SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(B) जब ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो केंद्रीय स्प्रिंग $x$ से खिंच जाती है,जो ऊपर की ओर $F_1 = kx$ का प्रत्यानयन बल प्रदान करती है।
दोनों पार्श्व स्प्रिंग,जो क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर हैं,भी $\Delta l = x \sin 45^{\circ} = \frac{x}{\sqrt{2}}$ की मात्रा से खिंच जाएंगी।
प्रत्येक पार्श्व स्प्रिंग में प्रत्यानयन बल $F_s = k \Delta l = \frac{kx}{\sqrt{2}}$ है।
प्रत्येक पार्श्व स्प्रिंग से बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_v = F_s \sin 45^{\circ} = \left( \frac{kx}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{kx}{2}$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल प्रत्यानयन बल $F_{net}$ तीनों स्प्रिंगों से लगने वाले बलों का योग है:
$F_{net} = F_1 + 2 \times F_v = kx + 2 \times \left( \frac{kx}{2} \right) = kx + kx = 2kx$.
चूंकि $F_{net} = ma$,हमारे पास $ma = 2kx$ है,जो $a = \left( \frac{2k}{m} \right) x$ देता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = \omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{2k}{m}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।

(B) दिए गए चित्र में,दो स्प्रिंग दो कठोर आधारों के बीच श्रेणीक्रम (series) में जुड़ी हुई हैं। जब जंक्शन पर बल लगाया जाता है,तो कुल विस्थापन $x$ दोनों स्प्रिंग के व्यक्तिगत विस्थापन $x_1$ और $x_2$ का योग होता है।
$x = x_1 + x_2$
चूंकि स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला बल $F$ समान होता है।
$F = K_1x_1 = K_2x_2 = K_{eff}x$
अतः,$x_1 = F / K_1$ और $x_2 = F / K_2$।
इन मानों को विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$F / K_{eff} = F / K_1 + F / K_2$
$1 / K_{eff} = 1 / K_1 + 1 / K_2$
$1 / K_{eff} = (K_1 + K_2) / (K_1K_2)$
$K_{eff} = (K_1K_2) / (K_1 + K_2)$

(B) $SHM$ में गति करने वाले बोर्ड पर रखी वस्तु संपर्क न खोए,इसके लिए बोर्ड का अधिकतम नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$SHM$ में बोर्ड का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \alpha \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
संपर्क बनाए रखने के लिए,शर्त $a_{max} \le g$ है,जिसका अर्थ है $\alpha \omega^2 \le g$।
न्यूनतम आवर्तकाल $T$ के लिए,हम उस सीमांत स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ $\alpha \omega^2 = g$ है।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha (\frac{2\pi}{T})^2 = g$ प्राप्त होता है।
$T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{4\pi^2 \alpha}{T^2} = g$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T^2 = \frac{4\pi^2 \alpha}{g}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{\alpha}{g}}$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग $A$ के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \implies k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$।
स्प्रिंग $B$ के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \implies k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
समानांतर संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ का मान $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$ है।
$k, k_1$ और $k_2$ के मानों को समानांतर संयोजन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
दोनों पक्षों को $4\pi^2 m$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2m$ है। संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल दोनों ब्लॉकों के वजन को संतुलित करता है: $k x_{eq} = 2mg$,इसलिए $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$।
ब्लॉकों के संपर्क में रहने के लिए,उनके बीच का अभिलंब बल $N$ शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। $m$ द्रव्यमान के ऊपरी ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण $mg - N = ma$ है,जहाँ $a$ नीचे की ओर त्वरण है। अतः,$N = m(g - a)$।
ब्लॉकों के संपर्क में रहने के लिए,हमें $N \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $a \le g$। सरल आवर्त गति में निकाय का अधिकतम नीचे की ओर त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}$।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर,त्वरण नीचे की ओर $\omega^2 A$ के परिमाण के साथ होता है। इस बिंदु पर $a \le g$ की शर्त पूरी होनी चाहिए। यदि त्वरण $g$ से अधिक हो जाता है तो ब्लॉक संपर्क खो देंगे। सीमित स्थिति $a = g$ है,जो तब होती है जब स्प्रिंग बल शून्य होता है (स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई पर)।
संतुलन स्थिति में,स्प्रिंग $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$ तक दबी होती है। यदि आयाम $A$,$x_{eq}$ के बराबर है,तो ब्लॉक उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई तक पहुँच जाता है। अतः,अधिकतम आयाम $A = \frac{2mg}{k}$ है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $(m) = 5\; kg$ और आवर्तकाल $(T) = 2\pi\; s$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $2\pi = 2\pi \sqrt{\frac{5}{k}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \frac{5}{k}$,जिससे स्प्रिंग नियतांक $k = 5\; N/m$ प्राप्त होता है।
जब पिंड लटका होता है,तो भार $mg$ के कारण स्प्रिंग में $x$ का विस्तार होता है। हुक के नियम के अनुसार,$mg = kx$ होता है।
अतः,लंबाई में कमी $x = \frac{mg}{k}$ होगी।
$m = 5\; kg$ और $k = 5\; N/m$ रखने पर: $x = \frac{5g}{5} = g\; m$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{t^2}$।
दो स्प्रिंगों के लिए व्यक्तिगत रूप से,स्प्रिंग नियतांक $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{t_1^2}$ और $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}$ हैं।
जब स्प्रिंगों को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ है।
$k_1$ और $k_2$ के मान रखने पर:
$t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{4\pi^2 m}{t_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4\pi^2 m (\frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2})}}$।
$t = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{t_2^2 + t_1^2}{t_1^2 t_2^2}}} = \frac{t_1 t_2}{\sqrt{t_1^2 + t_2^2}}$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kA^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $A$ आयाम है।
हम जानते हैं कि स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है,जिसका अर्थ है $k = m\omega^2$।
ऊर्जा समीकरण में $k = m\omega^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{2}(m\omega^2)A^2$ प्राप्त होता है।
जब द्रव्यमान $m$ को $2m$ से बदल दिया जाता है,तो स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ अपरिवर्तित रहता है क्योंकि स्प्रिंग स्वयं नहीं बदली गई है।
चूंकि कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kA^2$ केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और आयाम $A$ पर निर्भर करती है,और $k$ तथा $A$ दोनों समान रहते हैं,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ समान रहेगी।

