Different types of oscillations (Free, Damped, Forced Oscillation and Resonance) Questions in Hindi

(D) प्रणोदित दोलनों में,अनुनाद पर दोलन का आयाम $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + b^2\omega^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
जब अवमंदन बल छोटा होता है (अर्थात $b$ छोटा होता है),तो अनुनाद पर हर (denominator) बहुत छोटा हो जाता है (जहाँ $\omega \approx \omega_0$),जिससे आयाम बहुत अधिक हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता अवमंदन के व्युत्क्रमानुपाती होती है। एक छोटा अवमंदन बल अधिक संकरा और ऊँचा अनुनाद शिखर प्रदान करता है,जिससे अनुनाद वक्र अधिक तीक्ष्ण हो जाता है।

(B) अनुनाद तब होता है जब दोलन का आयाम अनंत $(A \to \infty)$ हो जाता है।
आयाम के लिए दिया गया व्यंजक है: $A = \frac{c}{a + b - c}$।
$A$ के अनंत होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$a + b - c = 0$।
यदि हम $b = 0$ रखते हैं,तो स्थिति $a - c = 0$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $a = c$।
अतः,अनुनाद तब होता है जब $b = 0$ और $a = c$ हो।

(B) अवमंदित दोलक के लिए,आयाम $A = \frac{F/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (b\omega/m)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
आयाम तब अधिकतम होता है जब हर (denominator) न्यूनतम होता है,जो $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2(b/2m)^2}$ पर होता है। अतः,$\omega_1 \neq \omega_0$.
दोलक की ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है और यह अवशोषित शक्ति से भी संबंधित है। कण की ऊर्जा वेग अनुनाद आवृत्ति पर अधिकतम होती है,जो $\omega_2 = \omega_0$ होने पर होती है।
इसलिए,सही संबंध $\omega_1 \neq \omega_0$ और $\omega_2 = \omega_0$ है।

(A) वास्तविक वातावरण में दोलन करने वाला एक सरल लोलक प्रतिरोधी बलों का अनुभव करता है,मुख्य रूप से वायु प्रतिरोध (या वायु घर्षण)।
ये प्रतिरोधी बल गोलक के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
इसके कारण निकाय की यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है,जिससे अवमंदित दोलन (damped oscillations) होते हैं।
जैसे-जैसे समय के साथ दोलन का आयाम धीरे-धीरे कम होता जाता है,लोलक अंततः स्थिर हो जाता है।

(C) हवा में दोलन करने वाला एक सरल लोलक वायु प्रतिरोध (अवमंदन बल) का अनुभव करता है।
अवमंदन बल गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिससे समय के साथ दोलक की ऊर्जा कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,दोलन का आयाम $A$ धीरे-धीरे कम हो जाता है।
अवमंदित हार्मोनिक दोलक के लिए,आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - b^2/4m^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन स्थिरांक है। जैसे-जैसे अवमंदन होता है,प्रभावी आवृत्ति कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
इसलिए,जैसे-जैसे समय बीतता है,$T$ बढ़ता है और $A$ घटता है।

(A) अनुनाद के लिए,आयाम $a_m$ अधिकतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब हर $f(\omega) = a\omega^2 - b\omega + c$ का मान न्यूनतम हो।
एकल अनुनादी आवृत्ति के लिए,द्विघात समीकरण $a\omega^2 - b\omega + c = 0$ का $\omega$ के लिए केवल एक वास्तविक मूल होना चाहिए।
यह तब होता है जब विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ शून्य के बराबर हो।
अतः,एकल अनुनादी आवृत्ति के लिए शर्त $b^2 = 4ac$ है।

(B) प्रणोदित दोलन (forced oscillation) के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos \omega t$ है।
$x = x_0 \cos \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-m \omega^2 x_0 + k x_0 = F_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ है,इसलिए $k = m \omega_0^2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m x_0 (\omega_0^2 - \omega^2) = F_0$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $x_0 = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ है।
इसलिए,विस्थापन $x$,$\frac{1}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ के समानुपाती है।

(B) एक अवमंदित दोलक का आयाम समीकरण $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है,$\lambda$ अवमंदन नियतांक है और $t$ समय है।
दिया गया है कि $t = 1 \text{ मिनट}$ पर,आयाम आधा हो जाता है:
$\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\lambda(1)}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda} \Rightarrow e^{\lambda} = 2$.
अब,$t = 3 \text{ मिनट}$ के लिए,आयाम $A$ होगा:
$A = A_0 e^{-\lambda(3)} = A_0 (e^{-\lambda})^3 = A_0 \left(\frac{1}{e^{\lambda}}\right)^3$
$e^{\lambda} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{A_0}{2^3}$.
इसकी तुलना $\frac{A_0}{X}$ से करने पर,हमें $X = 2^3$ प्राप्त होता है।

(A) अवमंदित लोलक के लिए गति का समीकरण $I \alpha = -mg \ell \theta - b' v \ell$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b'$ अवमंदन स्थिरांक है। गोलाकार बॉब के लिए,ड्रैग बल $F_d = -bv$ है। कोणीय विस्थापन $\theta(t) = \theta_0 e^{-(b/2m)t} \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में होता है।
यह दिया गया है कि आयाम $A(t) = \theta_0 e^{-(b/2m)t}$ के अनुसार घटता है,हम औसत जीवनकाल $\tau$ को उस समय के रूप में परिभाषित करते हैं जब आयाम प्रारंभिक आयाम $\theta_0$ का $1/e$ हो जाता है।
अतः,$\theta_0/e = \theta_0 e^{-(b/2m)\tau}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $1 = (b/2m)\tau$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि प्रश्न में दिया गया समानुपातिकता स्थिरांक $b$ प्रति इकाई द्रव्यमान अवमंदन कारक (जिसे अक्सर $b/m$ के रूप में दर्शाया जाता है) को संदर्भित करता है,औसत जीवनकाल $\tau = 2/b$ है।

