Periodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM Questions in Hindi

(D) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ है।
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
मूल बिंदु से छोटे विस्थापन $(x \approx 0)$ के लिए,हम टेलर विस्तार $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$F \approx -2kx$.
चूंकि $F \propto -x$,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है।

(C) सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति के लिए शर्त यह है कि कुल प्रत्यानयन बल शून्य होना चाहिए।
दिया गया बल समीकरण: $F = -kx + F_0$ है।
माध्य स्थिति पर,$F = 0$,इसलिए $0 = -kx + F_0$,जिससे $x = F_0/k$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ ज्ञात करने के लिए,हम बल समीकरण को माध्य स्थिति से विस्थापन $x' = x - F_0/k$ के रूप में फिर से लिखते हैं। अतः $x = x' + F_0/k$ है।
इसे बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = -k(x' + F_0/k) + F_0 = -kx' - F_0 + F_0 = -kx'$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक $SHM$ समीकरण $F = -m\omega^2 x'$ से करने पर,हमें $m\omega^2 = k$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
अतः,कण $x = F_0/k$ के परितः $\omega = \sqrt{k/m}$ कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करेगा।

(C) पहला समीकरण $y_1 = a\sin(\omega t - \alpha)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\theta - 90^\circ)$ का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_1 = a\cos(\omega t - \alpha - 90^\circ)$.
दूसरा समीकरण $y_2 = b\cos(\omega t - \alpha)$ है।
कोसाइन फलनों के कोणों की तुलना करने पर,पहले समीकरण की कला $\phi_1 = \omega t - \alpha - 90^\circ$ है और दूसरे समीकरण की कला $\phi_2 = \omega t - \alpha$ है।
कलान्तर $\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1| = |(\omega t - \alpha) - (\omega t - \alpha - 90^\circ)| = 90^\circ$ है।

(C) गति का दिया गया समीकरण $X = 7 \cos(0.5 \pi t)$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $X = A \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 0.5 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{0.5 \pi} = 4 \ s$ है।
किसी कण को संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) से अधिकतम विस्थापन (चरम स्थिति) तक जाने में लगा समय आवर्तकाल का एक-चौथाई होता है।
अतः,$t = \frac{T}{4} = \frac{4}{4} = 1 \ s$।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ को $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ या $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विकल्प $A$,$x = A\sin(\omega t + \delta)$ है,जो एक मानक $SHM$ समीकरण है।
विकल्प $B$,$x = B\cos(\omega t + \phi)$ है,जो भी एक मानक $SHM$ समीकरण है।
विकल्प $C$,$x = A\sin \omega t \cos \omega t$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करके,हम इसे $x = \frac{A}{2}\sin(2\omega t)$ के रूप में लिख सकते हैं। यह $\frac{A}{2}$ आयाम और $2\omega$ कोणीय आवृत्ति वाली $SHM$ को दर्शाता है।
चूंकि तीनों व्यंजक सरल आवर्त गति को दर्शाते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) मान लीजिए कि एक कण $r$ त्रिज्या के वृत्त की परिधि पर नियत कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति कर रहा है।
किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति को कोण $\theta = \omega t + \phi$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
$x$-अक्ष (एक व्यास) पर कण का प्रक्षेप $x = r \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण $r$ आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) करने वाले कण के विस्थापन को दर्शाता है।
चूंकि किसी भी व्यास पर प्रक्षेप इस ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप का पालन करता है,इसलिए एकसमान वृत्तीय गति का किसी भी व्यास पर प्रक्षेप $S$.$H$.$M$. होता है।

(C) सरल आवर्त गति के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ कला नियतांक है।
दिए गए समीकरण $F(t) = 10\sin(20t + 0.5)$ की तुलना मानक रूप $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
हम पहचान सकते हैं कि साइन फलन का गुणांक आयाम $A$ को दर्शाता है।
अतः,$A = 10$.
सही विकल्प $C$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ है।
$y = a \sin \omega t$ के लिए,$\frac{d^2y}{dt^2} = -a \omega^2 \sin \omega t = -\omega^2 y$ होता है। यह शर्त को पूरा करता है।
$y = a \cos \omega t$ के लिए,$\frac{d^2y}{dt^2} = -a \omega^2 \cos \omega t = -\omega^2 y$ होता है। यह भी शर्त को पूरा करता है।
$y = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ समान आवृत्ति वाले दो $S.H.M.$ फलनों का रैखिक संयोजन है,जो स्वयं भी एक $S.H.M.$ है।
$y = a \tan \omega t$ के लिए,यह फलन परिबद्ध (bounded) नहीं है ($\omega t = \pi/2$ पर यह अनंत हो जाता है),और यह $\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। इसलिए,यह $S.H.M.$ को प्रदर्शित नहीं करता है।

