SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(D) माध्य स्थिति पर,तनाव $T$ का मान $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ होता है,जहाँ $l$ डोरी की लंबाई है।
दिया गया है कि $T = 3mg$,इसलिए $mg + \frac{mv^2}{l} = 3mg$,जिसे सरल करने पर $\frac{mv^2}{l} = 2mg$ प्राप्त होता है,अर्थात $v^2 = 2gl$।
माना $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ अधिकतम कोणीय विस्थापन है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा अधिकतम विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$।
$v^2 = 2gl$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2}m(2gl) = mgl(1 - \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
यह $mgl = mgl(1 - \cos \theta)$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $1 = 1 - \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = 0$।
अतः,$\theta = 90^\circ$।

(C) गति करते हुए सरल लोलक के गोलक के त्वरण के दो घटक होते हैं:
$1$. अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$: निलंबन बिंदु की ओर डोरी के अनुदिश।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$: गोलक के वृत्ताकार पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश।
कुल त्वरण $\vec a$ इन दो घटकों का सदिश योग है: $\vec a = \vec a_c + \vec a_t$.
चूंकि गोलक एक वृत्ताकार चाप में गति कर रहा है,इसलिए परिणामी त्वरण सदिश $\vec a$ को चाप के अंदर की ओर,विशेष रूप से डोरी और स्पर्श रेखा के बीच इंगित होना चाहिए,जैसा कि विकल्प $(C)$ में दिखाया गया है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g$ होता है।
जब लिफ्ट $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$।
इसे $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = \frac{\sqrt{3}}{2}T$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
आवर्तकाल $T$ को कम करने के लिए,प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ का बढ़ना आवश्यक है।
जब रॉकेट $a$ समान त्वरण के साथ ऊपर जाता है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
चूंकि $g + a > g$,प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बढ़ जाता है,जिससे आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{4}$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g + a = g + \frac{g}{4} = \frac{5g}{4}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{5g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{5g}}$।
$T'$ की $T$ से तुलना करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{5g/4}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T' = \frac{2T}{\sqrt{5}}$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ होता है। इसलिए,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$।
जब परिणामी त्वरण $g' = g/4$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/4}}$
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}}$
$T' = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})$
$T' = 2T$।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा,चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$1/2 mv^2 = mgh$
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ,$h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ और $g = 9.8 \, m/s^2$ दिया गया है।
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \, m/s$.

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे कृत्रिम उपग्रह में,उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = 0$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,मुक्त रूप से गति कर रहे कृत्रिम उपग्रह पर सरल लोलक का आवर्तकाल अनंत होता है।

(B) पेंडुलम घड़ी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ द्वारा दिया जाता है। परिक्रमा कर रहे उपग्रह में,अंतरिक्ष यात्री भारहीनता का अनुभव करता है,जिसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g$ का मान $0$ है। जैसे ही $g \to 0$ होता है,$T \to \infty$ हो जाता है,इसलिए पेंडुलम घड़ी काम नहीं करेगी।
हालाँकि,मुख्य स्प्रिंग का उपयोग करने वाली घड़ी स्प्रिंग के प्रत्यास्थ गुणों और बैलेंस व्हील के दोलनों पर निर्भर करती है,जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से स्वतंत्र होते हैं। इसलिए,यह उपग्रह में सही ढंग से कार्य करेगी।

(B) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
यहाँ $\Delta \theta = t$ दिया गया है,इसलिए आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha t$ है।
एक दिन में कुल सेकंड की संख्या $86400 \text{ s}$ होती है।
अतः,प्रति दिन होने वाली समय की हानि $\Delta T_{day} = \left( \frac{\Delta T}{T} \right) \times 86400 = \frac{1}{2} \alpha t \times 86400$ होगी।

(A) दोलक का विस्थापन $x = A \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right)$ है।
वेग $v$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right)$.
चाल अधिकतम होने के लिए,साइन फलन का परिमाण $1$ होना चाहिए,अर्थात $|\sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right)| = 1$.
यह तब होता है जब $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ हो।
$t$ के लिए हल करने पर: $\omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$t = \frac{\pi}{4\omega}$।