(D) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 5 \ s$ पर,$A = 0.9 A_0$ है। इसे समीकरण में रखने पर:
$0.9 A_0 = A_0 e^{-b(5)/2m} \implies e^{-5b/2m} = 0.9$।
हमें अगले $10 \ s$ के बाद आयाम ज्ञात करना है,जिसका अर्थ है कुल समय $t = 5 + 10 = 15 \ s$ पर।
$A(15) = A_0 e^{-b(15)/2m} = A_0 (e^{-5b/2m})^3$।
$e^{-5b/2m} = 0.9$ का मान रखने पर:
$A(15) = A_0 (0.9)^3 = A_0 (0.729)$।
अतः,$\alpha = 0.729$।

(A) $1$. अवमंदन नियतांक $b$ की गणना: बल $F = bv$ होने के कारण,$b = F/v = 120/1 = 120 \ kg/s$.
$2$. अवमंदन पैरामीटर $r$ की गणना: $r = b / (2m) = 120 / (2 \times 700) = 120 / 1400 = 6/70 \approx 0.0857 \ s^{-1}$.
$3$. स्प्रिंग नियतांक $k$ की गणना: $F = kx$ से,$k = 450 / 2 = 225 \ N/m$.
$4$. प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ की गणना: $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{225/700} = \sqrt{9/28} \approx 0.5669 \ rad/s$.
$5$. अवमंदित $SHM$ की कोणीय आवृत्ति $\omega'$ की गणना: $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - r^2} = \sqrt{225/700 - (6/70)^2} = \sqrt{22500/70000 - 36/4900} = \sqrt{225/700 - 36/4900} = \sqrt{(1575 - 36)/4900} = \sqrt{1539}/70 \approx 39.23 / 70 \approx 0.56 \ rad/s$.

(C) एक डैम्प्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $3 \ s$ में आयाम आधा हो जाता है:
$A(3) = A_0 e^{-3b} = \frac{A_0}{2}$
$e^{-3b} = \frac{1}{2} \quad \dots (i)$
अगले $6 \ s$ में,कुल समय $3 \ s + 6 \ s = 9 \ s$ हो जाता है। $t = 9 \ s$ पर आयाम:
$A(9) = A_0 e^{-9b} = A_0 (e^{-3b})^3$
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
$A(9) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{8}\right)$
चूंकि आयाम प्रारंभिक आयाम का $1/x$ हो जाता है,इसलिए $1/x = 1/8$,जिसका अर्थ है $x = 8 = 2^3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब एक पेंडुलम पानी जैसे माध्यम में दोलन करता है,तो वह माध्यम की श्यानता के कारण अवमंदन बल का अनुभव करता है। यह अवमंदन बल दोलन के आयाम को समय के साथ घातांकीय रूप से कम कर देता है। अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है। चूंकि आयाम $A$,$A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ के अनुसार घातांकीय रूप से घटता है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ भी $E(t) = E_0 e^{-2\gamma t}$ संबंध के अनुसार समय के साथ घातांकीय रूप से घटती है। यह घातांकीय क्षय एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जो एक अधिकतम मान से शुरू होता है और जैसे-जैसे समय बढ़ता है,शून्य के करीब पहुंचता है। दिए गए विकल्पों में से,आरेख $C$ समय के साथ ऊर्जा के इस घातांकीय क्षय को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) टर्मिनल वेग पर,ड्रैग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $mg = bv_{t}$।
दिया गया है $m = 3 \ kg$,$v_{t} = 25 \ m/s$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$3 \times 10 = b \times 25$,जिससे $b = \frac{30}{25} = 1.2 \ kg/s$ प्राप्त होता है।
अवमंदन नियतांक $\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{1.2}{2 \times 3} = 0.2 \ s^{-1}$।
अवमंदित $SHM$ की कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
$\omega_0 = \sqrt{\frac{300}{3}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$।
$\omega' = \sqrt{10^2 - (0.2)^2} = \sqrt{100 - 0.04} = \sqrt{99.96}$।
द्विपद सन्निकटन $\sqrt{x^2 - a} \approx x - \frac{a}{2x}$ का उपयोग करने पर,$\omega' \approx 10 - \frac{0.04}{20} = 10 - 0.002 = 9.998 \ rad/s$।

(B) एक अवमंदित दोलक का आयाम $\tau = \frac{2m}{b}$ समय नियतांक के साथ घटता है।
यह दिया गया है कि दोनों प्रणालियों का क्षय समय समान है,इसलिए $\tau_A = \tau_B$.
इसका अर्थ है कि $\frac{2m_A}{b_A} = \frac{2m_B}{b_B}$.
चूंकि $m_A = 2m_B$,हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $\frac{2(2m_B)}{b_A} = \frac{2m_B}{b_B}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को सरल करने पर,हमें $b_A = 2b_B$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक लोलक पानी जैसे माध्यम में दोलन करता है,तो वह अपने वेग के समानुपाती एक प्रतिरोधी बल (अवमंदन बल) का अनुभव करता है। इससे अवमंदित दोलन उत्पन्न होते हैं। किसी भी समय $t$ पर एक अवमंदित दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है: $E = E_0 e^{-\gamma t}$,जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है और $\gamma$ अवमंदन नियतांक है। यह समीकरण समय के साथ ऊर्जा में घातांकीय (exponential) क्षय को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से,जो आरेख समय $t$ बढ़ने के साथ ऊर्जा $E$ में घातांकीय कमी को दर्शाता है,वह आरेख $C$ है।

(D) अवमंदित दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\frac{K}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $T = \frac{\pi}{12} \ s$,अतः कोणीय आवृत्ति $\omega' = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/12} = 24 \ rad/s$ है।
समीकरण में $K = 1250 \ N/m$,$m = 2 \ kg$,और $\omega' = 24 \ rad/s$ का मान रखने पर:
$24 = \sqrt{\frac{1250}{2} - \frac{b^2}{4(2^2)}}$
$24 = \sqrt{625 - \frac{b^2}{16}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$576 = 625 - \frac{b^2}{16}$
$\frac{b^2}{16} = 625 - 576 = 49$
$b^2 = 49 \times 16 = 784$
$b = \sqrt{784} = 28 \ kg/s$.

