Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(C) $S.H.M.$ में एक कण की अधिकतम गति $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी विस्थापन $y$ पर गति $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,गति अधिकतम गति की आधी है,इसलिए $v = \frac{v_{\max}}{2} = \frac{\omega A}{2}$ है।
गति के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{\omega A}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ के लिए हल करने पर:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
वर्गमूल लेने पर:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$

(A) सरल आवर्त गति में कण की अधिकतम गति $(v_{\max})$ का सूत्र $v_{\max} = A\omega$ होता है,जहाँ $A$ आयाम (अधिकतम विस्थापन) है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$ लिखा जा सकता है।
$A$ के लिए हल करने पर,$A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $v_{\max} = 1.00 \times 10^3 \, m/s$ और $T = 1.00 \times 10^{-5} \, s$.
$A = \frac{(1.00 \times 10^3) \times (1.00 \times 10^{-5})}{2\pi} = \frac{1.00 \times 10^{-2}}{2\pi} \, m$.
$A = \frac{0.01}{6.283} \approx 0.00159 \, m = 1.59 \, mm$.

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ करने वाले कण का वेग $v$,विस्थापन $x$ पर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
वर्गमूल से पदों को बाहर निकालने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{A\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi A\sqrt{3}}{T}$
अतः,$X = \frac{A}{2}$ पर लोलक की चाल $\frac{\pi A\sqrt{3}}{T}$ होगी।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण का $y$ विस्थापन पर वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$।
दिया गया है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\,rad/s$
आयाम $a = 60\,mm$
विस्थापन $y = 20\,mm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = 2 \sqrt{60^2 - 20^2}$
$v = 2 \sqrt{3600 - 400}$
$v = 2 \sqrt{3200}$
$v = 2 \times 56.568$
$v \approx 113.14\,mm/s$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $113\,mm/s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: आयाम $a = 10\, cm$,अधिकतम वेग $v_{\max} = 100\, cm/s$.
हम जानते हैं कि $v_{\max} = a\omega$.
अतः,$\omega = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{100}{10} = 10\, rad/s$.
विस्थापन $y$ पर वेग $v$ का सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ है।
मान रखने पर: $50 = 10 \sqrt{10^2 - y^2}$.
$10$ से भाग देने पर: $5 = \sqrt{100 - y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = 100 - y^2$.
$y^2 = 100 - 25 = 75$.
$y = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\, cm$.

(C) सरल आवर्त दोलक का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोलन के केंद्र पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
इसलिए,अधिकतम वेग $v_{\text{max}} = A\omega$ होता है।
दिया गया है,आयाम $A = 0.2 \, m$ और आवर्तकाल $T = 0.01 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.01} = 200\pi \, rad/s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{\text{max}} = 0.2 \times 200\pi = 40\pi \, m/s$ प्राप्त होता है।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की अधिकतम चाल का सूत्र $v_{\max} = a\omega$ होता है।
यहाँ,$a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
दिया गया है: आयाम $a = 3 \, cm$ और आवर्तकाल $T = 6 \, s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = a \times \frac{2\pi}{T} = 3 \times \frac{2\pi}{6} = \pi \, cm/s$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $S.H.M.$ कर रहे कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ ज्ञात करने का सूत्र: $v_{\max} = \omega a$ है।
यहाँ,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,जिसे $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: आयाम $a = 2 \, m$ और आवर्तकाल $T = 2 \, s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \times a$
$v_{\max} = \left( \frac{2\pi}{2} \right) \times 2$
$v_{\max} = \pi \times 2 = 2\pi \, m/s$.
अतः,अधिकतम वेग $2\pi \, m/s$ होगा।

(D) $S.H.M.$ में एक कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग तब होता है जब $\cos(\omega t + \phi) = 1$ हो,इसलिए $v_{\max} = a\omega$.
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होती है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर $v_{\max} = a \left(\frac{2\pi}{T}\right) = \frac{2\pi a}{T}$ प्राप्त होता है।

