SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(A) दिया गया है,कण का द्रव्यमान $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$.
स्थितिज ऊर्जा $U = 5x(x - 4) = 5x^2 - 20x$.
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = -10(x - 2)$.
सरल आवर्त गति के लिए,संतुलन स्थिति वह होती है जहाँ $F = 0$,इसलिए $x - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 2 \, m$.
माना $x' = x - 2$,तब $F = -10x'$.
इसे मानक रूप $F = -kx'$ के साथ तुलना करने पर,बल नियतांक $k = 10 \, N/m$ प्राप्त होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{10}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \, s$.

(A) $M$ द्रव्यमान का पिंड एक चिकने नत समतल पर दो समान स्प्रिंगों से जुड़ा है,जिनमें से प्रत्येक का स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
जब पिंड को ढलान के अनुदिश विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंगें समानांतर में कार्य करके एक प्रत्यानयन बल प्रदान करती हैं।
समानांतर में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{\text{eff}}$ व्यक्तिगत स्प्रिंग नियतांकों का योग होता है:
$K_{\text{eff}} = k + k = 2k$
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{\text{eff}}}}$
$K_{\text{eff}}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्प्रिंग नियतांक $k$,स्प्रिंग की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto \frac{1}{L})$।
जब लंबाई को एक-तिहाई $(L' = L/3)$ कर दिया जाता है,तो नया स्प्रिंग नियतांक $k' = 3k$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $v_2$ का मान $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3k}{m}}$ है।
समीकरण में $v_1$ का मान रखने पर,हमें $v_2 = \sqrt{3} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \sqrt{3} v_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_2 = \sqrt{3} v_1$।

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = 2.0 \, s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \, rad/s$.
ब्लॉक के पिस्टन से अलग होने के लिए,पिस्टन का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर होना चाहिए।
सरल आवर्त गति में,अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ होता है।
$a_{max} = g$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $g = \omega^2 A$.
अतः,आयाम $A = \frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \, m$.
पिस्टन का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ है।
मान रखने पर: $v_{max} = \left( \frac{9.8}{\pi^2} \right) \times \pi = \frac{9.8}{\pi} \, m/s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$v_{max} = \frac{9.8}{3.14} \approx 3.12 \, m/s$.

(C) प्रारंभ में,स्प्रिंग संतुलन में दोनों द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ द्वारा खिंची हुई है।
प्रारंभिक विस्तार $x_i = \frac{(m_1 + m_2) g}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $m_1$ को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2$ के लिए नई संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) $x_f = \frac{m_2 g}{k}$ होती है।
दोलन का आयाम $A$ प्रारंभिक स्थिति और नई संतुलन स्थिति के बीच का अंतर है: $A = x_i - x_f$.
$A = \frac{(m_1 + m_2) g}{k} - \frac{m_2 g}{k} = \frac{m_1 g}{k}$.
मान $m_1 = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $k = 12.5 \, N/m$ रखने पर:
$A = \frac{1 \times 10}{12.5} = \frac{10}{12.5} = 0.8 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $A = 0.8 \times 100 = 80 \, cm$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{\text{eq}}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आवर्तकाल $T$ के अधिकतम होने के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{\text{eq}}$ न्यूनतम होना चाहिए।
$1$. व्यवस्था $(a)$,$(c)$ और $(d)$ में,स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। समांतर क्रम में स्प्रिंगों के लिए,$K_{\text{eq}} = K + K = 2K$ होता है।
$2$. व्यवस्था $(b)$ में,स्प्रिंग श्रेणी क्रम में हैं। श्रेणी क्रम में स्प्रिंगों के लिए,$\frac{1}{K_{\text{eq}}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$,जिससे $K_{\text{eq}} = \frac{K}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{K}{2} < 2K$,इसलिए स्थिति $(b)$ में तुल्य स्प्रिंग नियतांक न्यूनतम है।
अतः,स्थिति $(b)$ में आवर्तकाल अधिकतम होगा।

(B) मान लीजिए कि बेलन द्रव में संतुलन में तैर रहा है। बेलन का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = F_B \Rightarrow (A l \rho_0) g = (A h \rho) g$,जहाँ $h$ डूबी हुई लंबाई है। अतः,$h = \frac{\rho_0 l}{\rho}$।
जब बेलन को $x$ दूरी तक नीचे की ओर विस्थापित किया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_{extra} = A x \rho g$ होता है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है: $F = - (A \rho g) x$।
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = A \rho g$ प्राप्त होता है।
बेलन का द्रव्यमान $m = A l \rho_0$ है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{A l \rho_0}{A \rho g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\rho_0 l}{\rho g}}$।

