Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(D) $S.H.M.$ निष्पादित कर रहे एक कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ गति का आयाम है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग $A^2$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) सरल आवर्त गति करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र है: $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग $(x^2)$ के सीधे समानुपाती होती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा तब अधिकतम होगी जब विस्थापन $x$ का मान अधिकतम होगा।
चूंकि गति का आयाम $A$ है,इसलिए अधिकतम विस्थापन $x = \pm A$ होता है।
अतः,$x = \pm A$ पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का योग होती है।
दिया गया है कि विस्थापन $x$ पर,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर है,अर्थात $K.E. = P.E.$
हम जानते हैं कि $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ और $K.E. = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$,जहाँ $a$ आयाम है।
$K.E. = P.E.$ रखने पर:
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
चूंकि $a = 4\, cm$ दिया गया है:
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\, cm$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है।
कुल ऊर्जा $E = K + U$,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है और $U$ स्थितिज ऊर्जा है।
गतिज ऊर्जा $K = K_0 \cos^2 \omega t$ के रूप में दी गई है।
गतिज ऊर्जा का अधिकतम मान $K_{\max}$ तब होता है जब $\cos^2 \omega t = 1$ हो,इसलिए $K_{\max} = K_0$।
$SHM$ की चरम स्थितियों पर,गतिज ऊर्जा शून्य होती है और स्थितिज ऊर्जा अपने अधिकतम मान पर होती है।
चूंकि कुल ऊर्जा $E$ अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है,इसलिए $E = K_{\max} = K_0$।
चरम स्थिति पर,$K = 0$,इसलिए $U_{\max} = E = K_0$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान $K_0$ है।

(A) किसी कण के सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने के लिए,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती और संतुलन स्थिति की ओर होना चाहिए,जिसे $F = -KX$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ बल नियतांक है।
स्थितिज ऊर्जा $U(X)$ और बल के बीच संबंध $F = -\frac{dU}{dX}$ है।
इस व्यंजक का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $U(X) = -\int F dX = -\int (-KX) dX = \int KX dX$.
अतः,$U(X) = \frac{1}{2}KX^2 + C$. संतुलन स्थिति $(X=0)$ पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सरल आवर्त गति के लिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}KX^2$ होती है।

(C) मान लीजिए कि कण का विस्थापन $y$ है और आयाम $a$ है। सरल आवर्त गति में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
प्रश्न के अनुसार,$U = K$:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
$y^2 = a^2 - y^2$
$2y^2 = a^2$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $S.H.M.$ कर रहे एक पिंड की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k a^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ आयाम है।
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k y^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} k a^2 - \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (a^2 - y^2)$ होती है।
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$,इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} k (a^2 - (\frac{a}{2})^2)$
$K = \frac{1}{2} k (a^2 - \frac{a^2}{4})$
$K = \frac{1}{2} k (\frac{3a^2}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k a^2)$
चूँकि $E = \frac{1}{2} k a^2$,इसलिए $K = \frac{3E}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ है।
कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{E} = \frac{y^2}{a^2}$ होता है।
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$,इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{2.5}{E} = \frac{(a/2)^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$E = 2.5 \times 4 = 10 \ J$।

(C) सरल आवर्त गति करते हुए कण की $y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2 y^2$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max}$ आयाम $a$ पर होती है,जो $U_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा उसके अधिकतम मान की एक-चौथाई है:
$U = \frac{1}{4} U_{\max}$
$U$ और $U_{\max}$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2}m\omega^2 y^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{1}{2}m\omega^2$ को हटाने पर:
$y^2 = \frac{1}{4} a^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y = \frac{a}{2}$

(C) $S.H.M.$ कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, g$,आवर्तकाल $T = 2 \, s$,आयाम $a = 10 \, cm$,और विस्थापन $y = 5 \, cm$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$।
मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times 10 \times (\pi)^2 \times (10^2 - 5^2)$
$K = 5 \times \pi^2 \times (100 - 25)$
$K = 5 \times \pi^2 \times 75$
$K = 375 \pi^2 \, ergs$।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ होती है,जहाँ $y$ विस्थापन है।
दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ होती है,जहाँ $a$ आयाम है।
स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ होता है।
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$,इसलिए मान रखने पर:
$\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को कण को उसकी साम्यावस्था से विस्थापित करने के लिए प्रत्यानयन बल के विरुद्ध किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
स्थितिज ऊर्जा की गणना कार्य के समाकलन द्वारा की जाती है: $PE = \int_{0}^{x} F dx = \int_{0}^{x} kx dx = \frac{1}{2}kx^2$।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$,बल नियतांक $k$ और द्रव्यमान $m$ के साथ $\omega^2 = \frac{k}{m}$ संबंध द्वारा जुड़ी होती है,जिसका अर्थ है कि $k = m\omega^2$।
$k$ के इस मान को स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PE = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$।