(C) $S.H.M.$ कर रहे पिंड का विस्थापन $y$ पर वेग $v$ का सूत्र: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$y_1 = 4 \, cm$ के लिए,$v_1 = 10 \, cm/sec$: $10 = \omega \sqrt{a^2 - 4^2} \implies 100 = \omega^2(a^2 - 16)$ --- $(1)$
$y_2 = 5 \, cm$ के लिए,$v_2 = 8 \, cm/sec$: $8 = \omega \sqrt{a^2 - 5^2} \implies 64 = \omega^2(a^2 - 25)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100 - 64 = \omega^2(a^2 - 16 - a^2 + 25)$
$36 = \omega^2(9)$
$\omega^2 = 4 \implies \omega = 2 \, rad/sec$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \, sec$.

(D) गति का समीकरण $x = 5 \sin \left( 4t - \frac{\pi}{6} \right)$ दिया गया है।
इसे मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 5$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4$ प्राप्त होती है।
सरल आवर्त गति में किसी विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
दिए गए मान $A = 5$,$\omega = 4$,और $x = 3$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16$ इकाई।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 50\, mm = 50 \times 10^{-3}\, m = 0.05\, m$.
आवर्तकाल $T = 2\, s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\, rad/s$.
मान रखने पर: $v_{\max} = 0.05 \times \pi$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें $v_{\max} = 0.05 \times 3.14159 \approx 0.157\, m/s$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.16\, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) सरल आवर्त गति में किसी पिंड के लिए,अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय वेग है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण के व्यंजक को अधिकतम वेग के व्यंजक से विभाजित करने पर:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$.
यहाँ $v_{\max} = 2 \ m/s$ और $a_{\max} = 4 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए:
$\omega = \frac{4}{2} = 2 \ rad/s$.

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ का आवर्तकाल $T$ के साथ संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
दिया गया है: आयाम $a = 2 \times 10^{-3} \ m$ और आवर्तकाल $T = 0.1 \ s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = a \times \frac{2\pi}{T} = (2 \times 10^{-3}) \times \frac{2\pi}{0.1}$।
$v_{\max} = \frac{4 \times 10^{-3} \times \pi}{10^{-1}} = 4 \times 10^{-2} \times \pi = 0.04\pi \ m/s$।
$v_{\max} = \frac{4\pi}{100} = \frac{\pi}{25} \ m/s$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है $v_{\max} = 10 \, cm/s$ और $a = 4 \, cm$,इसलिए $\omega = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{10}{4} = 2.5 \, rad/s$.
माध्य स्थिति से $y$ विस्थापन पर वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \omega^2(a^2 - y^2)$.
$y$ के लिए हल करने पर,$y^2 = a^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$,अतः $y = \sqrt{a^2 - \frac{v^2}{\omega^2}}$.
मान $a = 4 \, cm$,$v = 5 \, cm/s$,और $\omega = 2.5 \, rad/s$ रखने पर:
$y = \sqrt{4^2 - \frac{5^2}{(2.5)^2}} = \sqrt{16 - \frac{25}{6.25}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, cm$.

(B) आयाम और $\omega$ कोणीय वेग के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए:
अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम वेग और अधिकतम त्वरण का अनुपात $\frac{v_{\max}}{a_{\max}} = \frac{A\omega}{A\omega^2} = \frac{1}{\omega}$ है।

(A) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $(v_{max})$ सूत्र $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
यह दिया गया है कि तीनों पिंडों का अधिकतम वेग समान है,इसलिए:
$v_1 = v_2 = v_3$
प्रत्येक पिंड के लिए अधिकतम वेग का सूत्र रखने पर:
$A_1\omega_1 = A_2\omega_2 = A_3\omega_3$
अतः,सही संबंध ${A_1}{\omega _1} = {A_2}{\omega _2} = {A_3}{\omega _3}$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,विस्थापन $x$ को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\sin(\omega t + \phi) = 0$,इसलिए $\cos(\omega t + \phi) = \pm 1$ होता है।
अतः,वेग का परिमाण $|v| = A\omega$ प्राप्त होता है,जो $S.H.M.$ में वेग का अधिकतम संभव मान है।

