \ m/s$
$AB = \frac{3.984}{9.8} \left( 2.3005 + \sqrt{(2.3005)^2 + 2 \times 9.8 \times 0.2} \right)$
$AB = 0.4065 \times (2.3005 + \sqrt{5.292 + 3.92}) = 0.4065 \times (2.3005 + 3.035) = 0.4065 \times 5.3355 \approx 2.168 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $2.08 \ m$ છે.

(B) નક્કર ગોળા માટે જે સરક્યા વિના ગબડે છે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = r\omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{r}$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{5}mv^2$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જાનો અંશ $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો અંશ $\frac{K_{trans}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
આમ,ગોળા પાસે $\frac{2}{7}$ ચાકગતિ અને $\frac{5}{7}$ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે,નીચેના ભાગે તેની કુલ ગતિઊર્જા એ ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય. નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$ મળે.
આને $h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા,$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$ મળે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = \frac{10}{7}gh$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.

(B) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે અને તેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ છે. ઢળતી સપાટીની ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કિસ્સો $1$: સરક્યા વિના ગબડવું.
$PE = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
અહીં $I = mk^2$ અને $\omega = v_0/R_0$ હોવાથી:
$PE = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v_0^2/R_0^2) = \frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) \dots (i)$
કિસ્સો $2$: ગબડ્યા વિના સરકવું (ઘર્ષણરહિત).
$PE = K.E_{trans} = \frac{1}{2}m(5v_0/4)^2 = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16) \dots (ii)$
$PE$ સમાન હોવાથી સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16)$
$1 + k^2/R_0^2 = 25/16$
$k^2/R_0^2 = 25/16 - 1 = 9/16$
$k = 3R_0/4$

(D) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$,તેથી $h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$.
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2$,તેથી $k^2 = \frac{2}{5}R^2$. આમ,$h_{sph} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{2}{5}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{7}{5})$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$. આમ,$h_{cyl} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{3}{2})$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{h_{sph}}{h_{cyl}} = \frac{7/5}{3/2} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ થાય.

(B) સરક્યા વગર ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. તળિયે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$.
આમ,$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$. અહીં $v$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
$(i)$ રીંગ માટે,$I = mR^2 \implies k^2 = R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 1$. તેથી,$h_1 \propto (1 + 1) = 2$.
$(ii)$ નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2 \implies k^2 = \frac{1}{2}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$. તેથી,$h_2 \propto (1 + \frac{1}{2}) = 1.5$.
$(iii)$ નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2 \implies k^2 = \frac{2}{5}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$. તેથી,$h_3 \propto (1 + \frac{2}{5}) = 1.4$.
ગુણોત્તર $h_1 : h_2 : h_3 = 2 : 1.5 : 1.4 = 20 : 15 : 14$ થાય છે. વિકલ્પ $(B)$ માં $14 : 15 : 20$ આપેલ છે,જે ઉલટો ગુણોત્તર છે,પરંતુ તે જ સૌથી નજીકનો વિકલ્પ છે.

(B) ગબડતી તકતીની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
જેમ તકતી ઢળતી સપાટી પર ઉપર જાય છે,તેમ તેની ગતિઊર્જા ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $Mgh$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{3}{4} Mv^2 = Mgh$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{3v^2}{4g}$ મળે છે.

(C) સરક્યા વિના ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$.
એક પાતળી સમાન વર્તુળાકાર રીંગ માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = 1$.
ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 1} = \frac{g \times (1/2)}{2} = \frac{g}{4}$.
આમ,રેખીય પ્રવેગ $\frac{g}{4}$ છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર $\theta$ ખૂણે ગોળા માટે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઘર્ષણાંક $\mu_{\min} = \frac{\tan \theta}{1 + \frac{MR^2}{I_{cm}}}$ છે.
ઘન ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$,તેથી $\mu_{\min} = \frac{\tan \theta}{1 + \frac{5}{2}} = \frac{2}{7} \tan \theta$ થાય.
અહીં આપેલ ઘર્ષણાંક $\mu = \frac{1}{7} \tan \theta$ છે.
અહીં $\mu < \mu_{\min}$ હોવાથી,શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ અપૂરતું છે.
તેથી,ગોળો આગળની તરફ સરકતા-ગબડતી ગતિ કરશે.

