Position of a Particle in SHM, Displacement and Phase Questions in Hindi

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $y = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक कला $\phi = 0$ मानते हुए,विस्थापन $y = a \sin(\omega t)$ है।
कला $\omega t = \frac{\pi}{2}$ पर,विस्थापन $y = a \sin(\frac{\pi}{2}) = a$ होता है,जो कि अधिकतम विस्थापन है।
कण का त्वरण $A = -\omega^2 y = -\omega^2 a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कला $\omega t = \frac{\pi}{2}$ पर,त्वरण $A = -\omega^2 a \sin(\frac{\pi}{2}) = -\omega^2 a$ होता है।
त्वरण का परिमाण $|A| = \omega^2 a$ है,जो कि अधिकतम त्वरण है।
अतः,$\frac{\pi}{2}$ की कला पर,कण के पास अधिकतम विस्थापन और अधिकतम त्वरण दोनों होते हैं।

(D) $S.H.M.$ के लिए विस्थापन समीकरण $y = A \sin(\phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\phi$ कला है।
यहाँ दिया गया है,$A = 5 \, cm$ और $y = 2.5 \, cm$.
समीकरण में मान रखने पर: $2.5 = 5 \sin(\phi)$.
$\sin(\phi) = \frac{2.5}{5} = 0.5$.
चूँकि $\sin(\phi) = 0.5$,इसलिए कला $\phi = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ रेडियन होगी।

(C) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ का सामान्य समीकरण $y = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(\omega t + \phi)$ गति की कला (phase) को दर्शाता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(2\pi nt + \alpha)$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi n$ है और प्रारंभिक कला नियतांक $\alpha$ है।
अतः,किसी भी समय $t$ पर गति की कला साइन फलन का तर्क (argument) है,जो कि $(2\pi nt + \alpha)$ है।

(A) चरम स्थिति ($t = 0$ पर $x = a$) से शुरू होने वाले सरल आवर्त दोलक का विस्थापन $x = a \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $x = a/2$ हो।
मान रखने पर: $a/2 = a \cos(\omega t)$.
यह समीकरण $\cos(\omega t) = 1/2$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$\omega t = \pi/3$.
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi/T$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2\pi/T) \cdot t = \pi/3$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = T/6$ प्राप्त होता है।

(C) $SHM$ में एक कण की कला को विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ में साइन या कोसाइन फलन के तर्क (argument) द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यह कला कोण $(\omega t + \phi)$ कण की अवस्था को पूरी तरह से निर्धारित करता है।
विशेष रूप से,यह दिए गए समय $t$ पर संतुलन स्थिति के सापेक्ष कण के विस्थापन (स्थिति) और उसके वेग की दिशा,दोनों के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

(C) माध्य स्थिति से शुरू होकर सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए विस्थापन का समीकरण $y = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{\sqrt{2}}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{a}{\sqrt{2}} = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin(\frac{2\pi}{T}t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए कोणों की तुलना करने पर:
$\frac{2\pi}{T}t = \frac{\pi}{4}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$
अतः,लिया गया न्यूनतम समय $\frac{T}{8}$ सेकंड है।

(B) विस्थापन फलन $x(t) = a \cos(\omega t + \theta)$ द्वारा दिया गया है।
$t = 0$ पर,$x(0) = a \cos \theta = 1 \, cm$ ---$(i)$
वेग फलन $v(t) = \frac{dx}{dt} = -a\omega \sin(\omega t + \theta)$ है।
$t = 0$ पर,$v(0) = -a\omega \sin \theta = \pi \, cm/s$.
दिया गया है कि $\omega = \pi \, rad/s$,इसलिए $-a\pi \sin \theta = \pi$,जिसे सरल करने पर $a \sin \theta = -1 \, cm$ प्राप्त होता है ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = (1)^2 + (-1)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 + 1$
$a^2 = 2$
$a = \sqrt{2} \, cm$.

(C) धनात्मक चरम स्थिति से शुरू होने वाले कण के लिए गति का समीकरण $y = a \cos(\omega t)$ है।
यहाँ,$a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हमें $a = 4 \, cm$ और $T = 4 \, s$ दिया गया है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{a}{2} = a \cos(\omega t)$.
यह सरल होकर $\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
इसलिए,$\omega t = \frac{\pi}{3}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,हमारे पास $\frac{2\pi t}{T} = \frac{\pi}{3}$ है।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{T}{6}$.
$T = 4 \, s$ दिया गया है,इसलिए $t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \, s \approx 0.67 \, s$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति कर रहे कण के लिए विस्थापन का समीकरण $y = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ और आवर्तकाल $T = 3 \, s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{a}{2} = a \sin(\frac{2\pi}{3}t)$.
इससे $\frac{1}{2} = \sin(\frac{2\pi}{3}t)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{2\pi}{3}t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \, s$.