(B) $T$ आवर्तकाल वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है,जिसका आवर्तकाल भी $T = 2\, s$ ही रहता है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} m A^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$ है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा दोनों $2\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ बदलती हैं,जिसका अर्थ है कि उनका आवर्तकाल $T' = \frac{T}{2} = \frac{2\, s}{2} = 1\, s$ होता है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $1\, s$ के आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त परिवर्तन प्रदर्शित करती है।

(B) $S.H.M.$ में $y$ विस्थापन पर कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ द्वारा दी जाती है।
कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
प्रश्न के अनुसार,तात्कालिक स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की आधी है,इसलिए $U = \frac{1}{2} E$.
मान रखने पर,$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$.
इसे सरल करने पर,$y^2 = \frac{a^2}{2}$,जिसका अर्थ है $y = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $a = 6\, cm$ दिया गया है,इसलिए $y = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \times \sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242\, cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दूरी $4.2\, cm$ है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 1\,kg$ है।
विस्थापन समीकरण $y = 6\sin(100t + \pi/4)$ है।
इसे मानक सरल आवर्त गति समीकरण $y = A\sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर:
आयाम $A = 6\,cm = 6 \times 10^{-2}\,m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\,rad/s$ है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ का सूत्र:
$K_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$.
मान रखने पर:
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 1 \times (100)^2 \times (6 \times 10^{-2})^2$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 36 \times 10^{-4}$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 0.0036$.
$K_{\max} = 0.5 \times 36 = 18\,J$.

(C) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ है।
स्थितिज ऊर्जा $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ है।
गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों $2\omega$ की कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करती हैं।
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ है,इसलिए ऊर्जा दोलन की आवृत्ति $f' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2f$ होगी।
अतः,जिस आवृत्ति पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है,वह $2f$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{1}{2} K a^2$
जहाँ:
$K$ बल नियतांक (स्प्रिंग नियतांक) है,
$a$ दोलन का आयाम है।
चूंकि कुल ऊर्जा किसी भी बिंदु पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है,इसलिए यह गति के दौरान स्थिर रहती है और तात्कालिक विस्थापन $x$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $K$ और आयाम $a$ पर निर्भर करती है।

(D) $S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 = 80 \, J$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 y^2}{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2} = \frac{y^2}{a^2}$.
दिया गया है कि कण माध्य स्थिति से $y = \frac{3}{4} a$ दूरी पर है:
$\frac{U}{80} = \frac{(\frac{3}{4} a)^2}{a^2} = \frac{9}{16}$.
$U$ के लिए हल करने पर:
$U = 80 \times \frac{9}{16} = 5 \times 9 = 45 \, J$.

(C) एक सरल आवर्ती दोलक की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} k x^2$
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
समीकरणों में $x = 0$ रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} k A^2$ (जो अधिकतम मान है)
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (जो न्यूनतम मान है)
अतः,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा अधिकतम और स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(C) $S.H.M.$ में,स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = \frac{1}{2} k y^2$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $y$ विस्थापन है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों पर होती है,जहाँ $y = \pm a$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{1}{2} k (a^2 - y^2)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर होती है,जहाँ $y = 0$ होता है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति $(y = \pm a)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा की स्थिति $(y = 0)$ के बीच का विस्थापन $| \pm a - 0 | = a$ है।

(B) सरल आवर्त दोलक की $y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ द्वारा दी जाती है।
दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ होता है।
यह दिया गया है कि कण अपने अंतिम बिंदु से आधी दूरी पर है,इसलिए विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$U = \frac{1}{4}E$।

(B) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति पर,$x = 0$ होता है। इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा)।
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - 0^2) = \frac{1}{2} k A^2$ (अधिकतम गतिज ऊर्जा)।
कुल ऊर्जा $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$,जो गति के दौरान हमेशा स्थिर रहती है।
अतः,माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,जिसका आयाम $a$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,तात्क्षणिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ होती है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ के दौरान,औसत गतिज ऊर्जा $< E > = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - a^2 \sin^2(\omega t)) dt = \frac{1}{4}m\omega^2a^2$ प्राप्त होती है।
इसी प्रकार,औसत स्थितिज ऊर्जा $< U > = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 \sin^2(\omega t)) dt = \frac{1}{4}m\omega^2a^2$ प्राप्त होती है।
अतः,सही संबंध $< E > = < U >$ है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के योग के बराबर होती है।
$E = K + U = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$
चूंकि $m$ (द्रव्यमान),$\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $a$ (आयाम) एक दी गई सरल आवर्त गति के लिए नियत रहते हैं,इसलिए कुल ऊर्जा नियत रहती है और यह विस्थापन $x$ से स्वतंत्र होती है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ आयाम है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है,हम इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$E = \frac{1}{2} m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 A^2 = \frac{2 \pi^2 m A^2}{T^2}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E$,आयाम $A$ और आवर्तकाल $T$ पर निर्भर करती है।
सरल आवर्त गति में कुल ऊर्जा हर समय स्थिर रहती है और यह तात्कालिक विस्थापन $x$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,कथन $(1)$ और $(2)$ सही हैं।

