Method to determine Time Period and Frequency for diffrent type of Object of SHM Questions in Hindi

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,और त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $x = 1 \ cm$ और आयाम $A = 2 \ cm$ पर वेग का परिमाण त्वरण के परिमाण के बराबर है:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega (1) = \sqrt{2^2 - 1^2}$
$\omega = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \ rad/s$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$.

(B) $SHM$ के पथ की लंबाई $2a$ के बराबर होती है,जहाँ $a$ आयाम है।
दिया गया है,$2a = 4 \, cm$,इसलिए आयाम $a = 2 \, cm$ है।
$SHM$ में कण का अधिकतम वेग माध्य स्थिति (केंद्र) पर होता है और इसे $v_{max} = \omega a$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$v_{max} = 12 \, cm/s$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $v_{max} = \frac{2\pi a}{T}$।
आवर्तकाल $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$T = \frac{2\pi a}{v_{max}}$।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14159 \times 2}{12} = \frac{12.566}{12} \approx 1.047 \, s$।

(A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी के व्यास के अनुदिश खोदी गई सुरंग में केंद्र से $y$ दूरी पर है। पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल केवल $y$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित पृथ्वी के द्रव्यमान के कारण होता है।
केंद्र से $y$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{g y}{R_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पिंड पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -m g' = -m \left( \frac{g}{R_e} \right) y$ है।
चूंकि $F = -k y$,जहाँ $k = \frac{m g}{R_e}$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक है,इसलिए यह गति सरल आवर्त गति है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{m g / R_e}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U(x) = k|x|^3$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ है।
$m$ द्रव्यमान का कण जो $a$ आयाम के साथ दोलन कर रहा है,उसकी कुल ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है और यह चरम स्थिति $(x = a)$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$E = U(a) = ka^3$.
किसी भी स्थिति $x$ पर,ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$ है।
अतः,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$.
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$.
माना $x = ay$,तो $dx = a dy$। जब $x=0, y=0$ और जब $x=a, y=1$।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$.
चूंकि समाकलन एक नियतांक है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$।

(A) मान लीजिए कि पिस्टन को बाईं ओर $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित किया जाता है। गैस का आयतन कम हो जाता है और उसका दबाव बढ़ जाता है। मान लीजिए दबाव में वृद्धि $\Delta P$ है और आयतन में कमी $\Delta V$ है। यह मानते हुए कि प्रक्रिया समतापीय है,हमारे पास $P_1V_1 = P_2V_2$ है।
$PV = (P + \Delta P)(V - \Delta V)$
$PV = PV - P\Delta V + \Delta P V - \Delta P \Delta V$
छोटे पद $\Delta P \Delta V$ की उपेक्षा करने पर,हमें $P \Delta V = \Delta P V$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta V = A x$ और $V = A h$,इसलिए $P(Ax) = \Delta P(Ah)$ है।
$\Delta P = \frac{Px}{h}$।
यह अतिरिक्त दबाव $M$ द्रव्यमान वाले पिस्टन पर एक प्रत्यानयन बल $F$ उत्पन्न करता है:
$F = -(\Delta P)A = -\left(\frac{PA}{h}\right)x$।
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हम बल नियतांक $k = \frac{PA}{h}$ प्राप्त करते हैं।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{PA}{Mh}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{PA}}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) जब गोले को एक छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है,तो गोले का केंद्र $(R - r)$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश गति करता है।
गोले पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{R - r}$,जहाँ $x$ रैखिक विस्थापन है।
प्रत्यानयन बल $F = -mg \left( \frac{x}{R - r} \right)$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = -\left( \frac{g}{R - r} \right) x$ है।
इसे मानक $S.H.M.$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{R - r}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{g}{R - r}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R - r}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।

(D) यदि द्रव के स्तर को एक तरफ $y$ से दबाया जाता है, तो दूसरी तरफ द्रव का स्तर पहली तरफ से $2y$ अधिक ऊंचा हो जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है。
$2y$ ऊंचाई वाले अतिरिक्त द्रव स्तंभ का भार प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में कार्य करता है。
प्रत्यानयन बल $F = -(\text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार $F = Ma$, इसलिए $Ma = -2Adgy$, जिससे त्वरण $a = -(\frac{2Adg}{M})y$ प्राप्त होता है。
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $(a = -\omega^2 y)$ है, जहाँ $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$ है。
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}}$ है。
$\omega^2$ का मान रखने पर, हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ प्राप्त होता है।