(B) $1$. दिए गए चित्र में,$k_1$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़ी हैं। इन दो स्प्रिंगों का तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_p = k_1 + k_1 = 2k_1$ है।
$2$. यह तुल्य स्प्रिंग $k_p$,$k_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ी है।
$3$. श्रेणी क्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_p} + \frac{1}{k_2}$ होता है।
$4$. $k_p = 2k_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2}$ प्राप्त होता है।
$5$. अतः,$k_{eq} = \left[ \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2} \right]^{-1}$ होगा।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \sqrt{m}$।
प्रारंभ में,कुल द्रव्यमान $M_1 = 400\,g + 500\,g + 700\,g = 1600\,g$ है। हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $700\,g$ द्रव्यमान को हटाने के बाद आवर्तकाल $3\,s$ है।
मान लीजिए शेष द्रव्यमान $m_1 = 400\,g + 500\,g = 900\,g$ है। अतः,$m_1 = 900\,g$ के लिए $T_1 = 3\,s$ है।
जब $500\,g$ द्रव्यमान को भी हटा दिया जाता है,तो नया द्रव्यमान $m_2 = 400\,g$ हो जाता है।
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{3} = \sqrt{\frac{400}{900}}$
$\frac{T_2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$T_2 = 2\,s$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्प्रिंग के लिए,$t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1}} \implies t_1^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_1} \implies k_1 = \frac{4\pi^2 M}{t_1^2}$.
दूसरी स्प्रिंग के लिए,$t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_2}} \implies t_2^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_2} \implies k_2 = \frac{4\pi^2 M}{t_2^2}$.
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का मान $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$ होता है,इसलिए $k_{eq} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_{eq}} = 4\pi^2 M \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right) = 4\pi^2 M \left( \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_1} \right)$.
$k_1$ और $k_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 M \left( \frac{t_2^2}{4\pi^2 M} + \frac{t_1^2}{4\pi^2 M} \right) = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$
जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है और $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
दिया गया है:
$K = 1200\, Nm^{-1}$
$m = 3\, kg$
सूत्र में मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{1200}{3}}$
$\omega = \sqrt{400}$
$\omega = 20\, rad/s$
अतः,दोलन की कोणीय आवृत्ति $20\, rad/s$ है।

(D) सरल आवर्त गति में किसी वस्तु का अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_1 = m_2 = m)$,इसलिए कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$ और $\omega_2 = \sqrt{\frac{k_2}{m}}$ होंगी।
चूंकि अधिकतम वेग समान हैं,इसलिए $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ होगा।
आयामों के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$ प्राप्त होता है।
$\omega_1$ और $\omega_2$ के व्यंजक रखने पर,हमें $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{k_2/m}}{\sqrt{k_1/m}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयामों का अनुपात $\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ है।

