SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(C) $1$. दोलन के उच्चतम बिंदु पर,स्प्रिंग अपनी अधिकतम सीमा तक खिंची होती है। जैसे ही द्रव्यमान संतुलन स्थिति की ओर नीचे की ओर बढ़ता है,प्रत्यानयन बल (स्प्रिंग बल) ऊपर की दिशा में कार्य करता है,लेकिन नेट बल (गुरुत्वाकर्षण माइनस स्प्रिंग बल) नीचे की ओर निर्देशित होता है।
$2$. चूंकि नेट बल विस्थापन की दिशा में (नीचे की ओर) है,इसलिए नेट बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है $(W = F \cdot d > 0)$।
$3$. कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया धनात्मक कार्य उसकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे द्रव्यमान संतुलन स्थिति के करीब आता है,उसकी गति बढ़ती है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान $M$ समान हैं,इसलिए कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \sqrt{k_1/M}$ और $\omega_2 = \sqrt{k_2/M}$ हैं।
चूंकि अधिकतम वेग समान हैं,हमारे पास $V_{\max, 1} = V_{\max, 2}$ है,जिसका अर्थ है $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$।
इसलिए,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$ है।
$\omega_1$ और $\omega_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{k_2/M}}{\sqrt{k_1/M}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$।

(D) यंग मापांक $(E)$ की परिभाषा के अनुसार:
$E = \frac{F L}{A \Delta L}$
जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
बल $(F)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$F = \left( \frac{EA}{L} \right) \Delta L$ --- $(1)$
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल:
$F = k \Delta L$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें बल नियतांक $(k)$ प्राप्त होता है:
$k = \frac{EA}{L}$
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $(T)$:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
$k$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{EA/L}} = 2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$
अतः,आवर्तकाल $2\pi \sqrt{\frac{ML}{EA}}$ है और बल नियतांक $\frac{EA}{L}$ है।

(D) मान लीजिए कि डिस्क के घूर्णन के कारण स्प्रिंग में विस्तार $\Delta \ell$ है।
स्प्रिंग की कुल लंबाई $r = \ell_{0} + \Delta \ell$ हो जाती है।
द्रव्यमान $m$ की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,$k \Delta \ell = m \omega^{2} r = m \omega^{2} (\ell_{0} + \Delta \ell)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k \Delta \ell - m \omega^{2} \Delta \ell = m \omega^{2} \ell_{0}$.
$\Delta \ell (k - m \omega^{2}) = m \omega^{2} \ell_{0}$.
$\Delta \ell = \frac{m \omega^{2} \ell_{0}}{k - m \omega^{2}}$.
चूंकि यह दिया गया है कि $k >> m \omega^{2}$,हम $k - m \omega^{2} \approx k$ मान सकते हैं।
इसलिए,$\Delta \ell \approx \frac{m \omega^{2} \ell_{0}}{k}$.
लंबाई में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta \ell}{\ell_{0}} = \frac{m \omega^{2}}{k}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि द्रव्यमान को साम्यावस्था से दाईं ओर $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस स्थिति में,बाईं ओर की स्प्रिंग $x$ के बराबर लंबाई तक खिंच जाती है और दाईं ओर की स्प्रिंग उतनी ही लंबाई तक दब जाती है।
द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$F_{1} = -k x$ (बाईं ओर की स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल,जो द्रव्यमान को माध्य स्थिति की ओर खींचने का प्रयास करता है)
$F_{2} = -k x$ (दाईं ओर की स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल,जो द्रव्यमान को माध्य स्थिति की ओर धकेलने का प्रयास करता है)
द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल बल,$F$ इस प्रकार दिया गया है:
$F = F_{1} + F_{2} = -k x - k x = -2 k x$
चूंकि कुल बल $F$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है और माध्य स्थिति की ओर निर्देशित है $(F \propto -x)$,इसलिए द्रव्यमान द्वारा की गई गति सरल आवर्त गति है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -K_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = 2 k$ प्राप्त होता है।
दोलनों का आवर्तकाल इस प्रकार है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

(N/A) ब्लॉक $SHM$ करता है। कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{1}} = 7.07 \; rad \; s^{-1}$ है।
आयाम $A = 0.1 \; m$ और विस्थापन $x = 0.05 \; m$ दिया गया है।
$x = 0.05 \; m$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$:
$P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.05)^2 = 25 \times 0.0025 = 0.0625 \; J$.
निकाय की कुल ऊर्जा $(E)$ स्थिर रहती है और यह अधिकतम विस्थापन $(x = A)$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.1)^2 = 25 \times 0.01 = 0.25 \; J$.
$x = 0.05 \; m$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$:
$K.E. = E - P.E. = 0.25 - 0.0625 = 0.1875 \; J \approx 0.19 \; J$.