(D) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{Mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ कीलक बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $d$ कीलक से द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी है।
परिधि पर कीलकित डिस्क के लिए,केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,परिधि के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_0 = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ है।
यहाँ,$d = R$ है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.
$l$ लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
दोनों आवर्तकालों की तुलना करने पर:
$2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $l = \frac{3}{2}R$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ एक सिरे से लटके हुए भौतिक लोलक के रूप में कार्य करती है। भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ है,जहाँ $I$ धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$L$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए जो एक सिरे पर टिकी है,$I = \frac{1}{3}mL^2$ और $d = \frac{L}{2}$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg(L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
यहाँ $L = 2.0 \, m$ और $g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{2 \times 2.0}{3 \times 9.8}} = 6.28 \times \sqrt{\frac{4}{29.4}} = 6.28 \times \sqrt{0.136} \approx 6.28 \times 0.3688 \approx 2.316 \, s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आवर्तकाल लगभग $2.4 \, s$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $l$ भुजा वाले ठोस घन की उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और कोर के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{6}ml^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कोर के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ है,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से कोर की दूरी है। घन के लिए,$d = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$।
अतः,$I = \frac{1}{6}ml^2 + m(\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{6}ml^2 + \frac{1}{2}ml^2 = \frac{2}{3}ml^2$।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgR}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ आलंब से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है,जो $R = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{3}ml^2}{mg(\frac{l}{\sqrt{2}})}} = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{3} \frac{l}{g}}$।

(D) भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ होता है।
यहाँ,$I$ धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से धुरी तक की दूरी है।
परिधि पर स्थित वलय के लिए,धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ होता है।
केंद्र से धुरी तक की दूरी $d = R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
दिया गया है कि व्यास $D = 2R = 1 \ m$,इसलिए $R = 0.5 \ m$.
$g = \pi^2 \approx 9.8 \ m/s^2$ लेने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
यदि हम $g = \pi^2$ का उपयोग करें,तो $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से धुरी की दूरी है।
डिस्क के लिए,केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}mR^2$ है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्र से $l$ दूरी पर स्थित बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + ml^2 = \frac{1}{2}mR^2 + ml^2$ है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2 + ml^2}{mgl}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2/2 + l^2}{gl}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{R^2}{2l} + l \right)}$.
$T$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $L = \frac{R^2}{2l} + l$ व्यंजक को न्यूनतम करना होगा।
$l$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{dL}{dl} = -\frac{R^2}{2l^2} + 1 = 0$.
$l$ के लिए हल करने पर: $l^2 = \frac{R^2}{2} \implies l = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(C) माना संतुलन की स्थिति में द्रव में डूबे हुए ब्लॉक की लंबाई $l$ है। जब ब्लॉक तैर रहा होता है,तो ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$mg = A l \rho g$
यदि ब्लॉक को नीचे की ओर थोड़ा ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ दिया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल है:
$F_{restoring} = -(A(l+y)\rho g - mg) = -(Al\rho g + Ay\rho g - mg)$
चूंकि $mg = Al\rho g$,हमें प्राप्त होता है:
$F_{restoring} = -A\rho g y$
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $F = -ky$ है,जहाँ स्प्रिंग नियतांक $k = A\rho g$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A\rho g}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$।

(A) मान लीजिए $A$ आयाम है और $\omega$ सरल आवर्त गति की कोणीय आवृत्ति है।
अधिकतम त्वरण $\alpha = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है $(i)$।
अधिकतम वेग $\beta = \omega A$ द्वारा दिया जाता है $(ii)$।
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
अतः,दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार होगा:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{(\alpha / \beta)} = \frac{2\pi \beta}{\alpha}$.

(B) झूला $L$ लंबाई की दो रस्सियों और निलंबन बिंदुओं के बीच $L$ दूरी के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।
निलंबन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा से द्रव्यमान केंद्र (व्यक्ति) की ऊँचाई $h = \sqrt{L^2 - (L/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ है।
झूले के तल के लंबवत छोटे दोलनों के लिए,यह निकाय एक भौतिक लोलक के रूप में कार्य करता है। घूर्णन अक्ष (निलंबन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = M h^2 = M (\frac{\sqrt{3}}{2} L)^2 = \frac{3}{4} M L^2$ है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} M L^2}{Mg (\frac{\sqrt{3}}{2} L)}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 L^2 / 4}{\sqrt{3} g L / 2}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 L}{2 \sqrt{3} g}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{3} L}{2g}}$.