(A) जब $m$ द्रव्यमान को एक स्प्रिंग से लटकाया जाता है,तो प्रत्यानयन बल $F = kx$ गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करता है। अतः,$kx = mg$,जिसका अर्थ है $k = \frac{mg}{x}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $k = \frac{mg}{x}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{mg/x}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए चित्र में,$K_1$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
इन दो समांतर स्प्रिंगों का तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_p = K_1 + K_1 = 2K_1$ है।
अब,यह तुल्य स्प्रिंग $K_p$,$K_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ी हुई है।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_p} + \frac{1}{K_2}$ है।
$K_p = 2K_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_2 + 2K_1}{2K_1K_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{2K_1 + K_2}$ होगा।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
पहली स्थिति में,$k_1$ स्प्रिंग के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{T_1^2} = \frac{k_1}{4\pi^2 m}$।
दूसरी स्थिति में,$k_2$ स्प्रिंग के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{T_2^2} = \frac{k_2}{4\pi^2 m}$।
जब दो स्प्रिंगों को समानांतर जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है। आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m}$।
$\frac{k_1}{4\pi^2 m}$ और $\frac{k_2}{4\pi^2 m}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $T^{-2} = T_1^{-2} + T_2^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों स्प्रिंगों के लिए अलग-अलग,हमारे पास $t_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ और $t_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_1}$ और $t_2^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{k_1} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m}$ और $\frac{1}{k_2} = \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$।
स्प्रिंगों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ को $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी संयोजन के लिए आवर्तकाल $t = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ है,इसलिए $t^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_{eq}}$।
$\frac{1}{k_{eq}}$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t^2 = 4 \pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = 4 \pi^2 m \left( \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m} \right) = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \sqrt{t_1^2 + t_2^2}$।

(A) मान लीजिए कि कण को स्प्रिंग $C$ की दिशा में $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
विस्थापन $x$ को तीनों स्प्रिंगों के अक्षों के अनुदिश घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
स्प्रिंग $C$ में $x$ का संपीड़न होता है।
स्प्रिंग $A$ और $B$ विस्थापन की दिशा के साथ क्रमशः $45^{\circ}$ और $90^{\circ}$ पर हैं।
स्प्रिंग $A$ और $B$ के अनुदिश विस्थापन के घटक क्रमशः $x \cos(45^{\circ}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ और $x \cos(45^{\circ}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ हैं।
प्रत्यानयन बल $F_C = Kx$,$F_A = K \frac{x}{\sqrt{2}}$,और $F_B = K \frac{x}{\sqrt{2}}$ हैं।
विस्थापन की दिशा में कुल प्रत्यानयन बल $F_{net}$ इस दिशा में इन बलों के घटकों का योग है:
$F_{net} = F_C + F_A \cos(45^{\circ}) + F_B \cos(45^{\circ}) = Kx + (K \frac{x}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (K \frac{x}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} = Kx + \frac{Kx}{2} + \frac{Kx}{2} = 2Kx$.
इसे $F = k_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k_{eff} = 2K$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}}$ है।

(A) दिए गए चित्र में,द्रव्यमान $m$ को दो स्प्रिंगों के बीच जोड़ा गया है। जब द्रव्यमान को विस्थापित किया जाता है,तो एक स्प्रिंग संकुचित होती है जबकि दूसरी फैलती है। यह विन्यास स्प्रिंगों के समानांतर संयोजन के समतुल्य है।
समानांतर में स्प्रिंगों के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}$ इस प्रकार है:
$k_{eff} = k_1 + k_2$
दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \quad ...(1)$
यदि $k_1$ और $k_2$ दोनों को उनके मूल मानों का चार गुना कर दिया जाए,तो नए स्प्रिंग नियतांक $k_1' = 4k_1$ और $k_2' = 4k_2$ होंगे। नया प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}'$ है:
$k_{eff}' = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)$
नई आवृत्ति $f'$ है:
$f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4(k_1 + k_2)}{m}}$
$f' = 2 \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \right)$
$f' = 2f$

(B) समांतर क्रम में जुड़ी दो स्प्रिंगों के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,चरम स्थिति $(x)$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा $x/2$ स्थिति पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
चरम स्थिति $(x)$ पर,वेग शून्य है,इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा है: $E = \frac{1}{2} k_{eff} x^2 = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) x^2$.
$x/2$ स्थिति पर,कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है: $E = \frac{1}{2} k_{eff} (x/2)^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} (k_1 + k_2) x^2 = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) (x/2)^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
$(k_1 + k_2) x^2 = (k_1 + k_2) \frac{x^2}{4} + m v^2$.
$m v^2 = (k_1 + k_2) x^2 - \frac{(k_1 + k_2) x^2}{4} = \frac{3}{4} (k_1 + k_2) x^2$.
$v^2 = \frac{3(k_1 + k_2) x^2}{4m}$.
$v = \sqrt{\frac{3(k_1 + k_2) x^2}{4m}}$.

