SHM of Spring Mass System Questions in Hindi

(D) $k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_s = \frac{k \cdot k}{k + k} = \frac{k}{2}$ होता है।
श्रेणीक्रम में दोलन की आवृत्ति $f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_s}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}$ है।
$k$ नियतांक वाली दो समान स्प्रिंगों को समांतर क्रम में जोड़ने पर,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $k_p = k + k = 2k$ होता है।
समांतर क्रम में दोलन की आवृत्ति $f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_p}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ है।
उनकी आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2m} \cdot \frac{m}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र $(a)$ के लिए: प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,a} = K$ है। अतः,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
चित्र $(b)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ है,इसलिए $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$। अतः,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$।
चित्र $(c)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,c} = K + K = 2K$ है। अतः,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
परिणामों की तुलना करने पर: $T_b = \sqrt{2} T_a$ और $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
अतः,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) जब $500 \ g$ का द्रव्यमान हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m = (100 + 300) \ g = 400 \ g = 0.4 \ kg$ होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T = 2 \ s$,इसलिए $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}$,जिसका अर्थ है $\frac{2 \pi}{\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{0.4}} \quad \dots (i)$।
जब $300 \ g$ का द्रव्यमान भी हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m' = 100 \ g = 0.1 \ kg$ होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{0.1}{k}}$ है।
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $T' = \left( \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} \right) \sqrt{0.1} = \left( \frac{2}{\sqrt{0.4}} \right) \sqrt{0.1} = 2 \sqrt{\frac{0.1}{0.4}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \ s$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इससे हमें पता चलता है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.
अतः,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$ होगा।
जब $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
पहले मामले में,स्प्रिंग नियतांक $k_1 = k$ है।
दूसरे मामले में,द्रव्यमान को स्प्रिंग के एक आधे भाग से लटकाया जाता है,इसलिए नया स्प्रिंग नियतांक $k_2 = 2k$ है।
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 3 \ s$ है:
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{9}{4 \pi^2} = \frac{m}{k} \implies k = \frac{4 \pi^2 m}{9} \quad \dots (i)$
जब द्रव्यमान में $0.6 \ kg$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m + 0.6$ और नया आवर्तकाल $T_2 = 3 + 3 = 6 \ s$ हो जाता है:
$6 = 2 \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 3 = \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 9 = \pi^2 \frac{m + 0.6}{k} \implies \frac{9}{\pi^2} = \frac{m + 0.6}{k} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9 / \pi^2}{9 / 4 \pi^2} = \frac{(m + 0.6) / k}{m / k}$
$4 = \frac{m + 0.6}{m}$
$4m = m + 0.6$
$3m = 0.6$
$m = 0.2 \ kg$.

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग $A$ के लिए,$T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{1}}}$.
स्प्रिंग $B$ के लिए,$T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{2}}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$T_{1} = 2T_{2}$.
अब,इस मान को $\frac{T_{1}+T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$ व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2T_{2} + T_{2}}{2T_{2} - T_{2}} = \frac{3T_{2}}{T_{2}} = 3$.
इसे $3:1$ के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए जिसका आयाम $A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m)$ और अधिकतम वेग समान हैं $(v_{max,A} = v_{max,B})$,इसलिए $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ होगा।
हम जानते हैं कि $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,इसलिए $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$।
सरल करने पर,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$।
अतः,$B$ के आयाम $(A_2)$ और $A$ के आयाम $(A_1)$ का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ है।