(B) ऊपरी दो स्प्रिंग समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। उनका तुल्यांकी स्प्रिंग नियतांक $k_{p} = k + k = 2k$ है।
अब,यह तुल्यांकी स्प्रिंग $k$ नियतांक वाली तीसरी स्प्रिंग के साथ श्रेणी क्रम में है। निकाय का तुल्यांकी स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_{p}} + \frac{1}{k} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{1 + 2}{2k} = \frac{3}{2k}$
अतः,$k_{eq} = \frac{2k}{3}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$
$k_{eq}$ का मान रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k/3}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}$

(D) संतुलन बिंदु पर,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $k x = m g$.
यहाँ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ और $x = 9.8 \,cm = 0.098 \,m$ दिया गया है।
$k \times 0.098 = 0.1 \times 9.8$.
$k = \frac{0.98}{0.098} = 10 \,N/m$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T = 6.28 \,s$ और $k = 10 \,N/m$ दिया गया है,इसलिए $6.28 = 2 \times 3.14 \sqrt{\frac{m'}{10}}$.
$6.28 = 6.28 \sqrt{\frac{m'}{10}}$.
$1 = \sqrt{\frac{m'}{10}} \implies 1 = \frac{m'}{10}$.
$m' = 10 \,kg = 10,000 \,g = 10^4 \,g$.

(C) स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय का प्रारंभिक आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है,जहाँ $k$ मूल स्प्रिंग नियतांक है।
जब एक स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = n k$ हो जाता है। यहाँ $n = 4$ है,इसलिए नया स्प्रिंग नियतांक $k' = 4 k$ होगा।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 k}}$ है।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{1}{2} \times (2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया आवर्तकाल $\frac{T}{2}$ होगा।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 4 \, s$ है।
जब $2 \, kg$ का अतिरिक्त द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो नया द्रव्यमान $(m + 2) \, kg$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T_2 = 4 + 1 = 5 \, s$ हो जाता है।
अतः,$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 5 \, s$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
मान रखने पर: $\frac{5}{4} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{16} = \frac{m+2}{m}$.
$25m = 16(m + 2) \implies 25m = 16m + 32$.
$9m = 32 \implies m = \frac{32}{9} \approx 3.55 \, kg$.

(C) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = \alpha + 2 \beta x^2$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F$,स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक अवकलन होता है:
$F = -\frac{dU(x)}{dx} = -\frac{d}{dx}(\alpha + 2 \beta x^2) = -4 \beta x$.
इसे सरल आवर्त गति के लिए प्रत्यानयन बल के मानक रूप $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = 4 \beta$ प्राप्त होता है।
$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
सूत्र में $k = 4 \beta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 \beta}} = 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\beta}} = \pi \sqrt{\frac{m}{\beta}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) बोर्ड पर रखी वस्तु संपर्क न खोए,इसके लिए बोर्ड का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$S.H.M.$ में कण का त्वरण $a = -\omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम नीचे की ओर त्वरण सबसे ऊपरी बिंदु पर होता है,जहाँ $a_{\max} = \omega^2 A$ होता है।
संपर्क बनाए रखने के लिए,शर्त $a_{\max} \leq g$ है,जिसका अर्थ है $\omega^2 A \leq g$।
न्यूनतम आवर्तकाल $T$ के लिए,हम सीमांत स्थिति $\omega^2 A = g$ पर विचार करते हैं।
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 A = g$ प्राप्त होता है।
$\frac{4 \pi^2 A}{T^2} = g$.
$T^2 = \frac{4 \pi^2 A}{g}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{A}{g}}$।

(B) मान लीजिए कि जब द्रव्यमान $m$ को पैन पर रखा जाता है तो स्प्रिंग का संतुलन विस्तार $x_0$ है। संतुलन की स्थिति में,$mg = kx_0$,इसलिए $x_0 = \frac{mg}{k}$।
मान लीजिए कि जब द्रव्यमान $m$,$h$ ऊँचाई से गिरता है तो स्प्रिंग का उसकी प्राकृतिक लंबाई से अधिकतम नीचे की ओर विस्थापन (अधिकतम विस्तार) $x_1$ है। प्रारंभिक स्थिति (पैन से $h$ ऊँचाई पर द्रव्यमान) और गति के सबसे निचले बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
प्रारंभिक ऊर्जा (सबसे निचले बिंदु के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा) = अंतिम ऊर्जा (स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा)।
$mg(h + x_1) = \frac{1}{2} kx_1^2$
$2mgh + 2mgx_1 = kx_1^2$
$kx_1^2 - 2mgx_1 - 2mgh = 0$
इस द्विघात समीकरण को $x_1$ के लिए हल करने पर:
$x_1 = \frac{2mg \pm \sqrt{(2mg)^2 - 4(k)(-2mgh)}}{2k} = \frac{2mg + \sqrt{4m^2g^2 + 8kmgh}}{2k} = \frac{mg}{k} + \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2} + \frac{2mgh}{k}}$
$x_1 = \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}$
कंपन का आयाम $A$,संतुलन स्थिति $x_0$ से चरम स्थिति $x_1$ तक की दूरी है:
$A = x_1 - x_0 = \left( \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}} \right) - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k} \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}$

