Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दिया गया है कि $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{4}$ है,इसलिए समीकरण में $g' = \frac{g}{4}$ रखने पर:
$\frac{g}{4} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4}$
$\frac{d}{R} = \frac{3}{4}$
$d = \frac{3R}{4}$
अतः,$\frac{3R}{4}$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{4}$ हो जाता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$।
दिया गया है कि गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण सतह के मान का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए $g' = \frac{g}{n}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए हल करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$।
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$।
अतः,गहराई $d = R \left( \frac{n-1}{n} \right)$ है।

(A) अक्षांश $\lambda$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है।
वस्तु को भारहीन होने के लिए प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए,अर्थात $g' = 0$।
मान रखने पर: $0 = g - \omega^2 R \cos^2(60^{\circ})$।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,इसलिए $\cos^2(60^{\circ}) = 1/4$ होगा।
अतः,$g = \omega^2 R (1/4) \implies \omega^2 = 4g/R$।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = 2 \sqrt{g/R}$।
$g = 9.8 \, m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ का उपयोग करने पर:
$\omega = 2 \sqrt{9.8 / (6.4 \times 10^6)} \approx 2.47 \times 10^{-3} \, rad/s$।
अतः,सही विकल्प $2.5 \times 10^{-3} \, rad/s$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल $F$ को $F = mI$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $I$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता है।
स्थिति $1$: गोले के बाहर के बिंदुओं के लिए $(r > R)$:
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $I = \frac{GM}{r^2}$ होती है।
अतः,$F \propto \frac{1}{r^2}$।
इसलिए,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ जब $r_1 > R$ और $r_2 > R$ हो।
स्थिति $2$: गोले के अंदर के बिंदुओं के लिए $(r < R)$:
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $I = \frac{GMr}{R^3}$ होती है।
अतः,$F \propto r$।
इसलिए,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$ जब $r_1 < R$ और $r_2 < R$ हो।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(C) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत $h$ ऊँचाई से गिरने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पृथ्वी के लिए,$t_{earth} = \sqrt{\frac{2h}{g_{earth}}}$.
चंद्रमा के लिए,$t_{moon} = \sqrt{\frac{2h}{g_{moon}}}$.
यह दिया गया है कि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{moon} = \frac{g_{earth}}{6}$ है,इसलिए हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{t_{moon}}{t_{earth}} = \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{moon}}} = \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{earth}/6}} = \sqrt{6}$.
अतः,$t_{moon} = \sqrt{6}t$.

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
नए ग्रह के लिए,$M' = 2M$ और $R' = 2R$ है।
अतः,नए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$:
$g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{2}$।
लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g/2}} = \sqrt{2}$।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \ s$ होता है।
अतः,$T' = T \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2} \quad ... (i)$
जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दोनों पक्षों को पिंड के द्रव्यमान $m$ से गुणा करने पर,हमें $h$ ऊँचाई पर भार $W'$ प्राप्त होता है:
$W' = mg' = \frac{mg}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{W}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
प्रश्न के अनुसार,$W' = \frac{1}{16}W$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$1 + \frac{h}{R} = 4$
$\frac{h}{R} = 3$
$h = 3R$

(A) $M$ द्रव्यमान और $R = D/2$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के पास $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार है:
$F = \frac{GMm}{R^2} = \frac{GMm}{(D/2)^2}$
कण द्वारा अनुभव किया जाने वाला गुरुत्वीय त्वरण $g$,प्रति इकाई द्रव्यमान पर लगने वाला बल है:
$g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{(D/2)^2}$
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$g = \frac{GM}{D^2/4} = \frac{4GM}{D^2}$
अतः,गुरुत्वीय त्वरण $\frac{4GM}{D^2}$ है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$r \le R$ के लिए (पृथ्वी के अंदर):
$g = \frac{4}{3} \pi \rho G r$
यह दर्शाता है कि $g$,$r$ के सीधे आनुपातिक है $(g \propto r)$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$r > R$ के लिए (पृथ्वी के बाहर):
$g = \frac{GM}{r^2} = \frac{4}{3} \frac{\pi \rho R^3 G}{r^2}$
यह दर्शाता है कि $g$,दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है $(g \propto \frac{1}{r^2})$,जो एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है।
इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,$r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करते हुए घटता है। यह ग्राफ समाधान छवि में दिखाए गए वक्र से मेल खाता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय विभव $V_h = -\frac{GM}{R+h} = -5.4 \times 10^7\, J kg^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
उसी ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = 6.0\, m s^{-2}$ है।
हम इन दो समीकरणों को $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{R+h} \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{-V_h}{R+h}$ के रूप में संबंधित कर सकते हैं।
$(R+h)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R+h = \frac{-V_h}{g_h}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R+h = \frac{-(-5.4 \times 10^7)}{6.0} = \frac{5.4 \times 10^7}{6.0} = 0.9 \times 10^7 = 9.0 \times 10^6\, m$.
पृथ्वी की त्रिज्या को मीटर में बदलने पर: $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$.
अब,$h = (R+h) - R = 9.0 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 2.6 \times 10^6\, m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $h = 2600\, km$.