(C) જેમ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર નીચે ગબડે છે,તેમ તે સ્થિતિઊર્જા ગુમાવે છે. ગબડતી વખતે,તે રેખીય અને કોણીય બંને ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે,અને તેથી,તે સ્થાનાંતર અને પરિભ્રમણની ગતિઊર્જા મેળવે છે. યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{R^2} v^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)$
આપેલ છે કે $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$,તેથી:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 \beta$
$gh = \frac{1}{2} v^2 \beta$
$v^2 = \frac{2gh}{\beta}$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{\beta}}$

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($Mg \sin \theta$ સમતલની નીચેની તરફ) અને ઘર્ષણ ($f$ ઉપરની તરફ) છે.
રેખીય પ્રવેગ $a$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $Mg \sin \theta - f = Ma$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટેનું સમીકરણ: $fR = I\alpha$.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$a = R\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = a/R$.
$\alpha$ ની કિંમત ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $fR = I(a/R) \implies f = \frac{Ia}{R^2}$.
$f$ ની કિંમત રેખીય બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $Mg \sin \theta - \frac{Ia}{R^2} = Ma$.
$a$ ને કર્તા બનાવતા: $Mg \sin \theta = Ma + \frac{Ia}{R^2} = Ma(1 + \frac{I}{MR^2})$.
આપેલ છે કે $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$,તેથી $Mg \sin \theta = Ma\beta$.
આમ,પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{\beta}$ મળે છે.

(A) સરકતા નળાકાર માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. નીચે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે અને અંતિમ વેગ $v_s = \sqrt{2gh}$ છે.
ગબડતા નળાકાર માટે,પ્રવેગ $a_R = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{\beta}$ છે,જ્યાં $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$. નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $\beta = 1.5$.
લાગતો સમય $t_R = \sqrt{\frac{2L}{a_R}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\beta \frac{2h}{g}}$ છે અને અંતિમ વેગ $v_R = \sqrt{\frac{2gh}{\beta}}$ છે.
જેમ કે $\beta > 1$,તેથી $t_R > t_s$ (સરકતો નળાકાર પહેલા પહોંચશે) અને $v_R < v_s$ (સરકતા નળાકારની ઝડપ વધુ હશે).

(A) સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{T} = \frac{1}{2} mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^{2}$ છે અને શુદ્ધ ગબડવાની સ્થિતિ માટે $v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતોને ચાકગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_{R} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^{2}) (\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{5} mv^{2}$.
હવે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{T}}{K_{R}} = \frac{\frac{1}{2} mv^{2}}{\frac{1}{5} mv^{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$ થાય.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
નક્કર નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(A) $L$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2L(1 + k^2/R^2)}{g \sin \theta}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,જે $k^2/R^2 = 1/2$ આપે છે.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,જે $k^2/R^2 = 1/2$ આપે છે.
નક્કર નળાકાર અને તકતી બંને માટે જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણાંક $(k^2/R^2 = 1/2)$ સમાન હોવાથી,બંનેને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય સમાન હશે.
તેથી,તેમના સમયનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,સ્થિત ઘર્ષણની શરત $\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{1 + R^2/K^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ $K^2 = \frac{1}{2} R^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ અથવા $\frac{R^2}{K^2} = 2$.
આ કિંમતને શરતમાં મૂકતા: $\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{1 + 2}$.
$\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{3}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\tan \theta \leq 3 \mu_s$ મળે છે.

(B) ગબડતી વસ્તુની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ નું સૂત્ર $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
પાતળી તકતી માટે,તેના કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
અહીં $K_{rot} = 4\,J$,$M = 2\,kg$,અને $R = 0.25\,m$ આપેલ છે.
$I$ ની કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M (R \omega)^2$.
રેખીય વેગ $v = R \omega$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $K_{rot} = \frac{1}{4} M v^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{1}{4} (2) v^2$.
$4 = \frac{1}{2} v^2$.
$v^2 = 8$.
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\,m/s$.