(A) एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली में,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग $x_0 = \frac{mg}{k}$ के विस्तार तक खिंची होती है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{k}{m} = \omega^2 = \left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2$.
दिया गया है $T = 0.1 \ s$,इसलिए $\omega = \frac{2 \pi}{0.1} = 20 \pi \ rad/s$.
संतुलन पर विस्तार $x_0 = \frac{g}{\omega^2} = \frac{10}{(20 \pi)^2} = \frac{10}{400 \pi^2} = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$ है।
चूंकि स्प्रिंग उच्चतम बिंदु पर बिना खिंची हुई है,इसलिए दोलन का आयाम $A$ संतुलन विस्तार $x_0$ के बराबर है,अर्थात $A = x_0 = \frac{1}{40 \pi^2} \ m$.
$S.H.M.$ में अधिकतम चाल $v_{max} = A \omega$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v_{max} = \left(\frac{1}{40 \pi^2}\right) \times (20 \pi) = \frac{20 \pi}{40 \pi^2} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(B) दोलन की आवृत्ति $n = 10 \ Hz$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n = 20 \pi \ rad/s$ है।
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,संतुलन स्थिति बिना खिंची हुई स्थिति से $x_0 = \frac{mg}{k}$ की दूरी पर होती है।
चूंकि दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,इसलिए दोलन का आयाम $A$ संतुलन स्थिति के विस्थापन के बराबर है,अतः $A = x_0 = \frac{mg}{k}$।
हम जानते हैं कि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $k = m \omega^2$।
$A$ के व्यंजक में $k$ का मान रखने पर: $A = \frac{mg}{m \omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$।
अधिकतम चाल $v_{\max} = \omega A = \omega \left( \frac{g}{\omega^2} \right) = \frac{g}{\omega}$ है।
मान रखने पर: $v_{\max} = \frac{10}{20 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$।

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण के लिए, त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ है。
ब्लॉक के पिस्टन से अलग होने के लिए, पिस्टन का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक होना चाहिए。
अतः, अलग होने की स्थिति $a_{max} \geq g$ है。
आवर्तकाल $T = 1 \,s$ दिया गया है, इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \,rad/s$ होगी。
स्थिति $a_{max} = g$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2 A = g$
$(2\pi)^2 A = 10$
$4\pi^2 A = 10$
चूंकि $\pi^2 = 10$ दिया गया है, इसलिए $4(10) A = 10$ प्राप्त होता है。
$40 A = 10$
$A = \frac{10}{40} = 0.25 \,m$.

(A) ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग से लटके $S.H.M.$ करते कण के लिए,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx = mg$।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग में कोई खिंचाव नहीं है,जिसका अर्थ है कि विस्तार $x = 0$ है।
चूंकि संतुलन स्थिति उच्चतम बिंदु से $A$ (आयाम) की दूरी पर नीचे होती है,इसलिए संतुलन पर विस्तार $x = A$ होता है।
अतः,$kA = mg$,जिससे आयाम $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई आवृत्ति $f = 5 \ Hz$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$।
अधिकतम गति $V_{\max} = A \omega$ है।
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$।

(A) जब स्प्रिंग से $m_{1}$ द्रव्यमान जुड़ा होता है,तो $S.H.M.$ की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A_{1}^{2}$ होती है।
माध्य स्थिति पर,$m_{1}$ द्रव्यमान का वेग $v_{1}$ अधिकतम होता है,जो $v_{1} = \omega_{1} A_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्य स्थिति पर $m_{1}$ पर $m_{2}$ द्रव्यमान रखा जाता है,तो निकाय का संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है।
प्रारंभिक संवेग $p_{i} = m_{1} v_{1}$ है।
अंतिम संवेग $p_{f} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$ है,जहाँ $v_{2}$ माध्य स्थिति पर नया वेग है।
चूँकि $p_{i} = p_{f}$,इसलिए $m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$ है।
$v_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$ है।
नई कोणीय आवृत्ति $\omega_{2} = \sqrt{\frac{k}{m_{1} + m_{2}}}$ है।
चूँकि $v_{2} = \omega_{2} A_{2}$ है,इसलिए $A_{2} = \frac{v_{2}}{\omega_{2}} = \frac{m_{1} v_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}}$ है।
$v_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A_{2} = \frac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}} = A_{1} \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{A_{2}}{A_{1}} = \left[\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\right]^{1/2}$।

(D) $S.H.M.$ की आवृत्ति $n = 5 Hz$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times 5 = 10 \pi rad s^{-1}$ है।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन $x = 0$ है। $S.H.M.$ में,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करता है,$k x_0 = mg$,जहाँ $x_0$ स्थिर विस्तार है।
दोलन का आयाम $A$ इस स्थिर विस्तार $x_0$ के बराबर है,क्योंकि कण अपने पथ के शीर्ष पर बिना खिंची हुई स्थिति $(x=0)$ तक पहुँचता है। अतः,$A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
हम जानते हैं कि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $k = m \omega^2 = m(10 \pi)^2 = 100 \pi^2 m$.
$k$ का मान आयाम समीकरण में रखने पर: $A = \frac{mg}{100 \pi^2 m} = \frac{g}{100 \pi^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi} m$.
अधिकतम गति $V_{max} = \omega A = (10 \pi) \times (\frac{1}{10 \pi}) = \frac{1}{\pi} m s^{-1}$.