(A) सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{4}$,इसलिए $\frac{g}{4} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$2 = 1 + \frac{h}{R}$,जिससे $\frac{h}{R} = 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $h = R$।
सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{4}$,इसलिए $\frac{g}{4} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
$g$ से भाग देने पर,$\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$,जिससे $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अर्थात $d = \frac{3R}{4}$।
अब,अनुपात $\frac{h}{d} = \frac{R}{3R/4} = \frac{4}{3}$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_h = g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
प्रश्न के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण,$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण के बराबर है:
$g_h = g_d$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right) = g \left( 1 - \frac{d}{R_e} \right)$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने और सरल करने पर:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
चूँकि $h = 1\, km$ दिया गया है,इसलिए:
$d = 2 \times 1\, km = 2\, km$

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्यान दें कि सूर्य का द्रव्यमान पृथ्वी की सतह पर $g$ के मान को प्रभावित नहीं करता है।
यदि सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$,$10G$ हो जाता है,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा $g' = \frac{(10G)M}{R^2} = 10g$।
चूंकि $g' = 10g$ है,गुरुत्वीय त्वरण काफी बढ़ जाता है।
$1$. बारिश की बूंदें तेजी से गिरेंगी क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण अधिक है।
$2$. जमीन पर चलना अधिक कठिन हो जाएगा क्योंकि व्यक्ति का प्रभावी वजन बढ़ जाता है।
$3$. सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है। जैसे-जैसे $g$ बढ़ता है,$T$ कम हो जाएगा।
$4$. कथन 'पृथ्वी पर $g$ नहीं बदलेगा' गलत है क्योंकि $g$ दस गुना बढ़ जाता है।

(A) भार को गुरुत्वाकर्षण के कारण किसी वस्तु पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। यदि गुरुत्वाकर्षण बल गायब हो जाता है,तो $g$ का मान $0$ हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप भार $W$ शून्य हो जाता है। हालाँकि,द्रव्यमान किसी वस्तु का एक आंतरिक गुण है जो उसमें निहित पदार्थ की मात्रा को दर्शाता है और यह गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है।

(D) वैज्ञानिक $A$ के लिए,जो $d$ गहराई की खदान में जाता है,गुरुत्वीय त्वरण $g' = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $d$ बढ़ता है,$g'$ घटता है।
वैज्ञानिक $B$ के लिए,जो $h$ ऊँचाई पर गुब्बारे में जाता है,गुरुत्वीय त्वरण $g' = g(1 - 2h/R)$ (जहाँ $h \ll R$) द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,$g'$ घटता है।
चूँकि गहराई और ऊँचाई के साथ $g$ में परिवर्तन के गणितीय व्यंजक अलग-अलग हैं,इसलिए प्रत्येक वैज्ञानिक द्वारा मापा गया $g$ का मान अलग-अलग दरों पर घटता है।

(B) किसी खगोलीय पिंड की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है: $M_m = \frac{1}{81} M_e$ और $g_m = \frac{1}{6} g_e$.
अनुपात लेने पर: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{1}{6} = \frac{1}{81} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
अतः,$\left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2 = \frac{81}{6}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{81}{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,$R_e = \frac{9}{\sqrt{6}} R_m$.