(A) दिए गए दो तरंग समीकरण:
$x = a \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{6} \right)$
$x' = a \cos \omega t$
कलान्तर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को ज्या (sine) फलन के रूप में व्यक्त करते हैं।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right)$ का उपयोग करके,हम $x'$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x' = a \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right)$
अब,पहली तरंग की कला $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है और दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलान्तर $\Delta \phi$ इस प्रकार होगा:
$\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) - \left( \omega t + \frac{\pi}{6} \right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
अतः,दोनों तरंगों के बीच का कलान्तर $\frac{\pi}{3}$ है।

(D) मान लीजिए कि कणों का विस्थापन $y = a \sin(\omega t + \phi_0)$ द्वारा दिया गया है।
प्रश्न के अनुसार,विस्थापन आयाम का आधा है,इसलिए $y = \frac{a}{2}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a}{2} = a \sin(\omega t + \phi_0)$.
इससे $\sin(\omega t + \phi_0) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\phi = \omega t + \phi_0$. तो $\phi = \frac{\pi}{6}$ या $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$\phi = \frac{\pi}{6}$ का भौतिक अर्थ: कण स्थिति $P$ पर है (विस्थापन $a/2$) और माध्य स्थिति $O$ से दूर ($B$ की ओर) जा रहा है।
$\phi = \frac{5\pi}{6}$ का भौतिक अर्थ: कण स्थिति $P$ पर है (विस्थापन $a/2$) और माध्य स्थिति $O$ की ओर जा रहा है।
चूंकि कण समान विस्थापन पर एक-दूसरे को पार करते समय विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए एक की कला $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$ और दूसरे की $\phi_2 = \frac{5\pi}{6}$ होनी चाहिए।
अतः कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(B) कण द्वारा माध्य स्थिति $(x=0)$ से चरम स्थिति $(x=4 \, cm)$ तक जाने में लिया गया समय $T/4 = 1.2/4 = 0.3 \, s$ है।
माना $x=0$ से $x=2 \, cm$ तक जाने में लिया गया समय $t_1$ है। गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
मान रखने पर: $2 = 4 \sin(\frac{2\pi}{T} t_1) \Rightarrow 1/2 = \sin(\frac{2\pi}{1.2} t_1)$.
इससे $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{1.2} t_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t_1 = 0.1 \, s$ मिलता है।
$x=2 \, cm$ से $x=4 \, cm$ तक जाने में लिया गया समय $t_2 = (T/4) - t_1 = 0.3 - 0.1 = 0.2 \, s$ है।
$x=2 \, cm$ से $x=4 \, cm$ तक जाने और वापस आने में लिया गया कुल समय $2 \times t_2 = 2 \times 0.2 = 0.4 \, s$ है।

(A) गति के समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ का उपयोग करते हुए।
$x = A/2$ के लिए,$\sin(\omega T_1) = 1/2$,जिसका अर्थ है $\omega T_1 = \pi/6$,इसलिए $T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$।
कण के $x = A$ तक पहुँचने के लिए कुल समय $T_1 + T_2$ है। अतः,$\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1$,जिसका अर्थ है $\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,इसलिए $T_1 + T_2 = \frac{\pi}{2\omega}$।
$T_1$ का मान रखने पर,$T_2 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - \pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$।
दोनों की तुलना करने पर,$T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$ और $T_2 = \frac{\pi}{3\omega}$,हमें प्राप्त होता है कि ${T_1} < {T_2}$।
वैकल्पिक रूप से,सरल आवर्त गति में,कण की चाल माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम और चरम स्थिति $(x = A)$ पर शून्य होती है। चूंकि कण माध्य स्थिति के पास तेजी से चलता है,इसलिए वह $0$ से $A/2$ तक की दूरी तय करने में $A/2$ से $A$ तक की दूरी तय करने की तुलना में कम समय लेता है।

(D) दोलन के लिए दिया गया समीकरण $y = y_0 \sin(\omega t - \phi)$ है।
समय $t = 0$ पर,विस्थापन $y = y_0 \sin(0 - \phi) = -y_0 \sin \phi$ है।
चूंकि $0 < \phi < 90^\circ$ है,$\sin \phi$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $t = 0$ पर $y$ ऋणात्मक होना चाहिए।
ग्राफ में $t = 0$ (ऊर्ध्वाधर अक्ष) पर देखने पर:
वक्र $A$ धनात्मक मान से शुरू होता है।
वक्र $B$ शून्य से शुरू होता है।
वक्र $C$ ऋणात्मक मान से शुरू होता है,लेकिन यह अपने न्यूनतम $(-y_0)$ पर है,जो $\phi = 90^\circ$ के अनुरूप है।
वक्र $D$ $0$ और $-y_0$ के बीच के ऋणात्मक मान से शुरू होता है,जो $0 < \phi < 90^\circ$ के लिए $y = -y_0 \sin \phi$ की शर्त से मेल खाता है।
इसलिए,वक्र $D$ दोलन का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(A) जब कण चरम स्थिति $(x = A)$ से गति शुरू करता है,तो उसका विस्थापन समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ होता है।
यहाँ,$\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $x = A/2$ हो।
मान रखने पर: $\frac{A}{2} = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$.
चूँकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{T}{6}$.