(C) रिंग का व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,रिम से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ होगा।
संयुक्त लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$ होता है,जहाँ $h$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $(h = r)$ है।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{3/2 mr^2}{mgr}} = 2\pi \sqrt{\frac{3r}{2g}}$.
सरल लोलक के आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eq}}{g}}$ से तुलना करने पर,हमें $L_{eq} = \frac{3}{2}r$ प्राप्त होता है।
यहाँ व्यास $d = 2 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1 \ m$ है।
अतः,$L_{eq} = \frac{3}{2} \times 1 = 1.5 \ m$.

(B) स्थितिज ऊर्जा $U(x) = -ax^2 + bx^4$ द्वारा दी गई है।
संतुलन स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dU}{dx} = -2ax + 4bx^3 = 0$
$2x(2bx^2 - a) = 0$
इससे संतुलन बिंदु $x = 0$ और $x = \pm \sqrt{\frac{a}{2b}}$ प्राप्त होते हैं।
न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2U}{dx^2} = -2a + 12bx^2$।
$x = 0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = -2a < 0$ (अस्थिर संतुलन)।
$x = \pm \sqrt{\frac{a}{2b}}$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = -2a + 12b(\frac{a}{2b}) = -2a + 6a = 4a > 0$ (स्थिर संतुलन)।
न्यूनतम बिंदु पर प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{d^2U}{dx^2} = 4a$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 4a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{4a}{m}} = 2\sqrt{\frac{a}{m}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक का विस्थापन नीचे की ओर $x$ है।
चूंकि ब्लॉक रस्सी के दो हिस्सों द्वारा समर्थित है,जिनमें से प्रत्येक में तनाव $T$ है,संतुलन में ब्लॉक पर कुल ऊपर की ओर बल $2T = mg$ है।
निचली घिरनी ब्लॉक से जुड़ी हुई है। यदि ब्लॉक $x$ नीचे जाता है,तो निचली घिरनी के दाईं ओर की रस्सी स्थिर है,इसलिए बाईं ओर की रस्सी $2x$ नीचे जाएगी।
यह रस्सी ऊपरी घिरनी के ऊपर से गुजरती है। यदि रस्सी $2x$ चलती है,तो ऊपरी घिरनी से जुड़ी स्प्रिंग $4x$ खिंचेगी क्योंकि घिरनी की व्यवस्था यांत्रिक लाभ प्रदान करती है।
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}$ संबंध $F = k_{eff} x$ द्वारा निर्धारित होता है। यहाँ,प्रत्यानयन बल $F = 4k(4x) = 16kx$ है।
इसलिए,$k_{eff} = 16k$.
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{16k}} = 2\pi \frac{1}{4} \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}}$.

(B) पारे का कुल द्रव्यमान $M = 9 \ kg$ है। घनत्व $\rho = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$ है। आंतरिक व्यास $d = 1.2 \ cm = 0.012 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.006 \ m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.006)^2 \approx 1.131 \times 10^{-4} \ m^2$ है।
पारे के स्तंभ की कुल लंबाई $L = \frac{M}{\rho A} = \frac{9}{13.6 \times 10^3 \times 1.131 \times 10^{-4}} \approx 5.85 \ m$ है।
जब पारा अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापित होता है,तो प्रत्यानयन बल $F = -mg = -(\text{विस्थापित स्तंभ का द्रव्यमान})g = -(\rho A (2x))g = -2 \rho A g x$ होता है।
गति का समीकरण $M \frac{d^2x}{dt^2} = -2 \rho A g x$ है।
चूंकि $M = \rho A L$,इसलिए हमारे पास $\rho A L \frac{d^2x}{dt^2} = -2 \rho A g x$ है,जो सरल होकर $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{2g}{L} x$ हो जाता है।
इसे $SHM$ समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{2g}{L}}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = 2\pi \sqrt{\frac{5.85}{2 \times 9.8}} \approx 2\pi \sqrt{0.298} \approx 2\pi \times 0.546 \approx 3.43 \ s$ है।
इस प्रकार,दोलन का आवर्तकाल लगभग $3.4 \ s$ है।

(C) परवलय का समीकरण $x^2 = 40y$ है,जिससे $y = \frac{x^2}{40}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{40} = \frac{x}{20}$ है।
छोटे विस्थापन के लिए,स्पर्शरेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ छोटा होता है,इसलिए $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{20}$।
कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta \approx -mg \tan \theta$ है।
$\tan \theta$ का मान रखने पर,हमें $F = -mg \left(\frac{x}{20}\right)$ प्राप्त होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,इसलिए $ma = -mg \left(\frac{x}{20}\right)$,जो सरल होकर $a = -\left(\frac{g}{20}\right)x$ हो जाता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{20}$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$\omega^2 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega = \frac{1}{\sqrt{2}} \ rad/s$।