(D) सरल आवर्त गति के लिए,$X$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $T = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)$ द्वारा दी जाती है।
$X$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $V = \frac{1}{2} m \omega^2 X^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $T$ और स्थितिज ऊर्जा $V$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{T}{V} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 X^2}$.
सामान्य पदों $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T}{V} = \frac{a^2 - X^2}{X^2}$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से होकर जाने वाली सुरंग में छोड़ी गई गेंद की गति सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ होती है।
इस दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$R \approx 6400 \; km$ और $g \approx 9.8 \; m/s^2$ का मान रखने पर, हमें $T \approx 84.6 \; \text{मिनट}$ प्राप्त होता है।
सुरंग के एक छोर से दूसरे छोर तक पहुँचने में लगा समय कुल आवर्तकाल का आधा होता है।
अतः, $t = \frac{T}{2} = \frac{84.6}{2} = 42.3 \; \text{मिनट}$।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
यदि आवर्तकाल $T$ को दोगुना $(2T)$ करना है,तो नई लंबाई $l'$ को $2T \propto \sqrt{l'}$ को संतुष्ट करना होगा।
दोनों संबंधों को विभाजित करने पर: $\frac{2T}{T} = \frac{\sqrt{l'}}{\sqrt{l}} \implies 2 = \sqrt{\frac{l'}{l}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4 = \frac{l'}{l}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $l' = 4l$ है।
अतः,लंबाई को मूल लंबाई का चार गुना किया जाना चाहिए।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की प्रभावी लंबाई है।
प्रभावी लंबाई $L$ निलंबन बिंदु से बॉब के गुरुत्व केंद्र (c.g.) तक की दूरी है।
प्रारंभ में, पारे से भरे गोले का गुरुत्व केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जब थोड़ा पारा बाहर निकाल दिया जाता है, तो गोले के अंदर पारे का स्तर नीचे गिर जाता है, जिससे बॉब का गुरुत्व केंद्र नीचे की ओर (निलंबन बिंदु से दूर) खिसक जाता है।
जैसे-जैसे गुरुत्व केंद्र नीचे जाता है, लोलक की प्रभावी लंबाई $L$ बढ़ जाती है।
चूँकि $T \propto \sqrt{L}$, इसलिए $L$ में वृद्धि होने से लोलक का आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।

(B) प्रारंभ में,सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब ट्रेन $a$ के एकसमान त्वरण से त्वरित होती है,तो लोलक के गोलक पर त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g_{\text{eff}})$ का प्रभावी मान,गुरुत्वीय त्वरण $g$ और छद्म त्वरण $a$ का सदिश योग होता है। अतः,$g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a^2}$।
चूंकि $g_{\text{eff}} > g$ है,इसलिए नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ प्रारंभिक आवर्तकाल $T$ से कम होगा।
अतः,दोलन का आवर्तकाल घट जाएगा।

(C) एक सरल लोलक की समय अवधि $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है。
इस सूत्र से, हम निम्नलिखित देख सकते हैं:
$1$. $T$, $\sqrt{L}$ के सीधे आनुपातिक है。
$2$. $T$, $\sqrt{g}$ के व्युत्क्रमानुपाती है。
$3$. $T$, बॉब के द्रव्यमान, आकार और सामग्री से स्वतंत्र है。
$4$. छोटे आयामों के लिए, $T$ आयाम से स्वतंत्र है。
इसलिए, यह कथन कि अवधि बॉब के द्रव्यमान, आकार और सामग्री पर निर्भर करती है, गलत है。

(C) एक स्थिर लिफ्ट में,सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{4}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{4} = \frac{5g}{4}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{5g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{5g}}$।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $T' = \sqrt{\frac{4}{5}} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = \frac{2}{\sqrt{5}} T$।