(C) दिए गए समीकरण $x = a \sin(\omega t - \alpha)$ और $y = b \cos(\omega t - \alpha)$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ होता है।
इसलिए,हम $y$ के समीकरण को $y = b \sin(\omega t - \alpha + \pi/2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ की कला (phase) $\phi_1 = \omega t - \alpha$ है।
$y$ की कला (phase) $\phi_2 = \omega t - \alpha + \pi/2$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (\omega t - \alpha + \pi/2) - (\omega t - \alpha) = \pi/2$ है।
चूंकि $\pi/2$ रेडियन $90^o$ के बराबर होता है,इसलिए कलांतर $90^o$ है।

(B) साम्यावस्था से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x(t) = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $x(t) = a/2$ हो।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $a/2 = a \sin(\omega t)$।
यह समीकरण $\sin(\omega t) = 1/2$ में बदल जाता है।
चूँकि $\sin(\pi/6) = 1/2$,इसलिए $\omega t = \pi/6$ होगा।
$\omega = 2\pi/T$ रखने पर,हमें मिलता है: $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = T/12$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया त्वरण $A = \frac{dv}{dt} = -a\omega^2 \sin\omega t$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$v = \int A \, dt = \int (-a\omega^2 \sin\omega t) \, dt = a\omega \cos\omega t + C$।
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,$t = 0$ पर,$v = 0$ है। अतः,$0 = a\omega \cos(0) + C$,जिससे $C = -a\omega$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v = a\omega \cos\omega t - a\omega$।
हालाँकि,सरल आवर्त गति के मानक रूप $x = a \sin\omega t$ को मानते हुए,वेग $v = a\omega \cos\omega t$ होता है। विस्थापन $x$ ज्ञात करने के लिए $v$ का समाकलन करने पर:
$x = \int v \, dt = \int (a\omega \cos\omega t) \, dt = a \sin\omega t + C'$।
$t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए $C' = 0$।
अतः,विस्थापन $x = a \sin\omega t$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है $A = 4 \, cm$ और $T = 12 \, s$,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ है।
कण के माध्य स्थिति से $y = 2 \, cm$ तक पहुँचने में लगा समय $(t_1)$:
$2 = 4 \sin(\frac{\pi}{6} t_1) \implies \sin(\frac{\pi}{6} t_1) = \frac{1}{2} \implies \frac{\pi}{6} t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = 1 \, s$.
कण के माध्य स्थिति से चरम स्थिति $(y = 4 \, cm)$ तक पहुँचने में लगा समय $(t_2)$:
$4 = 4 \sin(\frac{\pi}{6} t_2) \implies \sin(\frac{\pi}{6} t_2) = 1 \implies \frac{\pi}{6} t_2 = \frac{\pi}{2} \implies t_2 = 3 \, s$.
$2 \, cm$ से चरम स्थिति तक जाने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 3 - 1 = 2 \, s$ है।
अतः आवश्यक अनुपात $\frac{t_1}{\Delta t} = \frac{1}{2}$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
यहाँ $T = 8 \, s$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \, rad/s$ है।
पहले सेकंड में तय की गई दूरी $(d_1)$,$t = 1 \, s$ पर विस्थापन है:
$d_1 = x(1) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 1\right) = A \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी $(d_2)$,$t = 2 \, s$ पर विस्थापन और $t = 1 \, s$ पर विस्थापन का अंतर है:
$d_2 = x(2) - x(1) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 2\right) - \frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{A}{\sqrt{2}} = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = A \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)$.
पहले सेकंड और दूसरे सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात है:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.

(D) माध्य स्थिति $O$ से शुरू होने वाले कण के रैखिक $SHM$ का समीकरण इस प्रकार है:
$x = a \sin(\omega t)$
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
इस मान को विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right)$
दिए गए समय $t = \frac{T}{8}$ को समीकरण में रखने पर:
$x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8}\right)$
साइन फलन के अंदर के पद को सरल करने पर:
$x = a \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए विस्थापन है:
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $SHM$ में धनात्मक चरम बिंदु से शुरू होने वाले विस्थापन का समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
यहाँ,आयाम $A = 8 \, cm$ है। कण धनात्मक चरम बिंदु से $3 \, cm$ की दूरी तय करता है,इसलिए माध्य स्थिति से इसकी स्थिति $x = 8 - 3 = 5 \, cm$ होगी।
मान रखने पर: $5 = 8 \cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{5}{8} = 0.625$.
इन्वर्स कोसाइन लेने पर: $\omega t = \cos^{-1}(0.625) \approx 0.8956 \, rad$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{1.2} = \frac{\pi}{0.6} \approx 5.236 \, rad/s$.
अब,$t = \frac{0.8956}{5.236} \approx 0.171 \, s$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,लिया गया समय $0.17 \, s$ है।

