Rolling On Inclined Plane Questions in Gujarati

(C) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ઘન ગોળા માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = u/r$ છે।
આ કિંમતો મૂકતા, $K = \frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (u/r)^2 = \frac{1}{2} mu^2 (1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2} mu^2 (\frac{7}{5}) = \frac{7}{10} mu^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પર કુલ ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $K = mgH$.
તેથી, $\frac{7}{10} mu^2 = mgH$.
$H$ માટે ઉકેલતા, આપણને $H = \frac{7 u^2}{10 g}$ મળે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ માં થતો ઘટાડો એ કુલ ગતિ ઉર્જા $(KE_{total})$ માં થતા વધારા જેટલો હોય છે,જેમાં સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જા બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 100 \ m$,અંતિમ ઊંચાઈ $h_2 = 20 \ m$.
ઊંચાઈમાં ફેરફાર $\Delta h = h_1 - h_2 = 100 \ m - 20 \ m = 80 \ m$.
$PE$ માં ઘટાડો $= mg \Delta h = m \times 10 \times 80 = 800m \ J$.
$KE_{total}$ માં વધારો $= \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ઘન ગોળાકાર દડા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $KE_{total} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
$PE$ માં ઘટાડાને $KE_{total}$ માં વધારા સાથે સરખાવતા:
$800m = \frac{7}{10} mv^2$.
$v^2 = \frac{8000}{7}$.
$v = \sqrt{\frac{8000}{7}} = \sqrt{\frac{1600 \times 5}{7}} = 40 \sqrt{\frac{5}{7}} \ m/s$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$,તકતી માટે $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને નક્કર ગોળા માટે $I = \frac{2}{5}MR^2$ હોવાથી,$I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}} > I_{\text{sphere}}$ થાય.
પરિણામે,પ્રવેગનો ક્રમ $a_{\text{sphere}} > a_{\text{disc}} > a_{\text{ring}}$ મળે છે.
તળિયે ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{MR^2}}}$ છે,તેથી $v_{\text{sphere}} > v_{\text{disc}} > v_{\text{ring}}$ થાય.
નીચે ઉતરવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$. તેથી,$t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{ring}}$.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી વિકલ્પ $D$ એ ખોટું વિધાન છે.

(A) નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$ શરતનું પાલન થાય છે.
ચાકગતિઊર્જા $E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2 = \frac{1}{5} Mv^2$ થાય.
કુલ ગતિઊર્જા $E_{total}$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = (\frac{5+2}{10}) Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{total}}{E_{rot}} = \frac{\frac{7}{10} Mv^2}{\frac{1}{5} Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ થાય.

(D) નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{S} = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{C} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નળાકારના પ્રવેગ '$a_{c}$' અને ગોળાના પ્રવેગ '$a_{s}$' નો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{c}}{a_{s}} = \frac{1 + \frac{I_{S}}{MR^2}}{1 + \frac{I_{C}}{MR^2}} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ થાય.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$,જે આપે છે $V = \sqrt{2gh}$.
તે જ ઢળતા સમતલ પર ગબડતી રીંગ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ અને ગબડવાની શરત $v = r\omega$ છે,તેથી $\omega = v/r$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
આમ,$v^2 = gh$,જેનો અર્થ છે $v = \sqrt{gh}$.
બંને વેગની સરખામણી કરતા: $v = \sqrt{gh} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{2}} = \frac{V}{\sqrt{2}}$.

(B) લપસ્યા વિના ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ આપેલ છે,તેથી:
$a = \frac{5}{7} g (0.5) = \frac{5}{7} g \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5g}{14}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે, કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
અહીં $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી, $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
જ્યારે ગોળો ઢાળ પર ઉપર જાય છે, ત્યારે આ ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$ માં રૂપાંતરિત થાય છે, જ્યાં $h = d \sin \theta$ અને $d$ એ ઢાળ પરનું અંતર છે।
$K = U$ લેતા: $\frac{7}{10}mv^2 = mgd \sin \theta$.
$d$ માટે સૂત્ર: $d = \frac{7v^2}{10g \sin \theta}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = 2 \,m/s$, $g = 10 \,m/s^2$, $\theta = 30^{\circ}$:
$d = \frac{7 \times (2)^2}{10 \times 10 \times (1/2)} = \frac{7 \times 4}{100 \times 0.5} = \frac{28}{50} = 0.56 \,m$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ટોચ પર પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ છે.
ટોચ પર પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE = 0$ છે (કારણ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે).
તળિયે,કુલ ગતિ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = v/r$.
આ કિંમતોને ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgh = \frac{7}{10}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{10gh}{7}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \left(\frac{10gh}{7}\right)^{1/2}$.

