SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(A) प्रारंभ में,स्प्रिंग दोनों द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ को सहारा देती है। संतुलन पर स्प्रिंग में कुल विस्तार $x_1$ हुक के नियम द्वारा दिया जाता है: $(m_1 + m_2)g = K x_1$,जिसका अर्थ है $x_1 = \frac{(m_1 + m_2)g}{K}$।
जब $m_1$ को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2$ के लिए नई संतुलन स्थिति $x_2$ विस्तार पर होती है जो इस प्रकार है: $m_2 g = K x_2$,जिसका अर्थ है $x_2 = \frac{m_2 g}{K}$।
निकाय इस नई संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करना शुरू कर देता है। जिस क्षण $m_1$ को हटाया जाता है,उस क्षण स्प्रिंग अभी भी $x_1$ तक खिंची हुई है,लेकिन नई संतुलन स्थिति $x_2$ है। दोलन का आयाम $A$ प्रारंभिक विस्तार और नई संतुलन स्थिति के विस्तार के बीच का अंतर है:
$A = x_1 - x_2 = \frac{(m_1 + m_2)g}{K} - \frac{m_2 g}{K} = \frac{m_1 g}{K}$।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $k \propto 1/l$ या $kl = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए कि स्प्रिंग की कुल लंबाई $l$ है और इसका बल नियतांक $k$ है।
स्प्रिंग को दो टुकड़ों में इस प्रकार काटा जाता है कि एक टुकड़ा दूसरे की तुलना में दोगुनी लंबाई का है। मान लीजिए कि दो टुकड़ों की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है।
दिया गया है कि $l_1 = 2l_2$ और $l_1 + l_2 = l$.
$l_1$ का मान रखने पर, हमें मिलता है $2l_2 + l_2 = l \Rightarrow 3l_2 = l \Rightarrow l_2 = l/3$.
अतः $l_1 = 2l/3$.
$l_1 = 2l/3$ लंबाई वाले लंबे टुकड़े के लिए, मान लीजिए कि नया बल नियतांक $k_1$ है।
$k_1 l_1 = kl$ का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है $k_1 (2l/3) = kl$.
$k_1 = k / (2/3) = (3/2)k$.

(B) तार $k_1$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है। यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ की परिभाषा से,हमें $k_1 = \frac{F}{\Delta L} = \frac{YA}{L}$ प्राप्त होता है।
दी गई स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k_2 = K$ है।
चूंकि तार और स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ के लिए $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होगा।
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{K} = \frac{KL + YA}{YAK}$।
अतः,$k_{eq} = \frac{YAK}{YA + KL}$।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(YA + KL)}{YAK}}$ होगा।

(A) जब $M$ द्रव्यमान के पिंड को नत समतल पर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंग विकृत हो जाती हैं। एक स्प्रिंग $x$ से संकुचित होती है और दूसरी $x$ से खिंच जाती है।
प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल (restoring force) $F = -Kx$ है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए एक ही दिशा में कार्य करती हैं,इसलिए कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = -Kx - Kx = -2Kx$ है।
निकाय का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = 2K$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$K_{eff} = 2K$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2K}}$ प्राप्त होता है।
समतल का झुकाव दोलन के आवर्तकाल को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि यह केवल द्रव्यमान की संतुलन स्थिति को बदलता है,न कि प्रत्यानयन बल नियतांक को।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ दोलन करने वाला द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्थिति $1$: जब $700 \, g$ द्रव्यमान को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_1 = 500 \, g + 400 \, g = 900 \, g$ है। आवर्तकाल $T_1 = 3 \, s$ है।
$3 = 2\pi \sqrt{\frac{900}{k}} \quad \dots (i)$
स्थिति $2$: जब $500 \, g$ द्रव्यमान को भी हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2 = 400 \, g$ है। माना नया आवर्तकाल $T_2$ है।
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{400}{k}} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{900}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{400}{k}}} = \sqrt{\frac{900}{400}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
अतः,$T_2 = 2 \, s$।

(B) जब $O$ पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण को स्प्रिंग $A$ की दिशा में $y$ का छोटा विस्थापन दिया जाता है,तो स्प्रिंग $A$ $y$ से दब जाती है। स्प्रिंग $B$ और $C$ $y' = y \cos 45^\circ$ से खिंच जाती हैं।
$OA$ दिशा में कण पर लगने वाला कुल प्रत्यानयन बल:
$F_{net} = F_A + F_B \cos 45^\circ + F_C \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + (ky') \cos 45^\circ + (ky') \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + 2k(y \cos 45^\circ) \cos 45^\circ$
$F_{net} = ky + 2ky \cos^2 45^\circ = ky + 2ky(1/2) = ky + ky = 2ky$
इसे $F_{net} = k_{eff} y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k_{eff} = 2k$ प्राप्त होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eff} = 2k$ रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए ग्राफ से,स्थितिज ऊर्जा $U$ विस्थापन $y$ के साथ बदलती है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की स्थितिज ऊर्जा $U(y) = U_0 + \frac{1}{2}ky^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $U_0$ संतुलन स्थिति $(y=0)$ पर न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा है।
ग्राफ से,$y=0$ पर न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $U_0 = 0.01 \text{ J}$ है।
चरम स्थिति $y = 20 \text{ mm} = 0.02 \text{ m}$ पर अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{max} = 0.04 \text{ J}$ है।
अतः,संतुलन से चरम स्थिति तक स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{max} - U_0 = 0.04 \text{ J} - 0.01 \text{ J} = 0.03 \text{ J}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में यह परिवर्तन स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है,जो $\frac{1}{2}kA^2$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
$0.03 = \frac{1}{2} \times k \times (0.02)^2$
$0.03 = \frac{1}{2} \times k \times 0.0004$
$0.03 = k \times 0.0002$
$k = \frac{0.03}{0.0002} = \frac{300}{2} = 150 \text{ N/m}$.