(A) माध्य स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $m_1$ का वेग $v = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$ है।
जब द्रव्यमान $m_2$ को $m_1$ पर रखा जाता है,तो संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि माध्य स्थिति पर स्प्रिंग बल शून्य होता है। मान लीजिए नया वेग $v'$ है:
$m_1 v = (m_1 + m_2) v'$
$v' = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 A \sqrt{k/m_1}}{m_1 + m_2} = A \sqrt{\frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2}}$.
निकाय की नई ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v')^2$ है।
$v'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} k A_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( A^2 \frac{k m_1}{(m_1 + m_2)^2} \right)$.
$A_1^2 = A^2 \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.
अतः,$\frac{A_1}{A} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(D) एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T = 6 \ s$,इसलिए $6 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$,जिसे सरल करने पर $3 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9 = \pi^2 \frac{m}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g = \pi^2$,हम लिख सकते हैं $9 = g \frac{m}{k}$,या $\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$।
जब द्रव्यमान स्थिर होता है,तो स्प्रिंग में खिंचाव $x$ इस प्रकार होता है कि स्प्रिंग बल और गुरुत्वाकर्षण बल बराबर हो जाते हैं: $kx = mg$।
अतः,खिंचाव $x = \frac{mg}{k} = m \cdot \frac{g}{k}$।
$\frac{m}{k} = \frac{9}{g}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{g}{k} \cdot m = \frac{9}{g} \cdot g = 9 \ m$ प्राप्त होता है।

(A) $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $x$ के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{x/k}$ है।
जब द्रव्यमान को $Y \ g$ से बढ़ाया जाता है,तो नया द्रव्यमान $(x + Y)$ हो जाता है और नया आवर्तकाल $T' = 4T/3$ हो जाता है।
अतः,$T' = 2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = 4T/3$.
पहले समीकरण से $T$ का मान रखने पर: $2\pi \sqrt{(x + Y)/k} = (4/3) \cdot 2\pi \sqrt{x/k}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + Y)/k = (16/9) \cdot (x/k)$.
दोनों पक्षों से $k$ को हटाने पर: $x + Y = (16/9)x$.
$Y$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Y = (16/9)x - x = (7/9)x$.
इसलिए,अनुपात $Y/x = 7/9$ है।

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
जब द्रव्यमान में $m_0$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m + m_0$ हो जाता है। नया आवर्तकाल $T'$ हमें $\frac{5T}{4}$ दिया गया है।
अतः,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} T$.
$T$ का मान रखने पर: $2\pi \sqrt{\frac{m + m_0}{k}} = \frac{5}{4} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m + m_0}{k} = \frac{25}{16} \frac{m}{k}$.
दोनों पक्षों से $k$ को हटाने पर: $m + m_0 = \frac{25}{16} m$.
$m_0$ के लिए हल करने पर: $m_0 = \frac{25}{16} m - m = \frac{9}{16} m$.
इसलिए,अनुपात $\frac{m_0}{m} = \frac{9}{16}$ है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्प्रिंग के लिए जिसका स्प्रिंग नियतांक $k$ है,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{m/k}$ है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है,क्योंकि $k \propto 1/l$ होता है।
समान द्रव्यमान $m$ और नए स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ वाली नई प्रणाली के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{m/(2k)}$ है।
अनुपात लेने पर: $T_1 / T_2 = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{m/(2k)}} = \sqrt{\frac{m/k}{m/(2k)}} = \sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $T_1 / T_2 = \sqrt{2}$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,आवर्तकाल $T = 3 \text{ s}$ है,इसलिए $3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
बढ़ाए गए द्रव्यमान $m+1$ के लिए,आवर्तकाल $T' = 5 \text{ s}$ है,इसलिए $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{T}{T'} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$9(m+1) = 25m \implies 9m + 9 = 25m$.
$16m = 9 \implies m = \frac{9}{16} \text{ kg}$.