(C) इस निकाय में,दोनों ब्लॉक $M$ और $m$ एक इकाई के रूप में एक साथ चलते हैं क्योंकि उनके बीच का घर्षण छोटे दोलनों के लिए सापेक्ष गति को रोकने के लिए पर्याप्त है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए दोलन करने वाले निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m = 3\,kg + 1\,kg = 4\,kg$ है।
स्प्रिंग नियतांक $k = 2\,N\,m^{-1}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{total}}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{2}} = 2\pi \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,निकाय द्वारा निष्पादित $SHM$ का आवर्तकाल $2\sqrt{2}\pi\,s$ है।

(D) निकाय का समानित द्रव्यमान (reduced mass) इस प्रकार दिया गया है:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot m}{m + m} = \frac{m^2}{2m} = \frac{m}{2}$
स्प्रिंग से जुड़े दो कणों का दिया गया निकाय,$k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ी $\mu$ द्रव्यमान के एक कण के निकाय के समतुल्य है।
इस समतुल्य निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$
$\mu = \frac{m}{2}$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m/2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}} = \pi \sqrt{\frac{4m}{2k}} = \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) ब्लॉक को प्लेटफॉर्म के संपर्क में रहने के लिए,प्लेटफॉर्म का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$SHM$ कर रहे प्लेटफॉर्म का अधिकतम नीचे की ओर त्वरण $a_{max} = \omega^2 d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $d$ आयाम है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि ब्लॉक प्लेटफॉर्म को न छोड़े,हम $a_{max} \le g$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $\omega^2 d = g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \sqrt{g/d}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ होती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है,हमारे पास $2\pi f = \sqrt{g/d}$ है।
अतः,अधिकतम आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{d}}$ है।

(A) संतुलन स्थिति उस बिंदु पर स्थानांतरित हो जाएगी जहां परिणामी बल शून्य है।
नई संतुलन स्थिति $x_{eq}$ पर,स्प्रिंग बल विद्युत बल को संतुलित करता है:
$k x_{eq} = qE \Rightarrow x_{eq} = \frac{qE}{k}$
निकाय की कुल ऊर्जा कंपन ऊर्जा और नई संतुलन स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k x_{eq}^2$
समीकरण में $x_{eq} = \frac{qE}{k}$ रखने पर:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k \left( \frac{qE}{k} \right)^2$
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2 E^2}{k}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $1 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{1}}$,जिसका अर्थ है $k = 4 \pi^2 \, N/m$.
दूसरी स्थिति में,दो समान स्प्रिंग समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq} = k + k = 2k = 2(4 \pi^2) = 8 \pi^2 \, N/m$ है।
नया द्रव्यमान $M = 8 \, kg$ है।
नई आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है:
$f' = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{8 \pi^2}{8}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\pi^2} = \frac{\pi}{2 \pi} = 0.5 \, Hz$.

(C) बड़े पिंड का द्रव्यमान $M = 4\, kg$ है।
छोटे पिंड का द्रव्यमान $m = 1\, kg$ है।
छोटा द्रव्यमान $(m = 1\, kg)$ $25\, rad/s$ की कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ और $1.6\, cm = 1.6 \times 10^{-2}\, m$ के आयाम $(A)$ के साथ सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) करता है।
हम जानते हैं कि $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,इसलिए $K = m\omega^2 = 1 \times (25)^2 = 625\, N/m$ है।
निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया बल बड़े पिंड का भार,छोटे पिंड का भार और स्प्रिंग बल का योग है।
फर्श द्वारा निकाय पर लगाया गया अभिलंब बल $N = Mg + mg + F_{spring}$ है।
जैसे-जैसे छोटा द्रव्यमान दोलन करता है,स्प्रिंग बल $F_{spring}$ बदलता रहता है। फर्श पर लगाया गया अधिकतम बल तब होता है जब स्प्रिंग का विस्तार अधिकतम होता है।
अधिकतम स्प्रिंग बल $F_{max} = KA = 625 \times 1.6 \times 10^{-2} = 10\, N$ है।
अतः,फर्श पर लगाया गया अधिकतम बल $F_{total} = Mg + mg + F_{max} = (4 \times 10) + (1 \times 10) + 10 = 40 + 10 + 10 = 60\, N$ है।