(B) प्रारंभ में,स्प्रिंग संतुलन की स्थिति में है: $k l = Mg \Rightarrow k = \frac{5 \times 10}{0.1} = 500 \ N/m$.
माना $h$ संतुलन स्थिति से ब्लॉक द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,संतुलन स्थिति में कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} k l^2 = Mgh + \frac{1}{2} k (h - l)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 + \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 5 \times 10 \times h + \frac{1}{2} \times 500 \times (h - 0.1)^2$.
$10 + 2.5 = 50h + 250(h^2 - 0.2h + 0.01)$.
$12.5 = 50h + 250h^2 - 50h + 2.5$.
$10 = 250h^2$.
$h^2 = \frac{10}{250} = \frac{1}{25}$.
$h = 0.2 \ m$.

(D) तार एक स्प्रिंग की तरह कार्य करता है जिसका प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_1 = \frac{YA}{L}$ है।
$k_2 = k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग तार के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
श्रेणीक्रम में दो स्प्रिंग के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$।
अतः,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ होता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$।

(D) सरल आवर्त गति में किसी वस्तु का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ होती है।
यह दिया गया है कि अधिकतम वेग समान हैं: $A_1\omega_1 = A_2\omega_2$.
$\omega$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $A_1\sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2\sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान हैं,हम समीकरण को सरल बना सकते हैं:
$A_1\sqrt{k_1} = A_2\sqrt{k_2}$.
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ है।

(C) प्रथम निकाय (श्रेणी संयोजन) के लिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff1} = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ है।
आवृत्ति $n_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff1}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ है।
दूसरे निकाय (समांतर संयोजन) के लिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff2} = k + k = 2k$ है।
आवृत्ति $n_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff2}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sqrt{k/2m}}{\sqrt{2k/m}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,बल नियतांक $k = 80 \text{ N/m}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{80}}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{400}} = 2\pi \times \frac{1}{20} = \frac{\pi}{10}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{3.14}{10} = 0.314 \text{ s}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 0.31 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ होता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $f \propto \sqrt{k}$ होगा।
जब $l$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का नया बल नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 \propto \sqrt{k}$ है।
नई आवृत्ति $f_2 \propto \sqrt{2k}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{2k}{k}} = \sqrt{2}$।
अतः,$f_2 = \sqrt{2} f_1$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $l$ है। जब इस पर $m$ द्रव्यमान रखा जाता है,तो यह संतुलन स्थिति $O'$ तक पहुँचने के लिए $x_0$ तक दब जाती है।
संतुलन पर,स्प्रिंग बल द्रव्यमान के भार को संतुलित करता है: $k x_0 = m g$.
$x_0 = \frac{m g}{k} = \frac{2.0 \times 10}{200} = 0.10\, m = 10\, cm$.
जब द्रव्यमान आयाम $A$ के साथ दोलन करता है,तो द्रव्यमान का अधिकतम ऊपर की ओर त्वरण $a_{max} = A \omega^2$ होता है,जहाँ $\omega^2 = \frac{k}{m}$ है।
द्रव्यमान तश्तरी से तब अलग हो जाएगा जब उसकी गति के उच्चतम बिंदु पर उसका नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक हो जाए।
द्रव्यमान के तश्तरी से संपर्क खोने की शर्त $A \omega^2 \ge g$ है।
$\omega^2 = \frac{k}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A (\frac{k}{m}) \ge g$ प्राप्त होता है।
$A \ge \frac{m g}{k} = x_0$.
इसलिए,द्रव्यमान के अलग होने के लिए आवश्यक न्यूनतम आयाम $A = 10\, cm$ है।

(D) चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली द्रव्यमानहीन स्प्रिंग से $M$ द्रव्यमान लटकाया गया है।
दोलन का आवर्तकाल इस प्रकार है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(i)$
जब इसके साथ एक और $M$ द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो कुल द्रव्यमान $M + M = 2M$ हो जाता है,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ इस प्रकार है:
$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{2M}{k}}$
$T^{\prime} = \sqrt{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}} \right)$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^{\prime} = \sqrt{2} T$