(C) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ है।
नए द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1} = 1 + \frac{m_2}{m_1}$.
अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{T_2^2}{T_1^2} - 1 = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2}$.

(A) $m$ द्रव्यमान के कण का $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग के साथ आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्प्रिंग के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$,इसलिए $T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$।
दूसरी स्प्रिंग के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$,इसलिए $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$ का मान $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होता है।
श्रेणी संयोजन के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$।
$T_1^2$ और $T_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = T_1^2 + T_2^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$।

(A) श्रेणी संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_s$ इस प्रकार है:
$k_s = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$
समांतर संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_p$ इस प्रकार है:
$k_p = K + K = 2K$
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ होती है।
श्रेणी संयोजन के लिए,आवृत्ति $f_s$ है:
$f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K/2}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}$
समांतर संयोजन के लिए,आवृत्ति $f_p$ है:
$f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}$
श्रेणी और समांतर संयोजन में आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}} = \sqrt{\frac{K}{2M} \cdot \frac{M}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जो $SHM$ करता है,उसके लिए बल $F = kx$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है। आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$।
बल $F_1$ के लिए,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$।
बल $F_2$ के लिए,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k_1 + k_2}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$।
$k_1$ और $k_2$ के मान रखने पर,$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
अतः,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$।

(D) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्रव्यमान को $m$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवर्तकाल $T' = \frac{5T}{3}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5T}{3} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
समीकरण में $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ रखने पर:
$\frac{5}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{25}{9} \times \frac{M}{k} = \frac{M+m}{k}$.
$\frac{25}{9}M = M + m$.
$M$ से विभाजित करने पर:
$\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
अतः,अनुपात $\frac{M}{m} = \frac{9}{16}$ है।

(A) जब एक द्रव्यमान $m$ को तार से लटकाया जाता है,तो तार एक स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग की तरह कार्य करता है।
हुक के नियम से,$x$ विस्तार के लिए तार में तनाव बल $T = \frac{YA}{L} x$ होता है।
इसे स्प्रिंग बल समीकरण $F = kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{YA}{L}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ प्राप्त होता है।

(B) साम्यावस्था पर,गुरुत्वाकर्षण बल स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = kx$।
इससे,स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
साम्यावस्था स्थिति से $k$ का मान रखने पर: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{(mg/x)}} = 2\pi\sqrt{\frac{mx}{mg}}$।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$, स्प्रिंग नियतांक $k = 1000 \,N/m$, और आयाम $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
सरल आवर्त गति में, प्रत्यानयन बल $F = -kx$ होता है।
अधिकतम बल अधिकतम विस्थापन (आयाम) पर होता है, इसलिए $F_{max} = kA$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{max} = m a_{max}$ है।
अतः, $m a_{max} = kA$ होगा।
$a_{max} = \frac{kA}{m} = \frac{1000 \,N/m \times 0.1 \,m}{10 \,kg} = \frac{100}{10} = 10 \,m/s^2$।
अतः, ब्लॉक का अधिकतम त्वरण $10 \,m/s^2$ है।

(C) ट्रे का द्रव्यमान, $m = 12 \,kg$.
आवर्तकाल, $T = 1.5 \,s$.
माना प्रत्येक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
चूंकि स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़े हैं, इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{\text{net}} = k + k = 2k$ होगा।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{net}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{6}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(1.5)^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$2.25 = 4\pi^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$k = \frac{24\pi^2}{2.25} \approx \frac{24 \times 9.87}{2.25} \approx 105.28 \,Nm^{-1}$.
अतः, प्रत्येक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक लगभग $105 \,Nm^{-1}$ है।