(B) छड़ और दो डोरियां एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए निलंबन बिंदु से छड़ की दूरी $d = l \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ है।
पृष्ठ के तल में दोलन के लिए (भौतिक लोलक),निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ml^2\left(\frac{1}{12} + \frac{3}{4}\right) = \frac{5ml^2}{6}$ है।
आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} = 2\pi \sqrt{\frac{5ml^2/6}{mg(l\sqrt{3}/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{5l}{3\sqrt{3}g}}$ है।
तल के लंबवत दोलन के लिए,छड़ $d = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ लंबाई के सरल लोलक के रूप में कार्य करती है।
आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{d}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l\sqrt{3}}{2g}}$ है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{5l / (3\sqrt{3}g)}{l\sqrt{3} / (2g)} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{9}$.

(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जो $SHM$ करता है,उसके लिए प्रत्यानयन बल $F = m \omega^2 x$ होता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
अतः,$F = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 x = \frac{4\pi^2 m}{T^2} x$ है।
इसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{T^2}$,या $F = kx$ जहाँ $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$ है।
बल $F_1$ के लिए,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ और बल $F_2$ के लिए,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
इसलिए,$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ है।
यह समीकरण $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $T_1 = 4/5 \ s$ और $T_2 = 3/5 \ s$,इसलिए $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{(4/5)^2} + \frac{1}{(3/5)^2} = \frac{25}{16} + \frac{25}{9}$ है।
$\frac{1}{T^2} = 25 \left( \frac{9 + 16}{144} \right) = 25 \left( \frac{25}{144} \right) = \frac{625}{144}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{1}{T} = \frac{25}{12}$,अतः $T = \frac{12}{25} \ s$ प्राप्त होता है।

(B) यह निकाय बिंदु $P$ के परितः दोलन करने वाले एक भौतिक लोलक के रूप में कार्य करता है। भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_P}{mgd}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_P$ बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $d$ द्रव्यमान केंद्र की $P$ से दूरी है।
यहाँ,चाप $P$ बिंदु से $l$ लंबाई की डोरियों द्वारा लटका हुआ है,इसलिए यह $P$ के परितः घूर्णन करने वाले एक दृढ़ पिंड के रूप में व्यवहार करता है। द्रव्यमान केंद्र की $P$ से दूरी $d = l \cos(45^\circ) = l/\sqrt{2}$ है।
$P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_P = ml^2$ है। सूत्र में मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{mg(l/\sqrt{2})}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/\sqrt{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}l}{g}}$.

(B) एक भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mg\ell}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\ell$ द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ से धुरी की दूरी है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{COM} + m\ell^2 = \frac{1}{2}mR^2 + m\ell^2$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2 + m\ell^2}{mg\ell}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2 + 2\ell^2}{2g\ell}}$.
$T$ के न्यूनतम होने के लिए,पद $f(\ell) = \frac{R^2 + 2\ell^2}{\ell} = \frac{R^2}{\ell} + 2\ell$ न्यूनतम होना चाहिए।
$\ell$ के सापेक्ष अवकलन करके शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{df}{d\ell} = -\frac{R^2}{\ell^2} + 2 = 0$.
$\ell$ के लिए हल करने पर: $2\ell^2 = R^2 \implies \ell = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(A) परवलय का समीकरण $y = \frac{x^2}{5}$ है।
छोटे दोलनों के लिए,ढाल $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{5}$ है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{2x}{5}$ होगा।
प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta = -mg \left( \frac{2x}{5} \right)$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg \left( \frac{2x}{5} \right)$.
$\frac{d^2x}{dt^2} = -\left( \frac{2g}{5} \right) x$.
इसे $SHM$ समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{2g}{5}$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $\omega^2 = \frac{2 \times 10}{5} = 4$.
अतः,$\omega = 2 \ rad/s$।

(D) $S.H.M.$ में बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,जब $x = -2.0\, m$ है,तब $F = 8.0\, N$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $8.0 = -k(-2.0) \implies 8.0 = 2.0k \implies k = 4.0\, N/m$.
$S.H.M.$ का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 0.01\, kg$ और $k = 4.0\, N/m$ दिया गया है,अतः:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.01}{4.0}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi \times 0.05$.
$T = 0.1\pi \approx 0.1 \times 3.14 = 0.314\, s$.
अतः,आवर्तकाल लगभग $0.31\, s$ है।