(B) स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई स्प्रिंग के लिए,$T \propto \sqrt{m}$ है।
अतः,$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$ है।
यहाँ,$T_{1} = 3 \ s$,$m_{1} = m$,$T_{2} = 5 \ s$,और $m_{2} = m + 1$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$।
वज्र गुणन करने पर: $9(m + 1) = 25m \Rightarrow 9m + 9 = 25m$।
$16m = 9 \Rightarrow m = \frac{9}{16} \ kg$।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$,हुक के नियम $F = kx$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
यहाँ $F = 6.4 \, N$ और $x = 0.1 \, m$ दिया गया है,इसलिए $6.4 = k(0.1)$,जिससे $k = 64 \, N/m$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
$2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{8} = \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{64} = \frac{m}{64}$.
अतः,$m = 1 \, kg$ प्राप्त होता है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक वेग $= 0$ और अंतिम वेग $= 0$ है।
$mgx - \frac{1}{2} kx^2 = 0$
$x = \frac{2mg}{k}$
जब गोला $x/2$ दूरी नीचे गिरता है,तो स्प्रिंग में खिंचाव $x/2$ होता है।
स्प्रिंग बल $= k(x/2) = k \cdot \frac{2mg}{2k} = mg$ है।
चूंकि स्प्रिंग बल और गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए नेट बल $= 0$ है,जिसका अर्थ है कि $x/2$ स्थिति पर त्वरण $a = 0$ है।
निम्नतम बिंदु $(x)$ पर,नेट बल $= kx - mg = k(\frac{2mg}{k}) - mg = mg$ है।
अतः,$ma = mg \Rightarrow a = g$ (ऊपर की ओर)।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली दो समान स्प्रिंगों के लिए,जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का मान $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ होता है,इसलिए $k_{eq} = \frac{k}{2}$ होगा।
श्रेणीक्रम में आवर्तकाल $T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$ है।
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k'$ का मान $k' = k + k = 2k$ होता है।
समांतर क्रम में आवर्तकाल $T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।
आवर्तकालों का अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}} = \sqrt{\frac{2m}{k} \cdot \frac{2k}{m}} = \sqrt{4} = 2$ है।

(B) सरल आवर्त गति में एक पिंड का अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_P = m_Q = m)$ और उनके अधिकतम वेग समान हैं $(v_P = v_Q)$,
अतः $\omega_1 A_1 = \omega_2 A_2$,जहाँ $A_1$ और $A_2$ क्रमशः $P$ और $Q$ के आयाम हैं।
कोणीय आवृत्ति का सूत्र रखने पर: $\sqrt{\frac{k_1}{m}} A_1 = \sqrt{\frac{k_2}{m}} A_2$.
आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{\frac{k_2}{m}}}{\sqrt{\frac{k_1}{m}}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$.

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोले को द्रव में डुबोया जाता है,तो यह ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल $F_B = V\rho_L g$ का अनुभव करता है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है और $\rho_L$ द्रव का घनत्व है।
गोले का प्रभावी भार $W_{eff} = mg - F_B = V\rho_S g - V\rho_L g = Vg(\rho_S - \rho_L)$ हो जाता है,जहाँ $\rho_S$ गोले का घनत्व है।
चूंकि $\rho_L = \frac{1}{10}\rho_S$ है,इसलिए प्रभावी भार $W_{eff} = Vg(\rho_S - \frac{1}{10}\rho_S) = Vg(\frac{9}{10}\rho_S) = \frac{9}{10}mg$ है।
यह प्रभावी द्रव्यमान $m' = \frac{9}{10}m$ वाले निकाय के समतुल्य है।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{9m}{10k}} = \sqrt{\frac{9}{10}} T$।

(A) सरल आवर्त गति करने वाली स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,साम्यावस्था पर अधिकतम चाल $V$ का सूत्र $V = A \omega$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह आयाम से स्वतंत्र रहती है।
प्रारंभिक आयाम $A$ होने पर,प्रारंभिक चाल $V = A \omega$ है।
जब आयाम को बढ़ाकर $A' = 2A$ कर दिया जाता है,तो साम्यावस्था पर नई अधिकतम चाल $V' = A' \omega = (2A) \omega = 2(A \omega) = 2V$ हो जाती है।
अतः,साम्यावस्था से गुजरते समय द्रव्यमान की चाल $2V$ होगी।

(C) गति करने वाला ब्लॉक $m_1$ स्प्रिंग के संपीड़न चरण के दौरान उसके संपर्क में रहता है,जो समतुल्य निकाय के आवर्तकाल के आधे समय के बराबर होता है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ समानित द्रव्यमान (reduced mass) है।
यहाँ,$m_1 = 2\, kg$,$m_2 = 2\, kg$,और $k = \pi^2\, N/m$ है।
समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\, kg$ है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2\, \sec$ प्राप्त होता है।
गति करने वाला ब्लॉक स्प्रिंग के संपर्क में जितने समय तक रहेगा वह $t = \frac{T}{2} = \frac{2}{2} = 1\, \sec$ है।