(D) हम स्प्रिंग के सभी सूक्ष्म द्रव्यमान तत्वों की गतिज ऊर्जा का समाकलन करके इसकी प्रभावी गतिज ऊर्जा ज्ञात कर सकते हैं।
मान लीजिए स्प्रिंग की लंबाई $L$ है। स्थिर सिरे से $y$ दूरी पर $dy$ लंबाई का एक तत्व लें।
इस तत्व का द्रव्यमान $dm = (m/L) dy$ है।
इस तत्व का वेग $u$ स्थिर सिरे से इसकी दूरी $y$ के समानुपाती है: $u = (y/L)v$.
इस तत्व की गतिज ऊर्जा $dT = \frac{1}{2} (dm) u^2 = \frac{1}{2} (m/L) dy (yv/L)^2$ है।
$y = 0$ से $y = L$ तक समाकलन करने पर:
$T = \int_{0}^{L} \frac{1}{2} \frac{m}{L} \frac{v^2}{L^2} y^2 dy$
$T = \frac{mv^2}{2L^3} \int_{0}^{L} y^2 dy$
$T = \frac{mv^2}{2L^3} [y^3/3]_{0}^{L} = \frac{mv^2}{2L^3} (L^3/3) = \frac{1}{6} mv^2$.

(A) जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है और उन्हें $F$ बल द्वारा संपीड़ित किया जाता है,तो प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला बल $F$ समान होता है।
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $E = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि श्रेणीक्रम में दोनों स्प्रिंगों के लिए बल $F$ समान है,इसलिए ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$ होगा।
यहाँ $k_A = 300 \, N/m$ और $k_B = 400 \, N/m$ दिया गया है।
अतः,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(C) पिंड $m$ के तश्तरी से अलग होने के लिए,दोलन के उच्चतम बिंदु पर पिंड और तश्तरी के बीच का अभिलंब बल $N$ शून्य होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पिंड का त्वरण नीचे की ओर होता है और यह $a = \omega^2 A$ के बराबर होता है।
उच्चतम बिंदु पर पिंड के लिए गति का समीकरण $mg - N = ma$ है।
अलग होने की स्थिति के लिए $N = 0$ रखने पर,हमें $mg = m\omega^2 A$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $g = \omega^2 A$ मिलता है।
चूंकि $\omega^2 = k/m$,इसलिए $g = (k/m) A$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $10 = (500 / 1.0) \times A$.
$A = 10 / 500 = 0.02\,m = 2.0\,cm$.
अतः,यदि आयाम $A$ का मान $2.0\,cm$ या उससे अधिक है,तो पिंड तश्तरी से अलग होने की स्थिति में होगा।

(D) मान लीजिए कि बेलन का उसकी संतुलन स्थिति से नीचे की ओर विस्थापन $x$ है।
जब बेलन को $x$ विस्थापित किया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b = A \sigma g x$ होता है।
ऊपर की ओर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है।
कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = -(k + A \sigma g)x$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $F = -m \omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m \omega^2 = k + A \sigma g$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k + A \sigma g}{M}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k + A \sigma g}}$ है।
चूंकि बेलन आधा डूबा हुआ है,इसलिए उत्प्लावन बल तब तक स्थिर रहता है जब तक वह आंशिक रूप से डूबा रहता है। व्युत्पन्न सूत्र छोटे दोलनों के लिए सटीक है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} + \frac{1}{K_3} + \dots$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K} + \frac{1}{4K} + \frac{1}{8K} + \dots$
$\frac{1}{K}$ को कॉमन लेने पर: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} [1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ है।
अतः,$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} \times 2 = \frac{2}{K}$,जिसका अर्थ है $K_{eq} = \frac{K}{2}$.
यहाँ $K = 2 \, N/cm = 200 \, N/m$ दिया गया है,इसलिए $K_{eq} = \frac{200}{2} = 100 \, N/m$.
द्रव्यमान $m = 40 \, g = 0.04 \, kg$.
आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{100}} = 2 \pi \sqrt{0.0004} = 2 \pi \times 0.02 = 0.04 \pi \approx 0.04 \times 3.14 = 0.1256 \approx 0.13 \, s$.