(C) जब छड़ को एक छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो प्रत्येक स्प्रिंग $x = \frac{L}{2} \theta$ की दूरी तक खिंच (या दब) जाती है।
प्रत्येक स्प्रिंग में प्रत्यानयन बल $F = Kx = K \left( \frac{L}{2} \theta \right)$ होता है।
प्रत्येक स्प्रिंग धुरी के परितः $\tau = F \cdot d = \left( K \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{KL^2}{4} \theta$ का प्रत्यानयन बल आघूर्ण लगाती है।
चूंकि दोनों स्प्रिंगें विस्थापन का विरोध करने के लिए एक ही दिशा में बल आघूर्ण लगाती हैं,इसलिए कुल प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau_{total} = 2 \times \left( \frac{KL^2}{4} \theta \right) = \frac{KL^2}{2} \theta$ है।
घूर्णी गति का समीकरण $\tau_{total} = -I \alpha$ है,जहाँ $I = \frac{ML^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
मान रखने पर: $-\frac{KL^2}{2} \theta = \left( \frac{ML^2}{12} \right) \alpha$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए हल करने पर: $\alpha = -\left( \frac{KL^2}{2} \times \frac{12}{ML^2} \right) \theta = -\left( \frac{6K}{M} \right) \theta$.
इसे कोणीय $S.H.M.$ के मानक समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6K}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6K}{M}}$.
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6K}{M}}$ है।

(C) मान लीजिए कि छड़ को एक छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है। सिरे $A$ का विस्थापन $x = \frac{l}{2} \theta$ है।
प्रत्येक स्प्रिंग में प्रत्यानयन बल $F = kx = k \left( \frac{l}{2} \theta \right)$ है।
केंद्र $O$ के परितः प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = 2 \times (F \times \frac{l}{2}) = 2 \times (k \frac{l}{2} \theta) \times \frac{l}{2} = \frac{kl^2}{2} \theta$ है।
घूर्णी दोलन के लिए गति का समीकरण $\tau = I \alpha$ है,जहाँ $I = \frac{ml^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$\frac{kl^2}{2} \theta = I \alpha = \frac{ml^2}{12} \alpha$.
इससे $\alpha = \frac{6k}{m} \theta$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $\alpha = \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6k}{m}$ मिलता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6k}{m}}$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{6k}} = \pi \sqrt{\frac{4m}{6k}} = \pi \sqrt{\frac{2m}{3k}}$.

(D) $S.H.M.$ में बल $F$ को $F = -kx$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिए गए ग्राफ से,$F-x$ रेखा का ढाल $k = \frac{F}{x} = \frac{8 \ N}{2 \ m} = 4 \ N/m$ है।
पिंड का द्रव्यमान $m = 0.01 \ kg$ है।
$S.H.M.$ का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.01}{4}}$.
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0025} = 6.28 \times 0.05$.
$T = 0.314 \ s \approx 0.31 \ s$.

(A) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $l$ निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसकी परिधि पर स्थित बिंदु $S$ से लटकाने पर,समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ होता है।
निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $l = R$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
यहाँ $T = 1 \, s$ और $g = \pi^2$ दिया गया है,अतः:
$1 = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{2R}}{\pi} = 2\sqrt{2R}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = 4(2R) = 8R$.
अतः,$R = 1/8 = 0.125 \, m$.
नोट: यदि प्रश्न में $T=2s$ लिया जाए,तो $R = 0.5 \, m$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $A$ के अनुसार है।

(C) मरोड़ी दोलनों की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C$ मरोड़ी नियतांक है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
केंद्र से लटकाई गई $M$ द्रव्यमान और $2L$ लंबाई की छड़ के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ है।
अतः,$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{ML^2/3}}$.
जब केंद्र से $L/2$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के दो पिंड जोड़े जाते हैं,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + 2 \times m(L/2)^2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{mL^2}{2}$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $f' = f - 0.20f = 0.8f$ है।
अतः,$0.8f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I_2}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f}{0.8f} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} \Rightarrow \frac{1}{0.8} = \sqrt{\frac{ML^2/3 + mL^2/2}{ML^2/3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{0.64} = 1 + \frac{3m}{2M} \Rightarrow 1.5625 = 1 + \frac{3m}{2M}$.
$\frac{3m}{2M} = 0.5625 \Rightarrow \frac{m}{M} = 0.5625 \times \frac{2}{3} = 0.375$.
इस प्रकार,$m/M$ अनुपात $0.37$ के निकट है।