(D) कण पर लगने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $U = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x.$
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = -10(x - 2).$
चूंकि $F = -k(x - x_0)$ जहाँ $x_0 = 2\,m,$ इसलिए कण $x = 2\,m$ की साम्यावस्था स्थिति के परितः सरल आवर्त गति करता है।
साम्यावस्था स्थिति $(x = 2\,m)$ पर बल शून्य है,जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य है और कण की चाल अधिकतम है।
$F = -10(x - 2)$ की तुलना $SHM$ के मानक समीकरण $F = -k(x - x_0)$ से करने पर,बल नियतांक $k = 10\,N/m$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = 0.1\,kg$ और $k = 10\,N/m$ रखने पर,
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{10}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi(0.1) = 0.2\pi = \frac{\pi}{5}\,s.$
अतः,सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $1$. साम्यावस्था में खिंचाव: साम्यावस्था पर,द्रव्यमान का भार स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है। $mg = kx \implies 0.2 \times 10 = 200 \times x \implies x = 0.01\,m = 1\,cm.$ अतः,कथन $A$ सत्य है।
$2$. बिना खिंची स्थिति से गति: जब द्रव्यमान को बिना खिंची स्थिति तक ऊपर उठाया जाता है और छोड़ा जाता है,तो दोलन का आयाम $A$ साम्यावस्था विस्थापन $x = 1\,cm$ के बराबर होता है। द्रव्यमान बिना खिंची स्थिति $(0\,cm)$ और सबसे निचले बिंदु $(2A = 2\,cm)$ के बीच दोलन करेगा। अतः,यह ऊपर की ओर बढ़ने से पहले $2\,cm$ नीचे जाएगा। कथन $B$ सत्य है।
$3$. दोलन की आवृत्ति: आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{0.2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{1000} \approx \frac{31.62}{6.28} \approx 5.03\,Hz$ है। यह लगभग $5\,Hz$ है। कथन $C$ सत्य है।
चूंकि सभी कथन सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) $1$. जब लिफ्ट $v_0$ की स्थिर गति से नीचे की ओर बढ़ रही होती है,तो ब्लॉक लिफ्ट के सापेक्ष स्थिर होता है। जब लिफ्ट अचानक रुकती है,तो ब्लॉक जमीन के सापेक्ष $v_0$ के प्रारंभिक वेग के साथ नीचे की ओर गति करना जारी रखता है।
$2$. स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय की संतुलन स्थिति अपरिवर्तित रहती है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल और स्प्रिंग बल संतुलित होते हैं। अब ब्लॉक के पास संतुलन स्थिति में $v_0$ का प्रारंभिक वेग है।
$3$. आयाम $A$ का मान $v_{max} = A\omega_0$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $A = \frac{v_0}{\omega_0}$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$4$. चूंकि ब्लॉक संतुलन स्थिति से धनात्मक (नीचे की) दिशा में गति शुरू करता है,इसलिए गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega_0 t) = \frac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$5$. $SHM$ में अधिकतम गति $v_{max} = A\omega_0 = \frac{v_0}{\omega_0} \cdot \omega_0 = v_0$ है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$6$. $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi)$ के लिए प्रारंभिक कला $\phi$ का मान $0$ है क्योंकि $t=0$ पर,$x=0$ और $v > 0$ है। इसलिए,यह कथन कि प्रारंभिक कला $\pi$ है,गलत है।

(D) जब बेलनाकार ब्लॉक संतुलन में होता है,तो उत्प्लावन बल ब्लॉक के वजन के बराबर होता है:
$F_B = mg \Rightarrow (3\rho) A y g = \rho A h g$,जहाँ $y$ डूबी हुई गहराई है और $h = 60\, cm$ है।
$3y = h \Rightarrow y = h/3 = 60/3 = 20\, cm$.
चूंकि ब्लॉक को तरल से बाहर निकले बिना उसकी डूबी हुई गहराई से अधिक ऊपर नहीं विस्थापित किया जा सकता है,इसलिए अधिकतम आयाम $20\, cm$ है।
संतुलन से $x$ के छोटे विस्थापन के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -(\text{उत्प्लावन बल में परिवर्तन}) = -(A \cdot 3\rho \cdot g) x$ है।
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = 3A\rho g$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = \rho A h$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{(\rho A h) / (3A\rho g)} = 2\pi \sqrt{h / (3g)}$ द्वारा दिया जाता है।
$h = 0.6\, m$ और $g = 9.8\, m/s^2$ रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{0.6 / (3 \times 9.8)} = 2\pi \sqrt{0.6 / 29.4} = 2\pi \sqrt{1/49} = 2\pi/7\, s$.

(D) जब प्लेटफॉर्म का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक हो जाता है,तब सिक्का प्लेटफॉर्म के साथ संपर्क खो देगा।
सरल आवर्त गति में,त्वरण $a = -\omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम नीचे की ओर त्वरण दोलन के उच्चतम बिंदु पर होता है,जहाँ विस्थापन $y = A$ (आयाम) होता है।
अतः,नीचे की ओर त्वरण $a = \omega^2 A$ है।
सिक्का तब संपर्क खो देता है जब प्लेटफॉर्म का नीचे की ओर त्वरण $g$ के बराबर या उससे अधिक हो जाता है।
$\omega^2 A \geq g$
$A \geq \frac{g}{\omega^2}$
इसलिए,जब आयाम $A = \frac{g}{\omega^2}$ तक पहुँच जाता है,तो सिक्का पहली बार उच्चतम बिंदु पर संपर्क खो देता है।

(A) दोनों स्प्रिंग $m$ द्रव्यमान के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ द्वारा दिया जाता है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$ ... $(i)$
जब $k_1$ और $k_2$ दोनों को उनके मूल मानों का चार गुना कर दिया जाता है,तो नए स्प्रिंग नियतांक $k_1' = 4k_1$ और $k_2' = 4k_2$ हो जाते हैं।
नया प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}' = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)$ है।
दोलन की नई आवृत्ति $f'$ का मान $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4(k_1 + k_2)}{m}}$ है।
$f' = 2 \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \right) = 2f$.