(A) $Y$-अक्ष के अनुदिश सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $y = y_0 + A' \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $y_0$ माध्य स्थिति है,$A'$ आयाम है,और $\phi$ कला नियतांक है।
दिए गए समीकरण $y = A \sin(\omega t) + B$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हम पाते हैं कि माध्य स्थिति $B$ है और आयाम $A$ है।
आयाम कण का उसकी माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन दर्शाता है।
अतः,सरल आवर्त गति का आयाम $A$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ एक प्रकार की आवर्ती गति है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी में बनने वाली अप्रगामी तरंगें दो प्रगामी तरंगों का अध्यारोपण होती हैं,और डोरी के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः सरल आवर्त गति करते हैं।
अतः,दोनों सिरों पर बंधी डोरी में कणों की गति सरल आवर्त गति का एक उदाहरण है।

(B) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ गति का आयाम है।
दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर:
$y_1 = 10 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right)$ से आयाम $A_1 = 10$ प्राप्त होता है।
$y_2 = 25 \sin \left( \omega t + \frac{\sqrt{3} \pi}{4} \right)$ से आयाम $A_2 = 25$ प्राप्त होता है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,अनुपात $2:5$ है।

(B) किसी प्रणाली के लिए $S.H.M.$ (सरल आवर्त गति) प्रदर्शित करने हेतु दो मूलभूत शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्यास्थता: प्रणाली में एक प्रत्यानयन बल (restoring force) होना चाहिए जो विस्थापित होने पर वस्तु को वापस उसकी साम्यावस्था में लाने का कार्य करे।
$2$. जड़त्व: प्रणाली में द्रव्यमान (जड़त्व) होना चाहिए ताकि वह अपने संवेग के कारण साम्यावस्था से आगे निकल सके।
अतः,$S.H.M.$ प्रदर्शित करने वाली प्रणाली में प्रत्यास्थता और जड़त्व दोनों का होना अनिवार्य है।

(A) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 0.30 \, m$ और $\omega = 220 \, rad/s$ है।
$1$. आवृत्ति $(n)$: आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{220}{2 \times 3.14159} \approx 35.01 \, Hz \approx 35 \, Hz$.
$2$. अधिकतम वेग $(v_{\max})$: अधिकतम वेग $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{\max} = 220 \times 0.30 = 66 \, m/s$.
अतः,आवृत्ति $35 \, Hz$ है और अधिकतम वेग $66 \, m/s$ है।

(A) दिया गया विस्थापन समीकरण $x = 3\sin 2t + 4\cos 2t$ है।
यह समीकरण $x = A_1\sin \omega t + A_2\cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = 3$,$A_2 = 4$,और $\omega = 2$ है।
परिणामी आयाम $A$ का मान $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अधिकतम वेग $v_{\max}$ का सूत्र $v_{\max} = A\omega$ है।
$v_{\max} = 5 \times 2 = 10$.
अतः,आयाम $5$ है और अधिकतम वेग $10$ है।

(D) $Simple \ Harmonic \ Motion$ $(S.H.M.)$ की परिभाषित विशेषता यह है कि कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$ साम्यावस्था से उसके विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक होता है और साम्यावस्था की ओर निर्देशित होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
चूंकि $F = ma$,इसका तात्पर्य है कि $a = -(k/m)x$,जिसका अर्थ है कि त्वरण भी विस्थापन के आनुपातिक है।
हालाँकि,गति को परिभाषित करने वाली मौलिक भौतिक शर्त रैखिक प्रत्यानयन बल है,जो विकल्प $(d)$ को आवश्यक और पर्याप्त शर्त बनाती है।

