SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(D) બ્લોક $A$ એ $M$ દળ તરીકે કાર્ય કરે છે અને બ્લોક $B$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$L$ બાજુ અને દ્રઢતાના મોડ્યુલસ $\eta$ ધરાવતા બ્લોક માટે,શીયર ફોર્સ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ સાથે $F = \eta A \frac{x}{L}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $A = L^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$F = \eta L^2 \frac{x}{L} = (\eta L)x$.
આને હૂકના નિયમ $F = kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \eta L$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = \eta L$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{\eta L}}$ મળે છે.

(B) જ્યારે બે બ્લોક્સ સાથે મળીને સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે,ત્યારે આ તંત્ર $2m$ દળ ધરાવતા એક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે જે $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર તંત્રનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{k}{2m}$ છે.
અંતિમ સ્થાને (extreme position),સ્થાનાંતર $x = A$ છે,તેથી પ્રવેગનું મહત્તમ મૂલ્ય $a_{max} = \omega^2 A = \frac{k}{2m} A = \frac{kA}{2m}$ થાય.
બ્લોક $P$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ તેને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. બ્લોક $P$ નું દળ $m$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f = m \cdot a$ થાય.
અંતિમ સ્થાને,ઘર્ષણ બળ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે: $f_{max} = m \cdot a_{max} = m \left( \frac{kA}{2m} \right) = \frac{kA}{2}$.

(A) તંત્રની મહત્તમ ગતિઊર્જા એ સ્પ્રિંગને તેના સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે તેમાં સંગ્રહિત મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે:
બળ અચળાંક $k = 16 \, N/m$
સ્થાનાંતર $x = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$
મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} k x^2$
$U_{max} = \frac{1}{2} \times 16 \times (5 \times 10^{-2})^2$
$U_{max} = 8 \times (25 \times 10^{-4})$
$U_{max} = 200 \times 10^{-4} \, J = 2 \times 10^{-2} \, J$
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $2 \times 10^{-2} \, J$ થશે.

(B) દળ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 0.6 \ s$ ... $(i)$
અને $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m + m'}{k}} = 0.7 \ s$ ... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m + m'}{m}} = \frac{0.7}{0.6} = \frac{7}{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{m + m'}{m} = \frac{49}{36}$,જે સૂચવે છે કે $1 + \frac{m'}{m} = \frac{49}{36}$.
આમ,$\frac{m'}{m} = \frac{49}{36} - 1 = \frac{13}{36}$.
વધારાના દળ $m'$ ને કારણે થતો વધારો $x = \frac{m'g}{k}$ છે.
$(i)$ પરથી,$\frac{m}{k} = \frac{(0.6)^2}{4\pi^2} = \frac{0.36}{4\pi^2}$.
$m' = \frac{13}{36}m$ ને વધારાના સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \frac{13}{36} \cdot \frac{mg}{k} = \frac{13}{36} \cdot g \cdot \frac{m}{k}$.
$g \approx 10 \ m/s^2$ અને $\pi^2 \approx 10$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $x = \frac{13}{36} \cdot 10 \cdot \frac{0.36}{4 \cdot 10} = \frac{13}{36} \cdot \frac{0.36}{4} = \frac{13}{36} \cdot 0.09 = 13 \cdot 0.0025 = 0.0325 \ m = 3.25 \ cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આશરે મૂલ્ય $3.5 \ cm$ છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{total}}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{total} = M + m_p$ ($M$ એ ઉમેરેલું દળ છે અને $m_p$ એ પેનનું દળ છે).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $T^2 = \frac{4\pi^2}{K} (M + m_p) = \frac{4\pi^2}{K} M + \frac{4\pi^2 m_p}{K}$.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = T^2$ અને $x = M$ છે.
$T^2$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ $c = \frac{4\pi^2 m_p}{K}$ છે.
જો પેનનું દળ $m_p$ શૂન્ય હોત,તો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાત. આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી,તે સૂચવે છે કે કુલ દળની ગણતરીમાં પેનનું દળ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું ન હતું (અવગણવામાં આવ્યું હતું).