(C) मान लीजिए कि छड़ को एक छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है। छड़ के प्रत्येक सिरे का विस्थापन $x = \frac{l}{2} \theta$ है।
प्रत्येक स्प्रिंग एक प्रत्यानयन बल $F = kx = k \frac{l}{2} \theta$ लगाती है।
केंद्र $O$ के परितः प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = 2 \times (F \times \frac{l}{2}) = 2 \times (k \frac{l}{2} \theta \times \frac{l}{2}) = \frac{k l^2}{2} \theta$ है।
छड़ के केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = -I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\frac{k l^2}{2} \theta = -(\frac{ml^2}{12}) \alpha \implies \alpha = -(\frac{6k}{m}) \theta$.
इसे कोणीय सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6k}{m}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6k}{m}}$.
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।

(D) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जो $k$ बल नियतांक के साथ $SHM$ करता है,उसका आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$।
जब पहला बल कार्य करता है,तो $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$।
जब दूसरा बल कार्य करता है,तो $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
$k$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
$4\pi^2 m$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
व्युत्क्रम और वर्गमूल लेने पर,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} \, s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्रव्यमान $m = 1\,kg$ और स्थितिज ऊर्जा $U = 4(1 - \cos 2x)\,J$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx} [4(1 - \cos 2x)] = -4(0 - (-\sin 2x) \cdot 2) = -8 \sin 2x$.
छोटे दोलनों के लिए,$x$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin 2x \approx 2x$ लिया जा सकता है।
अतः,$F \approx -8(2x) = -16x$.
इसे $SHM$ के मानक समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,बल नियतांक $k = 16\,N/m$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{16}{1}} = 4\,rad/s$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,sec$ प्राप्त होता है।

(C) $SHM$ कर रहे कण के लिए,अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,परिमाण समान हैं: $V_{\max} = a_{\max}$।
व्यंजक रखने पर: $\omega A = \omega^2 A$।
दोनों पक्षों को $\omega A$ से विभाजित करने पर ($A \neq 0$ और $\omega \neq 0$ मानते हुए),हमें $\omega = 1 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega = 1$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी के अंदर एक सुरंग में कण की गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ होती है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित एक कण के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल $F = -(\frac{GMm}{R_e^3})r$ होता है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल $F = -kr$ के रूप में कार्य करता है, जहाँ $k = \frac{GMm}{R_e^3}$ है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R_e^3}} = \sqrt{\frac{g}{R_e}}$ होती है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ होता है।
चूंकि आवर्तकाल $T$ केवल पृथ्वी की त्रिज्या $R_e$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है, इसलिए यह दोलन के आयाम (वह दूरी जहाँ से कण को छोड़ा जाता है) से स्वतंत्र है।
अतः, $T_1 = T_2$।

(A) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $L$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,जो अपनी परिधि से गुजरने वाली अक्ष पर दोलन करती है,धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $L = R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,परिधि पर जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mR^2 = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$।

(A) द्रव्यमान को सतह के संपर्क में रहने के लिए,सतह का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$S.H.M.$ में एक कण का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
संपर्क बनाए रखने के लिए,हमें $a_{max} \leq g$ की आवश्यकता है।
$\omega = 2 \pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2 \pi f)^2 A \leq g$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A = 1 \, cm = 0.01 \, m$ और $g \approx 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$4 \pi^2 f^2 (0.01) = 10$
$f^2 = \frac{10}{4 \pi^2 \times 0.01} = \frac{10}{0.04 \pi^2} = \frac{250}{\pi^2}$
$f = \sqrt{\frac{250}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{250}}{\pi} \approx \frac{15.81}{3.14} \approx 5.03 \, Hz$.
अतः,अधिकतम आवृत्ति लगभग $5 \, Hz$ है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $V(x) = k|x|^3$ द्वारा दी गई है।
कण पर लगने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ है।
$m$ द्रव्यमान का कण जो $a$ आयाम के साथ दोलन करता है,उसकी कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है और चरम स्थिति पर यह स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = V(a) = ka^3$।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$।
अतः,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$।
आवर्तकाल $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x = ay$,तो $dx = a dy$। सीमाएँ $0$ से $1$ तक बदल जाती हैं।
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$।
चूंकि समाकलन एक स्थिरांक है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ है।

