Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(A) निर्वात में,वस्तुओं पर कोई वायु प्रतिरोध कार्य नहीं करता है।
गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ के अनुसार,$h$ ऊँचाई से गिरने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ होता है।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ वस्तु के द्रव्यमान और आकार से स्वतंत्र है,इसलिए लोहे की गेंद और लकड़ी की गेंद दोनों समान त्वरण का अनुभव करती हैं।
इसलिए,वे एक ही समय में जमीन पर पहुँचती हैं।

(A) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ कूदने वाले व्यक्ति द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ है।
चूँकि दोनों कूद के लिए प्रारंभिक वेग $u$ समान है,इसलिए $H_{\max} \propto \frac{1}{g}$ होगा।
मान लीजिए कि $g_A$ और $g_B$ क्रमशः ग्रह $A$ और $B$ पर गुरुत्वीय त्वरण हैं। हमें दिया गया है कि $g_A = 9g_B$ है।
मान लीजिए कि $H_A = 2 \ m$ ग्रह $A$ पर ऊँचाई है और $H_B$ ग्रह $B$ पर ऊँचाई है।
समानुपातिकता $H_A g_A = H_B g_B$ का उपयोग करने पर,हमें $H_B = H_A \left( \frac{g_A}{g_B} \right)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$H_B = 2 \times 9 = 18 \ m$ प्राप्त होता है।

(A) किसी पिंड का भार पृथ्वी द्वारा उस पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है,जिसे $W = mg$ द्वारा दर्शाया जाता है।
पृथ्वी के अंदर,केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \frac{r}{R}$ होता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी के केंद्र पर,दूरी $r = 0$ होती है।
इस सूत्र में $r = 0$ रखने पर,हमें $g' = g \frac{0}{R} = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि भार $W = mg'$ होता है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र पर भार $W = m \times 0 = 0$ होगा।
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर किसी पिंड का भार शून्य होता है।

(D) किसी खगोलीय पिंड की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
दिया गया है:
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
चंद्रमा का द्रव्यमान $M = 7.34 \times 10^{22} \ kg$
चंद्रमा की त्रिज्या $R = 1.74 \times 10^6 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.34 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^6)^2}$
$g = \frac{48.9578 \times 10^{11}}{3.0276 \times 10^{12}}$
$g \approx 1.62 \ N/kg$.

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए हम इसे गुरुत्वीय त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{4}{3}\pi \rho GR$.
यह दिया गया है कि दोनों ग्रहों के लिए औसत घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $g \propto R$ होता है।
अतः,दोनों ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2}$ है।

(B) किसी पिंड का भार $W = mg$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों पर कम होती है $(R_{pole} < R_{equator})$।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,इसलिए $g$ का मान त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$।
अतः,$g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होता है।
जैसे-जैसे पिंड को भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर ले जाया जाता है,$g$ का मान बढ़ता है,और परिणामस्वरूप पिंड का भार $W$ बढ़ जाता है।

(D) किसी वस्तु का द्रव्यमान एक आंतरिक गुण है और यह अपने स्थान की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।
हालाँकि,किसी वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे हम खदान में गहराई में जाते हैं,गुरुत्वीय त्वरण $g$ सूत्र $g' = g(1 - d/R)$ के अनुसार घटता है,जहाँ $d$ गहराई है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $g$ घटता है,इसलिए वस्तु का भार $W$ भी घट जाता है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
यहाँ ग्रह का द्रव्यमान $M = M_0$ और व्यास $D_0$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{D_0}{2}$ होगी।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G M_0}{(D_0 / 2)^2}$
$g = \frac{G M_0}{D_0^2 / 4}$
$g = \frac{4 G M_0}{D_0^2}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\lambda = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$।
अतः,भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्व $g_{eq} = g - \omega^2 R$ होता है।
यदि पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो कोणीय वेग $\omega$ शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,पद $\omega^2 R$ शून्य हो जाता है और भूमध्य रेखा पर $g$ का मान $g_{eq} = g$ हो जाता है।
चूंकि $g$ का मान $(g - \omega^2 R)$ से अधिक है,इसलिए भूमध्य रेखा पर $g$ का मान बढ़ जाएगा।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान $M' = 2M$ है और व्यास $D' = 2D$ है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $R' = 2R$ है।
ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{GM'}{(R')^2}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{2}$.
चूंकि पृथ्वी के लिए $g = 9.8 \ m/s^2$ है,इसलिए $g' = \frac{9.8}{2} = 4.9 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{r^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। परिणामस्वरूप,भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की त्रिज्या $(r_{eq})$,ध्रुवों पर त्रिज्या $(r_{pole})$ से अधिक है।
जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर बढ़ते हैं,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r$ कम हो जाती है। चूँकि $g$ दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{r^2})$,इसलिए $r$ में कमी आने से $g$ का मान बढ़ जाता है। अतः,भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर जाने पर $g$ का मान बढ़ता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का मान सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए त्रिज्या $R$ भूमध्य रेखा पर अधिकतम और ध्रुवों पर न्यूनतम होती है।
चूंकि $g \propto \frac{1}{R^2}$,इसलिए $g$ का मान त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$g$ वहाँ न्यूनतम होता है जहाँ $R$ अधिकतम होता है,जो कि भूमध्य रेखा है।
इस प्रकार,गुरुत्वाकर्षण बल भूमध्य रेखा पर सबसे कम होता है।