(B) अवमंदित दोलनों में,आयाम समय के साथ घातीय रूप से घटता है,जिसे $a = a_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन स्थिरांक है और $t$ समय है।
मान लीजिए $T$ एक दोलन का आवर्तकाल है। $n$ दोलनों के बाद,बीता हुआ समय $t = nT$ है।
प्रारंभ में,$100$ दोलनों के बाद,आयाम $a = \frac{a_0}{3}$ है।
अतः,$\frac{a_0}{3} = a_0 e^{-b(100T)}$,जिसका अर्थ है $e^{-100bT} = \frac{1}{3}$।
$200$ दोलनों के बाद,बीता हुआ समय $t = 200T$ है।
नया आयाम $a'$ होगा $a' = a_0 e^{-b(200T)}$।
इसे $a' = a_0 (e^{-100bT})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पहले चरण से मान प्रतिस्थापित करने पर: $a' = a_0 (\frac{1}{3})^2 = \frac{a_0}{9}$।
इस प्रकार,आयाम प्रारंभिक मान का $\frac{1}{9}$ हो जाता है।

(D) अवमंदित आवर्ती दोलक (damped harmonic oscillator) के लिए,$t$ समय पर यांत्रिक ऊर्जा $E$ का मान $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है और $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
हमें दिया गया है कि ऊर्जा अपने प्रारंभिक मान के आधे तक गिर जाती है,इसलिए $E(t) = E_0 / 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $E_0 / 2 = E_0 e^{-bt/m}$.
इसे सरल करने पर $1/2 = e^{-bt/m}$,या $2 = e^{bt/m}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(2) = bt/m$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = (m/b) \ln(2)$.
यहाँ $m = 0.1\, kg$ और $b = 10^{-2}\, kg\,s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $m/b = 0.1 / 10^{-2} = 10\, s$.
अतः,$t = 10 \times \ln(2) \approx 10 \times 0.693 = 6.93\, s$.
दिए गए विकल्पों में से निकटतम मान $7\, s$ है।

(C) बलित आवर्त दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + m \omega^2 x = F(t)$ है।
यहाँ $\omega = 2 \, rad \, s^{-1}$ और $F(t) = \sin(t)$ दिया गया है,इसलिए $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = \frac{1}{m} \sin(t)$.
समानुपातिकता के लिए $m = 1$ लेने पर,विशिष्ट हल $x_p = A \sin(t)$ के रूप में मिलता है।
अवकल समीकरण में रखने पर: $-A \sin(t) + 4A \sin(t) = \sin(t) \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = 1/3$.
प्रारंभिक स्थितियों $x(0) = 0$ और $v(0) = 0$ को ध्यान में रखते हुए,सामान्य हल $x(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$ है।
$x(0) = 0$ रखने पर $c_1 = 0$ प्राप्त होता है।
$v(0) = 0$ रखने पर $v(t) = 2c_2 \cos(2t) + \frac{1}{3} \cos(t) \Rightarrow 2c_2 + 1/3 = 0 \Rightarrow c_2 = -1/6$.
अतः,$x(t) = \frac{1}{3} \sin(t) - \frac{1}{6} \sin(2t) = \frac{1}{3} (\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$.
इसलिए,स्थिति $\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t)$ के समानुपाती है।

(D) अवमंदित दोलक की $t$ समय पर ऊर्जा का सूत्र $E(t) = E_0 e^{-\gamma t}$ है,जहाँ $\gamma = \frac{b}{m}$ अवमंदन नियतांक है।
दिया गया है,प्रारंभिक ऊर्जा $E_0 = 45\, J$ और अंतिम ऊर्जा $E = 15\, J$ है।
$T = 1\, s$ के आवर्तकाल के साथ $15$ दोलन पूरे करने में लगा समय $t = 15 \times T = 15 \times 1 = 15\, s$ है।
मानों को समीकरण में रखने पर: $15 = 45 e^{-\gamma (15)}$.
$45$ से भाग देने पर: $\frac{1}{3} = e^{-15\gamma}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/3) = -15\gamma$.
$-\ln 3 = -15\gamma$.
अतः,$\gamma = \frac{1}{15} \ln 3\, s^{-1}$.

(C) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है। स्टोक्स के नियम के अनुसार,$b = 6\pi \eta r$,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है।
हवा के लिए: $8 = 10 e^{-(b_{air}/2m) \cdot 40} \implies 0.8 = e^{-(b_{air}/2m) \cdot 40}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.8) = -(b_{air}/2m) \cdot 40 \implies \ln(4/5) = -(b_{air}/2m) \cdot 40 \implies \ln(5/4) = (b_{air}/2m) \cdot 40$.
अतः,$(b_{air}/2m) = \frac{\ln(1.25)}{40} = \frac{0.223}{40} = 0.005575 \ s^{-1}$.
दिया गया है कि $\frac{\eta_{air}}{\eta_{CO_2}} = 1.3$,इसलिए $b_{CO_2} = \frac{b_{air}}{1.3}$.
इस प्रकार,$(b_{CO_2}/2m) = \frac{b_{air}}{1.3 \cdot 2m} = \frac{0.005575}{1.3} \approx 0.004288 \ s^{-1}$.
$CO_2$ के लिए: $5 = 10 e^{-(b_{CO_2}/2m) \cdot t} \implies 0.5 = e^{-(0.004288)t}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.5) = -0.004288 \cdot t \implies -0.693 = -0.004288 \cdot t$.
$t = \frac{0.693}{0.004288} \approx 161.6 \ s$.
अतः,समय लगभग $161 \ s$ के करीब है।