(D) जब एक ट्रॉली $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज दिशा में गति करती है,तो लोलक के गोलक पर ट्रॉली के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण $a$ (क्षैतिज दिशा में) का सदिश योग है।
चूँकि ये दोनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए प्रभावी त्वरण $g'$ का परिमाण इस प्रकार होगा:
$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) सेकंड का लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल पृथ्वी की सतह पर $2 \, s$ होता है।
पृथ्वी की परिक्रमा कर रही अंतरिक्ष प्रयोगशाला में,प्रयोगशाला और उसके अंदर की हर चीज़ भारहीनता की स्थिति में होती है।
इसका मतलब है कि परिक्रमा कर रही प्रयोगशाला के अंदर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $(g_{eff})$ $0$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अनंत है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम अधिकतम वेग $v_{\max}$ को $v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
अधिकतम रैखिक संवेग $p_{\max}$ को $p_{\max} = m \cdot v_{\max}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$v_{\max}$ का मान रखने पर,हमें $p_{\max} = m \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{m^2 \cdot \frac{2E}{m}} = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम रैखिक संवेग $\sqrt{2mE}$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सेकंड लोलक के लिए,पृथ्वी और चंद्रमा दोनों पर आवर्तकाल $T$ का मान $2\, s$ निश्चित होता है।
चूंकि $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,इसलिए $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,जिसका अर्थ है $l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$।
चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए $l \propto g$ होगा।
अतः,$\frac{l_m}{l_e} = \frac{g_m}{g_e}$।
दिया गया है कि $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और $l_e = 1\, m$,इसलिए $l_m = \frac{1}{6} \times 1\, m = \frac{1}{6}\, m$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \sqrt{l}$।
अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि लंबाई में $2\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = 0.02$।
अतः,आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$ है।
इसका अर्थ है कि लोलक अपने प्रत्येक सेकंड के आवर्तकाल के लिए $0.01$ सेकंड खो देता है।
चूंकि सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \text{ सेकंड}$ होता है,इसलिए प्रति दोलन हानि $\Delta T = 0.01 \times 2 = 0.02 \text{ सेकंड}$ है।
एक दिन $(86400 \text{ सेकंड})$ में दोलनों की संख्या $N = \frac{86400}{2} = 43200$ है।
प्रति दिन खोया गया कुल समय $N \times \Delta T = 43200 \times 0.02 = 864 \text{ सेकंड}$ है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट में,$g_{eff} = g$ होता है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$।
जब लिफ्ट $a = 5g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + 5g = 6g$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{6g}}$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $T' = \frac{T}{\sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि लंबाई में $1\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = 1\%$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 1\% = 0.5\%$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल में $0.5\%$ की वृद्धि होगी।

(B) बिंदु $A$ (या $C$) पर,गोलक बिंदु $B$ के सापेक्ष अपनी अधिकतम ऊँचाई $H$ पर है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा शून्य है और स्थितिज ऊर्जा $mgH$ है।
बिंदु $B$ पर,गोलक अपनी सबसे निचली स्थिति में है,इसलिए इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य है और पूरी ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$PE_{A} + KE_{A} = PE_{B} + KE_{B}$
$mgH + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$
$mgH = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gH$
$v = \sqrt{2gH}$

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए कोणीय आयाम $\theta_0$ के लिए,अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A = \sqrt{\frac{g}{L}} \cdot (L \theta_0) = \theta_0 \sqrt{gL}$ होता है।
जैसे-जैसे लंबाई $L$ बढ़ती है,अधिकतम वेग $v_{max}$ बढ़ता है,घटता नहीं है। इसलिए,$(c)$ गलत है।
विकल्प $(a)$ गलत है क्योंकि आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
विकल्प $(b)$ गलत है क्योंकि किसी भी कोण $\theta$ पर तनाव $T = Mg \cos \theta + \frac{Mv^2}{L}$ होता है। चूंकि $\frac{Mv^2}{L} > 0$,तनाव हमेशा $Mg \cos \theta$ से अधिक होता है।
विकल्प $(d)$ सही है। आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है। लॉग लेकर अवकलन करने पर,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$। यह लंबाई $L$ से स्वतंत्र है।