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $g \propto \frac{M}{R^2}$।
प्रश्न के अनुसार,ग्रह का द्रव्यमान $M_p = \frac{M_e}{2}$ है और इसकी त्रिज्या $R_p = \frac{R_e}{2}$ है,जहाँ $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_p)$ और पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{g_p}{g_e} = \left( \frac{M_p}{M_e} \right) \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
अतः,$g_p = 2 \times g_e = 2 \times 9.8\, m/s^2 = 19.6\, m/s^2$।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है।
दूसरे ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 2M_e$ और त्रिज्या $R_p = 2R_e$ है।
इन मानों को $g_p$ के सूत्र में रखने पर:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$.
चूंकि $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है,इसलिए हमें $g_p = \frac{g_e}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8 \, m/s^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
दिया गया है: $g = 9.8 \, m/s^2$,$R = 6400 \, km$,और $h = 480 \, km$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$g' = 9.8 \times \left( \frac{6400}{6400 + 480} \right)^2$
$g' = 9.8 \times \left( \frac{6400}{6880} \right)^2$
$g' = 9.8 \times (0.9302)^2$
$g' = 9.8 \times 0.8653 \approx 8.48 \, m/s^2$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $8.4 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R + h}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $R + h = R\sqrt{2}$,अतः $h = R(\sqrt{2} - 1)$।
$R = 4000 \ mile$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ रखने पर,$h = 4000(1.414 - 1) = 4000(0.414) = 1656 \ mile$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $h \approx 1600 \ mile$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
$h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि $g_h = g_0$ का $25\%$,जिसका अर्थ है $g_h = \frac{1}{4} g_0$.
$g_h$ और $g_0$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{4} \frac{GM}{R^2}$.
दोनों पक्षों से $GM$ को हटाने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{4R^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{2R}$.
तिर्यक गुणा करने पर $2R = R + h$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $h = R$ मिलता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$.
चूंकि $G$,$\pi$ और $\frac{4}{3}$ स्थिरांक हैं,इसलिए $g \propto \rho R$ है।
$g$ को स्थिर रखने के लिए,गुणनफल $\rho R$ को स्थिर रहना चाहिए।
मान लीजिए प्रारंभिक घनत्व $\rho_1$ और त्रिज्या $R_1$ है। मान लीजिए अंतिम घनत्व $\rho_2$ और त्रिज्या $R_2 = 5R_1$ है।
अतः,$\rho_1 R_1 = \rho_2 R_2$ होगा।
$\rho_1 R_1 = \rho_2 (5R_1)$।
$\rho_2 = \frac{\rho_1}{5}$।
इस प्रकार,घनत्व को $1/5$ के गुणक से बदला जाना चाहिए।

(A) मान लीजिए पृथ्वी का घनत्व $d$ और त्रिज्या $R$ है।
तो ग्रह का घनत्व $8d$ और त्रिज्या $2R$ होगी।
पृथ्वी का द्रव्यमान $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$.
ग्रह का द्रव्यमान $M' = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 (8d) = \frac{4}{3} \pi (8R^3) (8d) = 64 M$.
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{(2R)^2} = \frac{G(64M)}{4R^2} = 16 \frac{GM}{R^2} = 16g$.
मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2}at^2$ है।
पृथ्वी पर: $S = \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
ग्रह पर: $S = \frac{1}{2}g't^2 = \frac{1}{2}(16g)t^2 = 8gt^2$.
$S$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{g}{2} = 8gt^2$.
$t^2 = \frac{1}{16} \implies t = \frac{1}{4} = 0.25 \, \text{sec}$.
नोट: वस्तु का द्रव्यमान मुक्त पतन के समय को प्रभावित नहीं करता है।

(A) दिया गया है: $g_{h} = 1\% \text{ of } g_{s} = 0.01 g_{s}$.
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_{h} = g_{s} \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$ है।
मान रखने पर: $0.01 g_{s} = g_{s} \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$.
दोनों पक्षों को $g_{s}$ से विभाजित करने पर: $0.01 = \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $0.1 = \frac{R}{R+h}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $0.1(R + h) = R$.
$0.1R + 0.1h = R$.
$0.1h = 0.9R$.
$h = \frac{0.9}{0.1} R = 9R$.
अतः,$9R$ की ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह पर इसके मान का $1\%$ हो जाता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
ऊँचाई $h_1 = 3R$ के लिए,त्वरण:
$g_1 = g \left( \frac{R}{R+3R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{4R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{g}{16}$
ऊँचाई $h_2 = 4R$ के लिए,त्वरण:
$g_2 = g \left( \frac{R}{R+4R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{g}{25}$
$3R$ ऊँचाई और $4R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{g/16}{g/25} = \frac{25}{16}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) ग्रह के अंदर केंद्र से $r_1$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए, गुरुत्वीय त्वरण $g_{in} = g(r_1/R)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g_{in} = g/4$, इसलिए $r_1/R = 1/4$, जिसका अर्थ है $r_1 = R/4$।
सतह से बिंदु $P$ की दूरी $d = R - r_1 = R - R/4 = 3R/4$ है।
ग्रह के बाहर केंद्र से $r_2$ दूरी पर स्थित बिंदु $Q$ के लिए, गुरुत्वीय त्वरण $g_{out} = g(R/r_2)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g_{out} = g/4$, इसलिए $(R/r_2)^2 = 1/4$, जिसका अर्थ है $R/r_2 = 1/2$, यानी $r_2 = 2R$।
सतह से बिंदु $Q$ की दूरी $h = r_2 - R = 2R - R = R$ है।
$P$ और $Q$ के बीच अधिकतम दूरी सतह से उनकी दूरियों का योग है: $d + h = 3R/4 + R = 7R/4$।

