Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(B) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई भी गतिशील वस्तु तब तक सीधी रेखा में एकसमान वेग से चलती रहती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
वृत्ताकार कक्षा में,गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह को वृत्त में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक गायब हो जाता है,तो उपग्रह के वेग की दिशा बदलने के लिए कोई अभिकेंद्र बल नहीं बचेगा।
इसलिए,दिशा के जड़त्व के कारण,उपग्रह उस क्षण अपने वेग की दिशा में एक सीधी रेखा में चलना जारी रखेगा।
चूंकि वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,इसलिए उपग्रह मूल कक्षा के स्पर्शरेखीय दिशा में $v$ वेग के साथ गति करेगा।

(B) पृथ्वी सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण सूर्य के चारों ओर घूमती है।
इन खगोलीय पिंडों के बीच इस गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के कारण,एक अभिकेंद्र बल उत्पन्न होता है,जो पृथ्वी को उसकी कक्षा में बनाए रखता है।
न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार,वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु पर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल कार्य करना चाहिए।
इसलिए,पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण इस बात का प्रमाण है कि पृथ्वी पर एक बल कार्य कर रहा है जो सूर्य की ओर निर्देशित है।

(D) दिया गया है: पृथ्वी का द्रव्यमान $m = 6 \times 10^{24} \ kg$,कोणीय वेग $\omega = 2 \times 10^{-7} \ rad/s$,और कक्षा की त्रिज्या $R = 1.5 \times 10^8 \ km = 1.5 \times 10^{11} \ m$.
पृथ्वी की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल सूर्य द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = m \omega^2 R$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$F = (6 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{-7})^2 \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 10^{24}) \times (4 \times 10^{-14}) \times (1.5 \times 10^{11})$
$F = (6 \times 4 \times 1.5) \times (10^{24} \times 10^{-14} \times 10^{11})$
$F = 36 \times 10^{21} \ N$.

(B) पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल ही उसकी वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल कोई अतिरिक्त बल नहीं है,बल्कि यह गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा ही प्रदान किया जाता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल ही उपग्रह पर कार्य करने वाला नेट बल है।
अतः,उपग्रह पर कार्य करने वाला नेट बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर,यानी $F$ है।

(C) भारहीनता का कारण उपग्रह की सतह द्वारा लगाया गया $\text{शून्य}$ प्रतिक्रिया बल है।
भार को किसी सतह द्वारा किसी पिंड पर लगाए गए अभिलंब प्रतिक्रिया बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
उपग्रह में, उपग्रह और उसके अंदर का पिंड दोनों पृथ्वी के केंद्र की ओर समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के बराबर) के साथ मुक्त पतन की स्थिति में होते हैं।
चूंकि वे एक साथ गिर रहे हैं, इसलिए उपग्रह की सतह पिंड पर कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल नहीं लगाती है।
इसलिए, पिंड भारहीनता का अनुभव करता है।

(D) जब एक अंतरिक्ष यान पृथ्वी की परिक्रमा करता है,तो अंतरिक्ष यान और उसके अंदर की वस्तुएं दोनों पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होते हैं। चूंकि दोनों समान त्वरण (गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए अंतरिक्ष यान के फर्श द्वारा अंदर की वस्तुओं पर कोई अभिलंब बल (normal force) नहीं लगाया जाता है। संपर्क बल की इस कमी के परिणामस्वरूप भारहीनता का अनुभव होता है। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) कक्षा में घूम रहे उपग्रह के अंदर का अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है।
यद्यपि पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल अंतरिक्ष यात्री पर कार्य करता है,लेकिन उपग्रह और अंतरिक्ष यात्री दोनों पृथ्वी के केंद्र की ओर समान दर (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ की दर) से त्वरित हो रहे होते हैं।
चूंकि दोनों एक साथ गिर रहे हैं,इसलिए अंतरिक्ष यात्री को उपग्रह के फर्श से कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल महसूस नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप भारहीनता का अनुभव होता है।
अतः,भारहीनता मुक्त पतन की स्थिति है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$.
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने और $r$ से गुणा करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{r}$.
अतः,सही समीकरण $v^2 = \frac{GM}{r}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
अतः,कक्षीय वेग कक्षा की त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही कथन है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h$ है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $GM = gR^2$ है।
इन मानों को कक्षीय वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R + h}}$।