(A) दिया गया है: $m = 3 \ kg$,$K_1 = 50 \ Nm^{-1}$,$K_2 = 150 \ Nm^{-1}$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
चूंकि ब्लॉक दो समानांतर स्प्रिंगों के बीच जुड़ा हुआ है,इसलिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = K_1 + K_2 = 50 + 150 = 200 \ Nm^{-1}$ है।
संतुलन स्थिति वह है जहां स्प्रिंग बल भार को संतुलित करता है: $K_{eq} x_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{K_{eq}} = \frac{3 \times 10}{200} = 0.15 \ m$.
ब्लॉक को बिना खिंची स्थिति से छोड़ा जाता है,इसलिए दोलन का आयाम $A = x_0 = 0.15 \ m$ है।
सबसे निचले स्थान पर,ब्लॉक संतुलन स्थिति से नीचे $x = 2A = 2 \times 0.15 = 0.3 \ m$ के विस्थापन पर होता है।
वहां कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = K_{eq} x - mg = 200(0.3) - 3(10) = 60 - 30 = 30 \ N$ है।
अतः त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{30}{3} = 10 \ ms^{-2}$ होगा।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
जब गोले को अश्यान द्रव में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल कार्य करता है। हालाँकि,उत्प्लावन बल एक स्थिर बल है (गुरुत्वाकर्षण की तरह) और यह निकाय के प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$ या जड़त्वीय द्रव्यमान $m$ को नहीं बदलता है।
चूंकि द्रव अश्यान है,इसलिए गोले पर कोई अवमंदन बल (ड्रैग) कार्य नहीं करता है।
इसलिए,प्रभावी द्रव्यमान और स्प्रिंग नियतांक अपरिवर्तित रहते हैं,और दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ ही रहता है।
अतः,आवर्तकाल अपरिवर्तित रहेगा।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के लिए दोलन आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$s_1$ और $s_2$ स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1}{m}}$ और $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_2}{m}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,$v_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_1}{m}$ और $v_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_2}{m}$ प्राप्त होता है।
दिए गए चित्र में,स्प्रिंगें समानांतर विन्यास में हैं,इसलिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $s_{eq} = s_1 + s_2$ है।
नई आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1 + s_2}{m}}$ है।
$s_1 = 4\pi^2 m v_1^2$ और $s_2 = 4\pi^2 m v_2^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m v_1^2 + 4\pi^2 m v_2^2}{m}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

(B) $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक की कोणीय आवृत्ति $\omega$,जो $k$ बल नियतांक वाले स्प्रिंग से जुड़ा है,का सूत्र है: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$।
दिए गए मान $m = 0.1 \ kg$ और $k = 2.5 \ Nm^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{2.5}{0.1}}$
$\omega = \sqrt{25}$
$\omega = 5 \ rad \ s^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) स्प्रिंग से जुड़ा प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 1 \,kg$ है। टकराने वाला द्रव्यमान $m_2 = 0.5 \,kg$ है।
टक्कर के बाद, दोनों वस्तुएं $M = m_1 + m_2 = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ के कुल द्रव्यमान के साथ एक निकाय के रूप में गति करती हैं।
स्प्रिंग का बल नियतांक $k = 600 \,N \,m^{-1}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{600}{1.5}} = \sqrt{400} = 20 \,rad \,s^{-1}$।
दोलन की आवृत्ति $f$ का कोणीय आवृत्ति के साथ संबंध $f = \frac{\omega}{2\pi}$ है।
अतः, $f = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \,Hz$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{4}{k}} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} = \frac{4\pi}{\sqrt{k}}$ है।
द्रव्यमान $m_2 = 9 \ kg$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9}{k}} = 2\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{k}} = \frac{6\pi}{\sqrt{k}}$ है।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल $0.2\pi \ s$ बढ़ जाता है,इसलिए $T_2 - T_1 = 0.2\pi$ है।
$T_1$ और $T_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{6\pi}{\sqrt{k}} - \frac{4\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$।
$\frac{2\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{2}{\sqrt{k}} = 0.2$।
$\sqrt{k} = \frac{2}{0.2} = 10$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $k = 100 \ N \ m^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) $m$ द्रव्यमान का पिंड जो $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है और सरल आवर्त गति कर रहा है,उसका आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 4 \ kg$
बल नियतांक $k = 64 \ N \ m^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{64}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{16}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{4}$
$T = \frac{\pi}{2} \ s$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 0.5 \ kg$,विस्तार $x = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
हुक के नियम से,$mg = kx$,अतः स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25 \ N/m$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्रव्यमान को $m_2 = 0.25 \ kg$ से बदल दिया जाता है,तो नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ s$ होगा।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$T = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \ s$ प्राप्त होता है।