(A) अनडैम्पड ऑसिलेटर की कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
डैम्पड ऑसिलेटर की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{r^2}{4m^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{4mk}}$ है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1-x)^n \approx 1-nx$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega \approx \omega_0 (1 - \frac{r^2}{8mk})$ प्राप्त होता है।
समय अवधि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $T \approx T_0 (1 - \frac{r^2}{8mk})^{-1} \approx T_0 (1 + \frac{r^2}{8mk})$ होगा।
समय अवधि में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T_0} = \frac{T - T_0}{T_0} = \frac{r^2}{8mk}$ है।
दिया गया है कि $\frac{r^2}{mk} = 8\% = 0.08$,इसलिए $\frac{\Delta T}{T_0} = \frac{0.08}{8} = 0.01 = 1\%$ है।
चूंकि मान धनात्मक है,इसलिए समय अवधि $1\%$ बढ़ जाती है।

(D) अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का आयाम $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आवृत्ति $f = 5 \text{ Hz}$ है,इसलिए एक दोलन का समय अंतराल $T = \frac{1}{f} = 0.2 \text{ s}$ है।
$10$ दोलनों के लिए लगा समय $t_{10} = 10 \times 0.2 = 2 \text{ s}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ पर,आयाम आधा हो जाता है,इसलिए $A(2) = \frac{A_0}{2}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\gamma(2)} \implies 2 = e^{2\gamma} \implies \gamma = \frac{\ln 2}{2}$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $A(t) = \frac{A_0}{1000}$ हो।
$\frac{A_0}{1000} = A_0 e^{-\gamma t} \implies 1000 = e^{\gamma t} \implies \ln(1000) = \gamma t$.
$3 \ln(10) = \left(\frac{\ln 2}{2}\right) t$.
$t = \frac{6 \ln(10)}{\ln 2} \approx \frac{6 \times 2.303}{0.693} \approx 19.94 \text{ s}$.
अतः,$t \approx 20 \text{ s}$.

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x(t) = e^{-0.1t} \cos(10\pi t + \varphi)$ के साथ तुलना करने पर,हम आयाम को $A(t) = A_0 e^{-0.1t}$ के रूप में पहचानते हैं,जहाँ $A_0 = 1$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम $A(t)$ अपने प्रारंभिक मान $A_0$ का आधा हो जाता है।
$A(t) = \frac{A_0}{2}$ रखने पर,हमें $A_0 e^{-0.1t} = \frac{A_0}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A_0$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-0.1t} = \frac{1}{2}$ या $e^{0.1t} = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $0.1t = \ln(2)$।
$\ln(2) \approx 0.693$ का मान उपयोग करने पर,हमें $0.1t = 0.693$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s$।
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $t \approx 7 \, s$ प्राप्त होता है।

(B) फोर्सड ऑसिलेटर के लिए,आयाम $A$ का सूत्र इस प्रकार है: $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_d^2)^2 + (b\omega_d)^2}}$,जहाँ $F_0$ ड्राइविंग बल का आयाम है,$m$ द्रव्यमान है,$\omega$ प्राकृतिक आवृत्ति है,$\omega_d$ ड्राइविंग आवृत्ति है और $b$ डैम्पिंग स्थिरांक है।
जब ड्राइविंग आवृत्ति $\omega_d$,प्राकृतिक आवृत्ति $\omega$ के करीब होती है,तो पद $(\omega^2 - \omega_d^2)$ बहुत छोटा हो जाता है और शून्य के करीब पहुँच जाता है।
इस स्थिति में,आयाम मुख्य रूप से डैम्पिंग पद द्वारा निर्धारित होता है: $A \approx \frac{F_0}{\sqrt{(b\omega_d)^2}} = \frac{F_0}{b\omega_d}$.
अतः,अधिकतम संभव आयाम $\frac{F_0}{b\omega_d}$ है।

(A) अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का आयाम समय $t$ पर $A(t) = A_0 e^{-\left(\frac{b}{2m}\right)t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $m = 200 \, g = 0.2 \, kg$,$b = 40 \, g \, s^{-1} = 0.04 \, kg \, s^{-1}$.
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $A(t) = \frac{A_0}{2}$ हो।
मान रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\left(\frac{0.04}{2 \times 0.2}\right)t}$.
$\frac{1}{2} = e^{-\left(\frac{0.04}{0.4}\right)t} = e^{-0.1t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.5) = -0.1t$.
$-0.693 = -0.1t$.
$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s \approx 7 \, s$.

(D) समय $t$ पर एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 2 \, s$ पर,आयाम मूल आयाम $A_0$ का $1/3$ हो जाता है:
$\frac{A_0}{3} = A_0 e^{-\frac{b(2)}{2m}}$
$\frac{1}{3} = e^{-\frac{b}{m}}$
अब,हमें $t = 6 \, s$ पर आयाम ज्ञात करना है:
$A(6) = A_0 e^{-\frac{b(6)}{2m}} = A_0 (e^{-\frac{b}{m}})^3$
$e^{-\frac{b}{m}} = 1/3$ का मान रखने पर:
$A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$
दिया गया है कि $A(6) = \frac{A_0}{n}$,इसलिए:
$\frac{A_0}{n} = \frac{A_0}{27}$
$n = 27 = 3^3$.