(B) वस्तु $5 \ m$ की दूरी पर स्थित दो दीवारों के बीच $20 \ m/s$ के निरंतर वेग से गति करती है।
चूंकि टक्करें प्रत्यास्थ हैं और कोई घर्षण नहीं है,वस्तु गतिज ऊर्जा खोए बिना हर टक्कर के बाद अपनी दिशा बदल लेती है।
एक दीवार से दूसरी दीवार तक जाने में लगा समय $t = \frac{d}{v} = \frac{5 \ m}{20 \ m/s} = 0.25 \ s$ है।
वस्तु कुल $T = 2 \times 0.25 \ s = 0.5 \ s$ के समय के बाद अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है।
चूंकि गति $0.5 \ s$ के नियमित अंतराल पर खुद को दोहराती है,इसलिए यह गति आवर्ती है।
हालाँकि,सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए,त्वरण विस्थापन के समानुपाती होना चाहिए $(a \propto -x)$। यहाँ टक्करों के बीच वेग स्थिर है,जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य है। इसलिए,यह $SHM$ नहीं है।

(B) कण का त्वरण $a = -bx$ द्वारा दिया गया है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ से करने पर,हमें $\omega^2 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{b}$ होगी।
दोलन का आवर्तकाल $T$ ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{b}}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई गति का समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + Ky = 0$ है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ से करने पर,हमें $\omega^2 = K$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{K}$ है।
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{K}}$ प्राप्त होता है।

(B) $S.H.M.$ के लिए सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.01 \sin(100\pi t + 5\pi)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ sec$.
अतः,आवर्तकाल $0.02 \ sec$ है।

(D) $S.H.M.$ (सरल आवर्त गति) में,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है $(F = -kx)$,इसलिए यह स्थिति के साथ बदलता रहता है।
गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U = \frac{1}{2}kx^2)$ लगातार बदलती रहती हैं जैसे-जैसे कण गति करता है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = K + U)$ स्थिर रहती है।
हालाँकि,आवर्त काल $(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}})$ केवल कण के द्रव्यमान और बल नियतांक पर निर्भर करता है,जो दोनों ही सिस्टम के आंतरिक गुण हैं।
इसलिए,आवर्त काल वह राशि है जो एक दिए गए $S.H.M.$ सिस्टम के लिए स्थिर रहती है।

(B) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $X = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $X = 0.34 \cos(3000t + 0.74)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 3000 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $n$ (या $f$) और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi n$ है।
अतः,आवृत्ति $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3000}{2\pi} \ Hz$ होगी।

(B) $S.H.M.$ के लिए,कण पर लगने वाला बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma$,हमारे पास $ma = -kx$ है,जिसका अर्थ है $a = -(k/m)x$।
इसे मानक $S.H.M.$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = k/m$ प्राप्त होता है,जो एक स्थिरांक है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ स्थिर है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$ भी स्थिर रहता है। अतः,कथन $A$ सही है।
सभी आवर्ती गतियां $S.H.M.$ नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में एक निश्चित आवर्तकाल होता है लेकिन यह $S.H.M.$ नहीं है क्योंकि बल विस्थापन के समानुपाती नहीं होता है। अतः,कथन $B$ गलत है।
$S.H.M.$ की कुल ऊर्जा $E = (1/2)kA^2$ द्वारा दी जाती है,जो दर्शाती है कि ऊर्जा आयाम के वर्ग $(A^2)$ के सीधे समानुपाती होती है। अतः,कथन $C$ सही है।
विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $\phi$ कला नियतांक है। $\phi$ का मान $t = 0$ पर कण की प्रारंभिक स्थिति और वेग द्वारा निर्धारित होता है। अतः,कथन $D$ सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(A) सरल आवर्त गति का मानक समीकरण $x = a \cos(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.01 \cos \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \, rad/s$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $n$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi n$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $\pi = 2\pi n$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए हल करने पर,$n = \frac{\pi}{2\pi} = 0.5 \, Hz$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $y = 5 \sin \pi (t + 4) = 5 \sin (\pi t + 4\pi)$ है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $y = a \sin (\omega t + \phi)$ या $y = a \sin (\frac{2\pi}{T} t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर:
आयाम $a$ साइन फलन का गुणांक है,इसलिए $a = 5 \ m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ समय $t$ का गुणांक है,इसलिए $\omega = \pi \ rad/s$ है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\pi = \frac{2\pi}{T}$ होगा।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण की अधिकतम चाल का सूत्र $v_{\max} = a\omega$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2\pi n$,जहाँ $n$ दोलन की आवृत्ति है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a = 5\, cm = 0.05\, m$ और $v_{\max} = 31.4\, cm/s = 0.314\, m/s$.
$v_{\max} = a \times 2\pi n$
$0.314 = 0.05 \times 2 \times 3.14 \times n$
$0.314 = 0.314 \times n$
$n = 1\, Hz$.