(C) विस्थापन $y = \sin \omega t + \cos \omega t = \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ द्वारा दिया गया है।
तख्ते का त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\sqrt{2} \omega^2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ है।
द्रव्यमान तख्ते से तब अलग होता है जब तख्ते का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर हो जाता है,अर्थात $a = -g$।
अतः,$\sqrt{2} \omega^2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) = g$।
$\omega$ के न्यूनतम मान के लिए,$\sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ का अधिकतम मान $1$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$\omega = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}}}$। विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $C$ है।

(C) मान लीजिए पहले कण का विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ और दूसरे का $x_2 = 2A \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
पहले कण के लिए,मूल बिंदु से $A/\sqrt{2}$ की दूरी पर और माध्य स्थिति की ओर गति करते हुए,कला $\theta_1 = \omega t + \phi_1$ पहले चतुर्थांश में होनी चाहिए ताकि $\sin \theta_1 = 1/\sqrt{2}$ हो। चूंकि यह माध्य स्थिति की ओर जा रहा है,इसलिए यह $\theta_1 = 45^o$ (या $\pi/4$ रेडियन) पर होगा।
दूसरे कण के लिए,यह माध्य स्थिति के दूसरी ओर चरम स्थिति पर है,जो $x_2 = -2A$ के अनुरूप है। अतः,$\sin \theta_2 = -1$,जिससे $\theta_2 = 270^o$ (या $3\pi/2$ रेडियन) प्राप्त होता है।
कलांतर $\Delta \phi = |\theta_2 - \theta_1| = |270^o - 45^o| = 225^o$ है। सामान्यतः कलांतर को $[0, 180^o]$ के बीच परिभाषित किया जाता है। अतः,समतुल्य कलांतर $360^o - 225^o = 135^o$ है।

(C) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \cos(\theta)$ है,जहाँ $\theta = \omega t + \phi$ है।
$x = +A/2$ के लिए,$\cos(\theta_1) = 1/2$,अतः $\theta_1 = 60^o$ या $300^o$ है।
$x = -A/\sqrt{2}$ के लिए,$\cos(\theta_2) = -1/\sqrt{2}$,अतः $\theta_2 = 135^o$ या $225^o$ है।
संभावित कलांतर $\Delta\theta = |\theta_2 - \theta_1|$ इस प्रकार हैं:
$|135^o - 60^o| = 75^o$
$|225^o - 60^o| = 165^o$
$|135^o - 300^o| = 165^o$
$|225^o - 300^o| = 75^o$
वैकल्पिक रूप से,$x = A \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$x = +A/2$ के लिए,$\sin(\theta_1) = 1/2$,अतः $\theta_1 = 30^o$ या $150^o$ है।
$x = -A/\sqrt{2}$ के लिए,$\sin(\theta_2) = -1/\sqrt{2}$,अतः $\theta_2 = 225^o$ या $315^o$ है।
संभावित कलांतर $|225^o - 30^o| = 195^o$ या $|315^o - 150^o| = 165^o$ हैं।
इन परिणामों की तुलना करने पर,$135^o$ एक संभावित कलांतर नहीं है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,वस्तु का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर,वेग $v$ शून्य होता है।
चूंकि लक्ष्य उन क्षेत्रों में अधिक समय बिताता है जहाँ उसकी गति न्यूनतम होती है (चरम स्थितियों के पास),इसलिए इन क्षेत्रों में बंदूक द्वारा लक्ष्य को भेदने की संभावना सबसे अधिक होती है।
दिए गए चित्र में,क्षेत्र $1$ और $5$ दोलन की चरम स्थितियों के अनुरूप हैं।
इसलिए,सबसे अधिक बार लक्ष्य को भेदने के लिए खिलाड़ी को या तो क्षेत्र $1$ या क्षेत्र $5$ पर निशाना साधना चाहिए।

