SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(D) ब्लॉक $A$ एक द्रव्यमान $M$ के रूप में कार्य करता है और ब्लॉक $B$ स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली एक स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है।
$L$ भुजा और दृढ़ता मापांक $\eta$ वाले ब्लॉक के लिए,अपरूपण बल (shear force) $F$ विस्थापन $x$ से $F = \eta A \frac{x}{L}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $A = L^2$ क्षेत्रफल है।
अतः,$F = \eta L^2 \frac{x}{L} = (\eta L)x$।
इसे हुक के नियम $F = kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें स्प्रिंग नियतांक $k = \eta L$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k = \eta L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{\eta L}}$ प्राप्त होता है।

(B) जब दो ब्लॉक एक साथ सरल आवर्त गति करते हैं,तो यह निकाय $2m$ द्रव्यमान के एक एकल पिंड की तरह कार्य करता है जो $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा होता है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर निकाय का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega^2 = \frac{k}{2m}$ है।
चरम स्थिति (extreme position) पर,विस्थापन $x = A$ है,इसलिए त्वरण का अधिकतम मान $a_{max} = \omega^2 A = \frac{k}{2m} A = \frac{kA}{2m}$ होता है।
ब्लॉक $P$ पर कार्य करने वाला घर्षण बल उसे आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। चूंकि ब्लॉक $P$ का द्रव्यमान $m$ है,इसलिए घर्षण बल $f = m \cdot a$ है।
चरम स्थिति पर,घर्षण बल अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है: $f_{max} = m \cdot a_{max} = m \left( \frac{kA}{2m} \right) = \frac{kA}{2}$.

(A) निकाय की अधिकतम गतिज ऊर्जा,स्प्रिंग को उसकी साम्यावस्था से विस्थापित करने पर उसमें संचित अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
दिया गया है:
बल नियतांक $k = 16 \, N/m$
विस्थापन $x = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} k x^2$
$U_{max} = \frac{1}{2} \times 16 \times (5 \times 10^{-2})^2$
$U_{max} = 8 \times (25 \times 10^{-4})$
$U_{max} = 200 \times 10^{-4} \, J = 2 \times 10^{-2} \, J$
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $2 \times 10^{-2} \, J$ होगी।

(B) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का समय अंतराल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 0.6 \ s$ ... $(i)$
और $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + m'}{k}} = 0.7 \ s$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m + m'}{m}} = \frac{0.7}{0.6} = \frac{7}{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{m + m'}{m} = \frac{49}{36}$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{m'}{m} = \frac{49}{36}$.
अतः,$\frac{m'}{m} = \frac{49}{36} - 1 = \frac{13}{36}$.
अतिरिक्त द्रव्यमान $m'$ के कारण विस्तार $x = \frac{m'g}{k}$ है।
$(i)$ से,$\frac{m}{k} = \frac{(0.6)^2}{4\pi^2} = \frac{0.36}{4\pi^2}$.
$m' = \frac{13}{36}m$ को विस्तार सूत्र में रखने पर: $x = \frac{13}{36} \cdot \frac{mg}{k} = \frac{13}{36} \cdot g \cdot \frac{m}{k}$.
$g \approx 10 \ m/s^2$ और $\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $x = \frac{13}{36} \cdot 10 \cdot \frac{0.36}{4 \cdot 10} = \frac{13}{36} \cdot \frac{0.36}{4} = \frac{13}{36} \cdot 0.09 = 13 \cdot 0.0025 = 0.0325 \ m = 3.25 \ cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,लगभग मान $3.5 \ cm$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{total}}{K}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{total} = M + m_p$ ($M$ जोड़ा गया द्रव्यमान है और $m_p$ पैन का द्रव्यमान है)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $T^2 = \frac{4\pi^2}{K} (M + m_p) = \frac{4\pi^2}{K} M + \frac{4\pi^2 m_p}{K}$।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = T^2$ और $x = M$ है।
$T^2$ अक्ष पर अंतःखंड (intercept) $c = \frac{4\pi^2 m_p}{K}$ है।
यदि पैन का द्रव्यमान $m_p$ शून्य होता,तो ग्राफ मूल बिंदु से गुजरता। चूँकि ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता है,यह दर्शाता है कि कुल द्रव्यमान की गणना में पैन के द्रव्यमान को ध्यान में नहीं रखा गया था (उपेक्षित किया गया था)।