(B) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ द्वारा दी जाती है।
विस्थापन $y$ पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ होती है।
गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{K}{E} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2} = \frac{a^2 - y^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
दिया गया है कि $K = 3E/4$,इसलिए:
$\frac{3E/4}{E} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{3}{4} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{y^2}{a^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $y = a/2$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(a\omega \cos(\omega t))^2$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{1}{2}m a^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4}m a^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
पद $\cos(2\omega t)$ इंगित करता है कि गतिज ऊर्जा $2\omega$ की कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करती है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए गतिज ऊर्जा के दोलन की आवृत्ति $2f$ है।

(C) $SHM$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
चूँकि आवर्तकाल $T$ स्थिर रखा गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ भी स्थिर रहेगी।
अतः,कुल ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $E \propto A^2$.
मान लीजिए प्रारंभिक आयाम $A$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E$ है। नया आयाम $A' = \frac{3}{4}A$ है।
नई ऊर्जा $E'$ के लिए $\frac{E'}{E} = \left( \frac{A'}{A} \right)^2$ होगा।
$A'$ का मान रखने पर,$\frac{E'}{E} = \left( \frac{\frac{3}{4}A}{A} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,नई ऊर्जा $E' = \frac{9}{16}E$ होगी।

(D) सरल आवर्त गति में,ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच परिवर्तित होती रहती है।
हालाँकि,कुल यांत्रिक ऊर्जा,जो गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है,पूरी गति के दौरान हमेशा स्थिर रहती है।
इसलिए,कण की कुल ऊर्जा सभी स्थितियों पर समान होती है।

(D) ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = 160 \, J$ दी गई है।
एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,हार्मोनिक दोलन से जुड़ी ऊर्जा (गतिज ऊर्जा का भाग) $E_{osc} = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $E_{osc} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$।
यह $100 \, J$ ऑसिलेटर की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ को दर्शाता है।
चूंकि कुल ऊर्जा $160 \, J$ है और दोलन वाला भाग $100 \, J$ है,इसलिए वहां एक अतिरिक्त स्थिर स्थितिज ऊर्जा $U_0 = 160 - 100 = 60 \, J$ होनी चाहिए।
स्थितिज ऊर्जा $U(x) = U_0 + \frac{1}{2} k x^2$ के अनुसार बदलती है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर होती है,जो $U_{max} = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 60 + 100 = 160 \, J$ है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) ग्राफ से,$t = T/2$ समय पर,विस्थापन $y$ अपनी ऋणात्मक चरम स्थिति $(-A)$ पर है।
चरम स्थिति पर,कण का वेग शून्य होता है $(v = 0)$।
$S$.$H$.$M$. में एक कण की कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का योग होती है,जिसे $E = K.E. + P.E.$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = 0$ पर,$K.E. = 0$ होता है।
अतः,चरम स्थिति पर,$E = P.E.$
इस प्रकार,$T/2$ समय पर स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के बराबर होती है।

(B) $S.H.M.$ करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
$x$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t + 2\phi))$।
यह समीकरण दर्शाता है कि $U$ हमेशा गैर-ऋणात्मक $(U \ge 0)$ है और विस्थापन की आवृत्ति से दोगुनी आवृत्ति $(2\omega)$ के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से बदलता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $B$ एक ऐसे फलन को दर्शाता है जो हमेशा गैर-ऋणात्मक है और जिसकी आवृत्ति मानक साइन तरंग से दोगुनी है,जो $t=0$ पर शून्य से शुरू होती है (मान लें कि $\phi = 0$ है)।
अतः,ग्राफ $B$ समय के साथ स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $x$ संतुलन स्थान $O$ से विस्थापन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन $x$ के साथ परवलयाकार रूप से बदलती है।
माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
चरम स्थितियों ($x = x_1$ और $x = x_2$) पर,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा बनाम विस्थापन का आलेख एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $O$ पर है,जो आलेख $D$ के अनुरूप है।