(C) जब गोलक को $\theta$ कोण से विस्थापित किया जाता है,तो यह अपनी माध्य स्थिति से $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तक ऊपर उठता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा माध्य (सबसे निचली) स्थिति पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max} = \sqrt{2gh}$
लोलक की ज्यामिति से,निलंबन बिंदु से चरम स्थिति पर गोलक तक की ऊर्ध्वाधर दूरी $l \cos \theta$ है।
इसलिए,ऊँचाई $h$ इस प्रकार दी जाती है:
$h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$
वेग के समीकरण में $h$ का मान रखने पर:
$v_{\max} = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब एक लोलक मुक्त रूप से गिरता है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान आधार के नीचे की ओर त्वरण के कारण लोलक के गोलक पर लगने वाले छद्म बल (pseudo-force) द्वारा पूरी तरह से निरस्त हो जाता है।
इसलिए,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - g = 0$ होता है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्तकाल अनंत हो जाता है,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = 0$ होती है।
इसका अर्थ यह है कि लोलक बिल्कुल भी दोलन नहीं करता है।

(D) माना बिंदु $B$ पर गोलक का वेग $v$ है,जहाँ डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $60^o$ का कोण बनाती है। निम्नतम बिंदु $A$ और बिंदु $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$KE_A + PE_A = KE_B + PE_B$
निम्नतम बिंदु $A$ को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर मानने पर $(PE_A = 0)$:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
यहाँ,$h = l(1 - \cos \theta)$ बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ की ऊँचाई है।
दिया गया है: $v_A = 3\, m/s$,$l = 0.5\, m$,$\theta = 60^o$,और $g = 10\, m/s^2$:
$\frac{1}{2} \times m \times 3^2 = \frac{1}{2} \times m \times v^2 + m \times 10 \times 0.5 \times (1 - \cos 60^o)$
$4.5 = 0.5v^2 + 5 \times (1 - 0.5)$
$4.5 = 0.5v^2 + 5 \times 0.5$
$4.5 = 0.5v^2 + 2.5$
$0.5v^2 = 2$
$v^2 = 4$
$v = 2\, m/s$

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
माना प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 2 \, sec$ है।
माना नई लंबाई $l_2 = 4l$ है और नया आवर्तकाल $T_2$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{T_2} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$T_2 = 2 \times 2 = 4 \, sec$।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है।
यह गोलक के द्रव्यमान, पदार्थ या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, धातु के गोलक को लकड़ी के गोलक से बदलने पर लोलक के आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$
लंबाई और आवर्तकाल के वर्ग के अनुपात को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{l}{T^2} = \frac{g}{4\pi^2}$
चूंकि $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) और $\pi$ नियतांक हैं,इसलिए अनुपात $\frac{l}{T^2}$ एक नियतांक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
मान लीजिए कि $T_e$ और $g_e$ पृथ्वी पर आवर्तकाल और गुरुत्वीय त्वरण हैं,और $T_p$ और $g_p$ दूसरे ग्रह पर आवर्तकाल और गुरुत्वीय त्वरण हैं।
दिया गया है कि ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी का आधा है,इसलिए $g_p = \frac{g_e}{2}$.
आनुपातिक संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{\frac{g_e}{g_e/2}} = \sqrt{2}$.
अतः,नया आवर्तकाल $T_p = \sqrt{2}T_e = \sqrt{2}T$ होगा।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{l}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 100$ इकाई है। तो नई लंबाई $l_2 = 100 + 21 = 121$ इकाई होगी।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1$ है।
अतः,$T_2 = 1.1 T_1$.
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{l}$।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1$ है।
यदि लंबाई में $300\%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $l_2 = l + 300\% \text{ of } l = l + 3l = 4l$ होगी।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{l}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{4l}{l}} = \sqrt{4} = 2$।
इस प्रकार,$T_2 = 2T_1$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = \frac{2T_1 - T_1}{T_1} \times 100\% = 100\%$ है।
अतः,आवर्तकाल में $100\%$ की वृद्धि होगी।