(D) एक अवमंदित प्रणोदित दोलक के लिए,आयाम $A$ का सूत्र $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + b^2\omega^2}}$ है।
आयाम तब अधिकतम होता है जब हर (denominator) न्यूनतम होता है,जो $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ पर होता है,जहाँ $\gamma = \frac{b}{2m}$ है।
दोलक की ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$।
ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब आयाम अधिकतम होता है,जो शक्ति अवशोषण के संदर्भ में $\omega_2 = \omega_0$ (प्राकृतिक आवृत्ति) पर होता है।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$,यह स्पष्ट है कि $\omega_1 < \omega_0$ है।
अतः,$\omega_1 < \omega_2$।

(B) अनुनाद तब होता है जब किसी निकाय पर एक बाहरी आवर्ती बल इस प्रकार लगाया जाता है कि बाहरी बल की आवृत्ति निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है।
चूंकि अनुनाद में एक बाहरी प्रेरक बल शामिल होता है जो निकाय को एक विशिष्ट आवृत्ति पर कंपन करने के लिए मजबूर करता है,इसलिए यह प्रणोदित दोलन का एक विशेष मामला है।
अतः,अनुनाद प्रणोदित दोलन का एक उदाहरण है।

(C) हवा के घर्षण (अवमंदन) के कारण दोलन करते हुए लोलक का आयाम समय के साथ घटता है। इसे अवमंदित दोलन कहा जाता है।
हालाँकि,दोलन करते हुए लोलक की आवृत्ति उसकी लंबाई $L$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है,जिसका सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है।
चूंकि गति के दौरान $g$ और $L$ स्थिर रहते हैं,इसलिए लोलक की आवृत्ति समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(C) $Assertion$ सही है। अनुनाद तब होता है जब चालक बल की आवृत्ति $(\omega)$ प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति $(\omega_{0})$ के बराबर होती है,जिसके परिणामस्वरूप आयाम अधिकतम होता है।
$Reason$ गलत है। प्रणोदित दोलनों का आयाम बाहरी बल की आवृत्ति बढ़ने के साथ केवल बढ़ता नहीं है। आयाम एक अनुनाद वक्र का पालन करता है; यह तब बढ़ता है जब आरोपित आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है और जब यह इससे दूर जाती है तो घट जाती है।
प्रणोदित,अवमंदित दोलक के लिए दोलन का आयाम इस प्रकार है:
$A = \frac{F_{0} / m}{\sqrt{(\omega^{2} - \omega_{0}^{2})^{2} + (b \omega / m)^{2}}}$
जहाँ $b$ अवमंदन स्थिरांक है और $\omega_{0} = \sqrt{k / m}$ प्राकृतिक आवृत्ति है। जैसे-जैसे $\omega$,$\omega_{0}$ के करीब पहुंचता है,हर (denominator) का मान कम हो जाता है,जिससे आयाम $A$ अपने अधिकतम मान तक पहुंच जाता है।

(N/A) दिया गया है: $m = 200 \; g = 0.2 \; kg$,$k = 90 \; N m^{-1}$,$b = 40 \; g s^{-1} = 0.04 \; kg s^{-1}$.
हम हल्के अवमंदन (light damping) के लिए शर्त की जाँच करते हैं: $\sqrt{km} = \sqrt{90 \times 0.2} = \sqrt{18} \approx 4.243 \; kg s^{-1}$.
चूँकि $b \ll \sqrt{km}$,दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{90}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{450}} = \frac{2\pi}{21.21} \approx 0.296 \; s \approx 0.3 \; s$.
$(b)$ आयाम $A(t)$,$A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ के अनुसार घटता है। $A(t) = A_0/2$ के लिए:
$\frac{1}{2} = e^{-bt/2m} \implies \ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{2m \ln(2)}{b}$.
$t = \frac{2 \times 0.2 \times 0.693}{0.04} = \frac{0.2772}{0.04} = 6.93 \; s$.
$(c)$ यांत्रिक ऊर्जा $E(t)$,$E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ के अनुसार घटती है। $E(t) = E_0/2$ के लिए:
$\frac{1}{2} = e^{-bt/m} \implies \ln(2) = \frac{bt}{m} \implies t = \frac{m \ln(2)}{b}$.
$t = \frac{0.2 \times 0.693}{0.04} = \frac{0.1386}{0.04} = 3.465 \; s \approx 3.46 \; s$.

(A) कार का द्रव्यमान,$m = 3000 \; kg$.
सस्पेंशन सिस्टम में विस्थापन,$x = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
कार के द्रव्यमान को सहारा देने के लिए $4$ स्प्रिंग समानांतर में हैं।
प्रत्यानयन बल के लिए समीकरण $F = 4kx = mg$ है।
अतः,एक पहिये के लिए स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{4x} = \frac{3000 \times 9.8}{4 \times 0.15} = 49000 \; N/m = 4.9 \times 10^4 \; N/m$.
एक पहिये के लिए,द्रव्यमान $M = 750 \; kg$.
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{750}{49000}} \approx 0.778 \; s$.
दोलन का आयाम $50 \%$ कम हो जाता है,इसलिए $A = A_0 e^{-bt/2M} = 0.5 A_0$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(2) = \frac{bt}{2M}$.
$b = \frac{2M \ln(2)}{T} = \frac{2 \times 750 \times 0.693}{0.778} \approx 1336.5 \; kg/s$.