(B) पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा एक उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में होता है,जो अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है।
चूंकि उपग्रह पर एक बल कार्य कर रहा है,इसलिए इसे त्वरण का अनुभव करना चाहिए,जिसे अभिकेंद्री त्वरण $(a_c = v^2/r)$ कहा जाता है।
इसलिए,यह कथन कि यह कोई त्वरण अनुभव नहीं करता है,गलत है।
विकल्प $(b)$ गलत कथन है।

(B) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कक्षीय चाल $v$ उपग्रह के द्रव्यमान ($m_1$ या $m_2$) पर निर्भर नहीं करती है।
हालाँकि,कक्षीय चाल $v$ कक्षा की त्रिज्या $r$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{r}})$।
चूंकि $r_1 > r_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{r_1}} < \frac{1}{\sqrt{r_2}}$ होगा।
अतः,$v_1 < v_2$ सही है।

(C) जब किसी वस्तु को पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष यान से बाहर गिराया जाता है,तो उस क्षण उसके पास अंतरिक्ष यान के समान ही कक्षीय वेग होता है। अंतरिक्ष के निर्वात में उसकी गति की स्थिति को बदलने के लिए कोई बाहरी बल (जैसे वायु प्रतिरोध) न होने के कारण,चम्मच अंतरिक्ष यान के साथ उसी वृत्ताकार कक्षा में गति करना जारी रखेगी। इसलिए,चम्मच अंतरिक्ष यान के साथ-साथ चलेगी।

(C) उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल $T$,कक्षा की परिधि और कक्षीय वेग के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 \pi r}{v_o}$
चूंकि कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
यहाँ,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,और $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T$ कक्षा की त्रिज्या $(r)$ और ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है,लेकिन यह उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब उपग्रह पृथ्वी की सतह के बहुत करीब होता है,तो ऊँचाई $h$ पृथ्वी की त्रिज्या $R$ की तुलना में नगण्य होती है (अर्थात $h \approx 0$)।
अतः,सूत्र $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ लिखा जा सकता है।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर: $v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$।
इस प्रकार,पृथ्वी की सतह के निकट उपग्रह का कक्षीय वेग गुरुत्वीय त्वरण $g$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है।

(D) $T.V.$ प्रसारण के लिए उपयोग किया जाने वाला रिले उपग्रह एक भूस्थिर (geostationary) उपग्रह होता है।
किसी उपग्रह के भूस्थिर होने के लिए,उसे पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी बिंदु के सापेक्ष स्थिर दिखाई देना चाहिए।
इसके लिए उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूर्णन काल के बिल्कुल बराबर,यानी $24$ घंटे होना आवश्यक है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$,हम उपग्रहों $A$ और $B$ की चालों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$
दिया गया है कि $r_A = 4R$ और $r_B = R$,इसलिए:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
उपग्रह $A$ की चाल $v_A = 3V$ दी गई है,अतः:
$\frac{3V}{v_B} = \frac{1}{2}$
इसलिए,$v_B = 3V \times 2 = 6V$.

(A) एक भूस्थिर उपग्रह वह उपग्रह है जो पृथ्वी के भूमध्यरेखीय तल में पृथ्वी के घूर्णन काल ($24$ घंटे) के बराबर आवर्तकाल के साथ परिक्रमा करता है।
चूंकि पृथ्वी अपने ध्रुवीय अक्ष के परितः घूमती है,इसलिए पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए एक भूस्थिर उपग्रह को भी उसी ध्रुवीय अक्ष के परितः घूमना पड़ता है।
अतः,सही कथन यह है कि यह ध्रुवीय अक्ष के परितः घूमता है।

(A) पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $(v_{0})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{0} = \sqrt{g R_{e}}$
जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण $(9.8 \ m/s^{2})$ है और $R_{e}$ पृथ्वी की त्रिज्या $(6.4 \times 10^{6} \ m)$ है।
मान रखने पर:
$v_{0} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^{6}}$
$v_{0} = \sqrt{62.72 \times 10^{6}}$
$v_{0} \approx 7.92 \times 10^{3} \ m/s$
$km/s$ में परिवर्तित करने पर:
$v_{0} \approx 7.92 \ km/s \approx 8 \ km/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,उपग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।
जब कोई उपग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षा में होता है,तो कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए वह पृथ्वी के करीब होने पर (पेरिगी पर) तेजी से और दूर होने पर (अपोजी पर) धीमी गति से चलता है।
कोणीय संवेग $L = mvr \sin(\theta)$ संरक्षित रहता है।
चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए जब उपग्रह सबसे निकटतम या सबसे दूरस्थ बिंदुओं पर होता है,तो $v$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,जब पृथ्वी से दूरी $r$ न्यूनतम होती है,तब गति सबसे अधिक होती है।