(D) माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। चूंकि द्रव्यमान $m$ को रखते समय निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $M$ का वेग $v_1$ है,और $m$ को रखने के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(M+m)$ का वेग $v_2$ है।
संवेग संरक्षण: $M v_1 = (M + m) v_2$.
$S.H.M.$ में अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega = A \sqrt{\frac{k}{m_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले के लिए: $v_1 = A_1 \sqrt{\frac{k}{M}}$.
दूसरे मामले के लिए: $v_2 = A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}}$.
इन मानों को संवेग समीकरण में रखने पर:
$M \left( A_1 \sqrt{\frac{k}{M}} \right) = (M + m) \left( A_2 \sqrt{\frac{k}{M+m}} \right)$.
$A_1 \sqrt{M k} = A_2 \sqrt{(M+m) k}$.
$A_1 \sqrt{M} = A_2 \sqrt{M+m}$.
इसलिए,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}} = \left( \frac{M+m}{M} \right)^{\frac{1}{2}}$.

(A) $SHM$ में परमाणु की आवृत्ति का सूत्र है: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $m$ चांदी के एक परमाणु का द्रव्यमान है।
चांदी के एक परमाणु का द्रव्यमान: $m = \frac{108 \times 10^{-3} \ kg/mol}{6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 1.794 \times 10^{-25} \ kg$.
दिया गया है $f = 10^{12} \ s^{-1}$,$k$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k = m(2\pi f)^2$.
मान रखने पर: $k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (2 \times 3.1416 \times 10^{12})^2$.
$k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (39.478 \times 10^{24}) \approx 7.08 \ N/m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$k = 7.1 \ N/m$ प्राप्त होता है।

(A) ब्लॉक के तख्ते से अलग होने के लिए,तख्ते का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक होना चाहिए।
अलग होने के बिंदु पर,$SHM$ का नीचे की ओर त्वरण $g$ के बराबर होता है।
$SHM$ का अधिकतम त्वरण $a_{max} = A \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a_{max} = g$ रखने पर,हमें $A \omega^2 = g$ प्राप्त होता है।
दिए गए आवर्तकाल $T = 2 \ s$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \ rad/s$ है।
मान रखने पर,हमें $A (\pi)^2 = g$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$A \pi^2 = 10$ मिलता है।
अतः,न्यूनतम आयाम $A = \frac{10}{\pi^2} \ m$ है।

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: कुल द्रव्यमान $M = 2 + 2 = 4 \, kg$ है। संतुलन में स्प्रिंग का विस्तार $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{4 \times 10}{200} = 0.2 \, m = 20 \, cm$ है।
$2$. डोरी जलाने के बाद: निचला द्रव्यमान मुक्त रूप से गिरता है। ऊपरी द्रव्यमान एक नई संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करता है। नई संतुलन स्थिति स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई से $x_{new} = \frac{mg}{k} = \frac{2 \times 10}{200} = 0.1 \, m = 10 \, cm$ नीचे है।
$3$. ऊपरी द्रव्यमान के लिए दोलन का आयाम $A = x_0 - x_{new} = 20 \, cm - 10 \, cm = 10 \, cm$ है।
$4$. ऊपरी द्रव्यमान मूल संतुलन स्थिति (प्राकृतिक लंबाई से $20 \, cm$ नीचे) से शुरू होता है और अपनी उच्चतम स्थिति (ऊपरी चरम) पर पहुँचता है,जो नई संतुलन स्थिति से $10 \, cm$ ऊपर है। इस प्रकार,यह नई संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए $10 \, cm$ और ऊपरी चरम तक पहुँचने के लिए अतिरिक्त $10 \, cm$ की दूरी तय करता है।
$5$. ऊपरी चरम तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{2}{200}} = \frac{\pi}{10} \, s$ है।
$6$. इस समय में,निचला पिंड $h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{\pi}{10})^2 = 5 \times \frac{10}{100} = 0.5 \, m = 50 \, cm$ की दूरी तय करता है।
$7$. ऊपरी पिंड प्राकृतिक लंबाई से $10 \, cm$ नीचे है। निचला पिंड $20 \, cm$ (मूल संतुलन) $+ 10 \, cm$ (डोरी की लंबाई) $+ 50 \, cm$ (मुक्त पतन) $= 80 \, cm$ प्राकृतिक लंबाई से नीचे है।
$8$. उनके बीच की दूरी $80 \, cm - 10 \, cm = 70 \, cm$ है।

(D) ब्लॉक के पलटने से बचने के लिए,पलटने की स्थिति में ब्लॉक के किनारे पर टॉर्क शून्य होना चाहिए।
माना स्प्रिंग बल $F = Kx$ है। स्प्रिंग के जुड़ाव की ऊंचाई $h = 2a/3$ है।
द्रव्यमान केंद्र फर्श से $a/2$ की ऊंचाई पर है।
निचले किनारे पर स्प्रिंग बल के कारण टॉर्क $\tau_s = F \cdot h = (Kx) \cdot (2a/3)$ है।
उसी किनारे पर गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau_g = mg \cdot (a/2)$ है।
पलटने की सीमा के लिए टॉर्क को बराबर करने पर: $(Kx) \cdot (2a/3) = mg \cdot (a/2)$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{mg \cdot a/2}{K \cdot 2a/3} = \frac{mg}{2K} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3mg}{4K}$।
चूंकि यह विकल्प सूचीबद्ध नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'कोई नहीं' है।