(A) जब $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक को नत समतल पर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो एक स्प्रिंग $x$ तक दब जाती है और दूसरी $x$ तक खिंच जाती है।
प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल $F = -kx$ है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए एक ही दिशा में कार्य करती हैं,इसलिए कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = -kx - kx = -2kx$ है।
ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $M a = -2kx$ है,जिसे $M \frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ का रूप है,जहाँ $\omega^2 = \frac{2k}{M}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{2k}{M}}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) बाईं ओर की दो स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_p = K + K = 2K$ है।
यह संयोजन तीसरी स्प्रिंग (जिसका नियतांक $K$ है) के साथ श्रेणी क्रम में है। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{K} = \frac{1+2}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{2K}{3} = \frac{2 \times 9 \pi^2}{3} = 6 \pi^2 \ Nm^{-1}$.
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 3 \ kg$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{6 \pi^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{2 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{\pi \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ s$.
$T = 1.414 \ s$.

(D) ब्लॉक का भार $W = mg = 20 \,N$ है। दिया गया है $g = 10 \,ms^{-2}$, अतः ब्लॉक का द्रव्यमान $m = \frac{20}{10} = 2 \,kg$ है।
एक चिकने नत समतल पर ब्लॉक-स्प्रिंग प्रणाली के लिए, गुरुत्वाकर्षण का समतल के अनुदिश घटक केवल संतुलन स्थिति को स्थानांतरित करता है और यह दोलन की आवृत्ति या आवर्तकाल को प्रभावित नहीं करता है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K = 8 \pi^2 \,Nm^{-1}$ स्प्रिंग नियतांक है।
$\omega = \sqrt{\frac{8 \pi^2}{2}} = \sqrt{4 \pi^2} = 2 \pi \,rad/s$.
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर, हमें $T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1 \,s$ प्राप्त होता है।
अतः, दोलनों का आवर्तकाल $1 \,s$ है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 8 \,kg$ और विस्तार $x = 20 \,cm = 0.2 \,m$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए, $mg = kx$, हम स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x} = \frac{8 \times 10}{0.2} = 400 \,N/m$ प्राप्त करते हैं।
स्प्रिंग पर दोलन करने वाले द्रव्यमान $M$ के लिए, आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ होता है।
दिया गया है $T = \frac{\pi}{5} \,s$, इसलिए $\frac{\pi}{5} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{400}}$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर, $\frac{1}{5} = 2 \sqrt{\frac{M}{400}} = 2 \frac{\sqrt{M}}{20} = \frac{\sqrt{M}}{10}$।
अतः, $\sqrt{M} = \frac{10}{5} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $M = 4 \,kg$ प्राप्त होता है।

(C) जब $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक साम्यावस्था में स्प्रिंग से लटका होता है,तो नीचे की ओर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर लगने वाले स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है।
$Mg = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ स्प्रिंग में विस्तार है।
अतः,विस्तार $x = \frac{Mg}{k}$ है।
हम जानते हैं कि स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{k}{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = M\omega^2$।
$k$ का मान $x$ के व्यंजक में रखने पर:
$x = \frac{Mg}{M\omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$।
इस प्रकार,जब ब्लॉक को हटा दिया जाता है,तो स्प्रिंग $\frac{g}{\omega^2}$ से छोटी हो जाती है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
यहाँ, द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ और स्प्रिंग नियतांक $k = 8 \,N/m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2} = \pi \,s$.
$t = 66 \,s$ समय में पूरे किए गए चक्रों की संख्या $n$ है:
$n = \frac{t}{T} = \frac{66}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:
$n = \frac{66}{22/7} = \frac{66 \times 7}{22} = 3 \times 7 = 21$.
अतः, वस्तु दिए गए समय में $21$ दोलन पूरे करती है।