(B) $1$. एक दोलन का आवर्तकाल $T$ निर्धारित करने के लिए ग्राफ का अवलोकन करें। ग्रिड के खानों को गिनने पर,एक पूर्ण चक्र (एक श्रृंग से दूसरे श्रृंग तक) $10$ क्षैतिज खानों को कवर करता है। अतः,$T = 10 \text{ इकाई}$।
$2$. कलांतर $\Delta \phi$ दो तरंगों के बीच के समय अंतराल $\Delta t$ से सूत्र $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{T} \cdot \Delta t$ द्वारा संबंधित है।
$3$. ग्राफ से,पहली तरंग का श्रृंग एक निश्चित समय पर आता है,और दूसरी तरंग का श्रृंग उससे $2$ इकाई बाद (या पहले) आता है। अतः,समय अंतराल $\Delta t = 2 \text{ इकाई}$।
$4$. सूत्र में मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{10} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{10} = \frac{2 \pi}{5} \text{ rad}$।
$5$. इसलिए,कलांतर $\frac{2 \pi}{5} \text{ rad}$ है।

(C) चरम स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ में कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 1\, s$ पर,विस्थापन $x = A - A/2 = A/2$ है।
अतः,$A/2 = A \cos(\omega \times 1)$।
$\cos(\omega) = 1/2$।
$\omega = 60^{\circ} = \pi/3 \text{ रेडियन}$।
चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमारे पास $\pi/3 = 2\pi/T$ है।
$T = 6\, s$।

(A) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
कलाओं की तुलना करने पर,वेग विस्थापन से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे है।
त्वरण समय के सापेक्ष वेग का अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \pi)$.
कलाओं की तुलना करने पर,त्वरण विस्थापन से $\pi$ रेडियन के कला कोण से आगे है (या $\pi$ रेडियन से पीछे है)।
अतः,सही कथन यह है कि वेग विस्थापन से $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $S.H.M.$ के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
$0$ से $A/2$ के अंतराल के लिए,$A/2 = A \sin(\omega T_1)$,जिससे $\sin(\omega T_1) = 1/2 = \sin(\pi/6)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega T_1 = \pi/6$,यानी $T_1 = \pi/(6\omega)$.
$0$ से $A$ के अंतराल के लिए,लगा कुल समय $T_1 + T_2$ है। $x = A$ पर,$A = A \sin(\omega(T_1 + T_2))$,जिससे $\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1 = \sin(\pi/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,यानी $T_1 + T_2 = \pi/(2\omega)$.
$T_1 = \pi/(6\omega)$ रखने पर,हमें $T_2 = \pi/(2\omega) - \pi/(6\omega) = (3\pi - \pi)/(6\omega) = 2\pi/(6\omega) = \pi/(3\omega)$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$T_1 = \pi/(6\omega)$ और $T_2 = \pi/(3\omega)$,जिससे यह सिद्ध होता है कि $T_1 < T_2$ है।

(B) प्रथम $SHM$ की कला $\phi_1 = 10\pi t + \frac{\pi}{3}$ है।
द्वितीय $SHM$ की कला $\phi_2 = 8\pi t + \frac{\pi}{4}$ है।
कलांतर $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = (10\pi t + \frac{\pi}{3}) - (8\pi t + \frac{\pi}{4})$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta\phi = 2\pi t + (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = 2\pi t + \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $t = 0.5 \ s$ रखने पर:
$\Delta\phi = 2\pi(0.5) + \frac{\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$।

(C) $S.H.M.$ के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
कण $P_1$ के लिए: यह $x = +0.5A$ स्थिति पर है और माध्य स्थिति की ओर (ऋणात्मक दिशा में) गति कर रहा है। कोण $\theta$ जिसके लिए $\sin \theta = 0.5$ है,वह $\pi/6$ है। चूंकि यह पहले चतुर्थांश में माध्य स्थिति की ओर गति कर रहा है,इसलिए इसकी कला $\phi_1 = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$ है।
कण $P_2$ के लिए: यह $x = -0.5A$ स्थिति पर है और माध्य स्थिति की ओर (धनात्मक दिशा में) गति कर रहा है। कोण $\theta$ जिसके लिए $\sin \theta = -0.5$ है,वह $-\pi/6$ या $11\pi/6$ है। चूंकि यह तीसरे चतुर्थांश में माध्य स्थिति की ओर गति कर रहा है,इसलिए इसकी कला $\phi_2 = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = 7\pi/6 - 5\pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ है।

(B) $SHM$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$t = 0$ पर,कण $x = +A/2$ पर है और बाईं ओर (ऋणात्मक दिशा में) गति कर रहा है।
समीकरण में $t = 0$ रखने पर: $A/2 = A \sin(\phi)$,जिससे $\sin(\phi) = 1/2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\phi = \pi/6$ या $\phi = 5\pi/6$ है।
चूंकि कण बाईं ओर (धनात्मक पक्ष से माध्य स्थिति की ओर) गति कर रहा है,इसलिए इसका वेग $v = dx/dt = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ का मान $t = 0$ पर ऋणात्मक होना चाहिए।
$\phi = \pi/6$ के लिए,$v = A\omega \cos(\pi/6) > 0$ है।
$\phi = 5\pi/6$ के लिए,$v = A\omega \cos(5\pi/6) < 0$ है।
अतः,सही कला नियतांक $\phi = 5\pi/6$ है।
इस प्रकार,गति का समीकरण $x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T}t + \frac{5\pi}{6} \right)$ है।