(N/A) वास्तविकता में पूर्णतः शुद्ध सरल आवर्त गति $(SHM)$ संभव नहीं है क्योंकि इसके लिए घर्षण,वायु प्रतिरोध और श्यानता जैसे सभी क्षयकारी बलों की अनुपस्थिति आवश्यक है।
किसी भी भौतिक निकाय में,ये क्षयकारी बल हमेशा मौजूद होते हैं,जो समय के साथ दोलन करने वाले निकाय की ऊर्जा का ह्रास करते हैं।
इसके परिणामस्वरूप अवमंदन (damping) होता है,जहाँ दोलन का आयाम धीरे-धीरे कम हो जाता है और अंततः निकाय स्थिर हो जाता है।
इसलिए,$SHM$ एक आदर्श स्थिति है,जबकि वास्तविक दुनिया के निकाय अवमंदित आवर्त गति प्रदर्शित करते हैं।

(N/A) शुद्ध सरल आवर्त दोलन को एक ऐसे यांत्रिक निकाय की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर दोलन के दौरान कोई प्रतिरोधक या आंतरिक घर्षण बल कार्य नहीं करता है।
ऐसा दोलन एक आदर्श स्थिति है। व्यवहार में इसे प्राप्त करना असंभव है क्योंकि कोई भी यांत्रिक निकाय किसी माध्यम (जैसे हवा या तरल) में दोलन करता है,जो अनिवार्य रूप से वायु प्रतिरोध या श्यानता जैसे प्रतिरोधक बल उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त,निकाय के घटकों के भीतर आंतरिक घर्षण हमेशा मौजूद रहता है। ये बल ऊर्जा का ह्रास करते हैं,जिससे दोलनों का अवमंदन (damping) होता है। इसलिए,व्यवहार में शुद्ध सरल आवर्त गति संभव नहीं है।

(N/A) अवमंदित दोलन: वे दोलन जिनमें दोलक का आयाम समय के साथ घटता जाता है,अवमंदित दोलन कहलाते हैं।
हवा में दोलन करने वाले सरल लोलक की गति अंततः रुक जाती है क्योंकि हवा का प्रतिरोध और आधार पर घर्षण लोलक की गति का विरोध करते हैं।
इन प्रतिरोधी बलों के कारण दोलन प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है,जिससे यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है। संबंध $E = \frac{1}{2} k A^2$ के अनुसार,आयाम $A$ धीरे-धीरे घटता है।
स्प्रिंग द्वारा चित्रण:
चित्र में दिखाए अनुसार,$m$ द्रव्यमान के एक ब्लॉक को $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जोड़कर ऊर्ध्वाधर दिशा में दोलन करते हुए मानिए। यदि ब्लॉक को नीचे खींचकर छोड़ दिया जाए,तो यह $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति के साथ ऊर्ध्वाधर तल में दोलन करता है।
व्यावहारिक रूप से,आसपास का माध्यम (जैसे हवा) ब्लॉक की गति पर अवमंदन बल लगाता है,जिससे ब्लॉक-स्प्रिंग प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है। यह ऊर्जा हानि आसपास के माध्यम और ब्लॉक में ऊष्मा के रूप में दिखाई देती है। अवमंदन बल माध्यम की प्रकृति पर निर्भर करता है; यदि ब्लॉक को किसी तरल में डुबोया जाता है,तो अवमंदन बहुत अधिक होता है और ऊर्जा का क्षय तेजी से होता है। अवमंदन बल सामान्यतः ब्लॉक के वेग के समानुपाती होता है।

(N/A) द्रव माध्यम में दोलक पर कार्य करने वाला प्रतिरोधी बल दोलक के वेग पर निर्भर करता है।
व्यावहारिक रूप से,बहुत अधिक वेग न होने पर,प्रतिरोधी बल दोलक के वेग के सीधे आनुपातिक होता है।
$\therefore F_{d} \propto -v$
$\therefore F_{d} = -bv$ ... $(1)$
जहाँ $b$ एक धनात्मक स्थिरांक है जिसे अवमंदन गुणांक कहा जाता है।
यह माध्यम के गुणों (जैसे श्यानता) और ब्लॉक के आकार और आकृति पर निर्भर करता है।
अवमंदन गुणांक की इकाई $N \cdot s/m$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-1}]$ है।
जब दोलक माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो उसमें उत्पन्न प्रत्यानयन बल $(F_{s})$ होता है: $F_{s} = -kx$ ... $(2)$
अतः,किसी भी समय $t$ पर द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल बल है:
$F = F_{s} + F_{d}$
$\therefore F = -kx - bv$ ... $(3)$
यदि $a(t)$ समय $t$ पर द्रव्यमान का त्वरण है,तो न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma(t)$.
समीकरण $(3)$ में मान रखने पर:
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b \frac{dx}{dt}$
$\therefore m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ ... $(4)$
यह अवमंदित दोलनों के लिए अवकल समीकरण है।
समीकरण $(4)$ का हल है:
$x(t) = A e^{-\frac{bt}{2m}} \cos(\omega' t + \phi)$ ... $(5)$
जहाँ $A e^{-\frac{bt}{2m}}$ समय पर निर्भर आयाम है और $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति है।

(N/A) सरल आवर्त दोलक $(SHO)$ की यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ द्वारा दी जाती है।
अवमंदित दोलक के लिए,समय $t$ पर आयाम $A(t) = A e^{-\frac{b t}{2 m}}$ होता है।
इस आयाम को ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,समय $t$ पर अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t)$ प्राप्त होती है:
$E(t) = \frac{1}{2} k \left(A e^{-\frac{b t}{2 m}}\right)^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} e^{-\frac{b t}{m}}$.
अतः,यांत्रिक ऊर्जा स्थिर नहीं रहती है बल्कि समय के साथ चरघातांकीय (exponentially) रूप से घटती है।
यह समीकरण छोटे अवमंदन के लिए मान्य है जहाँ $b \ll \sqrt{k m}$,जिसका अर्थ है कि विमाहीन अनुपात $\frac{b}{\sqrt{k m}} \ll 1$ है।
यदि $b = 0$ हो,तो यह समीकरण अवमंदन-रहित दोलक की ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ में परिवर्तित हो जाता है।