(C) ब्लॉक को $A = 2x_0$ के संपीड़न से छोड़ा जाता है। यह गति सरल आवर्त गति है जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
ब्लॉक चरम स्थिति $(x = -A = -2x_0)$ से शुरू होता है और संतुलन स्थिति $(x = 0)$ की ओर बढ़ता है।
चरम स्थिति से संतुलन स्थिति तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{T}{4}$ है।
संतुलन स्थिति तक पहुँचने के बाद,ब्लॉक दूसरी दीवार की ओर बढ़ना जारी रखता है,जो संतुलन स्थिति से $x_0$ दूरी पर है।
समय के फलन के रूप में विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
$x = 0$ से $x = x_0$ तक पहुँचने के लिए,$x_0 = (2x_0) \sin(\omega t_2)$,जिससे $\sin(\omega t_2) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega t_2 = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $t_2 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{12}$ है।
दीवार से टकराने में लगा कुल समय $t = t_1 + t_2 = \frac{T}{4} + \frac{T}{12} = \frac{3T + T}{12} = \frac{4T}{12} = \frac{T}{3}$ है।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{3} (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्राप्त होता है।

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$,स्प्रिंग की लंबाई $\ell$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto 1/\ell$।
मान लीजिए कि चित्र $B$ में स्प्रिंग की लंबाई $\ell$ है। तो चित्र $A$ में स्प्रिंग की लंबाई $3\ell$ होगी।
मान लीजिए कि चित्र $B$ में स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k_B = k$ है। तो चित्र $A$ में स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k_A = k/3$ होगा।
चित्र $A$ में,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_A = k/3$ है।
चित्र $B$ में,तीन समान स्प्रिंगें समानांतर में जुड़ी हुई हैं,प्रत्येक का स्प्रिंग नियतांक $k$ है। अतः,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_B = k + k + k = 3k$ होगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{M/K}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,आवर्तकाल का अनुपात:
$\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{K_B}{K_A}} = \sqrt{\frac{3k}{k/3}} = \sqrt{9} = 3$।

(C) निकाय में प्रत्येक $m$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक हैं,जो एक इकाई के रूप में एक साथ गति करते हैं। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K}{M}} = \sqrt{\frac{K}{2m}}$ द्वारा दी जाती है।
निकाय का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A = \left(\frac{K}{2m}\right) A = \frac{KA}{2m}$ है।
घर्षण बल $f$ निचले ब्लॉक $P$ को आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। चूंकि ब्लॉक $P$ का द्रव्यमान $m$ है,इसलिए इसे त्वरित करने के लिए आवश्यक बल $f = m \cdot a_{max}$ है।
$a_{max}$ का मान रखने पर,हमें $f = m \cdot \left(\frac{KA}{2m}\right) = \frac{KA}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,ब्लॉकों के बीच अधिकतम घर्षण बल $\frac{KA}{2}$ है।

(B) स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली स्प्रिंग से जुड़े द्रव्यमान $m$ के लिए दोलन आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ होती है।
स्प्रिंग नियतांक $K_1$ और $K_2$ वाली स्प्रिंग $S_1$ और $S_2$ के लिए:
$n_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1}{m}} \implies n_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{K_1}{m} \implies K_1 = 4\pi^2 m n_1^2$
$n_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_2}{m}} \implies n_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{K_2}{m} \implies K_2 = 4\pi^2 m n_2^2$
चित्र में,द्रव्यमान $m$ दो स्प्रिंग के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_1 + K_2$ होगा।
नई आवृत्ति $n_{eff}$ इस प्रकार होगी:
$n_{eff} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
$K_1$ और $K_2$ के मान रखने पर:
$n_{eff} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m n_1^2 + 4\pi^2 m n_2^2}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{4\pi^2 (n_1^2 + n_2^2)} = \sqrt{n_1^2 + n_2^2}$

(B) $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से लटके $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $t = 2 \pi \sqrt{m/k}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्प्रिंग के लिए,$t_1 = 2 \pi \sqrt{m/k_1}$,जिसका अर्थ है $k_1 = 4 \pi^2 m / t_1^2$.
दूसरी स्प्रिंग के लिए,$t_2 = 2 \pi \sqrt{m/k_2}$,जिसका अर्थ है $k_2 = 4 \pi^2 m / t_2^2$.
जब दोनों स्प्रिंग समानांतर में जुड़ी होती हैं,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
निकाय का आवर्तकाल $t_0 = 2 \pi \sqrt{m/k_{eff}} = 2 \pi \sqrt{m/(k_1 + k_2)}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_0^2 = 4 \pi^2 m / (k_1 + k_2)$,इसलिए $1/t_0^2 = (k_1 + k_2) / (4 \pi^2 m)$.
$k_1$ और $k_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1/t_0^2 = (4 \pi^2 m / t_1^2 + 4 \pi^2 m / t_2^2) / (4 \pi^2 m) = 1/t_1^2 + 1/t_2^2$.
अतः,${t_0}^{-2} = {t_1}^{-2} + {t_2}^{-2}$.