(D) सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x = 0.05 \cos \left( 4 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $n$ के बीच का संबंध $\omega = 2 \pi n$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$4 \pi = 2 \pi n$
$n = \frac{4 \pi}{2 \pi} = 2 \ Hz$.
अतः,गति की आवृत्ति $2 \ Hz$ है।

(B) सरल आवर्त गति के लिए सामान्य समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ है।
यहाँ आयाम $A = 0.16 \, m$ और आवर्तकाल $T = 2 \, s$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $x = -0.16 \, m$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $-0.16 = 0.16 \cos(\pi \cdot 0 + \phi) \implies \cos(\phi) = -1 \implies \phi = \pi$।
अतः,विस्थापन समीकरण $x = 0.16 \cos(\pi t + \pi)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $x = -0.16 \cos(\pi t)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $y = A\sin PT + B\cos PT$
मान लीजिए $A = r\cos \theta$ और $B = r\sin \theta$,जहाँ $r = \sqrt{A^2 + B^2}$ और $\tan \theta = B/A$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = r\cos \theta \sin PT + r\sin \theta \cos PT$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$y = r\sin(PT + \theta)$
यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के समीकरण का मानक रूप है,जहाँ $r$ आयाम है,$P$ कोणीय आवृत्ति है और $\theta$ कला नियतांक है।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $y = a(\sin \omega \,t + \cos \omega \,t)$ है।
हम इसे $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$y = a\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega \,t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega \,t \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$y = a\sqrt{2} (\sin \omega \,t \cos 45^\circ + \cos \omega \,t \sin 45^\circ)$।
$y = a\sqrt{2} \sin(\omega \,t + 45^\circ)$।
यह सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ का मानक समीकरण है,जो $y = A \sin(\omega \,t + \phi)$ है,जहाँ आयाम $A = a\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x = 5\sqrt{2} (\sin 2\pi t + \cos 2\pi t)$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $x = 5\sqrt{2} \sin 2\pi t + 5\sqrt{2} \cos 2\pi t$.
सर्वसमिका $A \sin \omega t + B \cos \omega t = R \sin(\omega t + \phi)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
यहाँ,$A = 5\sqrt{2}$ और $B = 5\sqrt{2}$.
परिणामी आयाम $R = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2}$.
$R = \sqrt{(25 \times 2) + (25 \times 2)} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.

(D) दिया गया फलन $y = \sin^2(\omega t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
$\cos(kt)$ फलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 2\omega$ है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ होगा।
सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} = -\Omega^2 y$ को संतुष्ट करना चाहिए। दिया गया फलन एक अचर पद और कोसाइन पद का योग है,जो $S.H.M.$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि संतुलन स्थिति स्थानांतरित हो गई है और यह मूल बिंदु के चारों ओर शुद्ध ज्यावक्रीय दोलन नहीं है। इसलिए,यह एक आवर्ती गति है लेकिन $S.H.M.$ नहीं है।

(A) एक फलन सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ को तब दर्शाता है यदि वह अवकल समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ को संतुष्ट करता है।
विकल्प $A$: $x = \sin \omega t - \cos \omega t$. इसे $x = \sqrt{2} [\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t] = \sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक मानक $S.H.M.$ समीकरण है।
विकल्प $B$: $x = \sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$. यह एक स्थिर विस्थापन और $2\omega$ आवृत्ति वाली गति को दर्शाता है,जो सरल आवर्त गति नहीं है।
विकल्प $C$ और $D$: ये दो अलग-अलग आवृत्तियों ($\omega$ और $2\omega$) का अध्यारोपण हैं,जो आवर्ती गति तो देते हैं लेकिन सरल आवर्त गति नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सरल आवर्त गति का मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $x = 0.01 \sin(100\pi t + 5\pi)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
$\omega$ का मान रखने पर,$T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \text{ sec}$ प्राप्त होता है।
अतः,इस सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $0.02 \text{ sec}$ है।