(D) जब द्रव्यमान $m$ ऊपर की ओर गति करता है,तो यह केवल $k$ बल नियतांक वाली ऊपरी स्प्रिंग से जुड़ा होता है। इस अर्ध-दोलन के लिए लिया गया समय $t_1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
जब द्रव्यमान $m$ नीचे की ओर गति करता है,तो यह ऊपरी और निचली दोनों स्प्रिंगों को संपीड़ित करता है। चूंकि दोनों स्प्रिंगों का बल नियतांक $k$ है और वे समानांतर हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + k = 2k$ होता है। इस अर्ध-दोलन के लिए लिया गया समय $t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।
एक पूर्ण दोलन का कुल आवर्तकाल दोनों अर्ध-दोलनों के समय का योग है:
$T = t_1 + t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}} + \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$.

(D) द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 4 \ Hz$,इसलिए $4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
जब $k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का मान $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $k_{eq} = \frac{k}{2}$.
नई आवृत्ति $f_2$ का मान $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right)$ होगा।
प्रारंभिक आवृत्ति का मान रखने पर,$f_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ Hz$।

(A) इस विन्यास में,ब्लॉक के विस्थापन के संबंध में दोनों स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं। जब ब्लॉक को $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंग एक ही दिशा में प्रत्यानयन बल लगाती हैं।
समानांतर क्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $k_1 = k_2 = 20\,N/m$ दिया गया है,इसलिए $k_{eff} = 20 + 20 = 40\,N/m$ होगा।
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का मान $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ होता है।
मान रखने पर,$\omega = \sqrt{\frac{40}{2}} = \sqrt{20}\,rad/s$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{5}} = \frac{\pi}{\sqrt{5}}$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $T = \frac{\pi}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,द्रव्यमान $m$ के लिए $T = 1\; s$,इसलिए $1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
जब द्रव्यमान को $3\; kg$ बढ़ाया जाता है,तो नया द्रव्यमान $(m + 3)\; kg$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T' = 1 + 1 = 2\; s$ हो जाता है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + 3}{k}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T}{T'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{(m+3)/k}} = \frac{1}{2}$.
इसे सरल करने पर $\sqrt{\frac{m}{m+3}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m}{m+3} = \frac{1}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर $4m = m + 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3m = 3$.
अतः,$m = 1\; kg$.

(B) द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों के लिए स्प्रिंग नियतांक $k$ समान रहता है,इसलिए:
$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1}}$ और $\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$
$\omega_2$ और $\omega_1$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{\sqrt{k/m_2}}{\sqrt{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
दिए गए मान $m_1 = 1\,kg$ और $m_2 = 2\,kg$ रखने पर:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) चूंकि दोनों स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{\text{eff}} = K + K$ होगा।
$K_{\text{eff}} = 2K = 2 \times 2 = 4 \, N \, m^{-1}$.
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 490 \, g = 0.49 \, kg$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{\text{eff}}}}$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.49}{4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{49}{400}} = 2 \pi \left( \frac{7}{20} \right) = \frac{7 \pi}{10} \, s$.
समय $t = 14 \pi \, s$ में पूर्ण दोलनों की संख्या $N = \frac{t}{T}$ होगी।
$N = \frac{14 \pi}{7 \pi / 10} = 14 \pi \times \frac{10}{7 \pi} = 20$.