(A) संतुलन स्थिति में,स्प्रिंग में खिंचाव $x_e = M_1g/k$ होता है।
जब ब्लॉक को संतुलन स्थिति से $x$ दूरी नीचे खींचकर छोड़ा जाता है,तो यह $x$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति करता है।
स्प्रिंग द्वारा फ्रेम पर लगाया गया अधिकतम ऊपर की ओर बल तब होता है जब ब्लॉक अपने उच्चतम बिंदु पर होता है (संतुलन स्थिति से $x$ दूरी ऊपर)।
इस उच्चतम बिंदु पर,स्प्रिंग $(x - x_e)$ तक दब जाती है।
स्प्रिंग द्वारा फ्रेम पर लगाया गया ऊपर की ओर बल $F_{up} = k(x - x_e)$ है।
फ्रेम के फर्श छोड़ने के लिए,ऊपर की ओर बल को फ्रेम के वजन $M_2g$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$k(x - x_e) = M_2g$।
$x_e = M_1g/k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k(x - M_1g/k) = M_2g$ प्राप्त होता है।
$kx - M_1g = M_2g$।
$kx = (M_1 + M_2)g$।
$x = (M_1 + M_2)g/k$।

(C) प्रत्येक द्रव्यमान $M$,$k$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है। जब उन्हें विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो प्रत्येक द्रव्यमान टक्कर होने तक स्वतंत्र रूप से सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
एक स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ होता है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,इसलिए टक्कर के समय वे अपने वेग का आदान-प्रदान करते हैं। प्रभावी रूप से,प्रत्येक द्रव्यमान दूसरे द्रव्यमान से टकराने से पहले अपने दोलन चक्र का आधा हिस्सा पूरा करता है और फिर अपनी गति को उलट देता है।
प्रणाली के दोलन का कुल आवर्तकाल बाएं द्रव्यमान के आधे दोलन और दाएं द्रव्यमान के आधे दोलन में लगने वाले समय का योग है।
$T_{total} = \frac{T}{2} + \frac{T}{2} = T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$.

(C) दो दोलकों की कोणीय आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:
$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{1200}{3.0}} = 20 \ rad/s$
$\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_2}} = \sqrt{\frac{1200}{27}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} \ rad/s$
दोनों कणों को समान प्रारंभिक विस्थापन $A = 10 \ cm$ से छोड़ा जाता है। समय के फलन के रूप में उनकी स्थिति $x_1(t) = A \cos(\omega_1 t)$ और $x_2(t) = A \cos(\omega_2 t)$ है।
वे तब एक साथ होते हैं जब $x_1(t) = x_2(t)$,जिसका अर्थ है $\cos(20t) = \cos(\frac{20}{3}t)$।
यह तब होता है जब $20t = 2n\pi \pm \frac{20}{3}t$। $t=0$ के बाद पहली बार के लिए,हम ऋणात्मक चिह्न लेते हैं:
$20t = 2\pi - \frac{20}{3}t$
$(20 + \frac{20}{3})t = 2\pi$
$(\frac{60+20}{3})t = 2\pi$
$\frac{80}{3}t = 2\pi$
$t = \frac{6\pi}{80} = \frac{3\pi}{40} \ s$.

(A) दी गई स्थितिज ऊर्जा $U(x) = U_0(1 - \cos ax)$ है।
छोटे दोलनों के लिए,हम $\cos ax \approx 1 - \frac{(ax)^2}{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$U(x) \approx U_0(1 - (1 - \frac{a^2 x^2}{2})) = \frac{1}{2} U_0 a^2 x^2$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सरल आवर्त गति की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ से करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = U_0 a^2$ प्राप्त होता है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{U_0 a^2}{m}} = a \sqrt{\frac{U_0}{m}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{a} \sqrt{\frac{m}{U_0}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{a^2 U_0}}$ होगा।

(A) गतिमान आवेश $q$ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ आनत तल के समानांतर है और ब्लॉक का वेग $\vec{v}$ भी आनत तल के अनुदिश है,इसलिए चुंबकीय बल आनत तल के लंबवत होगा।
चूंकि चुंबकीय बल गति के तल के लंबवत कार्य करता है,इसलिए यह स्प्रिंग के प्रत्यानयन बल (restoring force) को प्रभावित नहीं करता है,जो आनत तल के अनुदिश कार्य करता है।
आनत तल पर ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ है,जहाँ $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
यह कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ के साथ सरल आवर्त गति का मानक समीकरण है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का दोलन के आवर्तकाल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(B) प्रारंभ में, ब्लॉक के वजन के कारण स्प्रिंग $x_0 = \frac{mg}{k}$ तक संकुचित है।
जब लिफ्ट $a = g$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = 2g$ हो जाता है।
लिफ्ट के फ्रेम में ब्लॉक की नई संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) $x_{eq} = \frac{mg_{eff}}{k} = \frac{m(2g)}{k} = \frac{2mg}{k}$ संपीड़न पर है।
ब्लॉक प्रारंभिक स्थिति $x_0 = \frac{mg}{k}$ से शुरू होता है और नई संतुलन स्थिति $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$ की ओर जाता है।
चूंकि ब्लॉक $x_0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है, इसलिए नई संतुलन स्थिति दोलन की माध्य स्थिति है और प्रारंभिक स्थिति एक चरम स्थिति है।
दोलन का आयाम $A = x_{eq} - x_0 = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$ है।
अधिकतम संपीड़न दूसरी चरम स्थिति पर होता है, जो नई संतुलन स्थिति से $A$ दूरी नीचे है।
इसलिए, $x_{max} = x_{eq} + A = \frac{2mg}{k} + \frac{mg}{k} = \frac{3mg}{k}$।
मान रखने पर: $m = 1 \ kg$, $g = 10 \ m/s^2$, $k = 1000 \ N/m$।
$x_{max} = \frac{3 \times 1 \times 10}{1000} = \frac{30}{1000} \ m = 0.03 \ m = 3 \ cm$।