(C) જ્યારે $M$ દળને સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ $l$ જેટલી ખેંચાય છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગનું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $Mg = kl$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે દળ $A = l$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,તેથી સંતુલન સ્થિતિથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $x = l$ છે.
તેથી,મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\max} = \frac{1}{2}kl^2$ થશે.
સમીકરણમાં $kl = Mg$ મૂકતા,આપણને મળે છે $U_{\max} = \frac{1}{2}(kl)l = \frac{1}{2}(Mg)l = \frac{1}{2}Mgl$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા ઓસિલેટરની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $m$ એ દળ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
આવૃત્તિ બમણી કરવા માટે $(f_2 = 2f_1)$,આપણે ગુણોત્તર લઈએ:
$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
$2 = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{m_1}{m_2}$
તેથી,$m_2 = \frac{m_1}{4}$.
આમ,આપણે દળને તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું કરવું પડશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
તેથી,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_M = m_N = m)$ અને તેમના મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ મળે છે.
તેથી,$M$ ના કંપવિસ્તારનો $N$ ના કંપવિસ્તાર સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ થાય છે.

(D) આપેલ આકૃતિમાં,$m$ દળ બે સમાંતર સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું છે.
જ્યારે દળને ઉર્ધ્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને સ્પ્રિંગ સમાન સ્થાનાંતર અનુભવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલી સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_{eq}$ એ વ્યક્તિગત બળ અચળાંકોનો સરવાળો છે:
$k_{eq} = k_1 + k_2$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(k \propto \frac{1}{L})$.
જ્યારે સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $\frac{L}{2}$ થાય છે. તેથી,નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $2k$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ દ્વારા મળે છે.
$T'$ ને $T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આમ,નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{T}{\sqrt{2}}$ થાય છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $m$ એ દોલન કરતું દળ છે.
આપેલ તંત્રમાં,જ્યારે $m_1$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર $m_2$ દળ જ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું રહે છે.
તેથી,દોલન કરતું દળ $m = m_2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે $m$ દળના બ્લોકને એક તરફ થોડા અંતર $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગો સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(k_1 x + k_2 x) = -(k_1 + k_2)x$ છે.
આ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ ધરાવતી એક જ સ્પ્રિંગ સમાન છે.
દોલનની આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$ મળે છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે ઉર્ધ્વ દોલનોની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_S = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં આવૃત્તિ $n_S = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K/2}{m}}$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_P = K + K = 2K$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં આવૃત્તિ $n_P = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2K}{m}}$ છે.
તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_S}{n_P} = \sqrt{\frac{k_S}{k_P}} = \sqrt{\frac{K/2}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) જ્યારે $K_1$ અને $K_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોય,ત્યારે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}}$

(B) સૌ પ્રથમ,હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધો: $F = kx$,જ્યાં $F = mg$.
$k = \frac{mg}{x} = \frac{0.50 \times 10}{0.20} = \frac{5}{0.2} = 25\, N/m$.
હવે,$m' = 0.25\, kg$ દળ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 6.28 \times \sqrt{0.01} = 6.28 \times 0.1 = 0.628\, sec$.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{M}$,અથવા $M \propto T^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $M$ છે અને તેનો આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
ધારો કે નવું દળ $M' = M + m$ છે અને તેનો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{5}{4}T$ છે.
બંને સ્થિતિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M'}{M} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2$
$\frac{M + m}{M} = \left( \frac{\frac{5}{4}T}{T} \right)^2$
$1 + \frac{m}{M} = \left( \frac{5}{4} \right)^2$
$1 + \frac{m}{M} = \frac{25}{16}$
$\frac{m}{M} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$.

(C) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ તેની મૂળ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto 1/l$.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = l/2$ થાય છે.
ચૂંક $K' \propto 1/l'$ હોવાથી,આપણને મળે છે $K' = K \cdot (l/l') = K \cdot (l / (l/2)) = 2K$.
તેથી,નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $2K$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
જ્યારે $k$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે.
હવે,આ ભાગોમાંથી એક પર $m' = 2m$ દળ લટકાવવામાં આવે છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ આ મુજબ મળે: $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{2m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
આમ,મૂળ આવૃત્તિ સાથે સરખાવતા,આપણને $n' = n$ મળે છે.