(A) सरल आवर्त गति का मानक समीकरण $y = a \sin (\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.30 \sin (220 \, t + 0.64)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $a = 0.30 \, m$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 220 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $n$ की गणना $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{220}{2 \times 3.14159} \approx 35.01 \, Hz \approx 35 \, Hz$ के रूप में की जाती है।
अधिकतम वेग $v_{max}$ का सूत्र $v_{max} = a \omega$ है।
मान रखने पर,$v_{max} = 0.30 \times 220 = 66 \, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्ति $35 \, Hz$ है और अधिकतम वेग $66 \, m/s$ है।

(B) सरल आवर्त गति में त्वरण का मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ होता है।
दिए गए समीकरण $a = -bx$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{b}$ है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{b}}$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति के लिए मानक अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} + ky = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = k$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{k}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{k}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ के रूप में है।
इसे $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x = 3 \sin(5\pi t) + 4 \cos(5\pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 3$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ है।
इस प्रकार,कण का आयाम $5 \text{ cm}$ है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ एक परवलयाकार वक्र द्वारा दी गई है,जिसका अर्थ है $V(x) = \frac{1}{2}kx^2$।
यह एक सरल आवर्त दोलक $(SHM)$ को दर्शाता है जहाँ प्रत्यानयन बल $F = -\frac{dV}{dx} = -kx$ है।
चूँकि कण को $t = 0$ पर $x = A$ के धनात्मक विस्थापन पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी गति का समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा वर्णित है।
$t = 0$ पर,$x = A$ है,जो धनात्मक चरम स्थिति है।
जैसे-जैसे समय बढ़ता है,कण माध्य स्थिति $(x = 0)$ की ओर और फिर ऋणात्मक चरम स्थिति $(x = -A)$ की ओर बढ़ता है।
यह व्यवहार $t = 0$ पर धनात्मक अधिकतम मान से शुरू होने वाले कोसाइन ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ के लिए परिभाषित स्थिति यह है कि त्वरण $(a)$,माध्य स्थिति से विस्थापन $(x)$ के ऋणात्मक मान के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $a = -\omega^2 x$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
विकल्प $(C)$ में,समीकरण $a = -k(x+a)$ है। यदि हम एक नया निर्देशांक $x' = x+a$ परिभाषित करें,तो समीकरण $a = -k x'$ बन जाता है।
यह $x = -a$ संतुलन स्थिति के चारों ओर $S.H.M.$ को दर्शाता है।
चूंकि त्वरण माध्य स्थिति से विस्थापन के आनुपातिक है और उसकी विपरीत दिशा में है,इसलिए विकल्प $(C)$ सही ढंग से $S.H.M.$ का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) दिया गया विस्थापन $x = a \sin^2 \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x = a \left( \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t$.
यह समीकरण माध्य स्थिति $x = \frac{a}{2}$ के परितः एक आवर्ती गति को दर्शाता है।
किसी गति के सरल आवर्त गति $(SHM)$ होने के लिए,त्वरण को माध्य स्थिति से विस्थापन के ऋणात्मक के समानुपाती होना चाहिए,अर्थात $a_{acc} \propto -(x - x_{mean})$.
यहाँ,विस्थापन $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \cos 2\omega t$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos 2\omega t) = a\omega \sin 2\omega t$ है।
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a\omega^2 \cos 2\omega t$ है।
विस्थापन के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_{acc} = -4\omega^2 (x - \frac{a}{2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण माध्य स्थिति से विस्थापन के ऋणात्मक के समानुपाती है,इसलिए यह गति सरल आवर्त गति है।
इस $SHM$ की कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
आवृत्ति $f = \frac{\omega'}{2\pi} = \frac{2\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}$ है।

(C) यदि किसी फलन को $y = A \sin(\omega t + \phi)$ या $y = A \cos(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,तो वह $SHM$ है।
$(A)$ के लिए: $y = \sin \omega t - \cos \omega t = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right] = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$. यह एक $SHM$ है।
$(B)$ के लिए: $y = \sin^3 \omega t = \frac{1}{4} [3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t]$. यह दो अलग-अलग आवृत्तियों वाली गतियों का अध्यारोपण है,इसलिए यह आवर्ती गति है लेकिन $SHM$ नहीं है।
$(C)$ के लिए: $y = 5 \cos \left( \frac{3\pi}{4} - 3\omega t \right) = 5 \cos \left( 3\omega t - \frac{3\pi}{4} \right)$. यह $3\omega$ कोणीय आवृत्ति वाली एक $SHM$ है।
$(D)$ के लिए: $y = 1 + \omega t + \omega^2 t^2$. यह समय का एक द्विघात फलन है,जो अनावर्ती गति को दर्शाता है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों $SHM$ को दर्शाते हैं।