(A) $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = A \cos \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \omega t = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} \right)$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = A$ है,इसलिए $U$ अधिकतम है। ग्राफ $I$ समय $t = 0$ पर अधिकतम मान से शुरू होने वाले $P.E.$ बनाम $t$ को दर्शाता है,जो समीकरण $U \propto \cos^2 \omega t$ से मेल खाता है।
विस्थापन $x$ के फलन के रूप में,$U = \frac{1}{2} k x^2$,जो ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका न्यूनतम मान $x = 0$ पर है। ग्राफ $III$ $x$ के सापेक्ष $P.E.$ के इस परवलयिक परिवर्तन को दर्शाता है।
अतः,ग्राफ $I$ और $III$ सही हैं।

(A) $S.H.M.$ में,त्वरण $A$ को $A = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया ग्राफ दर्शाता है कि $A$,$t = 0$ पर ऋणात्मक अधिकतम मान से शुरू होता है। इसका तात्पर्य यह है कि $t = 0$ पर विस्थापन $x$ धनात्मक अधिकतम (चरम स्थिति) पर है।
चरम स्थिति पर,कण का वेग $v$ शून्य होता है,और इसलिए गतिज ऊर्जा $(K.E. = \frac{1}{2}mv^2)$ शून्य होती है।
जैसे-जैसे कण माध्य स्थिति की ओर बढ़ता है,उसकी गति बढ़ती है और माध्य स्थिति पर अधिकतम हो जाती है,जहाँ त्वरण शून्य होता है। इस प्रकार,जब त्वरण शून्य होता है तो $K.E.$ अधिकतम हो जाती है।
चूंकि त्वरण समय $T$ में एक पूर्ण चक्र पूरा करता है,इसलिए गतिज ऊर्जा,जो $v^2$ पर निर्भर करती है,उसी समय $T$ में दो चक्र पूरे करती है। $t = 0$ पर शून्य से शुरू होकर,अधिकतम तक पहुँचने और $t = T/2$ पर शून्य पर वापस आने वाला ग्राफ $S.H.M.$ में $K.E.$ के व्यवहार के अनुरूप है। इसे विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(A) $S.H.M.$ करने वाले पिंड के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $K = \frac{1}{4}m A^2 \omega^2 [1 + \cos(2\omega t + 2\phi)]$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि गतिज ऊर्जा $K$ समय $t$ के साथ $S.H.M.$ की आवृत्ति से दोगुनी आवृत्ति के साथ बदलती है और हमेशा गैर-ऋणात्मक $(K \ge 0)$ होती है।
ग्राफ $A$ एक आवर्ती परिवर्तन दिखाता है जहाँ $K$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,जो व्युत्पन्न समीकरण से मेल खाता है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,जब कोई कण अपनी माध्य स्थिति के परितः दोलन करता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ समय के साथ बदलती रहती है।
हालाँकि,कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = K + U)$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है,बशर्ते कि कोई बाहरी घर्षण या अवमंदन बल न हो।
इसलिए,सरल आवर्त दोलन करने वाले कण के लिए गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक अपरिवर्तनीय (invariant) राशि है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A \omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ होती है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$K = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2 \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{1}{4}mA^2 \omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$।
गतिज ऊर्जा की आवृत्ति $\cos(2\omega t)$ पद द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है,इसलिए नई आवृत्ति $f' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2 \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) = 2f$ होगी।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ g$,आयाम $a = 10 \ cm$,आवर्तकाल $T = 2 \ s$,विस्थापन $y = 5 \ cm$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$.
सरल आवर्त गति में कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $K = \frac{1}{2} \times 10 \times (\pi)^2 \times (10^2 - 5^2)$.
$K = 5 \times \pi^2 \times (100 - 25)$.
$K = 5 \times \pi^2 \times 75$.
$K = 375 \pi^2 \ erg$.

(C) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ होती है,जहाँ $a$ आयाम है।
किसी विस्थापन $y$ पर गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2)$ है।
यहाँ दिया गया है कि विस्थापन आयाम का आधा है,अर्थात $y = a/2$ है।
इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - (a/2)^2)$
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - a^2/4)$
$K = \frac{1}{2}m\omega^2(3a^2/4)$
$K = \frac{3}{4}(\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
चूँकि $E = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$,इसलिए:
$K = \frac{3}{4}E$.