(C) $h$ ऊंचाई पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले उपग्रह के लिए,$h = 0$,इसलिए वेग $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = v$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,ऊंचाई $h = \frac{R}{2}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{R + \frac{R}{2}}} = \sqrt{\frac{GM}{\frac{3R}{2}}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$ प्राप्त होता है।
हम इसे $v_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{GM}{R}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$,इसलिए $v_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}v$ होगा।

(D) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $r$ कक्षीय त्रिज्या है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $K.E. \propto v^2$।
$v$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K.E. \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto T^{2/3}$।
$r \propto T^{2/3}$ को $K.E. \propto \frac{1}{r}$ संबंध में रखने पर,हमें $K.E. \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ या $K.E. \propto T^{-2/3}$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ लिखा जा सकता है।
इस मान को कक्षीय वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{0} = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h$,पृथ्वी की त्रिज्या $R$ की तुलना में नगण्य है $(R >> h)$,इसलिए हम $R+h \approx R$ ले सकते हैं।
अतः,कक्षीय वेग:
$v_{0} = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

(D) उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = 4\pi^2 \frac{r^3}{GM}$
कक्षीय त्रिज्या $r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$
अतः,$r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि त्रिज्या $r$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ और उपग्रह के आवर्तकाल $(T)$ पर निर्भर करती है। यह उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र है।

(B) उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v \propto r^{-1/2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln v = \ln(GM)^{1/2} - \frac{1}{2} \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{dv}{v} = -\frac{1}{2} \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{dr}{r} = -0.01$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dv}{v} = -\frac{1}{2} (-0.01) = +0.005$ प्राप्त होता है।
अतः,चाल में $0.5\%$ की वृद्धि होगी।

(B) किसी ग्रह के चारों ओर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M$ केंद्रीय पिंड (पृथ्वी) का द्रव्यमान है,
$r$ उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि कक्षीय वेग $v$,पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$ और पृथ्वी के केंद्र से दूरी $(r)$ पर निर्भर करता है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह है,जिसे भूमध्य रेखा के ठीक ऊपर लगभग $35,800 \text{ km}$ की ऊंचाई पर स्थापित किया जाता है,जो उसी दिशा में घूमता है जिस दिशा में पृथ्वी घूमती है (पश्चिम से पूर्व)।
इस ऊंचाई पर,एक कक्षा पूरी करने में $24 \text{ घंटे}$ का समय लगता है,जो कि पृथ्वी को अपनी धुरी पर एक बार घूमने के लिए आवश्यक समय के बराबर है।

(A) उपग्रह के कक्षीय वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ कक्षीय त्रिज्या है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
मान लीजिए $v_1 = 7 \, km/s$ सतह पर वेग है (जहाँ $r_1 = R_e$) और $v_2$ उस कक्षा में वेग है जहाँ $r_2 = 4R_e$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} = \sqrt{\frac{R_e}{4R_e}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \, km/s$.

(D) उपग्रहों की कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R + R = 2R$ और $r_2 = R + 7R = 8R$ है।
पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ और उपग्रह के द्रव्यमान $m$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$,गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ और कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ होती है।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$.
चूंकि ये सभी अनुपात $4$ के बराबर हैं,इसलिए विकल्प $(D)$ में दिया गया कथन गलत है।

(D) भूस्थिर उपग्रह के लिए,कक्षीय अवधि $T$ पृथ्वी की घूर्णन अवधि के बराबर होती है,जो $T = 2\pi/\omega$ है।
केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय अवधि का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,जिसे $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = GM/R^2$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
केपलर के नियम के समीकरण में $GM$ का मान रखने पर: $(2\pi/\omega)^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$।
इसे सरल करने पर: $4\pi^2/\omega^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$।
दोनों पक्षों से $4\pi^2$ को हटाने पर: $1/\omega^2 = r^3 / (gR^2)$।
अतः,$r^3 = gR^2/\omega^2$।

(A) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o$ सूत्र $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
सूत्र से देखा जा सकता है कि कक्षीय वेग केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर करता है; यह उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इसलिए,यह कथन कि कक्षीय वेग उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर करता है,गलत है।