(N/A) अवमंदित दोलन वे दोलन हैं जिनमें घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे विसपी बलों की उपस्थिति के कारण दोलन करने वाली प्रणाली का आयाम समय के साथ कम हो जाता है।
एक आदर्श प्रणाली में,एक दोलक निरंतर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक कंपन करता रहेगा। हालाँकि,वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में,ऊर्जा गर्मी या ध्वनि के रूप में आसपास के वातावरण में नष्ट हो जाती है।
एक अवमंदित हार्मोनिक दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$b$ अवमंदन स्थिरांक है,और $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है।
इन विसपी बलों के परिणामस्वरूप,प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा धीरे-धीरे कम हो जाती है,जिससे अंततः गति रुक जाती है।

(A) जब कोई दोलक माध्यम में कम वेग से गति करता है,तो उस पर लगने वाला अवमंदन बल $F_d$ दोलक के वेग $v$ के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F_d = -bv$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
अतः,अवमंदन बल दोलक के वेग पर रैखिक रूप से निर्भर करता है।

(N/A) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ द्वारा दिया जाता है।
अवमंदित दोलन का आयाम समय के साथ चरघातांकीय रूप से घटता है और इसे $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है,$b$ अवमंदन स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है और $t$ समय है।
अवमंदित दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है।

(A) एक डैम्प्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - (b/2m)^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega_0$ प्राकृतिक आवृत्ति है,$b$ डैम्पिंग स्थिरांक है और $m$ द्रव्यमान है।
जब डैम्पिंग बहुत भारी (ओवरडैम्प्ड) होती है,तो $(b/2m)^2$ पद $\omega_0^2$ से बड़ा या उसके बराबर हो जाता है।
भारी डैम्पिंग के मामले में,सिस्टम बिल्कुल भी दोलन नहीं करता है; यह संतुलन स्थिति को पार किए बिना वापस आ जाता है।
इसलिए,दोलन की आवृत्ति शून्य हो जाती है।

(A) एक अवमंदित हार्मोनिक दोलक के लिए,किसी भी समय $t$ पर आयाम $A$ का समीकरण $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ होता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है,$b$ अवमंदन स्थिरांक है,$m$ दोलक का द्रव्यमान है और $t$ बीता हुआ समय है।
दिए गए समय $t = 2m$ को मानक अवमंदन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = A_0 e^{-b(2m)/2m}$
घातांक को सरल करने पर,$2m$ पद कट जाते हैं:
$A = A_0 e^{-b}$
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न उस सामान्य रूप के बारे में है जहाँ घातांक में $t$ को $2m$ से प्रतिस्थापित किया गया है। मानक सूत्र $A = A_0 e^{-bt/2m}$ है। अतः,विकल्प $A$ अवमंदित आयाम सूत्र का सही निरूपण है।

(N/A) प्राकृतिक दोलन: जब किसी दोलक को उसकी संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो वह दोलन करना शुरू कर देता है। किसी भी प्रकार के प्रतिरोधी बल की अनुपस्थिति में इसके द्वारा किए गए दोलनों को प्राकृतिक दोलन कहा जाता है।
प्राकृतिक दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega_{0}$ है और आवृत्ति $f_{0}$ है।
मुक्त दोलन: जब किसी निकाय को उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो वह अपनी प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करता है। इन दोलनों को मुक्त दोलन कहा जाता है।
मुक्त दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega$ है।
प्रणोदित (बाह्य) दोलन: किसी बाह्य आवर्ती बल के प्रभाव में निकाय द्वारा किए गए दोलनों को प्रणोदित दोलन कहा जाता है।
प्रणोदित दोलन की कोणीय आवृत्ति को $\omega_{d}$ कहा जाता है। यह बाह्य बल की कोणीय आवृत्ति है।
व्यवहार में दोलन हमेशा किसी माध्यम में होते हैं,इसलिए निकाय पर हमेशा किसी न किसी प्रकार का अवमंदन बल कार्य करता है और अंततः समय के साथ दोलन समाप्त हो जाते हैं। इसलिए दोलनों को बनाए रखने के लिए बाह्य आवर्ती बल की आवश्यकता होती है।
उदाहरण: जब बगीचे में झूले पर बैठा बच्चा समय-समय पर अपने पैरों को जमीन पर मारता है।

(N/A) निकाय में दोलनों को बनाए रखने के लिए,एक बाहरी आवर्ती बल लगाया जाता है,जो इस प्रकार है:
$F(t) = F_{0} \cos \omega_{d} t$
जहाँ $F_{0}$ आयाम है और $\omega_{d}$ ड्राइविंग बल की कोणीय आवृत्ति है।
दोलक पर तीन बल कार्य करते हैं:
$(1)$ प्रत्यानयन बल: $F_{r} = -k x(t)$
$(2)$ प्रतिरोधक (अवमंदन) बल: $F_{s} = -b v(t) = -b \frac{dx}{dt}$
$(3)$ बाहरी आवर्ती बल: $F_{d} = F_{0} \cos \omega_{d} t$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma(t) = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ है।
अतः,$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{r} + F_{s} + F_{d}$
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx - b \frac{dx}{dt} + F_{0} \cos \omega_{d} t$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्रणोदित दोलन का अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_{0} \cos \omega_{d} t$
द्रव्यमान $m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = \frac{F_{0}}{m} \cos \omega_{d} t$