(C) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर किसी पिंड का भार शून्य होने के लिए,प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए,इसलिए $g' = 0$।
इसका अर्थ है $g = R\omega^2$,या $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$।
यहाँ $g = 10 \, m/s^2$ और $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \, rad/s$।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{r^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $r$ पृथ्वी के केंद्र से बिंदु की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है।
प्रश्न में दिए गए अनुसार पृथ्वी के केंद्र से बिंदु की दूरी $r$ भी स्थिर रहती है।
चूंकि $G$,$M$ और $r$ तीनों अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए उस विशिष्ट बिंदु पर $g$ का मान $9.8\,m/s^2$ ही रहेगा।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ को उसके औसत घनत्व $D$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3}\pi R^3 D$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$M$ का मान $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3}\pi R^3 D)$
समीकरण को सरल करने पर:
$g = \frac{4}{3} \pi R G D$
औसत घनत्व $D$ के लिए हल करने पर:
$D = \frac{3g}{4\pi RG}$

(A) वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
समुद्र तल पर,$g$ का मान अधिकतम होता है।
जब हम कोयले की खान में गहराई में जाते हैं,तो $g$ का मान $g' = g(1 - d/R)$ के अनुसार घटता है।
जब हम पहाड़ की चोटी पर जाते हैं,तो भी $g$ का मान $g' = g(1 - 2h/R)$ के अनुसार घटता है।
चूंकि $W_2$ समुद्र तल पर है,इसलिए यह अधिकतम मान है।
अतः,$W_1$ (खान में) और $W_3$ (पहाड़ पर) दोनों $W_2$ से कम हैं।
इस प्रकार,सही संबंध $W_1 < W_2$ और $W_3 < W_2$ है,जिसे $W_1 < W_2 > W_3$ के रूप में दर्शाया गया है।

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ के पदों में $M = \rho V = \rho \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$ होता है।
इस मान को $g$ के व्यंजक में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4}{3}\pi G \rho R$
अतः,$g \propto \rho R$ है।
दो ग्रहों के लिए,उनके गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}$
इस प्रकार,$g_1:g_2 = R_1\rho_1:R_2\rho_2$।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चंद्रमा के लिए,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
दिया गया है कि $M_e = 81M_m$ और $R_e = 3.5R_m$.
चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण और पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_m}{g_e} = \frac{GM_m}{R_m^2} \times \frac{R_e^2}{GM_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{81M_m} \times (3.5)^2 = \frac{1}{81} \times 12.25 = \frac{12.25}{81} \approx 0.1512$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अनुपात $0.15$ प्राप्त होता है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. जैसे-जैसे हम पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे जाते हैं,$g$ का मान घटता है।
$2$. जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से ऊपर जाते हैं,$g$ का मान घटता है।
$3$. जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर जाते हैं,पृथ्वी की त्रिज्या $R$ कम हो जाती है,जिससे $g$ का मान बढ़ता है। अतः,यह कथन कि भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर जाने पर $g$ घटता है,गलत है।
$4$. यदि पृथ्वी की घूर्णन गति बढ़ाई जाती है,तो अपकेंद्री बल बढ़ जाता है,जिससे $g$ का प्रभावी मान कम हो जाता है।
अतः,विकल्प $C$ गलत कथन है।