(C) जब $M$ द्रव्यमान को स्प्रिंग से जोड़ा जाता है,तो यह गुरुत्वाकर्षण बल के कारण $l$ खिंच जाती है। संतुलन की स्थिति में,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $Mg = kl$।
स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x$ संतुलन स्थिति से विस्थापन है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान $A = l$ आयाम के साथ दोलन करता है,इसलिए संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन $x = l$ है।
अतः,अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max} = \frac{1}{2}kl^2$ होगी।
समीकरण में $kl = Mg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $U_{\max} = \frac{1}{2}(kl)l = \frac{1}{2}(Mg)l = \frac{1}{2}Mgl$।

(D) सरल आवर्त ऑसिलेटर की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $m$ द्रव्यमान है।
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होती है,इसलिए $f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
आवृत्ति को दोगुना करने के लिए $(f_2 = 2f_1)$,हम अनुपात लेते हैं:
$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
$2 = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{m_1}{m_2}$
इसलिए,$m_2 = \frac{m_1}{4}$।
अतः,हमें द्रव्यमान को उसके मूल मान के एक-चौथाई तक कम करना होगा।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है।
अतः,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_M = m_N = m)$ और उनके अधिकतम वेग समान हैं $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर,हमें $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$M$ के आयाम का $N$ के आयाम से अनुपात $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ है।

(D) दिए गए चित्र में,द्रव्यमान $m$ दो समानांतर स्प्रिंगों से जुड़ा हुआ है।
जब द्रव्यमान को ऊर्ध्वाधर रूप से विस्थापित किया जाता है,तो दोनों स्प्रिंग समान विस्थापन का अनुभव करती हैं।
समानांतर क्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,तुल्य बल नियतांक $k_{eq}$ व्यक्तिगत बल नियतांकों का योग होता है:
$k_{eq} = k_1 + k_2$
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$
$k_{eq}$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
स्प्रिंग नियतांक $k$ स्प्रिंग की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto \frac{1}{L})$।
जब स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $\frac{L}{2}$ हो जाती है। इसलिए,नया स्प्रिंग नियतांक $k'$ दोगुना यानी $2k$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$।
$T'$ को $T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया आवर्तकाल $T' = \frac{T}{\sqrt{2}}$ है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ दोलन करने वाला द्रव्यमान है।
दिए गए निकाय में,जब $m_1$ को हटा दिया जाता है,तो केवल द्रव्यमान $m_2$ ही स्प्रिंग से जुड़ा रहता है।
इसलिए,दोलन करने वाला द्रव्यमान $m = m_2$ हो जाता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को एक तरफ थोड़ी दूरी $x$ से विस्थापित किया जाता है,तो एक स्प्रिंग $x$ दूरी तक दब जाती है और दूसरी स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है।
दोनों स्प्रिंग विस्थापन का विरोध करते हुए एक ही दिशा में प्रत्यानयन बल (restoring force) लगाती हैं।
प्रत्यानयन बल $F = -(k_1 x + k_2 x) = -(k_1 + k_2)x$ है।
यह प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ वाली एक एकल स्प्रिंग के बराबर है।
दोलन की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ है।
$k_{eff}$ का मान रखने पर,हमें $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$ प्राप्त होता है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए ऊर्ध्वाधर दोलनों की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी क्रम में स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_S = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$ है।
श्रेणी क्रम में आवृत्ति $n_S = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K/2}{m}}$ है।
समांतर क्रम में स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_P = K + K = 2K$ है।
समांतर क्रम में आवृत्ति $n_P = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2K}{m}}$ है।
उनकी आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_S}{n_P} = \sqrt{\frac{k_S}{k_P}} = \sqrt{\frac{K/2}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।

(C) जब $K_1$ और $K_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य बल नियतांक $K_{eq}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$K_{eq}$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}}$

(B) सबसे पहले,हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग नियतांक $k$ की गणना करें: $F = kx$,जहाँ $F = mg$ है।
$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.50 \times 10}{0.20} = \frac{5}{0.2} = 25\, N/m$।
अब,$m' = 0.25\, kg$ द्रव्यमान के लिए दोलन काल $T$ की गणना सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ का उपयोग करके करें।
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 6.28 \times \sqrt{0.01} = 6.28 \times 0.1 = 0.628\, sec$।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{M}$,या $M \propto T^2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ है और आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
मान लीजिए नया द्रव्यमान $M' = M + m$ है और आवर्तकाल $T_2 = \frac{5}{4}T$ है।
दोनों स्थितियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{M'}{M} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2$
$\frac{M + m}{M} = \left( \frac{\frac{5}{4}T}{T} \right)^2$
$1 + \frac{m}{M} = \left( \frac{5}{4} \right)^2$
$1 + \frac{m}{M} = \frac{25}{16}$
$\frac{m}{M} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$.