(C) स्प्रिंग के लिए हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$F = kx$।
जब $0.6 \ kg$ का द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग बल द्रव्यमान के भार को संतुलित करता है,इसलिए $F = mg$।
अतः,$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.6 \times 10}{0.40} = 15 \ N \ m^{-1}$।
$m' = 255 \ g = 0.255 \ kg$ द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.255}{15}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.017} \approx 6.28 \times 0.13038 \approx 0.8188 \ s$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$T \approx 0.82 \ s$।

(A) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$,हुक के नियम $F = kx$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिया गया है $F = 15 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 150 \ N$ और $x = 0.25 \ m$,इसलिए $k = \frac{150}{0.25} = 600 \ N/m$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2 \pi}{5} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{600}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m}{600}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{25} = \frac{m}{600}$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए हल करने पर,$m = \frac{600}{25} = 24 \ kg$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 100 \ N \ m^{-1}$,आयाम $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$,विस्थापन $x = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \ rad \ s^{-1}$.
विस्थापन $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = 10 \sqrt{0.01 - 0.0025} = 10 \sqrt{0.0075} = 10 \times 0.0866 = 0.866 \ m \ s^{-1}$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.866)^2 = 0.5 \times 0.75 = 0.375 \ J$.
स्थितिज ऊर्जा $P.E. = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2 = 50 \times 0.0025 = 0.125 \ J$.

(C) दिया गया है, पिंड का द्रव्यमान $m = 4.9 \, kg$.
स्प्रिंग के दोलन का आवर्तकाल $T = 0.5 \, s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ और $\pi^2 = 10$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$.
अनुपात $\frac{m}{k}$ के लिए, $\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$.
मान रखने पर, $\frac{m}{k} = \frac{(0.5)^2}{4 \times 10} = \frac{0.25}{40} = 0.00625 \, kg/N$.
जब द्रव्यमान को हटा दिया जाता है, तो स्प्रिंग की लंबाई में कमी $x$ उस विस्तार के बराबर होती है जो संतुलन में द्रव्यमान द्वारा उत्पन्न हुआ था।
संतुलन में हुक के नियम के अनुसार, $kx = mg$, जिसका अर्थ है $x = \frac{m}{k} g$.
मान रखने पर, $x = 0.00625 \times 10 = 0.0625 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर, $x = 0.0625 \times 100 = 6.25 \, cm$.
अतः, द्रव्यमान हटाने के बाद स्प्रिंग की लंबाई में $6.25 \, cm$ की कमी आती है।

(C) दिया गया है:
अधिकतम संपीड़न (आयाम $A$) $= 2 x_0$
ब्लॉक की दूसरी दीवार से दूरी $= x_0$
ब्लॉक का द्रव्यमान $= m$
चूंकि ब्लॉक को चरम स्थिति से छोड़ा जाता है,समय के फलन के रूप में इसका विस्थापन $x(t)$ इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$x(t) = A \cos(\omega t)$
जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है।
साम्यावस्था को $x = 0$ मानते हुए,ब्लॉक शुरू में $x = -2 x_0$ (संपीड़ित स्थिति) पर है। जब यह दूसरी दीवार की ओर बढ़ता है,तो यह साम्यावस्था से गुजरता है और $x = +x_0$ पर दीवार से टकराता है।
समीकरण में $x = x_0$ और $A = 2 x_0$ रखने पर:
$x_0 = 2 x_0 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,हमें मिलता है:
$\omega t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$
गति का पुनः मूल्यांकन करने पर: ब्लॉक $x = -2 x_0$ से शुरू होकर $x = +x_0$ तक जाता है। $x = -2 x_0$ से $x = 0$ तक जाने में लगा समय $T/4$ है। $x = 0$ से $x = x_0$ तक जाने में लगा समय $\sin(\omega t) = \frac{x_0}{2 x_0} = \frac{1}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{6 \omega}$।
कुल समय $t = \frac{T}{4} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{\pi}{2 \omega} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{4 \pi}{6 \omega} = \frac{2 \pi}{3 \omega} = \frac{2 \pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$।