(B) यह प्रणाली एक घिरनी के माध्यम से स्प्रिंग से जुड़े द्रव्यमान $m$ से बनी है। जब द्रव्यमान को उस स्थिति से छोड़ा जाता है जहाँ स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,तो संतुलन स्थिति तब प्राप्त होती है जब स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है।
संतुलन पर,$k x_{eq} = mg$,इसलिए संतुलन विस्तार $x_{eq} = \frac{mg}{k} = \frac{8 \times 10}{200} = 0.4\,m$ है।
दोलन का आयाम $A$ संतुलन स्थिति से प्रारंभिक विस्थापन के बराबर होता है,जो $A = x_{eq} = 0.4\,m$ है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{8}} = \sqrt{25} = 5\,rad/s$ है।
अधिकतम वेग $v_{max}$ का मान $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v_{max} = 5 \times 0.4 = 2\,m/s$ प्राप्त होता है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान द्रव्यमान $m = 5\, kg$ और स्प्रिंग नियतांक $K = 500\, N/m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{5}{500}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{100}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{10}$
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\,s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब एक अतिरिक्त द्रव्यमान $m$ जोड़ा जाता है,तो स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है। हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल जोड़े गए द्रव्यमान के भार के बराबर होता है:
$mg = Kx$
जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
इससे,हम स्प्रिंग नियतांक ज्ञात कर सकते हैं:
$K = \frac{mg}{x}$
अब,स्प्रिंग पर दोलन करने वाला कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है। स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{K}}$
कुल द्रव्यमान और $K$ के मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)}{\frac{mg}{x}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)x}{mg}}$

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2\pi$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{m}$ है।
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ है।
दिया गया है $T_1 = 3\,s$ और $m_1 = m$ है।
जब द्रव्यमान $1\,kg$ बढ़ाया जाता है,तो $m_2 = m + 1$ और $T_2 = 3 + 1 = 4\,s$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{m}{m + 1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{9}{16} = \frac{m}{m + 1}$।
वज्र गुणन करने पर: $9(m + 1) = 16m$।
$9m + 9 = 16m$।
$7m = 9$।
$m = \frac{9}{7}\,kg$।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $m = 1\, kg$ द्रव्यमान लटकाने पर विस्तार $x_0 = 9.8\, cm = 9.8 \times 10^{-2}\, m$ है। साम्यावस्था में $mg = kx_0$ होता है,जिससे $\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$ प्राप्त होता है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_0}{g}}$ प्राप्त होता है।
$g = 9.8\, m/s^2$ का उपयोग करने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-2}}{9.8}} = 2\pi \sqrt{10^{-2}} = 2\pi \times 0.1 = \frac{2\pi}{10}\, s$ होगा।

(C) जब ब्लॉक को माध्य स्थिति से $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो एक रबर रिबन $x$ तक खिंच जाता है,जबकि दूसरा रिबन ढीला हो जाता है और कोई बल नहीं लगाता है,क्योंकि रबर रिबन को स्प्रिंग की तरह संकुचित नहीं किया जा सकता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = Kx$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = Kx$,जिससे त्वरण $a = \frac{Kx}{m}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = \omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{K}{m}$ या $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ प्राप्त होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाली वस्तु की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ का सूत्र $KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $A$ आयाम है।
यह दिया गया है कि वस्तुओं $A$ और $B$ की अधिकतम गतिज ऊर्जाएं समान हैं,इसलिए:
$\frac{1}{2} k_A A_A^2 = \frac{1}{2} k_B A_B^2$
आयामों का अनुपात $\frac{A_A}{A_B}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{A_A^2}{A_B^2} = \frac{k_B}{k_A}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A_A}{A_B} = \sqrt{\frac{k_B}{k_A}}$