(C) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $K$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $K \propto 1/l$।
जब $l$ लंबाई और $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली एक स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है।
चूंकि $K' \propto 1/l'$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $K' = K \cdot (l/l') = K \cdot (l / (l/2)) = 2K$।
अतः,नया स्प्रिंग नियतांक $2K$ है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
जब $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का बल नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
अब,इन भागों में से एक से $m' = 2m$ द्रव्यमान लटकाया जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ इस प्रकार होगी: $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{2m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
इस प्रकार,मूल आवृत्ति से तुलना करने पर,हमें $n' = n$ प्राप्त होता है।

(B) जब द्रव्यमान $m$ जोड़ा जाता है,तो अतिरिक्त विस्तार $x$ भार $mg$ के कारण होता है। हुक के नियम के अनुसार,$mg = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इसलिए,स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{k}}$ होता है।
कुल द्रव्यमान $(M + m)$ और $k$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{mg/x}} = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)x}{mg}}$.

(D) दिए गए चित्र के लिए,द्रव्यमान $m$ के दोलन के संबंध में दोनों स्प्रिंग समानांतर विन्यास में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k + k = 2k$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ द्वारा दी जाती है .....$(i)$
यदि एक स्प्रिंग को हटा दिया जाता है,तो निकाय में केवल एक स्प्रिंग बचती है जिसका स्प्रिंग नियतांक $k$ है। नई आवृत्ति $f'$ को $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दिया जाता है .....(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$।

(C) दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \, kg$ और विस्तार $x = 9.8 \, cm = 9.8 \times 10^{-2} \, m$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$mg = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
अतः,$\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-2}}{9.8}} = 2\pi \sqrt{10^{-2}} = 2\pi \times 10^{-1} = \frac{2\pi}{10} \, s$।

(A) $S.H.M.$ करने वाले स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$
बल नियतांक $k = 80 \,N/m$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.2}{80}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0025}$
$T = 6.28 \times 0.05$
$T = 0.314 \,s \approx 0.31 \,s$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब एक ब्लॉक को दोनों तरफ दो स्प्रिंग से जोड़ा जाता है,तो ब्लॉक का कोई भी विस्थापन $x$ एक स्प्रिंग को $x$ से संकुचित करता है और दूसरी को $x$ से विस्तारित करता है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग एक ही दिशा में प्रत्यानयन बल लगाती हैं (विस्थापन का विरोध करती हैं),इसलिए स्प्रिंग प्रभावी रूप से समानांतर विन्यास में हैं।
तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का मान $K_{eq} = K_1 + K_2$ होता है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{K_{eq}}{m}}$ है।
$K_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$ प्राप्त होता है।

(C) ब्लॉक सरल आवर्त गति में है। जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर होती है,तो ब्लॉक माध्य स्थिति पर होता है और उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
माध्य स्थिति पर,कुल ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा होती है: $E = \frac{1}{2}mv^2$।
चरम स्थिति पर,ब्लॉक तात्क्षणिक रूप से स्थिर हो जाता है और कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा होती है: $E = \frac{1}{2}kx^2$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,माध्य स्थिति पर कुल ऊर्जा और चरम स्थिति पर कुल ऊर्जा बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^2 = \frac{m}{k}v^2$
$x = v\sqrt{\frac{m}{k}}$

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
माना प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है जब द्रव्यमान $m_1 = m$ है,और नई आवृत्ति $n_2$ है जब द्रव्यमान $m_2 = 4m$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.
मान रखने पर,$\frac{n}{n_2} = \sqrt{\frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$n_2 = \frac{n}{2}$.

(D) स्प्रिंग से लटके द्रव्यमान $m$ के दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
यहाँ दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ के लिए आवर्तकाल $T_1 = 2 \, s$ है।
द्रव्यमान $m_2 = 4m$ के लिए,नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार होगा: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
$T_2$ को $T_1$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$T_2 = 2 \times T_1 = 2 \times 2 \, s = 4 \, s$.