(A) जब पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष यान से कोई वस्तु गिराई जाती है,तो उसमें छोड़े जाने के क्षण अंतरिक्ष यान के समान ही कक्षीय वेग होता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम (जड़त्व) के अनुसार,वस्तु अंतरिक्ष यान की मूल कक्षा में उसी वेग $v$ के साथ गति करना जारी रखेगी।
चूंकि गेंद की गति की स्थिति को बदलने के लिए उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए यह न तो पृथ्वी पर गिरेगी और न ही अंतरिक्ष में दूर जाएगी; यह बस अंतरिक्ष यान के पथ का ही अनुसरण करेगी।

(B) पृथ्वी (द्रव्यमान $M_e$) के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$\frac{GM_e M}{r^2} = \frac{M v^2}{r}$
चूंकि $v = \frac{2\pi r}{T}$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{GM_e}{r^2} = \frac{(2\pi r / T)^2}{r}$
$\frac{GM_e}{r^2} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 r}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM_e}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_e}}$
अतः,$T \propto \sqrt{\frac{r^3}{GM_e}}$। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही आनुपातिकता $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।

(D) जो उपग्रह पृथ्वी की सतह के सापेक्ष स्थिर रहता है,उसे भूस्थिर उपग्रह कहा जाता है।
इसका परिक्रमण काल $(T)$ पृथ्वी के घूर्णन काल के बराबर होता है,जो $24 \text{ घंटे}$ है।
कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के लिए सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।
$T = 86400 \text{ s}$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$,और $M = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ का उपयोग करने पर,हमें कक्षीय त्रिज्या $r \approx 42200 \text{ km}$ प्राप्त होती है।
पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $(h)$ $h = r - R_e$ है,जहाँ $R_e \approx 6400 \text{ km}$ है।
अतः,$h = 42200 \text{ km} - 6400 \text{ km} = 35800 \text{ km}$,जो लगभग $36000 \text{ km}$ है।

(A) किसी वस्तु का भार $W = mg$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगा रहे एक कृत्रिम उपग्रह में,उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होती है।
चूंकि उपग्रह मुक्त पतन में है,इसलिए अंतरिक्ष यात्री द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ $0$ होता है।
अतः,अंतरिक्ष यात्री का भार $W = m \times 0 = 0$ होता है।

(D) एक संचार उपग्रह आमतौर पर एक भूस्थिर (geostationary) उपग्रह होता है।
भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर उसी कोणीय वेग से परिक्रमा करते हैं जिस गति से पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है।
इसलिए,एक भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल पृथ्वी द्वारा अपनी धुरी पर एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले समय के बराबर होता है,जो कि $24\, hours$ है।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
सतह के बहुत करीब स्थित उपग्रह के लिए,केंद्र से दूरी $r_1 = R$ है,इसलिए $V_o = \sqrt{\frac{GM}{R}}$।
$h = 3R$ की ऊंचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ है।
नई कक्षीय गति $v'$ का मान $v' = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
समीकरण में $V_o$ का मान रखने पर,हमें $v' = \frac{1}{2} V_o = 0.5\,V_o$ प्राप्त होता है।

(D) एक भूस्थिर उपग्रह $24 \text{ घंटे}$ की समयावधि के साथ भूमध्यरेखीय तल में पृथ्वी की परिक्रमा करता है।
इसकी ऊंचाई $h$ की गणना करने के लिए,हम कक्षीय त्रिज्या $r = R_e + h$ के सूत्र का उपयोग करते हैं,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$T = 86400 \text{ s}$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$,और $M = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ का मान रखने पर,हमें $r \approx 42,200 \text{ km}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_e \approx 6,400 \text{ km}$ है,ऊंचाई $h = r - R_e \approx 42,200 - 6,400 = 35,800 \text{ km}$ है।
यह ऊंचाई पृथ्वी की त्रिज्या की लगभग $5.6$ से $6$ गुना है $(6 \times 6,400 = 38,400 \text{ km})$।
अतः,कथन $(d)$ सही विवरण है।

(B) एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह से लगभग $36,000 \ km$ की ऊँचाई पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करता है।
पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \ km$ दी गई है।
पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h$ होती है।
मान रखने पर: $r = 6400 \ km + 36000 \ km = 42400 \ km$.
अब,इसे $R$ के पदों में व्यक्त करने पर: $r = \frac{42400}{6400} R \approx 6.625 R$.
निकटतम पूर्णांक में,यह दूरी पृथ्वी के केंद्र से लगभग $7 R$ है।

(D) उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r$ गुरुत्वाकर्षण बल और अभिकेंद्री बल के संतुलन द्वारा निर्धारित होती है: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
वृत्ताकार कक्षा के लिए,यदि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है तो कोणीय संवेग $L = mvr$ संरक्षित रहता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,यह उपग्रह पर कोई टॉर्क नहीं लगाता है।
इसलिए,यदि गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ समय के साथ बदलता है,तब भी उपग्रह का कोणीय संवेग $L$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित उपग्रह के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $h = R$ और $GM = gR^2$ को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$
$T = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$
$T = 4\sqrt{2}\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$.