(D) दोनों स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं। श्रेणीक्रम में जुड़े स्प्रिंगों के लिए तुल्य बल नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
यहाँ $K_1 = K$ और $K_2 = 2K$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K} = \frac{2+1}{2K} = \frac{3}{2K}$
अतः,$K_{eq} = \frac{2K}{3}$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eq}}{M}}$
$K_{eq}$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K/3}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{3M}}$
इसे सरल करने पर:
$f = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{2K}{4 \cdot 3M}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{K}{6M}}$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) स्प्रिंग से जुड़े सरल आवर्त गति करने वाले कण का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 200\,g = 0.2\,kg$
स्प्रिंग नियतांक $k = 80\,N/m$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{80}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{400}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{20}$
$T = \frac{\pi}{10}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$T \approx 0.314\,s$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $T = 0.31\,s$ प्राप्त होता है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक है।
आकृति $(A)$ में,स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K = k_1 + k_2$ है। अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$। यह $(Q)$ से मेल खाता है।
आकृति $(B)$ में,स्प्रिंग श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए $\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$,जिससे $K = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$ प्राप्त होता है। अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$। यह $(P)$ से मेल खाता है।
आकृति $(C)$ में,द्रव्यमान दो स्प्रिंगों के बीच है। जब द्रव्यमान $x$ विस्थापित होता है,तो एक स्प्रिंग $x$ से दबती है और दूसरी $x$ से खिंचती है। प्रत्यानयन बल $F = -(k+k)x = -2kx$ है। अतः,$K = 2k$,और $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$। यह $(S)$ से मेल खाता है।
आकृति $(D)$ में,स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर हैं। यदि द्रव्यमान को $y$ नीचे खींचा जाता है,तो प्रत्येक स्प्रिंग $y' = y \cos 45^{\circ}$ खिंचती है। ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रत्यानयन बल का घटक $F = -2(ky') \cos 45^{\circ} = -2k(y \cos 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} = -2ky(1/2) = -ky$ है। अतः,$K = k$,और $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$। यह $(R)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-Q, B-P, C-S, D-R$ है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_{eq}$ तुल्यांकी स्प्रिंग नियतांक है।
विन्यास $(i)$ के लिए: एक ही स्प्रिंग का उपयोग किया गया है,इसलिए $k_{eq,1} = k$। आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
विन्यास $(ii)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं। तुल्यांकी स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{k_{eq,2}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ है,इसलिए $k_{eq,2} = \frac{k}{2}$। आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{2} T_1$ है।
विन्यास $(iii)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़ी हैं। तुल्यांकी स्प्रिंग नियतांक $k_{eq,3} = k + k = 2k$ है। आवर्तकाल $T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}} T_1$ है।
अतः,आवर्तकालों का अनुपात $T_1 : T_2 : T_3 = 1 : \sqrt{2} : \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) प्रारंभ में,स्प्रिंग कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ द्वारा खिंची हुई है। संतुलन विस्तार $x_0 = \frac{(m_1 + m_2)g}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $m_1$ को हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m_2$ के लिए नई संतुलन स्थिति $x_{new} = \frac{m_2g}{k}$ होती है।
निकाय इस नई संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करना शुरू कर देता है। कंपन का आयाम $A$,प्रारंभिक स्थिति और नई संतुलन स्थिति के बीच का अंतर है:
$A = x_0 - x_{new} = \frac{(m_1 + m_2)g}{k} - \frac{m_2g}{k} = \frac{m_1g}{k}$.

(A) जब ब्लॉक $A$ को बाईं ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो बाईं स्प्रिंग संकुचित हो जाती है और दाईं स्प्रिंग खिंच जाती है।
दोनों स्प्रिंग संतुलन स्थिति की ओर एक प्रत्यानयन बल लगाती हैं।
कुल प्रत्यानयन बल $F = -k x - k x = -2k x$ है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -k_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2k$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 1\, kg$ और $k = 800\, N/m$ दिया गया है,इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2 \times 800 = 1600\, N/m$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{1600}} = 2\pi \times \frac{1}{40} = \frac{\pi}{20}\,s$।

(D) धात्विक तार $k_w = \frac{YA}{L}$ स्प्रिंग नियतांक वाली एक स्प्रिंग की तरह कार्य करता है।
तार और स्प्रिंग श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
श्रेणी क्रम में जुड़े दो स्प्रिंगों के लिए तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_w} + \frac{1}{K}$ है।
$k_w$ का मान रखने पर,$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{K} = \frac{KL + YA}{KYA}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k_{eq} = \frac{KYA}{KL + YA}$।
द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ होता है।
$k_{eq}$ का मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(KL + YA)}{KYA}}$ प्राप्त होता है।