(B) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करने पर वेग $v$ प्राप्त होता है:
$v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\omega t) = \sqrt{1 - \sin^2(\omega t)}$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin(\omega t) = \frac{y}{A}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = A \omega \sqrt{1 - (\frac{y}{A})^2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$v = A \omega \sqrt{\frac{A^2 - y^2}{A^2}}$
$v = A \omega \frac{\sqrt{A^2 - y^2}}{A}$
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
अतः,$y$ विस्थापन पर कण का वेग $\omega \sqrt{A^2 - y^2}$ है।

(B) कण का विस्थापन $x = A \cos (\omega t - \theta)$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [A \cos (\omega t - \theta)]$
$v = -A \omega \sin (\omega t - \theta)$
वेग तब अधिकतम होता है जब साइन फलन का परिमाण $1$ होता है,अर्थात $|\sin (\omega t - \theta)| = 1$।
अतः,अधिकतम वेग $v_{\max} = | -A \omega (1) | = A \omega$ है।
इस प्रकार,कण का अधिकतम वेग $A \omega$ है।

(D) $SHM$ निष्पादित कर रहे कण के लिए,माध्य स्थिति से $y$ विस्थापन पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है।
माध्य स्थिति $(y = 0)$ पर,वेग अधिकतम होता है,जो $v_{max} = A\omega$ है।
दिया गया है $A = 4 \,cm$ और $v_{max} = 16 \,cm/s$,इसलिए $16 = 4\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = 4 \,rad/s$.
अब,हमें वह दूरी $y$ ज्ञात करनी है जहाँ $v = 8\sqrt{3} \,cm/s$ हो।
सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ का उपयोग करते हुए:
$8\sqrt{3} = 4 \sqrt{4^2 - y^2}$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$2\sqrt{3} = \sqrt{16 - y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2\sqrt{3})^2 = 16 - y^2$
$4 \times 3 = 16 - y^2$
$12 = 16 - y^2$
$y^2 = 16 - 12 = 4$
$y = 2 \,cm$.

(A) सरल आवर्त गति के लिए दिया गया समीकरण $y = a \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $y = 3 \sin \left( 100t + \frac{\pi}{6} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $a = 3$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $v_{\max}$ ज्ञात करने का सूत्र $v_{\max} = a\omega$ है।
मान रखने पर,हमें $v_{\max} = 3 \times 100 = 300$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: आयाम $A = 0.06\, m$,आवृत्ति $n = 15\, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14159 \times 15 = 94.248\, rad/s$.
अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega = 0.06 \times 94.248 = 5.654\, m/s$.
अधिकतम त्वरण $a_{max} = A\omega^2 = 0.06 \times (94.248)^2 = 0.06 \times 8882.68 = 532.96\, m/s^2 = 5.33 \times 10^2\, m/s^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $S.H.M.$ में कण की गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर अधिकतम होती है।
दिया गया है,अधिकतम गतिज ऊर्जा,$K_{\max} = 16 \, J$.
कण का द्रव्यमान,$m = 0.32 \, kg$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ है।
अधिकतम वेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}}$.
मान रखने पर,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \times 16}{0.32}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{32}{0.32}} = \sqrt{100}$.
$v_{\max} = 10 \, m/s$.