(D) पृथ्वी के घूर्णन के कारण उत्पन्न अपकेंद्री बल भूमध्य रेखा पर अधिकतम और ध्रुवों पर शून्य होता है। परिणामस्वरूप,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का प्रभावी मान भूमध्य रेखा पर न्यूनतम और ध्रुवों पर अधिकतम होता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - 2h/R)$ द्वारा और $d$ गहराई पर $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सतह पर $g$ का मान सतह से ऊपर की ऊँचाई या नीचे की गहराई की तुलना में अधिक होता है।
इसलिए,यह कथन कि $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होता है,सही है।

(B) स्प्रिंग बैलेंस द्वारा मापा गया किसी पिंड का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे पृथ्वी की सतह से ऊंचाई $h$ बढ़ती है,गुरुत्वीय त्वरण $g$ सूत्र $g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R} \right)^{-2}$ के अनुसार घटता जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $m$ स्थिर रहता है और ऊंचाई बढ़ने के साथ $g$ घटता है,इसलिए स्प्रिंग बैलेंस द्वारा दर्शाया गया भार $W$ लगातार घटता जाएगा।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
दिया गया है: $g = 980 \, cm/s^2$,$R = 6400 \, km$,और $h = 64 \, km$।
मान रखने पर:
$g' = 980 \times \left( \frac{6400}{6400 + 64} \right)^2$
$g' = 980 \times \left( \frac{6400}{6464} \right)^2$
$g' = 980 \times \left( \frac{100}{101} \right)^2$
सन्निकटन सूत्र $g' \approx g(1 - 2h/R)$ का उपयोग करने पर:
$g' = 980 \times (1 - 2 \times 64 / 6400) = 980 \times (1 - 0.02) = 980 \times 0.98 = 960.40 \, cm/s^2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान सूत्र द्वारा दिया जाता है: $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$,जहाँ $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\lambda = 0^o$ है,इसलिए $\cos 0^o = 1$। अतः,$g' = g - \omega^2 R$। यदि पृथ्वी तेजी से घूमती है,तो $\omega$ बढ़ता है,जिससे प्रभावी गुरुत्व $g'$ कम हो जाता है,और परिणामस्वरूप भूमध्य रेखा पर वस्तु का भार कम हो जाता है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^o$ है,इसलिए $\cos 90^o = 0$। अतः,$g' = g$। चूँकि $\omega$ वाला पद शून्य हो जाता है,इसलिए पृथ्वी की घूर्णन गति चाहे जो भी हो,ध्रुवों पर वस्तु का भार अपरिवर्तित रहता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है और त्रिज्या अपने वर्तमान मान की आधी हो जाती है,तो नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ होगी।
गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $g'$ इस प्रकार होगा: $g' = \frac{GM}{(R')^2} = \frac{GM}{(R/2)^2} = \frac{GM}{R^2/4} = 4 \left( \frac{GM}{R^2} \right) = 4g$.
अतः,गुरुत्वीय त्वरण अपने वर्तमान मान का चार गुना हो जाएगा।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2} = g$.
चंद्रमा के लिए,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
दिया गया है कि $M_m = \frac{M_e}{80}$ और $R_m = \frac{R_e}{4}$.
इन मानों को $g_m$ के सूत्र में रखने पर:
$g_m = \frac{G(M_e/80)}{(R_e/4)^2} = \frac{G M_e}{80} \times \frac{16}{R_e^2} = \frac{16}{80} \times \frac{GM_e}{R_e^2}$.
चूंकि $\frac{GM_e}{R_e^2} = g$,इसलिए $g_m = \frac{1}{5} g = g/5$.

(A) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g'$ निकालने का सूत्र है: $g' = g_p - R\omega^2 \cos^2 \lambda$।
यहाँ दिया गया अक्षांश $\lambda = 60^\circ$ है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर।
हम जानते हैं कि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ होगा।
अब इस मान को मुख्य सूत्र में रखने पर: $g' = g_p - R\omega^2 (\frac{1}{4})$।
अतः,$g$ का प्रभावी मान $g_p - \frac{1}{4}R\omega^2$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$।
दिया गया है कि गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह के मान का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए $g' = \frac{g}{n}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए हल करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$।
अतः,$d = R \left( \frac{n - 1}{n} \right)$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g \left(1 - \frac{2h}{R}\right)$ होता है,जहाँ $h \ll R$ है।
दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta g}{g} = 0.01$ है।
संबंध $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ का उपयोग करने पर,हमें $0.01 = \frac{2h}{R}$ प्राप्त होता है।
$R = 6400 \, km$ का मान रखने पर,$h = \frac{0.01 \times 6400}{2} = \frac{64}{2} = 32 \, km$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट ऊँचाई $32 \, km$ है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{GM}{R^2}$.
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके औसत घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है,इसलिए $g$ के सूत्र में मान रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\rho \times \frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{4}{3}G\pi R\rho$.
अतः,दो ग्रहों के लिए गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \times \left(\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)$.
दिया गया है कि व्यास का अनुपात $4:1$ है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $\frac{R_1}{R_2}$ भी $4:1$ होगा।
दिया गया है कि औसत घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2}$ $1:2$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{g_1}{g_2} = \left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(B) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g' = g$ का $25\%$,अतः $g' = \frac{g}{4}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{2} = \frac{R}{R + h}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 2R$।
$h$ का मान ज्ञात करने पर: $h = R$।