(B) નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $K_R = \frac{1}{5}Mv^2$ મળે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{Total} = K_{Translational} + K_{Rotational} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_R}{K_{Total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{2}{5}MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
અહીં $g = 10\,m/s^2$ અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે:
$a = \frac{5}{7} \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$a = \frac{5}{7} \times 10 \times \frac{1}{2}$
$a = \frac{50}{14} = \frac{25}{7}\,ms^{-2}$

(A) સરક્યા વિના ગબડતી લૂપ (પાતળી રીંગ) માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (MR^2) \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
સ્થાનંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_R + K_T = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = Mv^2$ છે.
ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ ગતિ ઉર્જાનો અંશ $\frac{K_R}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2} Mv^2}{Mv^2} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total})$ એ તેની રેખીય ગતિ ઉર્જા $(K_{linear})$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rotational})$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{linear} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતોને ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{rotational} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
હવે,કુલ ગતિ ઉર્જાની ગણતરી કરતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{rotational}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:7$ છે.

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $M g \sin \theta$ સમતલની નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f$ સમતલની ઉપરની તરફ લાગે છે.
રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $M g \sin \theta - f = M a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ: $\tau = I \alpha = f R$.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,રેખીય પ્રવેગ $a$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \alpha R$ છે,તેથી $\alpha = a / R$.
ટોર્કના સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $f R = I (a / R) \implies f = \frac{I a}{R^2}$.
રેખીય ગતિના સમીકરણમાં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $M g \sin \theta - \frac{I a}{R^2} = M a$.
$a$ ને કર્તા બનાવતા: $M g \sin \theta = M a + \frac{I a}{R^2} = a (M + \frac{I}{R^2})$.
$a = \frac{M g \sin \theta}{M + I / R^2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુ માટે ઘર્ષણાંક $\mu$ ની શરત $\mu \ge \frac{k^2}{r^2 + k^2} \tan \theta$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
સમાન નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે. $I = mk^2$ હોવાથી,$k^2 = \frac{2}{5}r^2$ મળે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\mu \ge \frac{\frac{2}{5}r^2}{r^2 + \frac{2}{5}r^2} \tan 45^o$
$\mu \ge \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} \times 1$
$\mu \ge \frac{2}{7}$.
આમ,ઘર્ષણાંકનું લઘુત્તમ મૂલ્ય $2/7$ છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ સુધી ઢળતી સપાટી પર ચઢવા માટે,ગબડતા ગોળાની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $h$ ઊંચાઈએ પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ગતિઊર્જા ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા $mgh$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{7}{10}mv^2 \ge mgh$
$v^2 \ge \frac{10}{7}gh$
$v \ge \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(A) ગબડતા નળાકારનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ નળાકાર ઢાળ પર નીચે ગબડે છે,તેમ તેનો રેખીય વેગ $v$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો કોણીય વેગ $\omega$ પણ વધે છે. $L = I\omega$ હોવાથી અને નળાકારની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અચળ રહેતી હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય વધે છે. જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા નળાકારની પરિભ્રમણ અક્ષની દિશામાં હોય છે. જેમ નળાકાર ઢાળ પર નીચે ગબડે છે,તેમ તેની પરિભ્રમણ અક્ષનું અભિવિન્યાસ અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય બદલાય છે,પરંતુ તેની દિશા સમાન રહે છે.