(D) दिया गया है: अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A = 1 \ m/s$ और अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A = 1.57 \ m/s^2$ है।
अधिकतम त्वरण के व्यंजक को अधिकतम वेग के व्यंजक से विभाजित करने पर:
$\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$
$\omega = \frac{1.57}{1} = 1.57 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर:
$1.57 = \frac{2 \times 3.14}{T}$
$T = \frac{6.28}{1.57} = 4 \ s$।
अतः,कण का आवर्तकाल $4 \ s$ है।

(B) दिया गया है,प्रारंभिक स्थिति $x = 1 \, cm$,प्रारंभिक वेग $v = \pi \, cm/s$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \, s^{-1}$ है।
$SHM$ में वेग और विस्थापन के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\pi = \pi \sqrt{A^2 - (1)^2}$
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर:
$1 = \sqrt{A^2 - 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = A^2 - 1$
$A^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \, cm$.
अतः,आयाम $\sqrt{2} \, cm$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\,kg$,बल नियतांक $k = 10\,N/m$,वेग $v = 40\,cm/s = 0.4\,m/s$,आयाम $A = 0.5\,m$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति $\omega$ की गणना करें:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1\,rad/s$.
विस्थापन $y$ पर वेग $v$ का सूत्र है:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$.
मान रखने पर:
$0.4 = 1 \times \sqrt{(0.5)^2 - y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(0.4)^2 = (0.5)^2 - y^2$.
$0.16 = 0.25 - y^2$.
$y^2$ के लिए हल करने पर:
$y^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
वर्गमूल लेने पर:
$y = \sqrt{0.09} = 0.3\,m$.

(A) दिए गए वेग-समय ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि दोलन का एक पूर्ण चक्र $T = 0.04 \; s$ के समयांतराल में पूरा होता है।
दोलन की आवृत्ति $(f)$ को आवर्तकाल $(T)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$f = \frac{1}{T}$
ग्राफ से $T$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{0.04} \; Hz$
$f = 25 \; Hz$
अतः,दोलन की आवृत्ति $25 \; Hz$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,विस्थापन $y = a \sin(\omega t)$ द्वारा और वेग $v = a \omega \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
इन समीकरणों से,हम लिख सकते हैं कि $\sin(\omega t) = \frac{y}{a}$ और $\cos(\omega t) = \frac{v}{a \omega}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y^2}{a^2} + \frac{v^2}{a^2 \omega^2} = 1$।
यह $(y, v)$ तल में एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण है,जहाँ $y$ विस्थापन है और $v$ वेग है।

(C) सरल आवर्त गति में विस्थापन $y$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम वेग $v_{\text{max}} = A\omega$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,वेग अधिकतम वेग का आधा है,इसलिए $v = \frac{A\omega}{2}$।
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$\frac{A\omega}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ के लिए हल करने पर:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
वर्गमूल लेने पर:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$।

(A) सरल आवर्त गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 5 \, m$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \, rad/s$ प्राप्त होती है।
सरल आवर्त गति में विस्थापन $y$ पर कण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ है।
दिए गए मान $\omega = 4$,$A = 5$ और $y = 3$ रखने पर:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \, m/s$.
अतः,वेग $16 \, m/s$ है।

(A) सरल आवर्त गति में विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र है: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
यहाँ कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{A\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi A \sqrt{3}}{T}$।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{\max} = a\omega$
जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है:
आयाम $a = 2 \ m$
आवर्तकाल $T = 2 \ s$
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$।
मान रखने पर:
$\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$
अब,$v_{\max}$ की गणना करने पर:
$v_{\max} = 2 \times \pi = 2\pi \ m/s$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$।
अधिकतम वेग $V_{max}$ तब होता है जब $\cos(\omega t + \phi) = 1$ हो,इसलिए $V_{max} = a\omega$।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होती है,इसलिए इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर $V_{max} = a \left(\frac{2\pi}{T}\right) = \frac{2\pi a}{T}$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ ज्ञात करने का सूत्र है: $v_{\max} = a\omega$,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $a = 3 \ cm$,आवर्तकाल $T = 6 \ s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi \ cm/s$.
अतः,अधिकतम वेग $\pi \ cm/s$ है।

(C) दिया गया है: आयाम $a = 10 \ cm$,अधिकतम वेग $v_{\max} = 100 \ cm/s$.
हम जानते हैं कि $v_{\max} = a\omega$,इसलिए $100 = 10 \times \omega$,जिससे $\omega = 10 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
विस्थापन $y$ पर वेग $v$ का सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $50 = 10 \sqrt{10^2 - y^2}$.
$10$ से विभाजित करने पर: $5 = \sqrt{100 - y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = 100 - y^2$.
$y^2 = 100 - 25 = 75$.
$y = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \ cm$.