(N/A) मान लीजिए $U$-ट्यूब के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है और पारे का घनत्व $\rho$ है।
जब पारे को एक भुजा में $h$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है, तो दूसरी भुजा में भी स्तर $h$ से बदल जाता है, जिससे $2h$ का कुल ऊंचाई अंतर बनता है।
प्रत्यानयन बल $F$, $2h$ ऊंचाई के अतिरिक्त पारे के स्तंभ के वजन के बराबर होता है।
$F = -(\text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g) = -(A \times 2h \times \rho \times g) = -2A\rho gh$.
यह बल विस्थापन $h$ के समानुपाती है, अर्थात $F = -kh$, जहाँ $k = 2A\rho g$ बल नियतांक है।
चूंकि प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे समानुपाती है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित है, इसलिए गति सरल आवर्त गति है।
पारे के स्तंभ का द्रव्यमान $m$, $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = A \times l \times \rho$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ पारे के स्तंभ की कुल लंबाई है।
आवर्तकाल $T$, $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{Al\rho}{2A\rho g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार, पारे का स्तंभ सरल आवर्त गति करता है।

(N/A) वायु कक्ष का आयतन $= V$
गर्दन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $= a$
गेंद का द्रव्यमान $= m$
कक्ष के अंदर का दाब वायुमंडलीय दाब के बराबर है।
मान लीजिए कि गेंद को $x$ इकाई नीचे दबाया जाता है। इस दबाव के परिणामस्वरूप,आयतन में कमी और कक्ष के अंदर दाब में वृद्धि होती है।
वायु कक्ष के आयतन में कमी,$\Delta V = a x$
आयतन विकृति $= \frac{\text{आयतन में परिवर्तन}}{\text{मूल आयतन}} = \frac{\Delta V}{V} = \frac{a x}{V}$
वायु का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus),$B = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{-p}{\frac{a x}{V}}$
यहाँ,प्रतिबल दाब में वृद्धि है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि आयतन में कमी के साथ दाब बढ़ता है। अतः,$p = \frac{-B a x}{V}$।
गेंद पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) $F = p \times a = \frac{-B a x}{V} \cdot a = \frac{-B a^2 x}{V} \dots (i)$
सरल आवर्त गति में,प्रत्यानयन बल का समीकरण $F = -k x \dots (ii)$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें $k = \frac{B a^2}{V}$ प्राप्त होता है।
दोलनों का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{V m}{B a^2}}$ है।

(A) वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान,$m = 10 \; kg$.
डिस्क की त्रिज्या,$r = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
मरोड़ दोलनों का आवर्तकाल $T = 1.5 \; s$ है।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m r^2$ है।
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.15)^2 = 5 \times 0.0225 = 0.1125 \; kg \; m^2$.
मरोड़ दोलनों के लिए आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{\alpha}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{\alpha}$,जिससे $\alpha = \frac{4 \pi^2 I}{T^2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{4 \times (3.14159)^2 \times 0.1125}{(1.5)^2}$.
$\alpha = \frac{4 \times 9.8696 \times 0.1125}{2.25} = \frac{4.4413}{2.25} \approx 1.974 \; N \; m \; rad^{-1}$.
अतः,तार का मरोड़ स्प्रिंग नियतांक लगभग $1.97 \; N \; m \; rad^{-1}$ है।

(B) किसी पिंड के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति उसके भौतिक गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है:
$(1)$ पिंड के पदार्थ के प्रत्यास्थ गुण,जो प्रत्यानयन बल नियतांक $(k)$ को निर्धारित करते हैं।
$(2)$ पिंड के आयाम और द्रव्यमान वितरण,जो इसके जड़त्व ($m$ या $I$) को निर्धारित करते हैं।
एक सरल प्रणाली के लिए,प्राकृतिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ पदार्थ की प्रत्यास्थता पर निर्भर करता है और $m$ पिंड के आयामों और घनत्व पर निर्भर करता है।