(B) જ્યારે દળ $m$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું સ્થાનાંતર $x$ એ વજન $mg$ ને કારણે થાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x}$ થાય.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\text{કુલ દળ}}{k}}$ છે.
કુલ દળ $(M + m)$ અને $k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{mg/x}} = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)x}{mg}}$.

(D) આપેલી આકૃતિ માટે,દળ $m$ ના દોલનના સંદર્ભમાં બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k + k = 2k$ છે.
દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .....$(i)$
જો એક સ્પ્રિંગ દૂર કરવામાં આવે,તો તંત્રમાં માત્ર એક જ સ્પ્રિંગ બાકી રહે છે જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે. નવી આવૃત્તિ $f'$ એ $f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .....(ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$f' = \frac{f}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ દળ $m = 1 \, kg$ અને સ્થાનાંતર $x = 9.8 \, cm = 9.8 \times 10^{-2} \, m$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
તેથી,$\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-2}}{9.8}} = 2\pi \sqrt{10^{-2}} = 2\pi \times 10^{-1} = \frac{2\pi}{10} \, s$.

(A) $S.H.M.$ કરતા સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ છે:
દળ $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$
બળ અચળાંક $k = 80 \,N/m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.2}{80}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0025}$
$T = 6.28 \times 0.05$
$T = 0.314 \,s \approx 0.31 \,s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે એક બ્લોકને બંને બાજુ બે સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોકનું કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ એક સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી દબાવે છે અને બીજી સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી ખેંચે છે.
બંને સ્પ્રિંગ સમાન દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડતી હોવાથી (સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ),આ સ્પ્રિંગો અસરકારક રીતે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ એ $K_{eq} = K_1 + K_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{K_{eq}}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$ મળે છે.

(C) બ્લોક સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની મૂળ લંબાઈ પર હોય ત્યારે બ્લોક મધ્યમાન સ્થાન પર હોય છે અને તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિઊર્જા છે: $E = \frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ સ્થાન પર,બ્લોક ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે અને કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જા હોય છે: $E = \frac{1}{2}kx^2$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યમાન સ્થાન પરની કુલ ઊર્જા અને અંતિમ સ્થાન પરની કુલ ઊર્જા સમાન હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2 = \frac{m}{k}v^2$
$x = v\sqrt{\frac{m}{k}}$

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ દળ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ છે જ્યારે દળ $m_1 = m$ છે,અને નવી આવૃત્તિ $n_2$ છે જ્યારે દળ $m_2 = 4m$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{n}{n_2} = \sqrt{\frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$n_2 = \frac{n}{2}$.

(D) સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા $m$ દળના દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
અહીં આપેલ છે કે $m$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = 2 \, s$ છે.
$m_2 = 4m$ દળ માટે,નવો આવર્તકાળ $T_2$ આ મુજબ થશે: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
$T_2$ ને $T_1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$T_2 = 2 \times T_1 = 2 \times 2 \, s = 4 \, s$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ છે.
જ્યારે $K$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $K' = 2K$ થાય છે.
જ્યારે આ બે સ્પ્રિંગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_{eq}$ એ વ્યક્તિગત બળ અચળાંકોનો સરવાળો છે:
$K_{eq} = K' + K' = 2K + 2K = 4K$.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ એ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_2$ ની $T_1$ સાથે સરખામણી કરતા:
$T_2 = \frac{1}{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T}{2}$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આવર્તકાળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g)$ પર આધારિત નથી,તેથી ઘડિયાળ ચંદ્ર પર સામાન્ય રીતે કામ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
આથી,ઘડિયાળના સમયમાં કોઈ ફેરફાર જોવા મળતો નથી.