(A) सरल आवर्त गति में,अधिकतम त्वरण $A_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दिया गया है $A_{max} = 24 \ m/s^2$,इसलिए $\omega^2 A = 24$ --- $(i)$
अधिकतम वेग $V_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_{max} = 16 \ m/s$,इसलिए $\omega A = 16$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\omega^2 A}{\omega A} = \frac{24}{16}$
$\omega = 1.5 \ rad/s = 3/2 \ rad/s$
$\omega = 3/2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$(3/2) A = 16$
$A = 16 \times (2/3) = 32/3 \ m$
अतः,आयाम $32/3 \ m$ है।

(C) सरल आवर्त गति के लिए,स्थिति $x$ पर वेग $v$ का सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ होता है।
यहाँ आयाम $a$ और आवर्तकाल $T$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
$x = \frac{a}{2}$ पर चाल:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ का मान रखने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

(B) $SHM$ में,माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $V^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$।
$x_1$ और $x_2$ दूरियों के लिए,हमारे पास है:
$V_1^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2) \dots (i)$
$V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_2^2) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2 - a^2 + x_2^2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगा।
इस मान को $\omega^2$ के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}\right)$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(A) दिया गया है,आयाम $A = 3\,cm$ और विस्थापन $x = 2\,cm$ है।
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है।
इसके त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ होता है।
दिया गया है कि $|v| = |a|$,इसलिए $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$ है।
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर,हमें $\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$।
मान रखने पर: $3^2 - 2^2 = \omega^2 (2^2) \Rightarrow 9 - 4 = 4\omega^2 \Rightarrow 5 = 4\omega^2$।
अतः,$\omega^2 = \frac{5}{4}$,जिससे $\omega = \frac{\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{5}/2} = \frac{4\pi}{\sqrt{5}}\,s$।

(B) गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ है।
वेग $v$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6})$.
अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ है।
हमें दिया गया है कि वेग उसके अधिकतम वेग का आधा है: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
मान रखने पर: $A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{A\omega}{2}$.
यह सरल होकर $\cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(A) विस्थापन समीकरण $x = A \sin (2\pi t + \pi /3)$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = A(2\pi) \cos (2\pi t + \pi /3).$
वेग तब अधिकतम होता है जब कोसाइन पद का परिमाण अधिकतम होता है,जो माध्य स्थिति पर होता है जहाँ $x = 0$ है।
$x = 0$ रखने पर,हमें $\sin (2\pi t + \pi /3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(2\pi t + \pi /3) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$n = 0$ के लिए,$2\pi t = -\pi /3$,जिससे $t < 0$ प्राप्त होता है (जो संभव नहीं है)।
$n = 1$ के लिए,$2\pi t + \pi /3 = \pi$.
$2\pi t = \pi - \pi /3 = 2\pi /3$.
$t = 1/3 \approx 0.33 \text{ s}$.
अतः,$t = 0$ के बाद वह पहला समय जब वेग अधिकतम होता है,$0.33 \text{ s}$ है।

(B) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = a \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
चूँकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $v_{\max} = a \times \frac{2 \pi}{T}$ होता है।
आवर्तकाल $T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$T = \frac{2 \pi a}{v_{\max}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $a = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$ और $v_{\max} = 4.4 \ m/s$।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 7 \times 10^{-3}}{4.4}$.
$T = \frac{43.96 \times 10^{-3}}{4.4} \approx 9.99 \times 10^{-3} \ s \approx 0.01 \ s$.