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ है।
जब $K$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का बल नियतांक $K' = 2K$ हो जाता है।
जब इन दो स्प्रिंगों को समानांतर क्रम में व्यवस्थित किया जाता है,तो तुल्य बल नियतांक $K_{eq}$ व्यक्तिगत बल नियतांकों का योग होता है:
$K_{eq} = K' + K' = 2K + 2K = 4K$.
नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार है: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$।
$T_2$ की $T_1$ से तुलना करने पर:
$T_2 = \frac{1}{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T}{2}$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि आवर्तकाल $T$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए घड़ी चंद्रमा पर सामान्य रूप से काम करना जारी रखेगी।
अतः,घड़ी के समय में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(B) दिए गए चित्र में,$k_1$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़ी हैं। इन दो स्प्रिंगों का तुल्य बल नियतांक $k_p = k_1 + k_1 = 2k_1$ है।
अब,यह तुल्य स्प्रिंग,$k_2$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ी है।
$k_p$ और $k_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य बल नियतांक $k_S$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{k_p} + \frac{1}{k_2}$
$k_p = 2k_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2}$
अतः,तुल्य बल नियतांक है:
$k_S = \left[ \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2} \right]^{-1}$

(B) दिया गया चित्र दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम (series) में दर्शाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eff}} = \frac{K_2 + K_1}{K_1 K_2}$
अतः,$K_{eff} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,$T_1 = 2 \, s$ और द्रव्यमान $m_1 = m$ है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies 1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
अंतिम स्थिति के लिए,द्रव्यमान में $2 \, kg$ की वृद्धि होती है,इसलिए $m_2 = m + 2$ है। आवर्तकाल में $1 \, s$ की वृद्धि होती है,इसलिए $T_2 = 2 + 1 = 3 \, s$ है।
अतः,$3 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{9}{4} = \frac{m+2}{m}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$9m = 4(m + 2) \implies 9m = 4m + 8$.
$5m = 8 \implies m = \frac{8}{5} \, kg = 1.6 \, kg$.

(B) दोनों स्प्रिंग श्रेणी क्रम में जुड़ी हुई हैं क्योंकि दोनों स्प्रिंगों पर समान बल $F = Mg$ कार्य करता है।
श्रेणी क्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
इसलिए,$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
Hooke के नियम के अनुसार कुल विस्तार $x$ है: $F = K_{eq} x$
$Mg = \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right) x$
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{Mg(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}$

(D) दिए गए चित्र में,$K_1$ और $K_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं।
श्रेणीक्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
इसलिए,$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eq}}{m}}$
इस सूत्र में $K_{eq}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1 K_2}{m(K_1 + K_2)}}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k$ का निर्धारण अधिकतम भार द्वारा उत्पन्न विस्तार से किया जाता है। दिया गया है $F = kx$,जहाँ $F = mg = 10 \times 9.8 \, N$ और $x = 0.25 \, m$ है।
$k = \frac{10 \times 9.8}{0.25} = 392 \, N/m$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T = \frac{\pi}{10} \, s$,अतः:
$\frac{\pi}{10} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{392}}$
$\frac{1}{20} = \sqrt{\frac{m}{392}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{400} = \frac{m}{392}$
$m = \frac{392}{400} = 0.98 \, kg$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
जब $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = nk$ हो जाता है।
चूंकि प्रत्येक भाग के लिए द्रव्यमान $m$ समान रहता है,नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{nk}}$ होगा।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T' = \frac{T}{\sqrt{n}}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
अलग-अलग स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1}}$ और $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_2}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1} \implies K_1 = \frac{4\pi^2 m}{t_1^2}$ और $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_2} \implies K_2 = \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए चित्र में,स्प्रिंगें समानांतर क्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = K_1 + K_2$ है।
संयुक्त निकाय के लिए आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ है।
इसका वर्ग करने पर,$t^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1 + K_2} \implies \frac{1}{t^2} = \frac{K_1 + K_2}{4\pi^2 m} = \frac{K_1}{4\pi^2 m} + \frac{K_2}{4\pi^2 m}$।
$K_1$ और $K_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{t^2} = \frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}$ प्राप्त होता है,जिसे $t^{-2} = t_1^{-2} + t_2^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) जब एक द्रव्यमान $m$ को दो स्प्रिंगों के बीच समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff}$ व्यक्तिगत स्प्रिंग नियतांकों का योग होता है।
$K_{eff} = K_1 + K_2 = K + 2K = 3K$
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}}$
$K_{eff}$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3K}{m}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) स्प्रिंगों के श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_S$ का व्युत्क्रम व्यक्तिगत स्प्रिंग नियतांकों के व्युत्क्रमों के योग के बराबर होता है।
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$
दाहिनी ओर लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर:
$\frac{1}{k_S} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$
$k_S$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को उलटने पर:
$k_S = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दो स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ और $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ और $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ प्राप्त होता है।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$,$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$।
श्रेणी संयोजन के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
इसका वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k} \right) = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$।
$t_1^2$ और $t_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान ऑसिलेटर की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
यदि हम आवृत्ति को दोगुना $(f' = 2f)$ करना चाहते हैं,तो हमारे पास संबंध है: $\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{m}{m'}}$.
$f' = 2f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $2 = \sqrt{\frac{m}{m'}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{m}{m'}$,जिसका अर्थ है कि $m' = \frac{m}{4}$.
अतः,द्रव्यमान को उसके मूल मान के एक-चौथाई तक कम करना होगा।