(C) पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ होता है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\lambda$ अक्षांश है।
उत्तरी ध्रुव पर,अक्षांश $\lambda = 90^\circ$ होता है।
चूंकि $\cos(90^\circ) = 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $g' = g - \omega^2 R (0)^2 = g$ हो जाता है।
अतः,ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी की कोणीय गति $(\omega)$ से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,यदि कोणीय गति को दोगुना भी कर दिया जाए,तो उत्तरी ध्रुव पर $g$ का मान समान रहता है।

(A) किसी वस्तु का द्रव्यमान एक आंतरिक गुण है और यह स्थान या गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $(g)$ पर निर्भर नहीं करता है।
वजन को $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g' = g/4$ है,इसलिए ग्रह पर वजन $W' = m(g/4) = W/4$ हो जाता है।
अतः,द्रव्यमान नहीं बदलता है,जिससे कथन $(A)$ गलत हो जाता है,जबकि कथन $(B)$,$(C)$,और $(D)$ सही हैं।

(D) चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_m = \frac{G M_m}{R_m^2}$ है।
यह दिया गया है कि चंद्रमा पर भार पृथ्वी के भार का $1/6$ है,इसलिए $g_m = \frac{g_e}{6}$ होगा।
$g_e = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर,$g_m = \frac{9.8}{6} \approx 1.633 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
सूत्र $M_m = \frac{g_m R_m^2}{G}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ और $R_m = 1.768 \times 10^6 \, m$ है:
$M_m = \frac{1.633 \times (1.768 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_m = \frac{1.633 \times 3.1258 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_m \approx 0.765 \times 10^{23} \, kg = 7.65 \times 10^{22} \, kg$.

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
यहाँ पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6000 \, km$ और ऊँचाई $h = 6000 \, km$ दी गई है,अतः $h = R$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $g' = g \left( \frac{R}{R + R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g}{4}$।
चूँकि भार $W = mg$ होता है,इसलिए $h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = \frac{mg}{4} = \frac{W}{4}$ होगा।
अतः,पिंड का भार पृथ्वी की सतह पर उसके भार का एक-चौथाई हो जाएगा।

(B) किसी वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए पृथ्वी की त्रिज्या भूमध्य रेखा पर अधिकतम और ध्रुवों पर न्यूनतम होती है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto 1/R^2)$।
इसलिए,$g$ का मान भूमध्य रेखा पर न्यूनतम और ध्रुवों पर अधिकतम होता है।
समान भार के लिए अधिक चीनी प्राप्त करने के लिए (या समान द्रव्यमान के लिए कम भुगतान करने के लिए),वहां खरीदारी करनी चाहिए जहाँ $g$ न्यूनतम हो,क्योंकि तराजू समान द्रव्यमान $m$ के लिए कम भार दिखाएगा।
अतः,भूमध्य रेखा पर चीनी खरीदना सबसे अधिक लाभदायक है।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या $1.5\%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -1.5\%$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-1.5\%) = +3\%$ प्राप्त होता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का मान $3\%$ बढ़ जाएगा।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इससे पता चलता है कि $g \propto \frac{1}{R^2}$ है।
चूँकि त्रिज्या $R$ में $2\%$ की कमी होती है,हम छोटे परिवर्तनों के लिए लिख सकते हैं: $\frac{\Delta g}{g} \approx -2 \frac{\Delta R}{R}$.
यहाँ $\frac{\Delta R}{R} = -0.02$ है,इसलिए $g$ में परिवर्तन $\frac{\Delta g}{g} \approx -2(-0.02) = 0.04$ अर्थात $4\%$ होगा।
चूँकि $g$ बढ़ता है,इसलिए वस्तु का भार $W = mg$ भी $4\%$ बढ़ जाएगा।