(B) विस्थापन समीकरण $x = 2 \times 10^{-2} \cos(\pi t)$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए, हम समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \times 10^{-2} \cos(\pi t)] = -2 \times 10^{-2} \pi \sin(\pi t)$.
चाल वेग का परिमाण है, $|v| = |2 \times 10^{-2} \pi \sin(\pi t)|$.
चाल के अधिकतम होने के लिए, $|\sin(\pi t)|$ का मान $1$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\sin(\pi t) = 1$ या $\sin(\pi t) = -1$ हो।
पहली बार यह तब होता है जब $\sin(\pi t) = 1$, जो $\pi t = \frac{\pi}{2}$ के अनुरूप है।
$t$ के लिए हल करने पर, हमें $t = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रारंभिक आयाम $A$ है और नया आयाम $A'$ है। सरल आवर्त गति में साम्यावस्था से $x$ दूरी पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = \frac{2A}{3}$ पर,प्रारंभिक वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\omega A \sqrt{5}}{3}$ है।
नई चाल $v' = 3v = \omega A \sqrt{5}$ है।
उसी स्थान $x = \frac{2A}{3}$ पर नए आयाम $A'$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$(v')^2 = \omega^2 (A'^2 - x^2)$
$(\omega A \sqrt{5})^2 = \omega^2 (A'^2 - (\frac{2A}{3})^2)$
$5A^2 = A'^2 - \frac{4A^2}{9}$
$A'^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$
$A' = \sqrt{\frac{49A^2}{9}} = \frac{7A}{3}$.

(D) ग्राफ से,छत से अधिकतम दूरी $100\ cm$ और न्यूनतम दूरी $30\ cm$ है।
ये दोलन की दो चरम स्थितियों को दर्शाते हैं।
चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी $100\ cm - 30\ cm = 70\ cm$ है।
चूंकि चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी $2A$ है,इसलिए $2A = 70\ cm$,जिससे आयाम $A = 35\ cm$ प्राप्त होता है।
माध्य स्थिति छत से $30\ cm + 35\ cm = 65\ cm$ की दूरी पर है।
$t = 0$ पर,द्रव्यमान ऊपरी चरम स्थिति $(100\ cm)$ पर है।
$t = \frac{1}{4}\ T$ पर,द्रव्यमान माध्य स्थिति $(65\ cm)$ पर पहुँचता है।
$t = \frac{1}{2}\ T$ पर,द्रव्यमान निचली चरम स्थिति $(30\ cm)$ पर पहुँचता है।
सरल आवर्त गति में,माध्य स्थिति पर गति अधिकतम होती है।
इसलिए,$t = \frac{1}{4}\ T$ पर गति अधिकतम है।

(A) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega(t - t_0))$ है,जहाँ $t_0$ वह समय है जब कण साम्यावस्था पर होता है।
दिया गया है $t_0 = 1 \, s$,इसलिए $x(t) = A \sin(\omega(t - 1))$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \, rad/s$ है।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega(t - 1))$ है।
$t = 2 \, s$ पर,$v = 0.25 \, m/s = \frac{1}{4} \, m/s$.
मान रखने पर: $\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}(2 - 1)\right)$.
$\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$.
$\frac{1}{4} = A \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$A = \frac{6}{4\pi} = \frac{3}{2\pi} \, m$.

(A) सरल आवर्त दोलक के लिए,विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से,$t = 0$ पर,वेग $v(0)$ अधिकतम (धनात्मक शिखर) है।
यदि लोलक माध्य स्थिति $(x=0)$ से शुरू होता है,तो $t=0$ पर वेग अधिकतम होता है,जो ग्राफ से मेल खाता है।
यदि लोलक चरम स्थिति $(x=A)$ से शुरू होता है,तो $t=0$ पर वेग $0$ होता है,जो ग्राफ से मेल नहीं खाता है।
इसलिए,ग्राफ माध्य स्थिति से शुरू होने वाले सरल लोलक की गति को दर्शाता है।