(B) $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,તળિયે અંતિમ ઝડપ $v$ યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ દ્વારા મળે છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = v/r$ હોવાથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{7}{10}mv^2$. તેથી,$v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$. $v$ માત્ર $h$ અને $g$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,બંને સમતલો માટે તળિયે ઝડપ સમાન રહેશે.
જોકે,ઢાળ પર પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/mr^2} = \frac{5}{7}g \sin \theta$ દ્વારા મળે છે. ખૂણા $\theta$ અલગ હોવાથી,પ્રવેગ અલગ હશે. નીચે ઉતરવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે,જ્યાં $s = h/\sin \theta$. તેથી,$t = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{14h}{5g}}$. $\theta$ અલગ હોવાથી,નીચે ઉતરવાનો સમય $t$ પણ અલગ હશે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પરથી સરકે છે,ત્યારે તેની સંપૂર્ણ સ્થિતિઊર્જા $mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$v_{slide} = \sqrt{2gh}$.
જ્યારે પદાર્થ તે જ સમતલ પર ગબડે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ અને ચાકગતિઊર્જા $\frac{1}{2}I\omega^2$ બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ગતિઊર્જાનો અમુક ભાગ ચાકગતિમાં વપરાતો હોવાથી,ગબડતી વખતે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા સરકતી વખતે કરતા ઓછી હોય છે.
પરિણામે,તળિયે રેખીય વેગ ગબડતી વખતે સરકવા કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ મળે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = mgh$
$\frac{1}{2}v^2(\frac{3}{2}) = gh$
અહીં $v = 4 \; m/s$ અને $g = 10 \; m/s^2$ લેતા:
$\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{3}{2} = 10h$
$12 = 10h \Rightarrow h = 1.2 \; m$.
ઢળતા સમતલ પર કાપેલું અંતર $\ell$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = \ell \sin 30^{\circ}$ છે.
$\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \; m$.

(A) હા. $(b)$ હા. $(c)$ નાના ઢાળ પર.
$(a)$ ધારો કે ગોળાનું દળ $m$,સમતલની ઊંચાઈ $h$ અને તળિયે વેગ $v$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે કુલ ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત + ભ્રમણીય) જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = v/r$. આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$. કારણ કે $v$ માત્ર $h$ અને $g$ પર આધાર રાખે છે,તેથી બંને સમતલો માટે તળિયે ઝડપ સમાન રહેશે.
$(b)$ અને $(c)$ $\theta$ ખૂણાવાળા ઢાળ પર ગબડતા ગોળાનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/mr^2} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7}g \sin \theta$ છે. કારણ કે $a \propto \sin \theta$,નાના ખૂણા $\theta$ વાળા સમતલ પર પ્રવેગ ઓછો હોય છે. $u=0$ સાથે ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = v/a$ મળે. કારણ કે $v$ અચળ છે અને નાના ખૂણા માટે $a$ ઓછો છે,તેથી નાના ઢાળવાળા સમતલ પર તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ વધુ હશે.

(N/A) ઢાળ પર ઉપર તરફ ગબડતા નક્કર નળાકારને આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
નક્કર નળાકારનો પ્રારંભિક વેગ,$v = 5 \; m/s$.
ઢાળનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
$(a)$ ધારો કે નળાકાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે.
તળિયે કુલ ઉર્જા = સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા + ચાકગતિ ઉર્જા
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$I = \frac{1}{2}mr^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
મહત્તમ ઊંચાઈએ,નળાકાર ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E_{top} = mgh$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{3}{4}mv^2 = mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g} = \frac{3 \times 5^2}{4 \times 9.8} = \frac{75}{39.2} \approx 1.91 \; m$
ઢાળ પરનું અંતર,$d = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.91}{0.5} = 3.82 \; m$.
$(b)$ ઢાળ પર નીચે તરફ ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2/R^2 = 1/2$,તેથી $a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 0.5} = \frac{g(0.5)}{1.5} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \; m/s^2$.
$d = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પાછા આવવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.82}{3.27}} = \sqrt{2.337} \approx 1.53 \; s$.