(B) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આપેલ કિંમતો $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \times 0.5}{\frac{7}{5}} = \frac{0.5g \times 5}{7} = \frac{2.5g}{7} = \frac{5g}{14}$.

(A) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ અને ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ થાય.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}}$
$a = \frac{g \times (1/2)}{7/5}$
$a = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.

(D) કિસ્સો $1$: સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં થાય છે: $\frac{1}{2} m V^2 = mgh$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: ગબડતી તકતી માટે,સ્થિતિ ઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં થાય છે: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v'}{R}$ છે.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v'}{R})^2 = mgh$
$\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{4} m (v')^2 = mgh$
$\frac{3}{4} m (v')^2 = mgh$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m V^2 = \frac{3}{4} m (v')^2$
$V^2 = \frac{3}{2} (v')^2$
$(v')^2 = \frac{2}{3} V^2$
$v' = V \sqrt{\frac{2}{3}}$

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,ટોચ પર કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા $PE = Mgh$ છે.
તળિયે,કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$.
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$.
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$.
ઊંચાઈ $h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{3 v^2}{4 g}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $Mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ઉર્જા $E = Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
આમ,$Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$.
$K_{rot}$ ના સમીકરણમાં $Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$ મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી તકતી માટે,ટોચ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે પહોંચતા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = K_{trans} + K_{rot}$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
તકતી લપસ્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{r}$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ છે.
કુલ ઉર્જા $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આમ,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2}{3}mgh$.
ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mgh) = \frac{mgh}{3}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને શુદ્ધ ગબડવાની સ્થિતિ માટે $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2} M(R\omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2$
$Mgh = \frac{1}{2} MR^2\omega^2 + \frac{1}{4} MR^2\omega^2 = \frac{3}{4} MR^2\omega^2$
આમ,ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2 = \frac{1}{4} MR^2\omega^2$.
ઉર્જાના સમીકરણ પરથી,$MR^2\omega^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
આ કિંમતને $K_{rot}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(D) આપેલ છે,ઢળતા સમતલની ઊંચાઈ $h = 7 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નક્કર ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ મેળવેલી કુલ ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત + ચાકગતિ) જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને લપસ્યા વગર ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mR^2\right) \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(C) લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$v = \sqrt{2gh}$.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર ગબડતા ગોળા માટે,સ્થિતિઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે. તળિયે વેગ $v_{CM} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \sqrt{2gh}$ મૂકતા,આપણને $v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ મળે છે.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{2}{5}}} = \frac{v}{\sqrt{\frac{7}{5}}} = \sqrt{\frac{5}{7}} v$.

(C) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
રીંગ માટે,$K^2 = R^2$,તેથી $v_{R} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_{C} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $v_{S} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $v_{R} < v_{C} < v_{S}$.

(D) સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = KE_{\text{trans}} + KE_{\text{rot}}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ છે અને સરક્યા વગર ગબડવાની શરત $v = R \omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^{2}) (\frac{v}{R})^{2}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m v^{2})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{2}{5})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (\frac{7}{5})$
$KE = \frac{7}{10} m v^{2}$

(B) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે અને સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v = R\omega$ (અથવા $\omega = v/R$) છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં $(P.E.)$ થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે પ્રવેગ $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે,તેથી $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
આપેલ છે કે $a_{roll} = 3.5 \ m \ s^{-2}$,તેથી $3.5 = \frac{5}{7} g \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $g \sin \theta = 3.5 \times \frac{7}{5} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.
જ્યારે ગોળો ગબડ્યા વિના સરકીને નીચે આવે છે,ત્યારે કોઈ ભ્રમણ ગતિ હોતી નથી,તેથી પ્રવેગ $a_{slide} = g \sin \theta$ થાય છે.
તેથી,$a_{slide} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.

(D) જ્યારે કોઈ તકતી ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $gh = \frac{3}{4}v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
આમ,વેગ $v$ માત્ર ઢાળની ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે.