(D) चूंकि सतह घर्षण रहित है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$,जहाँ $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर,कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग होती है: $E = \frac{1}{2} k x^2 + K(x)$।
यहाँ $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ पर गतिज ऊर्जा $0.25 \, J$ लेने पर:
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = \frac{1}{2} k (0.05)^2 + 0.25$।
$\frac{1}{2} k (0.01 - 0.0025) = 0.25$
$\frac{1}{2} k (0.0075) = 0.25$
$k = \frac{0.5}{0.0075} = 66.67 \, N/m \approx 67 \, N/m$।

(D) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल $F$ साम्यावस्था से विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसे समीकरण $F = -kx$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूँकि संबंध $F = -kx$ है,इसलिए $F$ और $x$ के बीच का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसका ढाल (slope) ऋणात्मक $(-k)$ है।
अतः,सही निरूपण ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(C) जब द्रव्यमान $m$ को दाईं ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $K_1$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ से दब जाती है,और $K_2$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ से खिंच जाती है।
दोनों स्प्रिंगें बाईं दिशा में एक प्रत्यानयन बल लगाती हैं।
कुल प्रत्यानयन बल $F$ इस प्रकार है:
$F = -(K_1 x + K_2 x) = -(K_1 + K_2)x$
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -K_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_1 + K_2$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान का त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F}{m} = -\left(\frac{K_1 + K_2}{m}\right)x$
चूंकि $a = -\omega^2 x$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ है:
$\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,kg$,आयाम $A = 1\,m$,आवर्तकाल $T = 3.14\,s = \pi\,s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार है: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\,rad/s$.
स्प्रिंग द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अधिकतम बल $F_{\max}$ द्रव्यमान और अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F_{\max} = m \cdot a_{\max} = m \cdot (A\omega^2)$.
मान रखने पर: $F_{\max} = 5 \times 1 \times (2)^2$.
$F_{\max} = 5 \times 4 = 20\,N$.

(A) सबसे पहले,स्प्रिंग की व्यवस्था का विश्लेषण करें। यहाँ एक स्प्रिंग (नियतांक $k$) दो समानांतर स्प्रिंगों (प्रत्येक $k$) के संयोजन के साथ समानांतर में है,जो स्वयं एक अन्य स्प्रिंग (नियतांक $k$) के साथ श्रेणीक्रम में है।
$1$. ऊपर की दो समानांतर स्प्रिंगों का समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_p = k + k = 2k$ है।
$2$. यह संयोजन अपने नीचे वाली स्प्रिंग (नियतांक $k$) के साथ श्रेणीक्रम में है। इस शाखा के लिए समतुल्य नियतांक $k_s$ का मान $\frac{1}{k_s} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{1+2}{2k} = \frac{3}{2k}$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $k_s = \frac{2k}{3}$।
$3$. यह शाखा बाईं ओर की $k$ नियतांक वाली एकल स्प्रिंग के साथ समानांतर में है। अतः,कुल समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k + k_s = k + \frac{2k}{3} = \frac{5k}{3}$ होगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k_{eq} = \frac{5k}{3}$ रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{5k/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{4 \cdot \frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{\frac{12M}{5k}}$।
दिए गए व्यंजक $\pi \sqrt{\frac{\alpha M}{5K}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ द्रव्यमान है।
प्रथम स्थिति के लिए,आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,जहाँ द्रव्यमान $9m$ है,आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}$ है।
अनुपात $\frac{f_1}{f_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}} = \sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{9m}{k}} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\frac{f_1}{f_2}$ का मान $3$ है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 0.50 \ kg$ और बल $F = -50x$ है।
सरल आवर्त गति के लिए मानक समीकरण $F = -kx$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $k = 50 \ N/m$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार है: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,हमें $T = \frac{22}{7 \times 5} = \frac{22}{35} \ s$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए आवर्तकाल $\frac{x}{35} \ s$ से करने पर,हमें $x = 22$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिति $(i)$: ब्लॉक $x_0$ पर है, जहाँ इसका वेग अधिकतम है $(v_{max} = \omega A = \sqrt{k/M} A)$। जब $m$ द्रव्यमान रखा जाता है, तो संवेग संरक्षण के अनुसार: $M v_{max} = (M + m) v'_{max}$। अतः, $v'_{max} = \frac{M}{M+m} \sqrt{\frac{k}{M}} A$। नई कोणीय आवृत्ति $\omega' = \sqrt{k/(M+m)}$ है। चूंकि $v'_{max} = \omega' A'$, इसलिए $A' = \frac{v'_{max}}{\omega'} = \sqrt{\frac{M}{M+m}} A$। आयाम $\sqrt{\frac{M}{M+m}}$ के गुणक से बदल जाता है।
स्थिति $(ii)$: ब्लॉक $x = x_0 + A$ पर है, जहाँ इसका वेग $0$ है। $m$ द्रव्यमान रखने से वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता $(0)$। नई संतुलन स्थिति $x_0$ ही रहती है, और ब्लॉक समान आयाम $A$ के साथ नई आवृत्ति $\omega'$ से दोलन शुरू करता है। अतः, आयाम अपरिवर्तित रहता है।
समय अवधि: दोनों स्थितियों में, नई समय अवधि $T' = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$ है, जो समान है।
ऊर्जा: स्थिति $(i)$ में, अप्रत्यास्थ टक्कर के कारण गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, स्थितिज ऊर्जा समान रहती है, और कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गति: स्थिति $(i)$ में, $x_0$ पर गति कम हो जाती है। स्थिति $(ii)$ में, $x_0$ पर गति $(v'_{max})$ मूल $v_{max}$ से कम है क्योंकि नया आयाम समान है लेकिन आवृत्ति कम है। अतः, $A, B, D$ सही हैं।