(B) $SHM$ में विस्थापन का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया आयाम $A = 20 \, cm$ और आवर्तकाल $T = 12 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ है।
माध्य स्थिति $(x = 0)$ से $x = 10 \, cm$ तक पहुँचने के लिए समय $t_1$ ज्ञात करने हेतु:
$10 = 20 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{6}$.
$t_1 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6(\pi/6)} = 1 \, s$.
कण $x = -10 \, cm$ से $x = +10 \, cm$ तक गति करता है। कुल समय $t = t_1 - (-t_1) = 2t_1$ होगा।
$t = 2 \times 1 = 2 \, s$.

(A) मान लीजिए विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
पहले कण के लिए,माध्य स्थिति $O$ से दूरी $x_1 = \frac{2-\sqrt{3}}{2} A$ है। चूंकि यह $+x$ की ओर बढ़ रहा है,माध्य स्थिति से इसका विस्थापन $x_1 = A - \frac{2-\sqrt{3}}{2} A = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ होगा।
चूंकि यह $+x$ की ओर बढ़ रहा है,$\sin(\phi_1) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos(\phi_1) > 0$,इसलिए $\phi_1 = \frac{\pi}{3}$।
दूसरे कण के लिए,अंतिम स्थिति $(-A)$ से दूरी $\frac{2-\sqrt{3}}{2} A$ है। इसलिए,माध्य स्थिति से इसका विस्थापन $x_2 = -A + \frac{2-\sqrt{3}}{2} A = -\frac{\sqrt{3}}{2} A$ होगा।
चूंकि यह $+x$ की ओर बढ़ रहा है,$\sin(\phi_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos(\phi_2) > 0$,इसलिए $\phi_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$।
कलांतर $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ है।
समतुल्य कलांतर $2\pi - \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है: आवर्तकाल,$T = 0.5 \ s$. आयाम,$A = 1 \ cm$.
माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$x = A/2$ का विस्थापन प्राप्त करने के लिए,$A/2 = A \sin(\omega t)$,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t) = 1/2$.
अतः,$\omega t = \pi/6$. चूँकि $\omega = 2\pi/T$,हमारे पास $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$ है,जिससे $t = T/12$ प्राप्त होता है।
$T = 0.5 \ s$ रखने पर,लिया गया समय $t = 0.5 / 12 \ s$ है।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{A/2}{T/12} = \frac{1/2}{0.5/12} = \frac{0.5}{0.5/12} = 12 \ cm/s$.

(B) विस्थापन $y(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ द्वारा दिया गया है।
दिया गया है $\phi = \frac{2\pi}{3}$।
$t = 0$ पर,विस्थापन $y(0) = A \sin(\phi) = A \sin(\frac{2\pi}{3})$ है।
चूंकि $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,इसलिए $y(0) = 0.866 A$ है।
इसका अर्थ है कि $t = 0$ पर,ग्राफ को लगभग $0.87 A$ के बराबर धनात्मक विस्थापन दिखाना चाहिए। इसके अतिरिक्त,वेग $v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है। $t = 0$ पर,$v(0) = A\omega \cos(\frac{2\pi}{3}) = A\omega (-0.5) = -0.5 A\omega$ है। चूंकि $t = 0$ पर वेग ऋणात्मक है,इसलिए $t = 0$ पर ग्राफ का ढाल (slope) घटता हुआ होना चाहिए। ग्राफ $B$,$t = 0$ पर धनात्मक विस्थापन और ऋणात्मक ढाल दर्शाता है,जो इन शर्तों को पूरा करता है।

(A) पहले कण के लिए,माध्य स्थिति $O$ से विस्थापन $x_1 = A - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)A = A - (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})A = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है। चूंकि यह धनात्मक चरम स्थिति की ओर बढ़ रहा है,इसकी कला $\phi_1$,$x_1 = A \sin(\phi_1)$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\sin(\phi_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दूसरे कण के लिए,माध्य स्थिति $O$ से विस्थापन $x_2 = -\left[A - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)A\right] = -\frac{A}{\sqrt{2}}$ है। चूंकि यह माध्य स्थिति की ओर बढ़ रहा है (धनात्मक दिशा में गति कर रहा है),इसकी कला $\phi_2$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\phi_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi$ है।