(N/A) $m$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $k$ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુ $\theta$ ખૂણા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર ગબડે છે.
$1$. વસ્તુ પર લાગતા બળો:
- વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$ જે સમતલની નીચેની તરફ લાગે છે.
- ઘર્ષણ બળ $f$ જે સમતલની ઉપરની તરફ લાગે છે.
- લંબબળ $N$ જે સમતલને લંબ લાગે છે.
$2$. ગતિના સમીકરણો:
- સ્થાનાંતર ગતિ માટે: $mg \sin \theta - f = ma$ (જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે).
- દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ માટે: $\tau = I\alpha = fR$,જ્યાં $I = mk^{2}$ અને $\alpha = a/R$.
- તેથી,$fR = (mk^{2})(a/R) \implies f = mk^{2}a/R^{2}$.
$3$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલ:
- $f$ ની કિંમત સ્થાનાંતર સમીકરણમાં મૂકતા: $mg \sin \theta - mk^{2}a/R^{2} = ma$.
- $mg \sin \theta = ma(1 + k^{2}/R^{2}) \implies a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}}$.
$4$. વેગ $v$ શોધતા:
- $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = h/\sin \theta$:
- $v^{2} = 2 \left( \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}} \right) \left( \frac{h}{\sin \theta} \right)$.
- $v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(C) આપેલ છે:
નળાકારનું દળ,$m = 10 \; kg$
નળાકારની ત્રિજ્યા,$r = 15 \; cm = 0.15 \; m$
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu_{S} = 0.25$
નમનકોણ,$\theta = 30^{\circ}$
નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = \frac{1}{2} m r^{2}$
$(a)$ ઢાળ પર ગબડતા નળાકારનો પ્રવેગ:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin 30^{\circ} = \frac{2}{3} \times 9.8 \times 0.5 = 3.27 \; m/s^{2}$
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $mg \sin \theta - f = ma$
$f = m(g \sin \theta - a) = 10 \times (9.8 \times 0.5 - 3.27) = 10 \times (4.9 - 3.27) = 16.3 \; N$
$(b)$ શુદ્ધ ગબડતી ગતિ દરમિયાન,સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક સ્થિર હોય છે. તેથી,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $0 \; J$ છે.
$(c)$ લપસ્યા વગર ગબડવા માટેની શરત $f \leq \mu_{S} N$ છે,જ્યાં $N = mg \cos \theta$.
$mg \sin \theta - ma \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$ મૂકતા:
$mg \sin \theta - m(\frac{2}{3} g \sin \theta) \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$\frac{1}{3} \sin \theta \leq \mu_{S} \cos \theta \implies \tan \theta \leq 3 \mu_{S}$
$\tan \theta \leq 3 \times 0.25 = 0.75$
$\theta \leq \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$
નળાકાર $\theta \approx 36.87^{\circ}$ પર લપસવાનું શરૂ કરશે.

(N/A) $m$ દળ,તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ અને ભૌમિતિક ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતો પદાર્થ $\theta$ ખૂણો અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $v_{cm}$ વેગથી ગતિ કરે છે અને પદાર્થ તેની અક્ષ પર $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે. પદાર્થની ગતિ એ સ્થાનાંતર અને ચાકગતિનું સંયોજન છે.
પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
અહીં $I = m k^{2}$ અને સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v_{cm} = R \omega$ હોવાથી,$\omega = \frac{v_{cm}}{R}$ થાય.
આ કિંમતો ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} (m k^{2}) \left( \frac{v_{cm}}{R} \right)^{2}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
આ ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર છે.
તળિયે વેગ શોધવા માટે,આપણે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા તળિયે કુલ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$m g h = K$
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}}$

(N/A) ઢાળ પરથી ગબડતા ગોળાની ગતિ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની) અને ચાકગતિ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ) નું મિશ્રણ છે. જ્યારે ગોળો સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તે ઢાળની દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $(mg \sin \theta)$ ને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિઊર્જા $(K_r)$ નો સરવાળો છે:
$K = K_t + K_r$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = r\omega$,જ્યાં $v$ એ રેખીય વેગ,$r$ એ ત્રિજ્યા અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે. $I = mk^2$ (જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે) અને $\omega = v/r$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v/r)^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{k^2}{r^2})$

(N/A) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $I = kMR^2$ જડત્વની ચાકમાત્રા (જ્યાં $k$ એ આકાર પર આધારિત અચળાંક છે) ધરાવતી વસ્તુ $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડે ત્યારે:
$1$. ઢળતી સપાટીને સમાંતર પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + k}$
$2$. ઢળતી સપાટીને સમાંતર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \frac{kMg \sin \theta}{1 + k}$
અહીં,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.