(B) આપેલ આકૃતિમાં,$k_1$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ બે સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_p = k_1 + k_1 = 2k_1$ થાય.
હવે,આ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ,$k_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
$k_p$ અને $k_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $k_S$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{k_p} + \frac{1}{k_2}$
$k_p = 2k_1$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2}$
તેથી,સમતુલ્ય બળ અચળાંક:
$k_S = \left[ \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2} \right]^{-1}$

(B) આપેલી આકૃતિમાં બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલી સ્પ્રિંગ માટે,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eff}} = \frac{K_2 + K_1}{K_1 K_2}$
તેથી,$K_{eff} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે,$T_1 = 2 \, s$ અને દળ $m_1 = m$ છે.
તેથી,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies 1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,દળમાં $2 \, kg$ નો વધારો થાય છે,તેથી $m_2 = m + 2$. આવર્તકાળમાં $1 \, s$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 = 2 + 1 = 3 \, s$.
તેથી,$3 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{9}{4} = \frac{m+2}{m}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9m = 4(m + 2) \implies 9m = 4m + 8$.
$5m = 8 \implies m = \frac{8}{5} \, kg = 1.6 \, kg$.

(B) બંને સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે કારણ કે બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ $F = Mg$ લાગે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
તેથી,$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
હુકના નિયમ મુજબ કુલ વિસ્તરણ $x$ નીચે મુજબ મળે છે: $F = K_{eq} x$
$Mg = \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right) x$
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{Mg(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}$

(D) આપેલ આકૃતિમાં,$K_1$ અને $K_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલ સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
તેથી,$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eq}}{m}}$
આ સૂત્રમાં $K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1 K_2}{m(K_1 + K_2)}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ મહત્તમ ભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિસ્તરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આપેલ છે $F = kx$,જ્યાં $F = mg = 10 \times 9.8 \, N$ અને $x = 0.25 \, m$.
$k = \frac{10 \times 9.8}{0.25} = 392 \, N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $T = \frac{\pi}{10} \, s$,તેથી:
$\frac{\pi}{10} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{392}}$
$\frac{1}{20} = \sqrt{\frac{m}{392}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{400} = \frac{m}{392}$
$m = \frac{392}{400} = 0.98 \, kg$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
જ્યારે $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = nk$ થાય છે.
દરેક ભાગ માટે દળ $m$ સમાન રહેતું હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{nk}}$ થશે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મૂકતા,આપણને $T' = \frac{T}{\sqrt{n}}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ માટે,આપણી પાસે $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1}}$ અને $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_2}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1} \implies K_1 = \frac{4\pi^2 m}{t_1^2}$ અને $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_2} \implies K_2 = \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}$ મળે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq} = K_1 + K_2$ છે.
સંયુક્ત તંત્ર માટે આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$t^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1 + K_2} \implies \frac{1}{t^2} = \frac{K_1 + K_2}{4\pi^2 m} = \frac{K_1}{4\pi^2 m} + \frac{K_2}{4\pi^2 m}$.
$K_1$ અને $K_2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{t^2} = \frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}$ મળે છે,જેને $t^{-2} = t_1^{-2} + t_2^{-2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) જ્યારે $m$ દળને બે સ્પ્રિંગોની વચ્ચે સમાંતર રીતે જોડવામાં આવે છે (જેમ કે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે),ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff}$ એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ અચળાંકોનો સરવાળો થાય છે.
$K_{eff} = K_1 + K_2 = K + 2K = 3K$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}}$
$K_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3K}{m}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_S$ નો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ અચળાંકોના વ્યસ્તના સરવાળા બરાબર હોય છે.
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$
જમણી બાજુએ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{1}{k_S} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$
$k_S$ માટે ઉકેલવા માટે બંને બાજુ વ્યસ્ત કરતા:
$k_S = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સ્પ્રિંગ માટે,આપણી પાસે $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ અને $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ અને $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ મળે છે.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
શ્રેણી જોડાણ માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k} \right) = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$.
$t_1^2$ અને $t_2^2$ ના પદોને મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ ઓસિલેટરની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
જો આપણે આવૃત્તિ બમણી $(f' = 2f)$ કરવા માંગતા હોઈએ,તો આપણી પાસે સંબંધ છે: $\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{m}{m'}}$.
$f' = 2f$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $2 = \sqrt{\frac{m}{m'}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{m}{m'}$,જેનો અર્થ છે કે $m' = \frac{m}{4}$.
તેથી,દળને તેના મૂળ મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ સુધી ઘટાડવું આવશ્યક છે.