(N/A) दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{5.0\; kg}{500\; N m^{-1}}} = 2 \pi \sqrt{0.01} = 2 \pi \times 0.1 = 0.2 \pi \; s \approx 0.63\; s$.
$(b)$ अधिकतम गति $v_{max} = A \omega$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
$v_{max} = 0.1\; m \times \sqrt{\frac{500\; N m^{-1}}{5\; kg}} = 0.1 \times \sqrt{100} = 0.1 \times 10 = 1.0\; m s^{-1}$.
$(c)$ अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
$a_{max} = \left(\frac{k}{m}\right) A = \left(\frac{500\; N m^{-1}}{5\; kg}\right) \times 0.1\; m = 100 \times 0.1 = 10\; m s^{-2}$.

(B) पैमाने द्वारा मापा जा सकने वाला अधिकतम द्रव्यमान $M = 50\; kg$ है।
स्प्रिंग का अधिकतम विस्थापन पैमाने की लंबाई के बराबर है,$l = 20\; cm = 0.2\; m$।
स्प्रिंग नियतांक $k$ का मान $k = \frac{F}{l} = \frac{Mg}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 9.8\; m/s^2$ का उपयोग करने पर,$k = \frac{50 \times 9.8}{0.2} = 2450\; N/m$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान $m$ के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
$T = 0.6\; s$ दिया गया है,इसलिए $m$ के लिए हल करने पर: $m = k \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 = 2450 \times \left( \frac{0.6}{2 \times 3.14} \right)^2 \approx 22.36\; kg$।
पिंड का भार $W = mg = 22.36 \times 9.8 \approx 219.1\; N$ है।
अतः,पिंड का भार लगभग $219\; N$ है।

(N/A) दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक,$k = 1200 \; N m^{-1}$
द्रव्यमान,$m = 3 \; kg$
आयाम (विस्थापन),$A = 2.0 \; cm = 0.02 \; m$
$(i)$ दोलन की आवृत्ति $(v)$:
आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
$v = \frac{1}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{1200}{3}} = \frac{1}{6.28} \sqrt{400} = \frac{20}{6.28} \approx 3.18 \; Hz$
$(ii)$ अधिकतम त्वरण $(a_{max})$:
अधिकतम त्वरण का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$a_{max} = \frac{k}{m} A = \frac{1200}{3} \times 0.02 = 400 \times 0.02 = 8.0 \; m s^{-2}$
$(iii)$ अधिकतम गति $(v_{max})$:
अधिकतम गति का सूत्र $v_{max} = A \omega$ है।
$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.02 \times \sqrt{\frac{1200}{3}} = 0.02 \times 20 = 0.4 \; m s^{-1}$

(N/A) इन फलनों की आवृत्ति और आयाम समान हैं,लेकिन प्रारंभिक कलाएं भिन्न हैं।
दोलन का आयाम,$A = 2.0 \; cm = 0.02 \; m$.
स्प्रिंग का बल नियतांक,$k = 1200 \; N m^{-1}$.
द्रव्यमान,$m = 3 \; kg$.
दोलन की कोणीय आवृत्ति,$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1200}{3}} = \sqrt{400} = 20 \; rad s^{-1}$.
$(a)$ जब $t = 0$ पर द्रव्यमान माध्य स्थिति पर होता है,तो प्रारंभिक कला $0$ होती है। विस्थापन $x = A \sin(\omega t) = 0.02 \sin(20t)$ है।
$(b)$ अधिकतम खिंची हुई स्थिति पर (अत्यंत दाईं ओर),प्रारंभिक कला $\frac{\pi}{2}$ होती है। विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = A \cos(\omega t) = 0.02 \cos(20t)$ है।
$(c)$ अधिकतम दबी हुई स्थिति पर (अत्यंत बाईं ओर),प्रारंभिक कला $\frac{3\pi}{2}$ (या $-\frac{\pi}{2}$) होती है। विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = -A \cos(\omega t) = -0.02 \cos(20t)$ है।
$SHM$ के लिए ये फलन केवल अपनी प्रारंभिक कलाओं में एक-दूसरे से भिन्न हैं।

(N/A) एक-ब्लॉक प्रणाली के लिए (चित्र $(a)$):
जब मुक्त सिरे पर $F$ बल लगाया जाता है,तो विस्तार $l = F/k$ प्राप्त होता है।
गति का समीकरण $m(d^2x/dt^2) = -kx$ है। यह सरल आवर्त गति है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ है।
दो-ब्लॉक प्रणाली के लिए (चित्र $(b)$):
प्रत्येक सिरे पर $F$ बल कार्य करता है। स्प्रिंग में तनाव $F$ होने के कारण,विस्तार $l = F/k$ प्राप्त होता है। दोनों स्थितियों में विस्तार समान है।
दोलन के लिए,स्प्रिंग के द्रव्यमान केंद्र पर विचार करें। प्रत्येक द्रव्यमान $m$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गति करता है। स्प्रिंग के आधे हिस्से के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ होता है। एक द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण $m(d^2x/dt^2) = -2kx$ है।
इससे $\omega = \sqrt{2k/m}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/(2k)}$ है।