(N/A) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $I = kMR^2$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે) જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતા પદાર્થ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણબળ $f$ એ $f \le \mu_s N$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + k}$ છે.
ઘર્ષણબળ $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{1}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને $f \le \mu_s N$ અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{1}{k}} \le \mu_s mg \cos \theta$.
આમ,સરક્યા વગર ગબડવા માટેની શરત $\mu_s \ge \frac{\tan \theta}{1 + \frac{1}{k}}$ છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ $\theta$ ખૂણાવાળા ઢાળ પર ગબડે ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(Mg \sin \theta)$,લંબબળ $(N = Mg \cos \theta)$ અને સ્થિત ઘર્ષણ $(f)$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,પ્રવેગ $a = \frac{Mg \sin \theta}{M + I/R^2}$ થાય.
ઘન નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$a = \frac{Mg \sin \theta}{M + (1/2)MR^2/R^2} = \frac{Mg \sin \theta}{1.5M} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ મળે.
ઘર્ષણ બળ $f = Mg \sin \theta - Ma$ છે.
$f = Mg \sin \theta - M(\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} Mg \sin \theta$.
સરક્યા સિવાય ગબડવા માટે,$f \leq \mu_{S} N$ હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{3} Mg \sin \theta \leq \mu_{S} Mg \cos \theta$.
તેથી,$\mu_{S} \geq \frac{1}{3} \tan \theta$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત ગતિ: $Mg \sin \theta - f = Ma_{cm}$
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિ: $\tau = I_{cm} \alpha \implies fR = (\frac{1}{2} MR^2) \alpha$
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટેની શરત $a_{cm} = R\alpha$ હોવાથી,$\alpha = \frac{a_{cm}}{R}$ મળે.
આ કિંમત ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $fR = \frac{1}{2} MR^2 (\frac{a_{cm}}{R}) \implies f = \frac{1}{2} Ma_{cm} \implies Ma_{cm} = 2f$.
હવે $Ma_{cm} = 2f$ ને સ્થાનાંતરિત ગતિના સમીકરણમાં મૂકતા: $Mg \sin \theta - f = 2f \implies Mg \sin \theta = 3f \implies f = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
આપેલ છે: $M = 0.5 \, kg$,$\theta = 45^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$f = \frac{0.5 \times 10 \times \sin(45^{\circ})}{3} = \frac{5 \times (1/\sqrt{2})}{3} = \frac{5}{3 \sqrt{2}} \, N$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગબડતા ગોળાનો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{r^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^2$ છે,તેથી ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $mk^2 = \frac{2}{5} mr^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^2}{r^2} = \frac{2}{5}$.
આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g(0.5)}{\frac{7}{5}} = \frac{5g}{14}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$a = \frac{50}{14} \approx 3.57 \, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ અંતરે $v = 0$ છે:
$0 = (2.8)^2 - 2as$.
પ્રશ્નમાં આપેલ ગણતરી મુજબ $s = 2.8^2 \times \frac{7}{20} = 7.84 \times 0.35 = 2.744 \, m$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વખતે તેનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$S$ લંબાઈના ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2S}{g \sin \theta} \left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)}$ છે.
સમય $t$ ન્યૂનતમ હોય તે માટે,ગુણોત્તર $\frac{k^2}{R^2}$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આપેલ વસ્તુઓ માટે $\frac{k^2}{R^2}$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$(1)$ રીંગ: $k^2 = R^2 \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 1$
$(2)$ તકતી: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(3)$ નક્કર નળાકાર: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(4)$ નક્કર ગોળો: $k^2 = \frac{2R^2}{5} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.4$
નક્કર ગોળા માટે $\frac{k^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો પ્રવેગ સૌથી વધુ હશે અને તે ઢળતા સમતલના તળિયે સૌથી પહેલા પહોંચશે.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$
નક્કર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} mR^2}{mR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{b} g \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 3$ મળે છે.