(B) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है। मान लीजिए कण माध्य स्थिति से शुरू होता है,तो $x = A \sin(\omega t)$।
दिया गया आयाम $A = 4 \, cm$ और आवर्तकाल $T = 4 \, s$ है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, rad/s$ है।
स्थिति $x_1 = 2 \, cm$ के लिए:
$2 = 4 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = 1/2 \Rightarrow \omega t_1 = \pi/6$.
स्थिति $x_2 = 2\sqrt{3} \, cm$ के लिए:
$2\sqrt{3} = 4 \sin(\omega t_2) \Rightarrow \sin(\omega t_2) = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \omega t_2 = \pi/3$.
लिया गया समय $\Delta t = t_2 - t_1$ इस प्रकार है:
$\omega(t_2 - t_1) = \pi/3 - \pi/6 = \pi/6$.
$\omega = \pi/2$ रखने पर:
$(\pi/2) \Delta t = \pi/6 \Rightarrow \Delta t = \frac{\pi}{6} \times \frac{2}{\pi} = 1/3 \, s$.

(B) $t=0$ पर $x=0$ से शुरू होने वाले कण के लिए गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
प्रथम अंतराल के लिए,$t = t_1$ पर $x = \frac{A}{2}$ है:
$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{6}$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।
दूसरे अंतराल के लिए,$x = 0$ से $x = A$ तक पहुँचने में लगा कुल समय $t_{total} = \frac{T}{4}$ है।
अतः,$x = \frac{A}{2}$ से $x = A$ तक जाने में लगा समय $t_2 = t_{total} - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$ है।
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{T/12}{T/6} = \frac{6}{12} = 0.5$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$x = A/2$,इसलिए $A/2 = A \sin(\phi)$,जिससे $\sin(\phi) = 1/2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\phi = \pi/6$ या $\phi = 5\pi/6$ है।
कण का वेग $v = dx/dt = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$v = A\omega \cos(\phi)$।
चूंकि कण ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रहा है,इसलिए $v < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $\cos(\phi) < 0$ है।
$\phi = \pi/6$ के लिए,$\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 > 0$ है।
$\phi = 5\pi/6$ के लिए,$\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2 < 0$ है।
अतः,सही फेज कोण $\phi = 5\pi/6$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,माध्य स्थिति $(x=0)$ से शुरू करते हुए,विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 0$ के लिए,$\omega t_0 = 0 \implies t_0 = 0$.
$x = \frac{A}{2}$ के लिए,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \implies \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = \frac{\pi}{6\omega}$.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \omega t_2 = \frac{\pi}{4} \implies t_2 = \frac{\pi}{4\omega}$.
$x=0$ से $x=\frac{A}{2}$ तक जाने में लगा समय $T_1 = t_1 - t_0 = \frac{\pi}{6\omega}$ है।
$x=\frac{A}{2}$ से $x=\frac{A}{\sqrt{2}}$ तक जाने में लगा समय $T_2 = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{4\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - 2\pi}{12\omega} = \frac{\pi}{12\omega}$ है।
$T_1$ और $T_2$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $T_1 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{12\omega} = 2 \times \frac{\pi}{12\omega} = 2T_2$.
अतः,$T_1 = 2T_2$ सही उत्तर है।

(A) कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$x = -\frac{A}{2}$ पर,$-\frac{A}{2} = A \sin(\theta_1) \implies \sin(\theta_1) = -\frac{1}{2}$,अतः $\theta_1 = -\frac{\pi}{6}$ (या $330^{\circ}$)।
$x = +\frac{A}{2}$ पर,$+\frac{A}{2} = A \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{1}{2}$,अतः $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$)।
कलांतर (phase difference) $\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$ रेडियन (जो $60^{\circ}$ के बराबर है)।
चूंकि $\Delta \theta = \omega \Delta t$,इसलिए लगा समय $\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 3}{\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$ है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ में एक कण के लिए गति का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $A = 25\, cm$ और $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3}$ है।
माध्य स्थिति $(y = 0)$ से $y = 12.5\, cm$ तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करने के लिए:
$12.5 = 25 \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$ है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{1}{4} = 0.25\, s$ प्राप्त होता है।
कण माध्य स्थिति से गुजरते हुए $-12.5\, cm$ से $+12.5\, cm$ तक गति करता है। अतः कुल समय $2t = 2 \times 0.25 = 0.5\, s$ होगा।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण $x(t) = x_m \cos(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$x = -x_m$,इसलिए $-x_m = x_m \cos(\phi)$,जिसका अर्थ है $\cos(\phi) = -1$,अतः $\phi = \pi$.
समीकरण $x(t) = x_m \cos(\omega t + \pi) = -x_m \cos(\omega t)$ हो जाता है।
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $x = +x_m$ हो।
अतः,$x_m = -x_m \cos(\omega t)$,जिसका अर्थ है $\cos(\omega t) = -1$.
यह तब होता है जब $\omega t = \pi$ (पहली बार)।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} \cdot t = \pi$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{T}{2} = 0.50\, T$ प्राप्त होता है।