(A) दोलन करने वाले द्रव्यमान के लिए विस्थापन समीकरण इस प्रकार है:
$x = A \cos (\omega t + \theta)$
वेग,समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \theta)$
$t = 0$ पर,विस्थापन $x = x_{0}$ है और वेग $v = -v_{0}$ है (क्योंकि इसे केंद्र की ओर धकेला गया है):
$x_{0} = A \cos \theta \quad \dots(i)$
$-v_{0} = -A \omega \sin \theta \implies A \sin \theta = \frac{v_{0}}{\omega} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$A^2 \cos^2 \theta + A^2 \sin^2 \theta = x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2$
$A^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
$A^2 = x_{0}^2 + \frac{v_{0}^2}{\omega^2}$
अतः,आयाम $A$ है:
$A = \sqrt{x_{0}^2 + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^2}$

(N/A) आरेख पर विचार करें,पत्थर को $P$ बिंदु से गिराया जाता है।
$(a)$ पत्थर $L$ लंबाई तक मुक्त रूप से गिरता है। उसके बाद,डोरी की प्रत्यास्थता एक प्रत्यानयन बल लगाती है। मान लीजिए पत्थर $P$ से $y$ दूरी पर क्षणिक रूप से स्थिर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पत्थर की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = डोरी की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$mgy = \frac{1}{2}k(y - L)^2$
$mgy = \frac{1}{2}k(y^2 - 2yL + L^2)$
$2mgy = ky^2 - 2kyL + kL^2$
$ky^2 - 2(mg + kL)y + kL^2 = 0$
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{2(mg + kL) \pm \sqrt{4(mg + kL)^2 - 4k^2L^2}}{2k}$
$y = \frac{(mg + kL) + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL + k^2L^2 - k^2L^2}}{k}$
$y = L + \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL}}{k}$
$(b)$ अधिकतम वेग तब प्राप्त होता है जब त्वरण शून्य होता है,अर्थात जब तनाव बल वजन के बराबर होता है: $k(y_{eq} - L) = mg$,इसलिए $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$।
प्रारंभिक और संतुलन स्थिति के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$mgy_{eq} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(y_{eq} - L)^2$
$mg(L + \frac{mg}{k}) = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2$
$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$
$v_{max} = \sqrt{2gL + \frac{m^2g^2}{mk}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$।
$(c)$ निम्नतम बिंदु पर पहुँचने के बाद,पत्थर संतुलन स्थिति $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$ के इर्द-गिर्द सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगा।

(A) $m$ द्रव्यमान का एक कण जो प्रत्यानयन बल $F = -kx$ के अंतर्गत $SHM$ कर रहा है,उसकी गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ है।
इसे $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$ से करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{k}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्राप्त होता है।

(N/A) $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक स्प्रिंग से जुड़ा है,जो एक कठोर दीवार से जुड़ी है। ब्लॉक को घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर रखा गया है।
यदि ब्लॉक को एक तरफ खींचकर छोड़ दिया जाता है,तो यह माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द आगे-पीछे की गति करता है।
मान लीजिए $x=0$ उस स्थिति को दर्शाता है जहाँ स्प्रिंग संतुलन में है। $-A$ और $+A$ स्थितियाँ माध्य स्थिति के बाईं और दाईं ओर अधिकतम विस्थापन को दर्शाती हैं।
हुक के नियम के अनुसार,जब स्प्रिंग को विरूपित किया जाता है,तो उस पर एक प्रत्यानयन बल कार्य करता है,जिसका परिमाण विरूपण या विस्थापन के समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में कार्य करता है।
किसी भी समय $t$ पर,यदि ब्लॉक का माध्य स्थिति से विस्थापन $x$ है,तो ब्लॉक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ है:
$F(x) = -kx$ $(1)$
जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$.
दोनों की तुलना करने पर,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$,जिससे $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ का अवकल समीकरण है,जहाँ $\omega^2 = \frac{k}{m}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) जब $m$ द्रव्यमान के किसी पिंड को $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जोड़ा जाता है और उसे उसकी साम्यावस्था से $x$ के छोटे विस्थापन से नीचे खींचा जाता है,तो स्प्रिंग विस्थापन की विपरीत दिशा में एक प्रत्यानयन बल $F$ लगाती है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल का परिमाण विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल साम्यावस्था की ओर निर्देशित है और विस्थापन का विरोध करता है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ जुड़ा हुआ द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि आवृत्ति $f$,स्प्रिंग नियतांक $k$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(f \propto \sqrt{k})$।
एक कठोर स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$,नरम स्प्रिंग की तुलना में अधिक होता है।
इसलिए,एक कठोर स्प्रिंग में दोलन की आवृत्ति अधिक होगी,जिसका अर्थ है कि यह तेजी से दोलन करेगी।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T \propto \sqrt{m}$ है।
अतः, दोलन का आवर्तकाल स्प्रिंग से जुड़े ब्लॉक के द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होता है।