(B) सेकंड्स लोलक वह लोलक है जिसका दोलन काल ठीक $2 \ s$ होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$.
लंबाई $l$ के लिए सूत्र: $l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$.
यहाँ $T = 2 \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$ (या $980 \ cm/s^2$) और $\pi^2 \approx 9.87$ लेने पर:
$l = \frac{980 \times (2)^2}{4 \times 9.87} = \frac{980 \times 4}{39.48} \approx 99.29 \ cm$.
भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में सामान्यतः $g = \pi^2 \ m/s^2$ का उपयोग किया जाता है,जिससे $l = 1 \ m = 100 \ cm$ प्राप्त होता है। हालाँकि,$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर,मान लगभग $99.3 \ cm$ आता है। दिए गए विकल्पों में से,$99 \ cm$ सबसे निकटतम मानक मान है।

(D) जब एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे उतरती है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - a$ होता है।
इस स्थिति में,लिफ्ट $a = g$ के त्वरण के साथ नीचे उतर रही है।
इसलिए,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - g = 0$ हो जाता है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff} = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल अनंत हो जाता है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की प्रभावी लंबाई है (निलंबन बिंदु से दोलन करने वाली वस्तु के द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी)।
जब चिंपांजी खड़ा हो जाता है,तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है,जो निलंबन बिंदु के करीब आ जाता है।
इसके परिणामस्वरूप झूले की प्रभावी लंबाई $l$ कम हो जाती है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,इसलिए $l$ में कमी आने से आवर्तकाल $T$ भी कम हो जाएगा।

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
दिया गया है: लंबाई $l = 1 \, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = \pi^2 \, m/s^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{\pi}$
$T = 2 \, s$.
अतः,आवर्तकाल $2 \, s$ है।

(C) एक सरल लोलक की समय अवधि का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से स्पष्ट है कि समय अवधि $T$ केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करती है।
यह लोलक के गोलक या उससे जुड़ी वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इसलिए,पहली प्लेट पर दूसरी प्लेट रखने से दोलन अवधि की द्रव्यमान-स्वतंत्र प्रकृति में कोई बदलाव नहीं आता है।
अतः,समय अवधि समान रहेगी।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ प्रभावी लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T \propto \sqrt{l}$।
आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान,आकार या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
मान लीजिए नई लंबाई $l_2$ और नया आवर्तकाल $T_2 = 2T$ है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{l}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{2T}{T} = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$,जो सरल होकर $2 = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$ देता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4 = \frac{l_2}{l}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $l_2 = 4l$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है।
यह बॉब के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
सेकंड लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $2\, s$ होता है।
चूंकि आवर्तकाल बॉब के द्रव्यमान के साथ नहीं बदलता है,इसलिए नया आवर्तकाल $2\, s$ ही रहेगा।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चंद्रमा की सतह पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_m$ पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का लगभग $1/6$ होता है।
चूंकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$,इसलिए $g$ के मान में कमी होने से आवर्तकाल $T$ में वृद्धि होती है।
अतः,जब एक सरल लोलक चंद्रमा की सतह पर दोलन करता है,तो उसका आवर्तकाल बढ़ जाता है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $g_{eff} = g$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
जब लिफ्ट मुक्त रूप से गिरती है,तो यह भारहीनता का अनुभव करती है,जिसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = 0$ होता है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{1}{T'}$ होती है,इसलिए हमें $f = \frac{1}{\infty} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दोलन की आवृत्ति शून्य है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब वैन एकसमान वेग से चलती है,तो उसका त्वरण शून्य होता है।
इसलिए,लोलक के गोलक पर कार्य करने वाला कुल बल वही रहता है जो वैन के स्थिर रहने पर था।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर ही रहता है,इसलिए आवर्तकाल $T$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि लंबाई में $44\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई लंबाई $l_2 = l_1 + 0.44 l_1 = 1.44 l_1$ है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,नए आवर्तकाल $T_2$ और मूल आवर्तकाल $T_1$ का अनुपात है:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{1.44 l_1}{l_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
इसका अर्थ है $T_2 = 1.2 T_1$.
आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन:
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1} \right) \times 100 = \left( \frac{1.2 T_1 - T_1}{T_1} \right) \times 100 = 0.2 \times 100 = 20\%$.
अतः,आवर्तकाल में $20\%$ की वृद्धि होती है।