(N/A) छोटे अवमंदन के लिए,एक प्रणोदित दोलक का आयाम $A$ इस प्रकार दिया जाता है: $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_d^2)^2 + (\omega_d b)^2}}$.
जब ड्राइविंग आवृत्ति $\omega_d$ प्राकृतिक आवृत्ति $\omega$ से बहुत दूर होती है,ताकि $\omega_d b << m|\omega^2 - \omega_d^2|$ हो,तो हर (denominator) में $(\omega_d b)^2$ पद की उपेक्षा की जा सकती है।
इस प्रकार,आयाम का सूत्र $A \approx \frac{F_0}{m|\omega^2 - \omega_d^2|}$ हो जाता है।
इस स्थिति में,आयाम मुख्य रूप से अवमंदन नियतांक $b$ के बजाय निकाय के जड़त्व और स्प्रिंग नियतांक द्वारा निर्धारित होता है। जैसे-जैसे $\omega_d$,$\omega$ से दूर जाती है,आयाम काफी कम हो जाता है।
जब $\omega_d = \omega$ होता है,तो आयाम केवल अवमंदन पद द्वारा सीमित होता है,$A = \frac{F_0}{\omega_d b}$। यदि $b = 0$ है,तो अनुनाद पर आयाम अनंत हो जाता है। जैसे-जैसे अवमंदन $b$ बढ़ता है,अधिकतम आयाम कम हो जाता है और थोड़ा विस्थापित हो जाता है।

(N/A) प्रणोदित दोलक का आयाम $A$ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$A = \frac{F_{0}}{\left[m^{2}(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + (\omega b)^{2}\right]^{1/2}}$
जहाँ $F_{0}$ ड्राइविंग बल का आयाम है,$m$ द्रव्यमान है,$\omega_{0}$ प्राकृतिक आवृत्ति है,$\omega$ ड्राइविंग आवृत्ति है,और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
जब ड्राइविंग आवृत्ति $\omega$,प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_{0}$ के बहुत करीब होती है,तो पद $m^{2}(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2}$ का मान $(\omega b)^{2}$ की तुलना में बहुत छोटा हो जाता है।
इस स्थिति में,आयाम लगभग $A \approx \frac{F_{0}}{\omega b}$ होता है।
चूंकि अवमंदन स्थिरांक $b$ शून्य नहीं है,इसलिए आयाम परिमित रहता है और अनंत तक नहीं पहुँचता है।
अनुनाद: वह घटना जिसमें बाहरी बल की ड्राइविंग आवृत्ति दोलक की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब होने पर दोलन का आयाम काफी बढ़ जाता है,उसे अनुनाद कहा जाता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार एक सामान्य डोरी से लटके हुए विभिन्न लंबाई के पाँच सरल लोलकों के एक सेट पर विचार करें।
लोलक-$1$ और $4$ की लंबाई समान है और अन्य लोलकों की लंबाई अलग-अलग है। मान लीजिए कि हम लोलक-$1$ को गति में लाते हैं। इस लोलक से ऊर्जा जोड़ने वाली डोरी के माध्यम से अन्य लोलकों में स्थानांतरित हो जाती है और वे दोलन करना शुरू कर देते हैं।
लोलक-$2$,$3$ और $5$ शुरू में अपनी प्राकृतिक आवृत्तियों और अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करना शुरू करते हैं,लेकिन यह गति धीरे-धीरे अवमंदित (damped) हो जाती है और बनी नहीं रहती है। उनकी दोलन आवृत्तियाँ धीरे-धीरे बदलती हैं और अंततः वे लोलक-$1$ की आवृत्ति (चालक बल की आवृत्ति) के साथ दोलन करते हैं,लेकिन अलग-अलग आयामों के साथ।
लोलक-$4$ अन्य लोलकों से अलग व्यवहार करता है। चूँकि इसकी लंबाई लोलक-$1$ के समान है,इसलिए इसकी प्राकृतिक आवृत्ति भी समान होती है। यह लोलक-$1$ के समान आवृत्ति के साथ दोलन करता है और इसका आयाम धीरे-धीरे बढ़ता है और बहुत बड़ा हो जाता है। यह अनुनाद (resonance) की घटना है।
सामान्य तौर पर,एक प्रणाली की कई प्राकृतिक आवृत्तियाँ हो सकती हैं,उदाहरण के लिए,कंपन करती डोरियाँ,वायु स्तंभ,आदि।

(N/A) अनुनाद तब होता है जब किसी बाहरी आवर्ती बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है,जिससे दोलनों के आयाम में काफी वृद्धि होती है।
अनुनाद के उदाहरण:
$(1)$ झूलते हुए पुल पर मार्च करने वाले सैनिकों को कदम तोड़कर चलने की सलाह दी जाती है। यदि उनके मार्च करने की आवृत्ति पुल की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाती है,तो अनुनाद होता है,जिससे पुल के कंपन का आयाम बहुत बढ़ जाता है,जो पुल को तोड़ सकता है।
$(2)$ पुलों को डिजाइन करते समय,इंजीनियर यह सुनिश्चित करते हैं कि पुल की प्राकृतिक आवृत्ति हवा के झोंकों के कारण लगने वाले बाहरी बल की आवृत्ति से मेल न खाए। यदि ये आवृत्तियाँ समान हो जाती हैं,तो परिणामी अनुनाद संरचनात्मक विफलता का कारण बन सकता है।
$(3)$ भूकंप के दौरान,अलग-अलग ऊंचाई की इमारतें भूकंपीय तरंगों के प्रति अलग तरह से प्रतिक्रिया करती हैं। मध्यम ऊंचाई की संरचनाएं अक्सर क्षति के प्रति अधिक संवेदनशील होती हैं क्योंकि उनकी प्राकृतिक आवृत्तियाँ भूकंपीय तरंगों की आवृत्तियों के करीब होती हैं,जिससे अनुनाद होता है,जबकि कम ऊंचाई और बहुत ऊंची इमारतों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ भूकंपीय तरंगों की आवृत्तियों से काफी अलग होती हैं।