(B) $S.H.M.$ के लिए विस्थापन समीकरण $y = a \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $y = a/2$ है,इसलिए $a/2 = a \sin(\omega t + \phi)$,जो $\sin(\omega t + \phi) = 1/2$ में सरल हो जाता है।
इस विस्थापन पर कणों के लिए दो संभावित कलाएं $\phi_1 = \pi/6$ और $\phi_2 = 5\pi/6$ हैं।
चूंकि कण समान विस्थापन पर विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,एक $\pi/6$ पर (माध्य स्थिति से दूर) है और दूसरा $5\pi/6$ पर (माध्य स्थिति की ओर) है।
उनके बीच का कलांतर $\Delta\phi = |5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$ रेडियन है।

(N/A) चित्र $S.H.M.$ निष्पादित करने वाले कण की स्थिति को अलग-अलग समय अंतराल पर दर्शाता है,जहाँ प्रत्येक अंतराल $\frac{T}{4}$ है,यह मानते हुए कि प्रारंभिक कला $\phi=0$ है और $T$ गति का आवर्तकाल है।
किसी दिए गए $S.H.M.$ के लिए,यदि $A$ आयाम है,तो समय $t$ पर कण की स्थिति कोसाइन फलन की कला $(\omega t+\phi)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
$S.H.M.$ का सामान्य समीकरण है:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$
यहाँ $\phi = 0$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ लेने पर,समीकरण बनता है:
$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
अब,हम अलग-अलग समय पर स्थिति निर्धारित कर सकते हैं:
$1$. $t = 0$ पर: $x(0) = A \cos(0) = +A$
$2$. $t = \frac{T}{4}$ पर: $x\left(\frac{T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$3$. $t = \frac{T}{2}$ पर: $x\left(\frac{T}{2}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}\right) = A \cos(\pi) = -A$
$4$. $t = \frac{3T}{4}$ पर: $x\left(\frac{3T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$
$5$. $t = T$ पर: $x(T) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot T\right) = A \cos(2\pi) = +A$

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में एक कण की स्थिति समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t$ समय है। पद $(\omega t + \phi)$ को समय $t$ पर गति की कला (phase) कहा जाता है। यह उस क्षण पर दोलक की गति की स्थिति (स्थान और दिशा) निर्धारित करता है।
कला नियतांक (प्रारंभिक कला): समय $t = 0$ पर,सरल आवर्त दोलक की कला $\phi$ होती है,जिसे प्रारंभिक कला या कला नियतांक कहा जाता है।
यदि आयाम $A$ निश्चित है,तो प्रारंभिक कला $\phi$ को $t = 0$ पर कण के विस्थापन से निर्धारित किया जा सकता है:
$x(0) = A \cos(\phi)$
$\therefore \cos \phi = \frac{x(0)}{A}$
$\therefore \phi = \cos^{-1}\left(\frac{x(0)}{A}\right)$
ग्राफ में विभिन्न कलाओं वाली $SHM$ को दर्शाने वाले दो वक्र हैं। वक्र $3$,$\phi = 0$ के लिए है,और वक्र $4$,$\phi = -\frac{\pi}{4}$ के लिए है। दोनों वक्रों का आयाम $A$ समान है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण का विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. समय $t$ पर कला: साइन फलन के तर्क $(\omega t + \phi)$ को समय $t$ पर कला कहा जाता है। यह किसी भी क्षण $t$ पर कण की दोलन अवस्था को दर्शाता है,जो उसकी स्थिति और गति की दिशा दोनों को निर्दिष्ट करता है।
$2$. प्रारंभिक कला (Epoch): स्थिरांक $\phi$ को प्रारंभिक कला या इपोक कहा जाता है। यह $t = 0$ पर कण की कला को दर्शाता है। यह अवलोकन की शुरुआत में कण की प्रारंभिक स्थिति और गति की दिशा निर्धारित करता है।

(N/A) प्रारंभिक कला शून्य वाले सरल आवर्त गति $(SHM)$ के कण के लिए,विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$.
त्वरण वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t)$.
ये समीकरण दर्शाते हैं कि तीनों राशियाँ समान आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ के साथ समय के अनुसार आवर्ती रूप से बदलती हैं।
$1$. विस्थापन $x(t)$,$-A$ और $+A$ के बीच बदलता है।
$2$. वेग $v(t)$,$-A\omega$ और $+A\omega$ के बीच बदलता है।
$3$. त्वरण $a(t)$,$-A\omega^2$ और $+A\omega^2$ के बीच बदलता है।
कला संबंध:
- वेग,विस्थापन से $\frac{\pi}{2}$ कला में आगे है।
- त्वरण,वेग से $\frac{\pi}{2}$ कला में आगे है,और विस्थापन से $\pi$ कला में आगे है।