(B) किसी खगोलीय पिंड की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
त्रिज्या $R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \sqrt{\frac{GM}{g}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $G = 6.667 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,$M = 7.34 \times 10^{22} \ kg$,और $g = 1.4 \ m/s^2$.
$R = \sqrt{\frac{6.667 \times 10^{-11} \times 7.34 \times 10^{22}}{1.4}}$
$R = \sqrt{\frac{48.93578 \times 10^{11}}{1.4}}$
$R = \sqrt{34.954 \times 10^{11}} = \sqrt{3.4954 \times 10^{12}}$
$R \approx 1.87 \times 10^6 \ m$.

(C) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार प्रारंभिक भार का $3/5$ हो जाता है,इसलिए $g' = \frac{3}{5}g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$।
मान $g = 10 \, m/s^2$ और $R = 6400 \times 10^3 \, m$ रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6400 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{20}{32000 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{20}{3.2 \times 10^7}} = \sqrt{6.25 \times 10^{-7}} \approx 7.8 \times 10^{-4} \, rad/s$।

(B) दिया गया है: ऊँचाई $h = 32 \, km$,पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km$।
चूँकि $h \ll R$,हम $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
$g' = g \left( 1 - \frac{2h}{R} \right)$
मान रखने पर:
$g' = g \left( 1 - \frac{2 \times 32}{6400} \right)$
$g' = g \left( 1 - \frac{64}{6400} \right)$
$g' = g \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$
$g' = g \left( 0.99 \right)$
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का मान $0.99 \, g$ है।

(D) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है (जब $h \ll R$ हो)।
$g$ में समान परिवर्तन के लिए दोनों मानों की तुलना करने पर:
$g(1 - d/R) = g(1 - 2h/R)$
$d/R = 2h/R$
$d = 2h$
दिया गया है कि $d = 10 \, km$,इसलिए $10 = 2h$,जिसका अर्थ है कि $h = 5 \, km$।

(A) किसी पिंड का भार $W = m \times g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि पृथ्वी अपना गुरुत्वाकर्षण खो देती है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $0$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,भार $W = m \times 0 = 0$ हो जाता है।
हालाँकि,किसी पिंड का द्रव्यमान $m$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर नहीं करता है; इसलिए,द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है।
अतः,भार शून्य हो जाता है,लेकिन द्रव्यमान शून्य नहीं होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g' = 1\% \text{ of } g$,इसलिए $g' = \frac{1}{100} g$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{100} g = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर: $\frac{1}{100} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{10} = \frac{R}{R + h}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 10R$.
अतः,$h = 10R - R = 9R$.

(A) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 72 \ N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ $h = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ऊँचाई पर पिंड का भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 72 \ N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(A) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ होता है।
$\lambda = 60^o$ पर $g'$ को शून्य होने के लिए:
$0 = g - \omega^2 R \cos^2(60^o)$
$0 = g - \omega^2 R (1/2)^2$
$0 = g - \frac{\omega^2 R}{4}$
$\omega^2 = \frac{4g}{R}$
$\omega = 2 \sqrt{\frac{g}{R}}$
यहाँ $g = 10 \, m/s^2$ और $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ है:
$\omega = 2 \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = 2 \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = 2 \times \frac{1}{800} = 2.5 \times 10^{-3} \, rad/s$.

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$।
दिए गए मान हैं: $g = 9.8 \, m/s^2$,$d = 100 \, km$,और $R = 6400 \, km$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$g' = 9.8 \left( 1 - \frac{100}{6400} \right)$
$g' = 9.8 \left( 1 - \frac{1}{64} \right)$
$g' = 9.8 \left( \frac{63}{64} \right)$
$g' = 9.8 \times 0.984375$
$g' \approx 9.6468 \, m/s^2$,जो दिए गए विकल्पों के अनुसार $9.66 \, m/s^2$ है।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $g$ का मान एक-चौथाई हो जाता है,अर्थात $g' = \frac{g}{4}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर: $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{2} = \frac{R}{R + h}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 2R$।
अतः,$h = 2R - R = R$।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले एक गोलाकार पिंड की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3}\pi G R \rho$
अतः,$g \propto R\rho$.
पृथ्वी और चंद्रमा के लिए,गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_e}{g_m} = \frac{R \cdot \rho_e}{r \cdot \rho_m} = \frac{R}{r} \cdot \frac{\rho_e}{\rho_m}$
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।