(N/A) स्प्रिंग या सस्पेंशन तार के मरोड़ी नियतांक (जिसे रिस्टोरिंग टॉर्क नियतांक भी कहा जाता है) को प्रति इकाई कोणीय विस्थापन पर उत्पन्न होने वाले प्रत्यानयन बल आघूर्ण (restoring torque) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि किसी स्प्रिंग पर $\tau$ टॉर्क लगाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $\theta$ का कोणीय विस्थापन (angular twist) होता है,तो प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = k\theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ मरोड़ी नियतांक है।
अतः,$k = \frac{\tau}{\theta}$।
मरोड़ी नियतांक का $SI$ मात्रक $\text{N} \cdot \text{m/rad}$ (न्यूटन-मीटर प्रति रेडियन) है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है。
क्षैतिज दोलन में, प्रत्यानयन बल $F = -kx$ होता है。
ऊर्ध्वाधर दोलन में, गुरुत्वाकर्षण बल द्रव्यमान पर कार्य करता है, लेकिन यह केवल स्प्रिंग की संतुलन स्थिति को $\Delta x = \frac{mg}{k}$ की मात्रा से स्थानांतरित करता है。
चूंकि स्प्रिंग नियतांक $k$ और द्रव्यमान $m$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए आवर्तकाल $T$ स्प्रिंग के अभिविन्यास से स्वतंत्र रहता है。
अतः, दोनों स्थितियों में आवर्तकाल समान रहेगा।

(D) स्प्रिंग के सिरे पर लटके हुए पिंड के सरल आवर्त गति $(SHM)$ प्रदर्शित करने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. स्प्रिंग आदर्श होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह द्रव्यमानहीन और पूर्णतः प्रत्यास्थ होनी चाहिए,जो प्रत्यास्थ सीमा के भीतर हुक के नियम $(F = -kx)$ का पालन करे।
$2$. दोलन किसी भी प्रतिरोधी बल,जैसे वायु प्रतिरोध या आंतरिक घर्षण की अनुपस्थिति में होना चाहिए,अन्यथा यह अवमंदित दोलन बन जाएगा।
$3$. संतुलन स्थिति से विस्थापन इतना छोटा होना चाहिए कि प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे समानुपाती बना रहे।

(C) द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m$ स्प्रिंग से जुड़ा द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$ और स्प्रिंग नियतांक $k$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह गुरुत्वीय त्वरण $g$ से स्वतंत्र है।
अतः,जब निकाय को चंद्रमा पर ले जाया जाता है,तो आवर्तकाल अपरिवर्तित रहता है।

(C) स्प्रिंग से लटके हुए $m$ द्रव्यमान के दोलन की आवृत्ति $v$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि आवृत्ति द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और प्रारंभिक आवृत्ति $v_1 = v$ है। नया द्रव्यमान $m_2 = \frac{m}{4}$ है।
समानुपातिकता $v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{m}{m/4}} = \sqrt{4} = 2$
अतः,नई आवृत्ति $v_2 = 2v$ होगी।

(B) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए,दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि विस्तार $x = 20\, cm = 0.2\, m$ भार $mg$ के कारण है,इसलिए $mg = kx$,जिसका अर्थ है $\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$।
$x = 0.2\, m$ और $g = 9.8\, m/s^2$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{49}}$।
$T = 2\pi \times \frac{1}{7} = \frac{2 \times 3.14}{7} \approx 0.897\, s$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 0.90\, s$ प्राप्त होता है।

(N/A) चित्र के अनुसार,ब्लॉक को दाईं ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
दाईं ओर की स्प्रिंग $x$ दूरी तक संकुचित हो जाती है,जिससे ब्लॉक पर बाईं ओर $kx$ का प्रत्यानयन बल उत्पन्न होता है।
बाईं ओर की स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है,जिससे ब्लॉक पर बाईं ओर $kx$ का प्रत्यानयन बल उत्पन्न होता है।
अतः,ब्लॉक पर बाईं ओर लगने वाला कुल प्रत्यानयन बल $F$ है:
$F = kx + kx$
$\therefore F = 2kx$