(D) यह गति $y = 0 \ cm$ और $y = 10 \ cm$ के बीच सरल आवर्त गति $(SHM)$ है। माध्य स्थिति $y = 5 \ cm$ पर है।
दोलन का आयाम $A = 5 \ cm = 0.05 \ m$ है।
ग्राफ से,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{max} = 4 \ J$ माध्य स्थिति $(y = 5 \ cm)$ पर है।
$SHM$ में अधिकतम गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k = m\omega^2$ है।
मान रखने पर: $4 = \frac{1}{2} k (0.05)^2$.
$4 = \frac{1}{2} k (0.0025) \implies k = \frac{8}{0.0025} = 3200 \ N/m$.
$SHM$ में नेट बल $F = -k(y - y_{mean})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $y_{mean} = 5 \ cm = 0.05 \ m$ है।
$F = -3200(y - 0.05) = -3200y + 160$.
हालाँकि,$cm$ के संदर्भ में दिए गए विकल्पों को देखते हुए,हम $k_{eff} = \frac{2 KE_{max}}{A^2} = \frac{2 \times 4}{5^2} = \frac{8}{25} \ N/cm$ का उपयोग करते हैं।
अतः,नेट बल $F = -\frac{8}{25}(y - 5) = \frac{8}{25}(5 - y)$ है।

(B) माना ब्लॉक को नीचे की दिशा में $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
इस विस्थापन के कारण,ब्लॉक से जुड़ी डोरी खिंच जाती है,जिससे प्रत्येक स्प्रिंग में $x_1$ का विस्तार होता है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,नीचे की ओर विस्थापन $x$ और विस्तार $x_1$ के बीच का संबंध $x_1 = x \cos \theta$ है।
दोनों स्प्रिंग के कारण ब्लॉक पर लगने वाला प्रत्यानयन बल $F = 2(k x_1) \cos \theta$ है।
बल समीकरण में $x_1 = x \cos \theta$ रखने पर,हमें $F = 2k(x \cos \theta) \cos \theta = (2k \cos^2 \theta) x$ प्राप्त होता है।
इसे मानक प्रत्यानयन बल समीकरण $F = k_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2k \cos^2 \theta$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eff}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k \cos^2 \theta}} = 2\pi \sec \theta \sqrt{\frac{m}{2k}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए बेलन की लंबाई $L$ है। आयतन $V = AL$ है। जब बेलन अपनी आधी लंबाई तक डूबा होता है, तो उत्प्लावन बल $F_B = (A \cdot L/2) \rho g = (V/2) \rho g$ होता है।
साम्यावस्था में, स्प्रिंग बल $k x_0 = (m + M_0)g - F_B$, जहाँ $x_0$ प्रारंभिक विस्तार है।
जब बेलन को $x$ की छोटी दूरी तक नीचे विस्थापित किया जाता है, तो अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_{B}' = A x \rho g$ होता है।
शुद्ध प्रत्यानयन बल $F_{net} = -kx - A x \rho g = -(k + A \rho g)x$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है, जिसमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + A \rho g$ है।
दोलन का आयाम $A_{osc}$ नई साम्यावस्था स्थिति से विस्थापन द्वारा दिया जाता है। जब $M_0$ द्रव्यमान जोड़ा जाता है, तो साम्यावस्था स्थिति $\Delta x = \frac{M_0 g}{k_{eff}}$ से स्थानांतरित हो जाती है।
अतः, दोलन का आयाम $A_{osc} = \frac{M_0 g}{k + A \rho g}$ होगा।

(C) सबसे पहले,हुक के नियम $F = Kx$ का उपयोग करके स्प्रिंग नियतांक $K$ की गणना करें।
यहाँ $F = 6.4 \ N$ और $x = 0.1 \ m$ दिया गया है,इसलिए $K = \frac{F}{x} = \frac{6.4}{0.1} = 64 \ N/m$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$T = \frac{\pi}{4} \ s$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{8} = \sqrt{\frac{m}{64}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{64} = \frac{m}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 1 \ kg$।

(B) मान लीजिए $M$ बॉक्स का द्रव्यमान है और $m$ दोलन करने वाली वस्तु का द्रव्यमान है। पैमाना बॉक्स द्वारा पैमाने पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ को मापता है।
संपूर्ण निकाय (बॉक्स + स्प्रिंग + द्रव्यमान) के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $(M+m)g$ है और ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से,स्प्रिंग द्वारा द्रव्यमान पर लगाया गया बल $F_s = m(g + a)$ है,जहाँ $a$ द्रव्यमान का त्वरण है (ऊपर की दिशा धनात्मक है)।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,द्रव्यमान स्प्रिंग पर समान और विपरीत बल $F_s$ लगाता है,जो बॉक्स में स्थानांतरित हो जाता है।
अतः,पैमाने पर कुल अभिलंब बल $N = Mg + F_s = Mg + m(g + a) = (M+m)g + ma$ है।
पैमाने की रीडिंग तब सबसे अधिक होती है जब त्वरण $a$ का मान अधिकतम धनात्मक (ऊपर की ओर) होता है।
सरल आवर्त गति में,त्वरण हमेशा साम्यावस्था की ओर निर्देशित होता है। न्यूनतम ऊँचाई (सबसे निचले बिंदु) पर,प्रत्यानयन बल ऊपर की ओर और अधिकतम होता है,इसलिए त्वरण $a$ का मान अधिकतम धनात्मक होता है।
इसलिए,पैमाने की रीडिंग तब सबसे अधिक होती है जब द्रव्यमान अपनी न्यूनतम ऊँचाई पर होता है।