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2)$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा समान हैं $(K = U)$:
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - y^2) = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$
दोनों पक्षों से समान पद $\frac{1}{2}m\omega^2$ को हटाने पर:
$a^2 - y^2 = y^2$
$a^2 = 2y^2$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
अतः,$y = a/\sqrt{2}$ स्थिति पर गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा समान होती है।

(A) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $K = K_0 \cos^2(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\cos^2(\omega t)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = K_0$ है।
सरल आवर्त गति में,कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है और यह अधिकतम गतिज ऊर्जा या अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
अतः,$E = K_{max} = K_0$.
चूंकि कुल ऊर्जा $E = K + U$ है,जहाँ $U$ स्थितिज ऊर्जा है,हमें प्राप्त होता है $U = E - K = K_0 - K_0 \cos^2(\omega t) = K_0 \sin^2(\omega t)$.
स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान $U_{max} = K_0$ है।
इसलिए,अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $K_0$ है और कुल ऊर्जा $K_0$ है।

(A) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2)$ है और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है कि $K.E. = P.E.$
$\frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$a^2 = 2x^2$
$x^2/a^2 = 1/2$
$x/a = 1/\sqrt{2}$
अतः,विस्थापन और आयाम का अनुपात $1/\sqrt{2}$ है।

(D) माध्य स्थिति में गतिज ऊर्जा,कुल ऊर्जा और माध्य स्थिति में स्थितिज ऊर्जा का अंतर होती है।
$K.E._{\text{mean}} = E_{\text{total}} - P.E._{\text{mean}} = 9\, J - 5\, J = 4\, J$.
माध्य स्थिति में स्थितिज ऊर्जा $5\, J$ है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,इसलिए $K.E._{\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = 4\, J$.
$m = 2\, kg$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{2} \times 2 \times v_{\text{max}}^2 = 4$,जिसका अर्थ है $v_{\text{max}}^2 = 4$,अतः $v_{\text{max}} = 2\, m/s$.
हम जानते हैं कि $v_{\text{max}} = A \omega$,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$A \omega = 2\, m/s$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $A \times \frac{2\pi}{T} = 2$.
$A = 0.01\, m$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0.01 \times \frac{2\pi}{T} = 2$.
$T = \frac{0.01 \times 2\pi}{2} = 0.01\pi = \frac{\pi}{100}\, s$.

(C) सरल आवर्त गति में एक पिंड की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है कि $AE = 2R$ और $C$ मध्यबिंदु है,इसलिए आयाम $A = R$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ और $D$ पर गतिज ऊर्जा अधिकतम मान की एक-चौथाई है:
$\frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{1}{4} A^2$
$x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A$
चूंकि $A = R$,इसलिए $B$ और $D$ की स्थितियाँ $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} R$ हैं।
$B$ और $D$ के बीच की दूरी $|x_D - x_B| = |\frac{\sqrt{3}}{2} R - (-\frac{\sqrt{3}}{2} R)| = \sqrt{3} R$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक निकाय में,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$E = K + U = \frac{1}{2} k A^2$,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूँकि कुल ऊर्जा किसी भी क्षण विस्थापन $d$ से स्वतंत्र होती है,इसलिए यह गति के दौरान स्थिर रहती है।
ग्राफ $I$,गति की सीमा के भीतर $d$ के सभी मानों के लिए $y$ का एक स्थिर मान दर्शाता है।
अतः,ग्राफ $I$ इस संबंध को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है।

(B) चूंकि कण साम्यावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = T/12$ पर,विस्थापन $x = a \sin(\frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{12}) = a \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{a}{2}$ है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ है।
$x = \frac{a}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।

(C) $S.H.M.$ करने वाले स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $A$ दोलन का आयाम है।
इस व्यंजक में,कुल ऊर्जा केवल स्प्रिंग नियतांक $(k)$ और आयाम $(A)$ पर निर्भर करती है।
यह स्प्रिंग से जुड़े वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है।
चूंकि आयाम $(A)$ को स्थिर रखा गया है और स्प्रिंग नियतांक $(k)$ समान रहता है,इसलिए द्रव्यमान को दोगुना करने पर भी $S.H.M.$ की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहेगी।

(D) $SHM$ में एक कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}m A^2 (4\pi^2 f^2) \cos^2(\omega t) = 2m\pi^2 f^2 A^2 \cos^2(\omega t)$ है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $K = m\pi^2 f^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ प्राप्त होता है।
एक चक्र पर $\cos(2\omega t)$ का औसत मान $0$ है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle = m\pi^2 f^2 A^2$ है।
इसी प्रकार,औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle U \rangle$ भी $m\pi^2 f^2 A^2$ है।
गतिज ऊर्जा के व्यंजक में $\cos(2\omega t)$ पद है,जो दर्शाता है कि गतिज ऊर्जा के दोलन की आवृत्ति $2\omega / 2\pi = 2f$ है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।