(N/A) मान लीजिए कि स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ है। जब द्रव्यमान $M$ को नीचे की ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो घिरनी (pulley) $x$ दूरी नीचे चली जाती है। चूंकि डोरी अवितान्य (inextensible) है और घिरनी के ऊपर से गुजरती है,इसलिए घिरनी से जुड़ी डोरी के दोनों हिस्से $x$ दूरी नीचे जाने चाहिए। इससे स्प्रिंग में $2x$ का अतिरिक्त विस्तार होता है।
स्प्रिंग बल में परिवर्तन $\Delta F = k(2x) = 2kx$ है।
चूंकि डोरी घिरनी से दोनों तरफ जुड़ी हुई है,द्रव्यमान $M$ पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) $F_{rest}$ घिरनी के दोनों तरफ तनाव में हुए परिवर्तनों का योग है। डोरी के प्रत्येक हिस्से में तनाव में $\Delta T = k(2x) = 2kx$ का परिवर्तन होता है।
इसलिए,कुल प्रत्यानयन बल $F_{rest} = 2 \times \Delta T = 2 \times (2kx) = 4kx$ है।
इसे $SHM$ के मानक प्रत्यानयन बल समीकरण $F = -k_{eff}x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 4k$ प्राप्त होता है।
निकाय का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{4k}} = \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$।

(N/A) स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय माध्य स्थिति से $A = 5 \, cm$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक $k = 50 \, N/m$
आयाम $A = 5 \, cm = 0.05 \, m$
द्रव्यमान $m = 2 \, kg$
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार है:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$
सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का सामान्य समीकरण:
$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$
$t = 0$ पर,ब्लॉक अपने अधिकतम विस्थापन $x = A$ पर है (क्योंकि इसे $5 \, cm$ खींचकर विरामावस्था से छोड़ा गया है)।
$x(0) = A \sin(\phi) = A$
$\sin(\phi) = 1 \implies \phi = \frac{\pi}{2} \, rad$
मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$x(t) = 5 \sin(5t + \frac{\pi}{2})$
चूंकि $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos(\theta)$,
$x(t) = 5 \cos(5t)$
जहाँ $x$ का मान $cm$ में और $t$ का मान सेकंड में है।

(N/A) मान लीजिए स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब हाथ का सहारा हटा लिया जाता है,तो $m$ द्रव्यमान का पिंड दोलन करना शुरू कर देता है। प्राप्त सबसे निचला बिंदु $x_{max} = 4 \, cm = 0.04 \, m$ है। इस बिंदु पर वेग शून्य है,इसलिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mgx_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$mg = \frac{1}{2} k x_{max} \implies x_{max} = \frac{2mg}{k}$.
साम्यावस्था (माध्य स्थिति) $x_{eq} = \frac{mg}{k}$ पर है।
आयाम $A$ माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक की दूरी है:
$A = x_{max} - x_{eq} = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$.
चूंकि $x_{max} = 4 \, cm$,इसलिए $\frac{2mg}{k} = 4 \, cm$,जिसका अर्थ है कि $\frac{mg}{k} = 2 \, cm$.
अतः,आयाम $A = 2 \, cm = 0.02 \, m$.
$(b)$ दोलन की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{mg}{k} = 0.02 \, m$ से,हमें $\frac{k}{m} = \frac{g}{0.02} = \frac{9.8}{0.02} = 490 \, s^{-2}$ प्राप्त होता है।
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{490} \approx \frac{22.136}{6.28} \approx 3.52 \, Hz$.

(B) संतुलन स्थिति पर,ब्लॉक का वेग अधिकतम होता है,जो $V_0 = \omega_0 A = \sqrt{\frac{k}{m}} A$ द्वारा दिया जाता है।
जब संतुलन स्थिति पर आधा द्रव्यमान अलग हो जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m/2$ का वेग $V_0$ ही रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में प्रणाली पर कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है।
माना नया आयाम $A'$ है। नई कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m/2}} = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{2} \omega_0$ है।
चूंकि संतुलन स्थिति पर वेग $V_0 = \omega' A'$ है,इसलिए:
$\omega_0 A = \omega' A'$
$\omega_0 A = (\sqrt{2} \omega_0) A'$
$A' = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
अतः,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) गति का दिया गया समीकरण $y = y_{0} \sin^{2} \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{y_{0}}{2} (1 - \cos 2\omega t)$
$y - \frac{y_{0}}{2} = -\frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$
यह समीकरण संतुलन स्थिति $y_{eq} = \frac{y_{0}}{2}$ के चारों ओर सरल आवर्त गति को दर्शाता है,जिसका आयाम $A = \frac{y_{0}}{2}$ है।
एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,संतुलन स्थिति बिना खिंची हुई स्थिति से $y_{eq} = \frac{mg}{k}$ की दूरी पर होती है।
इसलिए,$\frac{y_{0}}{2} = \frac{mg}{k}$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{m} = \frac{2g}{y_{0}}$।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\Omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
समीकरण $y = \frac{y_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$ से,गति की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है।
अतः,$2\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}}$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\omega = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}} = \sqrt{\frac{2g}{4y_{0}}} = \sqrt{\frac{g}{2y_{0}}}$।