(C) दिया गया है $F = 4x^{1/2}$ और द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$।
साम्यावस्था पर,स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल ब्लॉक के भार को संतुलित करता है:
$mg = 4x_0^{1/2}$
$(0.1 \ kg)(10 \ m/s^2) = 4x_0^{1/2}$
$1 = 4x_0^{1/2}$
$x_0^{1/2} = 0.25$
$x_0 = (0.25)^2 = 0.0625 \ m$।
अब,$x = x_0$ पर $x$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन करके समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_e$ ज्ञात करें:
$k_e = \left(\frac{dF}{dx}\right)_{x=x_0} = \frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x_0}}$।
$x_0 = 0.0625$ रखने पर:
$k_e = \frac{2}{\sqrt{0.0625}} = \frac{2}{0.25} = 8 \ N/m$।
कंपन की आवृत्ति $f_n$ इस प्रकार है:
$f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{8}{0.1}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{80} = \frac{4\sqrt{5}}{2\pi} \ Hz$।
अतः,कथन $C$ सही है।

(D) मान लीजिए कि छड़ को नीचे की ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है। चूंकि छड़ क्षैतिज रहती है,इसलिए दोनों स्प्रिंग समान दूरी $x$ तक खिंचती हैं।
पहली स्प्रिंग में प्रत्यानयन बल $F_1 = kx$ है और दूसरी स्प्रिंग में $F_2 = 3kx$ है।
कुल प्रत्यानयन बल $F = F_1 + F_2 = kx + 3kx = 4kx$ है।
इसे $F = k_{eq}x$ के साथ तुलना करने पर,हमें तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = 4k$ प्राप्त होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eq} = 4k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए डोरी में तनाव $T$ है। ब्लॉक पर बल संतुलन से,तनाव $T = mg$ प्राप्त होता है।
घिरनियों और स्प्रिंगों के लिए,मान लीजिए कि तीनों स्प्रिंगों में विस्तार क्रमशः $x_1, x_2, x_3$ है। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff}$ संबंध $x = F/K_{eff}$ द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $x$ ब्लॉक का विस्थापन है।
घिरनियों के लिए बाधा संबंध का उपयोग करते हुए,ब्लॉक का विस्थापन $x$ विस्तारों के साथ $x = \frac{x_1}{2} + 2x_2 + 2x_3$ के रूप में संबंधित है।
डोरी में तनाव $T$ दिए जाने पर,स्प्रिंगों पर बल $F_1 = T/2$,$F_2 = 2T$,और $F_3 = 2T$ हैं।
अतः,$x_1 = \frac{T}{2K}$,$x_2 = \frac{2T}{K}$,और $x_3 = \frac{2T}{K}$ प्राप्त होता है।
इन्हें बाधा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x = \frac{T}{4K} + \frac{4T}{K} + \frac{4T}{K} = \frac{T + 16T + 16T}{4K} = \frac{33T}{4K}$।
चूंकि $T = mg$,इसलिए $x = \frac{33mg}{4K}$। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = \frac{mg}{x} = \frac{4K}{33}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{4K}{33m}}$ है।
साम्यावस्था पर प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} K_1 x_1^2 + \frac{1}{2} K_2 x_2^2 + \frac{1}{2} K_3 x_3^2 = \frac{1}{2} K (\frac{mg}{2K})^2 + \frac{1}{2} K (\frac{2mg}{K})^2 + \frac{1}{2} K (\frac{2mg}{K})^2 = \frac{m^2g^2}{8K} + \frac{2m^2g^2}{K} + \frac{2m^2g^2}{K} = \frac{m^2g^2 + 16m^2g^2 + 16m^2g^2}{8K} = \frac{33m^2g^2}{8K}$।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,निकाय पर किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{total} = \Delta KE$
चूंकि द्रव्यमान $x = -a$ पर विराम अवस्था से शुरू होता है और $x = b$ पर क्षणिक रूप से रुक जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = 0 - 0 = 0$ है।
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_s = \int_{-a}^{b} -Kx \, dx = -K \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-a}^{b} = -\frac{K}{2}(b^2 - a^2) = \frac{K}{2}(a^2 - b^2)$ है।
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = -\mu mg(a + b)$ है क्योंकि कुल तय की गई दूरी $(a + b)$ है और घर्षण विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$W_{total} = W_s + W_f = 0$ रखने पर:
$\frac{K}{2}(a^2 - b^2) - \mu mg(a + b) = 0$
$\frac{K}{2}(a - b)(a + b) = \mu mg(a + b)$
चूंकि $a + b \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $(a + b)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{K}{2}(a - b) = \mu mg$
$(a - b) = \frac{2 \mu mg}{K}$
अतः,आयाम में होने वाली कमी $\frac{2 \mu mg}{K}$ है।