(D) मान लीजिए स्प्रिंग $k_1$ में विस्तार $x_1$ है और स्प्रिंग $k_2$ में विस्तार $x_2$ है।
चूंकि स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों स्प्रिंग में बल $F$ समान होगा।
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
कुल आयाम $A$ दोनों स्प्रिंग के विस्तार का योग है:
$A = x_1 + x_2$
बल समीकरण से,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ और $x_2 = \frac{F}{k_2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को आयाम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
इस प्रकार,बल $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ का आयाम पहली स्प्रिंग का विस्तार $x_1$ है:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.

(A) ब्लॉक-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $v_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यह आवृत्ति केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और ब्लॉक के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,और यह किसी भी स्थिर बाहरी बल से स्वतंत्र है।
जब एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लागू किया जाता है,तो ब्लॉक पर एक स्थिर स्थिरवैद्युत बल $F_e = QE$ कार्य करता है।
यह बल ब्लॉक की संतुलन (माध्य) स्थिति को एक नई स्थिति में स्थानांतरित कर देता है जहाँ स्प्रिंग बल विद्युत बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx' = QE$,जहाँ $x'$ मूल माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चूंकि बल स्थिर है,यह प्रत्यानयन बल प्रवणता (स्प्रिंग नियतांक $k$) को प्रभावित नहीं करता है,और इसलिए दोलन की आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इस प्रकार,ब्लॉक समान आवृत्ति के साथ लेकिन एक नई,स्थानांतरित माध्य स्थिति के चारों ओर $SHM$ करता है।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(A) गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
वेग $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$ है। $t=0$ पर,$v(0) = u_0 = A\omega$,इसलिए $A = u_0/\omega$ है।
जब गति $0.5 u_0$ होती है,तो $A\omega \cos(\omega t) = 0.5 u_0 \implies u_0 \cos(\omega t) = 0.5 u_0 \implies \cos(\omega t) = 1/2$ है।
अतः,$\omega t_1 = \pi/3$,इसलिए $t_1 = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
इस समय पर,कण दीवार से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है। गति $0.5 u_0$ रहती है लेकिन दिशा उलट जाती है।
$(A)$ चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा संरक्षित है,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। जब यह साम्यावस्था $(x=0)$ पर वापस आता है,तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा $1/2 m u_0^2$ होती है। अतः,गति $u_0$ है। (सही)
$(B)$ $t_1$ पर टक्कर के बाद,कण वापस आता है। यह साम्यावस्था तक पहुँचता है जब कला $\omega t$,$\pi$ तक पहुँचती है। साम्यावस्था तक पहुँचने में लगा समय $\Delta t = (\pi - \pi/3)/\omega = (2\pi/3)/\omega$ है। कुल समय $t = \pi/3\omega + 2\pi/3\omega = \pi\omega = \pi \sqrt{m/k}$ है। (सही)

(A) गति दो अलग-अलग स्प्रिंग नियतांकों के साथ दो अर्ध-दोलनों से बनी है।
जब $l > l_0$ हो,तो स्प्रिंग नियतांक $k_1 = 0.009 \text{ N/m}$ है। इस अर्ध-दोलन के लिए लगा समय $t_1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ है।
जब $l < l_0$ हो,तो स्प्रिंग नियतांक $k_2 = 0.016 \text{ N/m}$ है। इस अर्ध-दोलन के लिए लगा समय $t_2 = \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ है।
कुल आवर्तकाल $T = t_1 + t_2 = \pi \left( \sqrt{\frac{0.1}{0.009}} + \sqrt{\frac{0.1}{0.016}} \right)$.
$T = \pi \left( \sqrt{\frac{100}{9}} + \sqrt{\frac{100}{16}} \right) = \pi \left( \frac{10}{3} + \frac{10}{4} \right)$.
$T = \pi \left( 3.333 + 2.5 \right) = 5.833 \pi \text{ s}$.
दिया गया है कि $T = n \pi$,इसलिए $n = 5.833$.
$n$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $6$ है।