(B) प्रथम स्थिति के लिए,द्रव्यमान $A$ को $K$ नियतांक वाली एक स्प्रिंग से जोड़ा गया है। हुक के नियम के अनुसार,$F = Kx$,जहाँ $F = mg$ है।
अतः,$m_A g = K x_A$।
यहाँ $m_A = 4\, kg$ और $x_A = 1\, cm$ दिया गया है,इसलिए $4g = K(1)$। इस प्रकार,$K = 4g$।
दूसरी स्थिति के लिए,द्रव्यमान $B = 6\, kg$ को श्रेणीक्रम में जुड़ी दो समान स्प्रिंगों से जोड़ा गया है। श्रेणीक्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का मान $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $K_{eq} = \frac{K}{2}$।
दूसरी प्रणाली के लिए हुक का नियम लागू करने पर: $m_B g = K_{eq} x_B$।
मान रखने पर: $6g = (\frac{K}{2}) x_B$।
चूँकि $K = 4g$,हमें प्राप्त होता है $6g = (\frac{4g}{2}) x_B$।
$6g = 2g x_B$।
$x_B = \frac{6g}{2g} = 3\, cm$।

(A) स्प्रिंग दोनों सिरों पर स्थिर है और द्रव्यमान मध्य बिंदु पर जुड़ा हुआ है। जब द्रव्यमान को स्प्रिंग की लंबाई के अनुदिश विस्थापित किया जाता है,तो स्प्रिंग के दोनों भाग समानांतर संयोजन में कार्य करते हैं।
$L$ लंबाई और $K$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को दो समान भागों में काटने पर,प्रत्येक भाग का बल नियतांक $K' = 2K$ हो जाता है।
यहाँ,$K = 200\, N/m$,इसलिए प्रत्येक भाग का बल नियतांक $K_1 = K_2 = 2 \times 200 = 400\, N/m$ है।
यहाँ प्रभावी बल नियतांक $K_{eq} = 400\, N/m$ लेने पर,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{400}} = 2\pi \frac{0.5}{20} = \frac{\pi}{20}\, s$.

(B) स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली स्प्रिंग से लटके $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ लंबाई और $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $K' = nK$ हो जाता है।
यहाँ,स्प्रिंग को $4$ बराबर भागों में काटा गया है,इसलिए $n = 4$ है। अतः,एक भाग का नया स्प्रिंग नियतांक $K' = 4K$ होगा।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$।
इसे सरल करने पर,हमें $T' = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2\pi$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{M}$ है।
प्रारंभ में,$M_1 = M$ द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
जब द्रव्यमान में $m$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $M_2 = M + m$ और नया आवर्तकाल $T_2 = \frac{5T}{3}$ हो जाता है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{M}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
अतः,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति $Kx = mg$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है,$x$ खिंचाव है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इससे हमें अनुपात $\frac{m}{K} = \frac{x}{g}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $\frac{m}{K} = \frac{x}{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x = 0.2\, m$ और $g = 9.8\, m/s^2$ लेने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}}$ प्राप्त होता है।
भिन्न को सरल करने पर,$\frac{0.2}{9.8} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{49}} = 2\pi \times \frac{1}{7} = \frac{2\pi}{7}\, s$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.98\, kg$
बल नियतांक $k = 4.84\, N/m$
सूत्र में मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{4.84}{0.98}}$
$\omega = \sqrt{4.9387...}$
$\omega \approx 2.22\, rad/s$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ है।
जब $K$ बल नियतांक और $l$ लंबाई वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का बल नियतांक $K' = 2K$ हो जाता है क्योंकि बल नियतांक लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(K \propto \frac{1}{l})$।
जब उसी द्रव्यमान $m$ को इनमें से एक भाग से लटकाया जाता है,तो नई आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होती है।
दोनों आवृत्तियों की तुलना करने पर,हमें $f_2 = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}} \right) = \sqrt{2} f_1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $f_2 = \sqrt{2} f_1$ है।