(D) प्रथम गति का आयाम $A_1 = A$ है।
दूसरा समीकरण $y_2 = \frac{A}{2} \sin \omega t + \frac{A}{2} \cos \omega t$ है।
हम इसे $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$y_2 = \frac{A}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right)$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$y_2 = \frac{A}{\sqrt{2}} \sin(\omega t + 45^\circ)$।
अतः,दूसरी गति का आयाम $A_2 = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A}{A/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(A) सरल आवर्त गति का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $y = 5 \sin(\pi t + 4\pi)$.
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $y = A \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
आयाम $A = 5 \ m$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \ rad/s$.
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\pi = \frac{2\pi}{T}$ होगा।
$T$ के लिए हल करने पर,$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 5$ और $T = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+9 y=0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = -\frac{9}{4} y$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $\frac{d^{2} y}{dt^{2}} = -\omega^{2} y$ से करने पर,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है:
$\omega^{2} = \frac{9}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।

(C) चरम स्थिति से शुरू होने वाले $SHM$ में कण के विस्थापन का समीकरण $x = a \cos(\omega t)$ है।
चरम स्थिति $(x = a)$ से $a/2$ की दूरी तय करने के लिए,कण $x = a - a/2 = a/2$ स्थिति पर पहुँचता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $a/2 = a \cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t) = 1/2.$
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2,$ इसलिए $\omega t = \pi/3.$
$\omega = 2\pi/T$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2\pi/T)t = \pi/3 \Rightarrow t = T/6.$
औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $v_{av} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{a/2}{T/6} = \frac{3a}{T}.$

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,समय $t$ के फलन के रूप में विस्थापन $d$ को $d = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वह संबंध ज्ञात करने के लिए जहाँ $y$ समय $(t)$ है और $d$ विस्थापन है,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $t = \frac{1}{\omega} \arcsin(\frac{d}{A}) - \frac{\phi}{\omega}$।
यह समीकरण दर्शाता है कि विस्थापन $d$ के एक मान के लिए,समय $t$ के कई मान होते हैं क्योंकि कण आगे-पीछे दोलन करता है।
ग्राफ $IV$ एक ऐसा संबंध दिखाता है जहाँ दिए गए विस्थापन $d$ ($-A$ से $+A$ की सीमा के भीतर) के लिए,$y$ (समय) के कई मान होते हैं,जो समय को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित करने पर $SHM$ की आवर्ती प्रकृति को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) क्षैतिज वृत्त का व्यास $d = 0.8 \, m$ है। सरल आवर्त गति $(SHM)$ का आयाम $A$ इस वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।
$A = \frac{d}{2} = \frac{0.8 \, m}{2} = 0.4 \, m$.
परिक्रमण की आवृत्ति $f = 30 \, rev/min = \frac{30}{60} \, rev/s = 0.5 \, Hz$ है।
$SHM$ का आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगे समय के बराबर होता है।
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.5} = 2 \, s$.
वैकल्पिक रूप से,कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi \times 30}{60} = \pi \, rad/s$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $\pi = \frac{2 \pi}{T}$,जिससे $T = 2 \, s$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $v^2 = 108 - 9x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2v \frac{dv}{dt} = -18x \frac{dx}{dt}$
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $2v a = -18xv$,जो सरल होकर $a = -9x$ हो जाता है।
यह सरल आवर्त गति $(a = -\omega^2 x)$ का विशिष्ट समीकरण है,जहाँ $\omega^2 = 9$,अतः $\omega = 3 \, rad/s$ है।
$x = 3 \, m$ पर,त्वरण का परिमाण $|a| = |-9(3)| = 27 \, m/s^2$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
गति $x = 0$ (साम्यावस्था) के परितः सरल आवर्त गति है।
अधिकतम विस्थापन (आयाम $A$) तब होता है जब $v = 0$ हो:
$0 = 108 - 9x^2 \implies x^2 = 12 \implies x = \sqrt{12} \, m \approx 3.46 \, m$। अतः,विकल्प $D$ गलत है।