(C) निकाय में $m = 1/4 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक डोरी से जुड़ा है जो $M = 1 \text{ kg}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की डिस्क के ऊपर से गुजरती है,और डोरी का दूसरा सिरा $K = 100 \text{ N/m}$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है।
माना ब्लॉक का विस्थापन $x$ है। ब्लॉक का वेग $v = \dot{x}$ है। डिस्क की कोणीय गति $\omega_d = v/R$ है। स्प्रिंग में विस्तार $x$ है,इसलिए स्प्रिंग बल $Kx$ है।
निकाय की कुल ऊर्जा $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega_d^2 = \text{स्थिरांक}$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है। इस मान और $\omega_d = v/R$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$
$E = \frac{1}{2} Kx^2 + \frac{1}{2} (m + \frac{M}{2}) v^2$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dE}{dt} = Kx \dot{x} + (m + \frac{M}{2}) v \dot{v} = 0$
चूंकि $\dot{x} = v$ और $\dot{v} = a$:
$Kxv + (m + \frac{M}{2}) va = 0$
$a = -\frac{K}{m + M/2} x$
$a = -\omega^2 x$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति:
$\omega = \sqrt{\frac{K}{m + M/2}}$
दिए गए मान $K = 100 \text{ N/m}$,$m = 0.25 \text{ kg}$,$M = 1 \text{ kg}$ रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{100}{0.25 + 1/2}} = \sqrt{\frac{100}{0.75}} = \sqrt{\frac{100}{3/4}} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ rad/s}$.

(C) ब्लॉक $A$ के ब्लॉक $B$ पर न फिसलने के लिए,$A$ पर कार्य करने वाला अधिकतम छद्म बल (pseudo force) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B = 0.25 + 1.25 = 1.5 \ kg$ है।
$SHM$ की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K}{M}} = \sqrt{\frac{100}{1.5}} = \sqrt{\frac{200}{3}} \ rad/s$ है।
निकाय का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ है।
न फिसलने की शर्त $m_A a_{max} \leq \mu m_A g$ है,जो सरल होकर $a_{max} \leq \mu g$ हो जाती है।
$a_{max} = \omega^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega^2 A \leq \mu g$ प्राप्त होता है।
$A \leq \frac{\mu g}{\omega^2} = \frac{0.4 \times 10}{100 / 1.5} = \frac{4}{100 / 1.5} = \frac{4 \times 1.5}{100} = \frac{6}{100} \ m$।
$cm$ में बदलने पर,$A = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंगों के श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ समान होता है।
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $E = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि श्रेणी क्रम में दोनों स्प्रिंगों के लिए बल $F$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा का अनुपात उनके बल नियतांकों के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$.
यहाँ $k_A = 300 \, N/m$ और $k_B = 400 \, N/m$ दिया गया है।
अतः,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(A) दी गई आकृति में,$K_{1}$ और $K_{2}$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं।
श्रेणीक्रम में जुड़े स्प्रिंगों के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}}$
$K_{eq}$ के लिए हल करने पर:
$K_{eq} = \frac{K_{1}K_{2}}{K_{1}+K_{2}}$
स्प्रिंग प्रणाली से जुड़े द्रव्यमान $m$ के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$
$K_{eq}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\left(\frac{K_{1}K_{2}}{K_{1}+K_{2}}\right)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m(K_{1}+K_{2})}{K_{1}K_{2}}}$

(B) चित्र $1$ के लिए,एक स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल इस प्रकार है:
$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
चित्र $2$ के लिए,दो स्प्रिंग श्रेणी में जुड़ी हुई हैं। श्रेणी में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k} \Rightarrow k_{eq} = \frac{k}{2}$
श्रेणी संयोजन के लिए दोलन का आवर्तकाल:
$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}$
अब,अनुपात $\frac{T_b}{T_a}$ ज्ञात करें:
$\frac{T_b}{T_a} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}} = \sqrt{\frac{2M/k}{M/k}} = \sqrt{2}$
दिया गया है कि $\frac{T_b}{T_a} = \sqrt{x}$,इसलिए $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$.

(D) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है।
यह दिया गया है कि कणों $A$ और $B$ के अधिकतम वेग समान हैं,इसलिए $v_{max, A} = v_{max, B}$ है।
अतः,$A_{1}\omega_{1} = A_{2}\omega_{2}$ होगा।
कोणीय आवृत्ति का मान रखने पर: $A_{1}\sqrt{\frac{K_{1}}{m}} = A_{2}\sqrt{\frac{K_{2}}{m}}$।
चूँकि द्रव्यमान $m$ समान हैं,वे कट जाएंगे: $A_{1}\sqrt{K_{1}} = A_{2}\sqrt{K_{2}}$।
आयामों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}}$ ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के आयाम का अनुपात $\sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ है।