(A) ધારો કે પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$,દળ $m$,ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
કારણ કે $I = mK^2$ અને $\omega = v/R$,તેથી:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
રીંગ માટે,$K^2 = R^2$,તેથી $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15\sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19\sqrt{gh}$.
વેગની સરખામણી કરતા,રીંગનો વેગ ઢળતી સપાટીના તળિયે ન્યૂનતમ છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ છે.
$(A)$ રીંગ માટે,$I = MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
$(B)$ નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{Mg \sin \theta}{3.5}$.
$(C)$ નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2} = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
$(D)$ પોલા નળાકાર માટે,$I = MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-I, C-III, D-II$ છે.

(C) ધારો કે ગોળો અટકે તે પહેલાં તેણે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે।
$K_{\text{rot}} + K_{\text{trans}} = mgh$
$\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
ગોળો ગબડતો હોવાથી, $v_{CM} = R\omega$ અને નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} mR^2 \right) \left( \frac{v_{CM}}{R} \right)^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$\frac{1}{5} m v_{CM}^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$v_{CM}^2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \right) = gh$
$v_{CM}^2 \left( \frac{2+5}{10} \right) = gh$
$\frac{7}{10} v_{CM}^2 = gh$
અહીં $v_{CM} = 10 \,m/s$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે:
$\frac{7}{10} \times (10)^2 = 10 \times h$
$\frac{7}{10} \times 100 = 10h$
$70 = 10h$
$h = 7 \,m$

(C) આપેલ છે:
નક્કર ગોળાકાર દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$ છે.
દડાનું દળ $m = 11 \ kg$ છે.
ઘર્ષણને કારણે થતો વ્યય અવગણ્ય હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ગબડતા નક્કર ગોળાની પ્રારંભિક કુલ ગતિ ઉર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} m R^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 (1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2} m v^2 (\frac{7}{5}) = \frac{7}{10} m v^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,દડો ક્ષણવાર માટે અટકી જાય છે,તેથી તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = 0$ થાય છે.
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = m g h$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i = U_f$:
$\frac{7}{10} m v^2 = m g h$
$h = \frac{7 v^2}{10 g} = \frac{7 \times (10)^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 100}{100} = 7 \ m$.
આમ,$h$ નું મૂલ્ય $7 \ m$ છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે।
નક્કર ગોળા માટે, $I_{sphere} = \frac{2}{5} MR^2$. તેથી, $a_{sphere} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta = 3 \,ms^{-2}$.
આના પરથી $g \sin \theta = \frac{3 \times 7}{5} = 4.2 \,ms^{-2}$ મળે છે.
પાતળી સમાન વર્તુળાકાર તકતી માટે, $I_{disc} = \frac{1}{2} MR^2$. તેથી, $a_{disc} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
$g \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $a_{disc} = \frac{2}{3} \times 4.2 = 2.8 \,ms^{-2}$ મળે છે.

(A) ઢાળવાળા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે, તળિયે વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
અહીં $g = 10 \text{ ms}^{-2}$, $h = 28 \text{ m}$, અને નક્કર ગોળા માટે ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય, તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 28}{1 + \frac{2}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560}{\frac{7}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560 \times 5}{7}}$
$v = \sqrt{80 \times 5} = \sqrt{400} = 20 \text{ ms}^{-1}$.

(D) $l$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણા ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ માં $u=0$ અને $s=l$ મૂકતા,$l = \frac{1}{2} \left( \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2} \right) t^2$ મળે.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$,જે સૂચવે છે કે $t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$.
પોલા નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K^2 = R^2$,તેથી $K^2/R^2 = 1$. એટલે કે $t_1 \propto \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K^2 = R^2/2$,તેથી $K^2/R^2 = 1/2$. એટલે કે $t_2 \propto \sqrt{1 + 1/2} = \sqrt{3/2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{3/2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપેલ છે કે $t_1 = 2 \ s$,તેથી $t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732 \ s$.

(B) નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય છે. તેથી,આપણે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ.
ટોચ પર,કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા છે: $E_i = mgh$.
તળિયે,કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 30}{3}} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: ઢાળ $\theta = 30^{\circ}$, લંબાઈ $l = 60 \,cm = 0.6 \,m$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
અહીં, $h = l \sin \theta = 0.6 \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3 \,m$.
નક્કર નળાકાર માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે, $\omega = \frac{v}{r}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 0.3}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$.