(C) बल $F = -20x + 10 = -20(x - 0.5)$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $X = x - 0.5$ है। तब $F = -20X$। यह संतुलन स्थिति $x_0 = 0.5 \ m$ के परितः सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है।
$F = -m\omega^2 X$ के साथ तुलना करने पर,$m\omega^2 = 20$ प्राप्त होता है। $m = 5 \ kg$ होने के कारण,$\omega^2 = 4$,अतः $\omega = 2 \ rad/s$ है।
आयाम $A$ संतुलन स्थिति से प्रारंभिक बिंदु तक की दूरी है। $t = 0$ पर,$x = 1 \ m$,इसलिए $A = |1 - 0.5| = 0.5 \ m$ है।
गति का समीकरण $X(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ है। $t = 0$ पर,$X = 0.5$,इसलिए $0.5 = 0.5 \cos(\phi) \Rightarrow \phi = 0$ है।
अतः,$x(t) = 0.5 + 0.5 \cos(2t)$ है।
$t = \pi/4 \ s$ पर,$x = 0.5 + 0.5 \cos(2 \cdot \pi/4) = 0.5 + 0.5 \cos(\pi/2) = 0.5 + 0 = 0.5 \ m$ है।
वेग $v = dx/dt = -0.5 \cdot 2 \sin(2t) = -1 \sin(2t)$ है।
$t = \pi/4 \ s$ पर,$v = -1 \sin(\pi/2) = -1 \ m/s$ है।
संवेग $p = mv = 5 \times (-1) = -5 \ kg \ m/s$ है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड का अधिकतम वेग $V_{max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m)$ और आयाम समान हैं $(A_A = A_B = A_0)$,इसलिए अधिकतम वेग हैं:
$V_A = A_0 \omega_A = A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}$
$V_B = A_0 \omega_B = A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$
$A$ के अधिकतम वेग का $B$ के अधिकतम वेग से अनुपात है:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}}{A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$.

(C) चूंकि दोनों ब्लॉक एक साथ गति कर रहे हैं,निकाय एक एकल द्रव्यमान $(M + m)$ के रूप में कार्य करता है। दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{k}}$ है। अतः,$(A)$ सही है।
$(B)$ प्रत्यानयन बल $F = -kx$ है। कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है,इसलिए त्वरण $a = \frac{F}{M + m} = -\frac{kx}{M + m}$ है। इसका परिमाण $a = \frac{kx}{M + m}$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$(C)$ $m$ द्रव्यमान का ऊपरी ब्लॉक स्थैतिक घर्षण बल $f$ के कारण $a = \frac{kx}{M + m}$ त्वरण से गति करता है। इसलिए,$f = ma = \frac{mkx}{M + m}$। अतः,$(C)$ सही है।
$(D)$ ऊपरी ब्लॉक के न फिसलने के लिए,घर्षण बल सीमांत घर्षण $f \le \mu mg$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए। अधिकतम आयाम $A$ पर,$f_{max} = m \cdot a_{max} = m \cdot \frac{kA}{M + m}$। $f_{max} = \mu mg$ रखने पर,हमें $\frac{mkA}{M + m} = \mu mg$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $A = \frac{\mu g(M + m)}{k}$ हो जाता है। अतः,$(D)$ सही है।
$(E)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल वास्तव में $\mu mg$ है। अतः,$(E)$ सही है।

(B) दिया गया है:
स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L = 2 \ m$
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 2 \ kg$
स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \ N/m$
प्रारंभिक संपीड़न $x_i = L - 1 = 2 - 1 = 1 \ m$
दीवार से $x$ दूरी पर अंतिम संपीड़न $x_f = L - x = (2 - x) \ m$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
चूंकि ब्लॉक को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,$K_i = 0$ है।
$0 + \frac{1}{2} k x_i^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x_f^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (x_i^2 - x_f^2)$
$m v^2 = k (x_i^2 - x_f^2)$
मान रखने पर:
$2 \times v^2 = 200 \times [1^2 - (2 - x)^2]$
$v^2 = 100 \times [1 - (2 - x)^2]$
$v = 10 \sqrt{1 - (2 - x)^2} \ m/s$
$v = 10 [1 - (2 - x)^2]^{1/2} \ m/s$