(B) जब द्रव्यमान $M$ संतुलन स्थिति में होता है,तो उसका वेग अधिकतम होता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$p_{i} = p_{f}$
$M v_{max} = (M + m) v^{\prime}_{max}$
$M (A \omega) = (M + m) (A^{\prime} \omega^{\prime})$
यहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ और $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$ है।
अतः,$M A \sqrt{\frac{k}{M}} = (M + m) A^{\prime} \sqrt{\frac{k}{M+m}}$
$A \sqrt{M k} = A^{\prime} \sqrt{(M + m) k}$
$A^{\prime} = A \sqrt{\frac{M}{M+m}}$

(A) जब $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ होता है।
इसलिए,$K_{eq} = \frac{K}{2}$। नया स्प्रिंग नियतांक $1/2$ के कारक से बदल जाता है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
$K' = K/2$ के साथ नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2M}{K}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}) = \sqrt{2}T$।
अतः,आवर्तकाल $\sqrt{2}$ के कारक से बदल जाता है।

(C) जब $M$ द्रव्यमान के पिंड को नत समतल पर विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंगें एक साथ या तो संकुचित होती हैं या विस्तारित होती हैं।
चूंकि स्प्रिंगें पिंड के विस्थापन के सापेक्ष समानांतर (parallel) जुड़ी हुई हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार है:
$K_{eq} = k_1 + k_2 = k + k = 2k$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$.
दोलन की आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2k}{M}}$.

(D) जब $m$ द्रव्यमान के एक ब्लॉक को $k_1$ और $k_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंगों के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k_1 + k_2$ होता है।
इस प्रश्न में,दोनों स्प्रिंगों का स्प्रिंग नियतांक $2k$ है।
इसलिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = 2k + 2k = 4k$ होगा।
सरल आवर्त दोलक का आवर्तकाल $T$,सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$T = 2\pi \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
$E = KE + PE$
दिया गया है कि $KE = PE$,इसलिए $E = 2 \cdot PE$ या $E = 2 \cdot KE$.
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k y^2$ है,और कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
$KE = PE$ रखने पर $PE = \frac{1}{2} E$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
इसे सरल करने पर $y^2 = \frac{A^2}{2}$,या $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ का उपयोग करने पर,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t)$,जिसका अर्थ है कि $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{4}$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{8}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{T}{x}$ से करने पर,$x = 8$ प्राप्त होता है।

(D) हुक के नियम के अनुसार, $F = Kx$, जहाँ $F$ बल है, $K$ स्प्रिंग नियतांक है, और $x$ विस्थापन है。
दिया गया है $F = 10 \,\,N$ और $x = 5 \,\,cm = 0.05 \,\,m$。
$10 = K \times 0.05 \implies K = \frac{10}{0.05} = 200 \,\,N/m$。
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है。
$m = 2 \,\,kg$ और $K = 200 \,\,N/m$ रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{200}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{100}} = 2 \pi \times \frac{1}{10} = \frac{2 \times 3.14}{10} = 0.628 \,\,s$。

(D) दिया गया गति का समीकरण: $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$.
$t = 0$ पर,$x(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B$. अतः,$B = x(0)$.
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t - B \omega \sin \omega t$.
$t = 0$ पर,$v(0) = A \omega \cos(0) - B \omega \sin(0) = A \omega$. अतः,$A = \frac{v(0)}{\omega}$.
हम $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ को $x(t) = C \cos(\omega t - \phi) = C \cos \omega t \cos \phi + C \sin \omega t \sin \phi$ के रूप में व्यक्त करना चाहते हैं।
$\sin \omega t$ और $\cos \omega t$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = C \sin \phi$ और $B = C \cos \phi$.
वर्ग करके जोड़ने पर: $A^2 + B^2 = C^2 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) = C^2$.
इस प्रकार,$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left( \frac{v(0)}{\omega} \right)^2 + x(0)^2} = \sqrt{\frac{v(0)^2}{\omega^2} + x(0)^2}$.
गुणांकों को विभाजित करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{C \sin \phi}{C \cos \phi} = \tan \phi$.
अतः,$\tan \phi = \frac{A}{B} = \frac{v(0) / \omega}{x(0)} = \frac{v(0)}{x(0) \omega}$,जिसका अर्थ है कि $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{v(0)}{x(0) \omega} \right)$.

(C) दो-पिंड स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{\mu}}$ है,जहाँ $k_{\text{eq}}$ तुल्य स्प्रिंग नियतांक है और $\mu$ समानित द्रव्यमान (reduced mass) है।
$1$. तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{\text{eq}}$ की गणना:
स्प्रिंग श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं। इसलिए,$k_{\text{eq}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
यहाँ $k_1 = k$ और $k_2 = 4k$ दिया गया है,इसलिए:
$k_{\text{eq}} = \frac{k \times 4k}{k + 4k} = \frac{4k^2}{5k} = \frac{4k}{5}$.
$k = 20 \, N/m$ रखने पर:
$k_{\text{eq}} = \frac{4 \times 20}{5} = 16 \, N/m$.
$2$. समानित द्रव्यमान $\mu$ की गणना:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$.
यहाँ $m_1 = 200 \, g = 0.2 \, kg$ और $m_2 = 800 \, g = 0.8 \, kg$ दिया गया है:
$\mu = \frac{0.2 \times 0.8}{0.2 + 0.8} = \frac{0.16}{1.0} = 0.16 \, kg$.
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega$ की गणना:
$\omega = \sqrt{\frac{16}{0.16}} = \sqrt{100} = 10 \, rad/s$.