(D) क्षेत्र से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा $U(x) = U_0 (1 - \cos \alpha x)$ द्वारा दी जाती है।
बल $F$ स्थितिज ऊर्जा से $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा संबंधित है।
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} [U_0 (1 - \cos \alpha x)] = U_0 \alpha \sin \alpha x$.
इसलिए,$F = -U_0 \alpha \sin \alpha x$.
छोटे दोलनों के लिए,$\alpha x$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \alpha x \approx \alpha x$.
अतः,$F \approx -U_0 \alpha (\alpha x) = -U_0 \alpha^2 x$.
यह $F = -k x$ के रूप में सरल आवर्त गति $(SHM)$ का समीकरण है,जहाँ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = U_0 \alpha^2$ है।
$SHM$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{U_0 \alpha^2}{m}} = \alpha \sqrt{\frac{U_0}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\alpha \sqrt{\frac{U_0}{m}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{U_0 \alpha^2}}$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि लट्ठे को $y$ विस्थापन से नीचे की ओर दबाया जाता है। लट्ठे द्वारा विस्थापित अतिरिक्त द्रव का आयतन $V_{disp} = A \times y$ होगा।
इस अतिरिक्त विस्थापित आयतन के कारण लट्ठे पर लगने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_b = V_{disp} \times \rho \times g = (A \times y) \times \rho \times g = (A \rho g) y$.
चूंकि यह उत्प्लावन बल विस्थापन $y$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए प्रत्यानयन बल $F$ होगा:
$F = - (A \rho g) y$.
यह समीकरण $F = -ky$ के रूप में है,जहाँ $k = A \rho g$ प्रभावी बल नियतांक है।
चूंकि प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित है,इसलिए लट्ठे की गति सरल आवर्त गति $(SHM)$ है।
$SHM$ का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
सूत्र में $k = A \rho g$ रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}}$.
इस प्रकार,यह सिद्ध होता है कि लट्ठा दिए गए आवर्तकाल के साथ $SHM$ करता है।

(N/A) हाँ,पारे का स्तंभ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगा।
मान लीजिए पारे के स्तंभ की कुल लंबाई $L$ है और ट्यूब का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। मान लीजिए कि संतुलन स्थिति से ट्यूब के साथ पारे के स्तर का विस्थापन $x$ है।
प्रत्यानयन बल $F$ दोनों भुजाओं में पारे के स्तंभों की ऊँचाई में अंतर के कारण होता है।
ऊँचाई में अंतर $h = h_1 - h_2 = (l+x)\sin 45^{\circ} - (l-x)\sin 45^{\circ} = 2x \sin 45^{\circ} = 2x(1/\sqrt{2}) = x\sqrt{2}$.
प्रत्यानयन बल $F = -mg = -(\text{विस्थापित द्रव का द्रव्यमान})g = -(\rho A h)g = -\rho A g (x\sqrt{2})$.
पारे का कुल द्रव्यमान $M = \rho A L$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = Ma$,इसलिए $Ma = -\rho A g \sqrt{2} x$.
$(\rho A L) \frac{d^2x}{dt^2} = -\rho A g \sqrt{2} x$.
$\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{g\sqrt{2}}{L})x$.
यह $SHM$ का समीकरण है जहाँ $\omega^2 = \frac{g\sqrt{2}}{L}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\sqrt{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \sqrt{2}}}$।

(A) एक भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी है। $R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए,$d = R$ है।
स्थिति $(i)$: रिंग अपने ही तल में दोलन करती है। घूर्णन अक्ष रिंग के किनारे पर,रिंग के तल के लंबवत है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{1} = I_{cm} + MR^{2} = MR^{2} + MR^{2} = 2MR^{2}$ है।
अतः,$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{2MR^{2}}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$।
स्थिति $(ii)$: रिंग अपने तल के लंबवत दिशा में आगे-पीछे दोलन करती है। घूर्णन अक्ष रिंग के किनारे पर,रिंग के तल में स्थित है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{2} = I_{cm} + MR^{2} = \frac{1}{2}MR^{2} + MR^{2} = \frac{3}{2}MR^{2}$ है।
अतः,$T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^{2}}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{2MR^{2}}{\frac{3}{2}MR^{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3/2}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(A) संतुलन में,ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$mg = A l \rho g \Rightarrow m = A \rho l$
जहाँ $l$ द्रव में डूबे हुए भाग की लंबाई है।
जब ब्लॉक को नीचे की ओर $y$ विस्थापन दिया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल (प्रत्यानयन बल) है:
$F = -[A(l+y) \rho g - mg]$
$F = -[A l \rho g + A y \rho g - mg]$
चूंकि $mg = A l \rho g$,समीकरण सरल होकर हो जाता है:
$F = -A \rho g y$
यह दर्शाता है कि $F \propto -y$,जो $SHM$ के लिए शर्त है। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = A \rho g$ है और जड़त्व कारक $m$ है।
$SHM$ का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\text{जड़त्व कारक}}{\text{स्प्रिंग नियतांक}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{m}{A \rho g}$
अतः,$T^{2} \propto \frac{1}{\rho}$.