(B) एक दोलनशील स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे रेत बाहर निकलती है,निकाय का द्रव्यमान $m$ समय के साथ घटता जाता है।
चूंकि $m$ घटता है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega$ को समय के साथ बढ़ना चाहिए।
निकाय की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे रेत बाहर निकलती है,निकाय से बाहर निकलने वाला द्रव्यमान अपने साथ कुछ गतिज ऊर्जा ले जाता है,जिससे दोलनशील निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा में कमी आती है।
चूंकि कुल ऊर्जा $E$ घटती है और स्प्रिंग नियतांक $k$ स्थिर रहता है,इसलिए आयाम $A$ को समय के साथ घटना चाहिए।
अतः,$\omega(t)$ बढ़ता है और $A(t)$ समय के साथ घटता है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं,$m_P = m_Q = m$.
सरल आवर्त गति में कण की अधिकतम गति $V_{\text{max}} = A \omega$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
दिया गया है कि $(V_{\text{max}})_P = (V_{\text{max}})_Q$,इसलिए $A_P \omega_P = A_Q \omega_Q$.
$\omega$ के मान रखने पर,हमें मिलता है $A_P \sqrt{k_1 / m} = A_Q \sqrt{k_2 / m}$.
चूंकि दोनों के लिए $m$ समान है,हम $\sqrt{m}$ को दोनों पक्षों से हटा सकते हैं:
$A_P \sqrt{k_1} = A_Q \sqrt{k_2}$.
अनुपात $A_Q / A_P$ ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $A_Q / A_P = \sqrt{k_1} / \sqrt{k_2} = \sqrt{k_1 / k_2}$.

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$T_1 = 6 \ s$,इसलिए $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
जब द्रव्यमान को $6 \ kg$ बढ़ाया जाता है,तो नया द्रव्यमान $(m + 6) \ kg$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T_2 = 6 + 3 = 9 \ s$ हो जाता है।
अतः,$9 = 2\pi \sqrt{\frac{m+6}{k}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{6}{9} = \sqrt{\frac{m}{m+6}}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{m}{m+6}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{9} = \frac{m}{m+6}$.
वज्र गुणन करने पर: $4(m + 6) = 9m$.
$4m + 24 = 9m$.
$5m = 24$.
$m = 4.8 \ kg$.

(B) चरम स्थिति पर,$m$ द्रव्यमान की वस्तु का वेग शून्य होता है। जब उस पर $2m$ द्रव्यमान की वस्तु धीरे से रखी जाती है,तो संयुक्त निकाय $(m + 2m = 3m)$ का वेग शून्य ही रहता है।
$(a)$ चूंकि वस्तु चरम स्थिति पर है,इसलिए इसका विस्थापन $x = A$ नया आयाम है। स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kA^2$ है। चूंकि स्थिति $x = A$ नहीं बदलती है और स्प्रिंग नियतांक $k$ समान है,इसलिए आयाम $A$ अपरिवर्तित रहता है। अतः,$(a)$ सही है।
$(b)$ स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है। प्रारंभ में,$M = m$,इसलिए $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$। द्रव्यमान जोड़ने के बाद,$M' = 3m$,इसलिए $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{k}}$। चूंकि $T_2 \neq T_1$,इसलिए आवर्तकाल बदल जाता है। अतः,$(b)$ गलत है।
$(c)$ कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kA^2$ है। चूंकि $k$ और $A$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा नहीं बदलती है। अतः,$(c)$ सही है।
$(d)$ अधिकतम गति $v_{max} = A\omega = A \sqrt{\frac{k}{M}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $M$ बढ़कर $3m$ हो जाता है,इसलिए $\omega$ कम हो जाता है,जिससे $v_{max}$ बदल जाता है। अतः,$(d)$ सही है।
इसलिए,कथन $(a), (c),$ और $(d)$ सही हैं।

(B) साम्यावस्था में,गुरुत्वाकर्षण बल स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = Kx_0$,जहाँ $x_0 = 0.2 \ m$ खिंचाव है।
इससे हमें अनुपात $\frac{m}{K} = \frac{x_0}{g}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $g = \pi^2$,मान रखने पर: $\frac{m}{K} = \frac{0.2}{\pi^2}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात का मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{\pi^2}}$।
$T = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{0.2}}{\pi} = 2\sqrt{0.2}$।
$T = 2\sqrt{\frac{2}{10}} = 2\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \ s$।