(D) આપેલ છે: ગોળાની ત્રિજ્યા $= R$,ગોળાનું દળ $= m$,અને ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,રેખીય પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{m R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 m R^2}{m R^2}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
ઢળતા સમતલ પર રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m g \sin \theta - f = m a$
$f = m g \sin \theta - m \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} m g \sin \theta$
લંબબળ $N = m g \cos \theta$ છે.
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ માટેની શરત:
$\mu_s \geq \frac{f}{N} = \frac{\frac{2}{7} m g \sin \theta}{m g \cos \theta} = \frac{2}{7} \tan \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu_s \geq \frac{2}{7} \approx 0.2857$.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $\frac{3}{7} \approx 0.428 > 0.2857$
$(B)$ $\frac{1}{2} = 0.5 > 0.2857$
$(C)$ $\frac{5}{8} = 0.625 > 0.2857$
$(D)$ $\frac{1}{7} \approx 0.1428 < 0.2857$
$\frac{1}{7}$ એ $\frac{2}{7}$ કરતા નાનું હોવાથી,ગોળો સરકશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ એ સરક્યા વિના ગબડવા માટે ખોટું મૂલ્ય છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,સમતલની દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ છે. ગતિનું સમીકરણ $ma = mg \sin \theta - f$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ $\tau = I \alpha = fR$ છે.
પદાર્થ શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતો હોવાથી,$\alpha = \frac{a}{R}$ થાય. વળી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mk^2$ છે.
આ કિંમતો ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $mk^2 \cdot \frac{a}{R} = fR$,જે આપણને $f = \frac{ma k^2}{R^2}$ આપે છે.
હવે $f$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $ma = mg \sin \theta - \frac{ma k^2}{R^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $ma(1 + \frac{k^2}{R^2}) = mg \sin \theta$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ મળે છે.

(C) ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી અને ઘર્ષણ ન હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે $R$ એ ટ્રેકની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે. આપેલ છે કે $r \ll R$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mr^2$. તે સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{r}$.
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E_{top} = mgh$
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,$h = R(1 - \cos\theta)$.
કિંમતો મૂકતા $v = 10 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $R = 10 \ m$:
$h = \frac{7 \times (10)^2}{10 \times 10} = 7 \ m$
$7 = 10(1 - \cos\theta) \Rightarrow 0.7 = 1 - \cos\theta \Rightarrow \cos\theta = 0.3 = \frac{3}{10}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{10}\right)$.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે તળિયે તેનો વેગ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
રીંગ માટે,$k^2 = R^2$,તેથી $v_R = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર તકતી માટે,$k^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_D = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$k^2 = \frac{2R^2}{5}$,તેથી $v_S = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $V_S > V_D > V_R$ મળે છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા એ સૌથી ઉંચા બિંદુએ કુલ અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
સૌથી ઉંચા બિંદુએ,અંતિમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય છે,અને સ્થિતિ ઉર્જા $mgh$ છે.
તેથી,$\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
આપેલ છે કે $v = 4 \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^2$,તેથી $h = \frac{7 \times 4^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 16}{100} = 1.12 \ m$.
સમતલ પરનું અંતર $\ell$ એ $\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.12}{0.5} = 2.24 \ m = 224 \ cm$ દ્વારા મળે છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,તળિયે કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $v = R\omega$,તેથી $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા એ તળિયે રહેલી કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2 \implies v^2 = \frac{10}{7}gh$.
જ્યારે દડાને $v$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ પર,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 - 2gh'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v^2 - 2gh' \implies h' = \frac{v^2}{2g}$.
$v^2 = \frac{10}{7}gh$ કિંમત મૂકતા:
$h' = \frac{10/7 gh}{2g} = \frac{5}{7}h$.

(D) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = \frac{v_0}{R}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = kmR^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(kmR^2)(\frac{v_0}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2(1+k)$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સ્થિતિઊર્જા $U_f = mgh$ છે.
$K_i = U_f$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_0^2(1+k) = mgh$.
આમ,$h = \frac{v_0^2(1+k)}{2g}$.
આપેલ છે કે $h = \frac{7v_0^2}{10g}$,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v_0^2(1+k)}{2g} = \frac{7v_0^2}{10g} \Rightarrow 1+k = \frac{14}{10} = 1.4 \Rightarrow k = 0.4$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે,તેથી $k = 0.4$.
તેથી,તે વસ્તુ નક્કર ગોળો છે.