(B) પ્રથમ કિસ્સા માટે,દળ $A$ ને $K$ અચળાંક ધરાવતી એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$F = Kx$,જ્યાં $F = mg$.
તેથી,$m_A g = K x_A$.
અહીં $m_A = 4\, kg$ અને $x_A = 1\, cm$ આપેલ છે,તેથી $4g = K(1)$. આમ,$K = 4g$.
બીજા કિસ્સા માટે,દળ $B = 6\, kg$ ને શ્રેણીમાં જોડેલી બે સમાન સ્પ્રિંગો સાથે જોડવામાં આવે છે. શ્રેણીમાં જોડેલી બે સ્પ્રિંગો માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ એ $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $K_{eq} = \frac{K}{2}$.
બીજી સિસ્ટમ માટે હૂકનો નિયમ વાપરતા: $m_B g = K_{eq} x_B$.
કિંમતો મૂકતા: $6g = (\frac{K}{2}) x_B$.
કારણ કે $K = 4g$,આપણને મળે છે $6g = (\frac{4g}{2}) x_B$.
$6g = 2g x_B$.
$x_B = \frac{6g}{2g} = 3\, cm$.

(A) સ્પ્રિંગ બંને છેડે જડિત છે અને મધ્યમાં દળ જોડાયેલું છે. જ્યારે દળને સ્પ્રિંગની લંબાઈની દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના બંને ભાગો સમાંતર જોડાણમાં કાર્ય કરે છે.
$L$ લંબાઈ અને $K$ બળ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગમાં કાપતા,દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $K' = 2K$ થાય છે.
અહીં,$K = 200\, N/m$,તેથી દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $K_1 = K_2 = 2 \times 200 = 400\, N/m$ થાય.
અહીં અસરકારક બળ અચળાંક $K_{eq} = 400\, N/m$ લેતા,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{400}} = 2\pi \frac{0.5}{20} = \frac{\pi}{20}\, s$.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K' = nK$ થાય છે.
અહીં,સ્પ્રિંગને $4$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવી છે,તેથી $n = 4$. આમ,એક ભાગનો નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K' = 4K$ થશે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $T' = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} = \frac{T}{2}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $2\pi$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{M}$ મળે છે.
શરૂઆતમાં,$M_1 = M$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
જ્યારે દળમાં $m$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું દળ $M_2 = M + m$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{5T}{3}$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
તેથી,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે સંતુલનની સ્થિતિ $Kx = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે,$x$ એ ખેંચાણ છે,અને $g$ એ ગુરુત્વ પ્રવેગ છે.
આના પરથી,આપણને ગુણોત્તર $\frac{m}{K} = \frac{x}{g}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $\frac{m}{K} = \frac{x}{g}$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ મળે છે.
અહીં $x = 0.2\, m$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ લેતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}}$ મળે છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{0.2}{9.8} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$.
તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{49}} = 2\pi \times \frac{1}{7} = \frac{2\pi}{7}\, s$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 0.98\, kg$
બળ અચળાંક $k = 4.84\, N/m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{4.84}{0.98}}$
$\omega = \sqrt{4.9387...}$
$\omega \approx 2.22\, rad/s$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ છે.
જ્યારે $K$ બળ અચળાંક અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો બળ અચળાંક $K' = 2K$ થાય છે કારણ કે બળ અચળાંક લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(K \propto \frac{1}{l})$.
જ્યારે તે જ દળ $m$ ને આમાંથી એક ભાગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{m}}$ થાય છે.
બંને આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા,આપણને $f_2 = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}} \right) = \sqrt{2} f_1$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $f_2 = \sqrt{2} f_1$ છે.