(B) $1$. जब $k$ बल नियतांक और $L$ लंबाई वाली स्प्रिंग को $l_1:l_2 = 1:2$ के अनुपात में काटा जाता है,तो स्प्रिंग के भागों के बल नियतांक उनकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं $(k \propto 1/l)$।
$2$. मान लीजिए $l_1 = L/3$ और $l_2 = 2L/3$ है। अतः $k_1 = 3k$ और $k_2 = 1.5k = 3k/2$ होगा।
$3$. ये दोनों स्प्रिंग ब्लॉक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। समानांतर संयोजन के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k_1 + k_2 = 3k + 1.5k = 4.5k = 9k/2$ होता है।
$4$. दोलन का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ है।
$5$. $k_{eq}$ का मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{9k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{9k}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 8 \ N/m$,कोणीय गति $\omega = 8 \ rad/s$.
मान लीजिए स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $l_0$ है और विस्तार $x$ है। वृत्ताकार पथ की कुल त्रिज्या $r = l_0 + x$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $F_c = F_s$.
$m \omega^2 r = kx$.
$0.1 \times (8)^2 \times (l_0 + x) = 8x$.
$0.1 \times 64 \times (l_0 + x) = 8x$.
$6.4(l_0 + x) = 8x$.
$6.4 l_0 + 6.4 x = 8x$.
$6.4 l_0 = 8x - 6.4 x$.
$6.4 l_0 = 1.6 x$.
$\frac{x}{l_0} = \frac{6.4}{1.6} = 4$.
अतः,विस्तार और प्राकृतिक लंबाई का अनुपात $4:1$ है।

(B) ब्लॉक के दाईं ओर,$K$ और $2K$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें दीवार से समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_R = K + 2K = 3K$ है।
ब्लॉक के बाईं ओर,$2K$ और $2K$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें दीवार से श्रेणी क्रम में जुड़ी हैं। उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_L$ के लिए $\frac{1}{K_L} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{2K} = \frac{2}{2K} = \frac{1}{K}$,अतः $K_L = K$ प्राप्त होता है।
चूंकि ब्लॉक इन दो समूहों के बीच में है,इसलिए प्रणाली का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_R + K_L = 3K + K = 4K$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4K}{M}}$ द्वारा दी जाती है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक अतिरिक्त द्रव्यमान $M_1$ जोड़ा जाता है,तो स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है। हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F = kx = M_1 g$ होता है।
इसलिए,स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{M_1 g}{x}$ है।
स्प्रिंग पर दोलन करने वाला कुल द्रव्यमान $m = M + M_1$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{\frac{M_1 g}{x}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(M + M_1) x}{M_1 g}}$.

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{m}$।
प्रथम स्थिति के लिए,$T \propto \sqrt{m_1}$।
द्वितीय स्थिति के लिए,कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है,इसलिए नया आवर्तकाल $T' \propto \sqrt{m_1 + m_2}$।
दिया गया है कि $T' = \frac{3}{2} T$,इसलिए:
$\frac{T'}{T} = \frac{\sqrt{m_1 + m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{3}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$।
$1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$।
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$।

(C) दोनों स्प्रिंग्स समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। इसलिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + k = 2k$ होगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = \pi \sqrt{\frac{6}{k}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \pi^2 \times \frac{6}{k}$.
दिया गया है कि $\pi^2 = 10$,इसलिए $1 = 10 \times \frac{6}{k}$.
अतः,$k = 60 \ Nm^{-1}$।

(C) माना स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब $m$ द्रव्यमान को लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग में विस्तार $x_0 = L - \ell$ होता है।
साम्यावस्था में,स्प्रिंग बल भार को संतुलित करता है: $k(L - \ell) = mg$,जिसका अर्थ है $k/m = g / (L - \ell)$।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए गति का समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ है,जहाँ $\omega^2 = k/m$ है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + P^2 x = 0$ से करने पर,हमें $P^2 = \omega^2 = k/m$ प्राप्त होता है।
$k/m$ का मान रखने पर,हमें $P^2 = \frac{g}{L - \ell}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = \sqrt{\frac{g}{L - \ell}}$।

(D) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से लटके $m$ द्रव्यमान के दोलन का आवर्तकाल $T$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ के लिए आवर्तकाल $T_1 = 2 \ s$ है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
अब,नए द्रव्यमान $m' = 4m$ के लिए,नया आवर्तकाल $T_2$ होगा: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $T_2 = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}})$.
समीकरण में $T_1$ का मान रखने पर: $T_2 = 2 \times T_1$.
चूंकि $T_1 = 2 \ s$,इसलिए $T_2 = 2 \times 2 \ s = 4 \ s$.

(C) प्रारंभिक विन्यास में,द्रव्यमान $m$ दो समानांतर स्प्रिंगों से जुड़ा हुआ है। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K + K = 2K$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
जब स्प्रिंग $S_2$ को हटा दिया जाता है,तो केवल एक स्प्रिंग शेष रहता है जिसका स्प्रिंग नियतांक $K$ है।
नया प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K'_{eff} = K$ है।
दोलन की नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ है।
$f'$ और $f$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$।