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक का अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दिया गया है कि $V_{\max,1} = V_{\max,2}$,इसलिए $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$,जिसका अर्थ है $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$.
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ का मान रखने पर,हमें मिलता है $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{m_2}} \times \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1} \times \frac{m_1}{m_2}}$.
यहाँ $k_1 = 2k$,$k_2 = 9k$,$m_1 = 50\,g$,और $m_2 = 100\,g$ है।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{9k}{2k} \times \frac{50}{100}} = \sqrt{\frac{9}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

(A) चित्र $(A)$ के लिए,कुल द्रव्यमान $M = m + 2m = 3m$ है। '$k$' नियतांक वाली दो स्प्रिंगें समानांतर में हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + k = 2k$ है।
आवर्तकाल $T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}$ है।
चित्र $(B)$ के लिए,द्रव्यमान $m$ है। '$k$' और '$2k$' नियतांक वाली दो स्प्रिंगें समानांतर में हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + 2k = 3k$ है।
आवर्तकाल $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}} = \sqrt{\frac{3m}{2k} \cdot \frac{3k}{m}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(D) आकृति $(a)$ के लिए,स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार है:
$K_{eq} = \frac{K \times 2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3}$
दोलन का आवर्तकाल $T$ है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}} = 3 \text{ s}$
आकृति $(b)$ के लिए,स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K'_{eq}$ है:
$K'_{eq} = K + 2K = 3K$
दोलन का आवर्तकाल $T'$ है:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}$
$T'$ को $T$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}}{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}}} = \sqrt{\frac{m}{3K} \times \frac{2K}{3m}} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
दिया गया है $T = 3 \text{ s}$,अतः:
$T' = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \text{ s}$
$T' = \sqrt{x} \text{ s}$ की तुलना $T' = \sqrt{2} \text{ s}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) $SHM$ की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है। माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है,इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा होती है: $E = \frac{p^2}{2m}$,जहाँ $p$ संवेग है।
चूँकि माध्य स्थिति पर द्रव्यमान जोड़ा जाता है,वेग $v$ बदल जाता है,लेकिन द्रव्यमान को अचानक रखने के दौरान संवेग $p$ संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 0.9 \, kg = 900 \, g$। अंतिम द्रव्यमान $m_2 = 900 \, g + 124 \, g = 1024 \, g$।
चूँकि $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{p^2}{2m}$,स्थिर संवेग $p$ के लिए $A \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होता है।
इसलिए,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{1024}{900}} = \frac{32}{30} = \frac{16}{15}$।
दिया गया है कि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\alpha}{\alpha-1} = \frac{16}{16-1}$।
पदों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 16$ प्राप्त होता है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U = 4(1 - \cos 4x)$ द्वारा दी गई है।
संरक्षी बल के लिए,$F = -\frac{dU}{dx}$.
$F = -\frac{d}{dx} [4(1 - \cos 4x)] = -4(0 - (-\sin 4x) \cdot 4) = -16 \sin 4x$.
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\sin 4x \approx 4x$.
अतः,$F \approx -16(4x) = -64x$.
इसे $SHM$ के बल समीकरण $F = -m\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m\omega^2 = 64$ प्राप्त होता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 4 \, kg$ है,इसलिए $4 \cdot \omega^2 = 64$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = 16$,अतः $\omega = 4 \, rad/s$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, s$.
इसकी तुलना $\frac{\pi}{K}$ से करने पर,हमें $K = 2$ प्राप्त होता है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ का उनके संतुलन स्थितियों से विस्थापन क्रमशः $x_1$ और $x_2$ है।
स्प्रिंग का कुल विस्तार $x = x_1 + x_2$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F = -kx$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$m_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} = -kx$
$m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} = -kx$
इनसे,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2 x_1}{dt^2} = -\frac{k}{m_1} x$
$\frac{d^2 x_2}{dt^2} = -\frac{k}{m_2} x$
चूंकि $x = x_1 + x_2$,सापेक्ष त्वरण है:
$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{d^2 x_1}{dt^2} + \frac{d^2 x_2}{dt^2} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) x = -k \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) x$
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $\frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$ है,जहाँ $\omega^2 = k \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) = \frac{k}{\mu}$,और $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ समानित द्रव्यमान (reduced mass) है।
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$