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का परिक्रमण काल $T$,केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ होता है।
यहाँ,$r = R + h$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2 (R+h)^3}{GM}$।
$(R+h)^3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(R+h)^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $R+h = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$।
अंत में,$h$ के लिए हल करने पर: $h = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R$।

(D) कक्षीय त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,जो $r = R + h$ द्वारा दी जाती है।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,$h_1 = 6R$,इसलिए $r_1 = R + 6R = 7R$। आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ hr}$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,$h_2 = 2.5R$,इसलिए $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$।
केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{24} = \left( \frac{3.5R}{7R} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2}$।
$T_2 = 24 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ hr}$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह (चंद्रमा) की कक्षीय गति $v$ का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$।
दिया गया है:
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^2/kg^2$
$M = 6 \times 10^{24} \, kg$
$r = 384000 \, km = 384000 \times 10^3 \, m = 3.84 \times 10^8 \, m$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{3.84 \times 10^8}}$
$v = \sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{3.84 \times 10^8}}$
$v = \sqrt{10.42 \times 10^5} \approx \sqrt{1.042 \times 10^6}$
$v \approx 1020 \, m/s$
$km/s$ में बदलने पर:
$v \approx 1.02 \, km/s \approx 1 \, km/s$।

(A) एक भूस्थिर उपग्रह को पृथ्वी के भूमध्यरेखीय तल में परिक्रमा करनी चाहिए।
ऐसा इसलिए है क्योंकि उपग्रह को पृथ्वी की सतह पर स्थित एक पर्यवेक्षक के सापेक्ष स्थिर दिखाई देना चाहिए।
उपग्रह के पृथ्वी के घूर्णन के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इसकी कक्षीय अवधि ठीक $24$ घंटे होनी चाहिए,और इसे पृथ्वी की दिशा में ही (पश्चिम से पूर्व की ओर) घूमना चाहिए।
इसलिए,इसे भूमध्य रेखा के ठीक ऊपर स्थित होना चाहिए।

(C) एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर इस प्रकार परिक्रमा करता है कि उसका परिक्रमण काल $24 \ \text{घंटे}$ हो।
कक्षीय त्रिज्या $r = \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4\pi^2}}$ के सूत्र का उपयोग करने पर, पृथ्वी के केंद्र से दूरी लगभग $42400 \ km$ प्राप्त होती है।
सतह से ऊँचाई $h = r - R_e = 42400 \ km - 6400 \ km = 36000 \ km$ होती है।
प्रश्न में सतह से दूरी $R_e$ के पदों में पूछी गई है।
दूरी $h = 36000 \ km$ है।
इसे $R_e$ के पदों में व्यक्त करने के लिए, $h = n \times R_e$ लेते हैं।
$n = \frac{36000}{6400} = 5.625$।
अतः, पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r/R_e = 42400/6400 = 6.625 \approx 6.6$ होती है।

(C) उपग्रह की कक्षीय गति $v_0$ का सूत्र $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
संबंध $GM = gR^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $g = 10\, m/s^2$ और $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$ है:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}$
यहाँ $r = 8000\, km = 8 \times 10^6\, m$ दिया गया है:
$v_0 = \sqrt{\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{8 \times 10^6}}$
$v_0 = \sqrt{\frac{10 \times 40.96 \times 10^{12}}{8 \times 10^6}}$
$v_0 = \sqrt{51.2 \times 10^6} \approx 7155\, m/s$
$v_0 \approx 7.15\, km/s$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r \approx R$ होती है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$GM = gR^2$ को कक्षीय वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल कण को वृत्ताकार कक्षा में गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto \frac{1}{R}$ है,जिसे किसी नियतांक $K$ के लिए $F_g = \frac{K}{R}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$।
दोनों पक्षों से $R$ को हटाने पर,हमें $mv^2 = K$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$ और $K$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2$ नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि $v$ नियत है।
अतः,$v \propto R^0$।