(D) पृथ्वी के बाहर केंद्र से $r$ दूरी पर $(r > R)$ स्थित बिंदु के लिए, गुरुत्वीय त्वरण $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $g_{out} \propto \frac{1}{r^2}$।
पृथ्वी के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर $(r < R)$ स्थित बिंदु के लिए, समान घनत्व $\rho$ मानते हुए, परिबद्ध द्रव्यमान $M' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g_{in} = \frac{GM'}{r^2} = \frac{G}{r^2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ होता है। अतः, $g_{in} \propto r$।
इसलिए, कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
द्रव्यमान $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g = \frac{G \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$.
इस समीकरण से,औसत घनत्व $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G$,$\pi$,और $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) स्थिरांक हैं,इसलिए $\rho \propto g$ होता है।
अतः,पृथ्वी का औसत घनत्व $g$ के समानुपाती होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{9}$,इसलिए:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 3R$.
अतः,$h = 3R - R = 2R$.

(C) $\rho$ घनत्व वाले एक समान गोले के केंद्र से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,$m$ द्रव्यमान के पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ केवल $y$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित द्रव्यमान $M'$ के कारण होता है।
$M' = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \left(\frac{4}{3} \pi y^3\right) \rho$.
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F = \frac{G M' m}{y^2}$ है।
$M'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{G m}{y^2} \left(\frac{4}{3} \pi y^3 \rho\right) = \frac{4}{3} \pi G \rho m y$.
चूंकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{4}{3} \pi G \rho y$ है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,और $R$ इसकी त्रिज्या है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों ग्रहों $A$ और $B$ का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है।
चूंकि $g$ केवल ग्रह के द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है,और दोनों ग्रहों $A$ और $B$ के लिए ये समान हैं,इसलिए दोनों ग्रहों की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण समान होना चाहिए।
अतः,ग्रह $A$ और ग्रह $B$ की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात है:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R^2}{GM/R^2} = 1$
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $p$ और त्रिज्या $r$ के पदों में $M = \text{Volume} \times \text{Density} = \frac{4}{3} \pi r^3 p$ होता है,इसलिए हम इस मान को $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$g = \frac{G}{r^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 p \right) = \frac{4}{3} \pi G r p$.
अतः,$g \propto r p$.
इसलिए,दोनों ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{r_1 p_1}{r_2 p_2}$ होगा।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM_e}{R_e^2} = 9.8 \ m/s^2$ है।
ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 3M_e$ और त्रिज्या $R_p = 3R_e$ है (चूंकि व्यास तीन गुना है,इसलिए त्रिज्या भी तीन गुना होगी)।
ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{GM_p}{R_p^2}$ है।
मान रखने पर: $g_p = \frac{G(3M_e)}{(3R_e)^2} = \frac{3GM_e}{9R_e^2} = \frac{1}{3} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$.
अतः,$g_p = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.3 \ m/s^2$.

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊँचाई $h$ पर,नया आवर्तकाल $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g^{\prime}}}$ है।
दिया गया है कि $T^{\prime} = \sqrt{2} T$,इसलिए $2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g^{\prime}}} = \sqrt{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{g^{\prime}} = \frac{2}{g}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g^{\prime} = \frac{g}{2}$.
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ होता है।
$g^{\prime}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(R+h)^2 = 2R^2$ मिलता है,इसलिए $R+h = \sqrt{2}R$.
अतः,$h = (\sqrt{2}-1)R \approx 0.414 R$.

(A) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
ऊँचाई $h$ पर भार में भिन्नात्मक कमी $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R} = 1\% = 0.01$ है।
इसलिए,$\frac{h}{R} = 0.005$ प्राप्त होता है।
गहराई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई $h$ पर भार में भिन्नात्मक कमी $\frac{\Delta g}{g} = \frac{h}{R} = 0.005 = 0.5\%$ है।
अतः,वस्तु का भार $0.5\%$ कम हो जाएगा।

(D) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - R \omega^2 \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
व्यक्ति के भारहीनता महसूस करने के लिए,प्रभावी गुरुत्वाकर्षण शून्य होना चाहिए,इसलिए $g' = 0$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$0 = g - R \omega^2 \cos^2 60^{\circ}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $0 = g - R \omega^2 (\frac{1}{2})^2$।
$g = R \omega^2 (\frac{1}{4}) \Rightarrow \omega^2 = \frac{4g}{R} \Rightarrow \omega = 2 \sqrt{\frac{g}{R}}$।
समय अवधि $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान रखने पर,$T = \frac{2 \pi}{2 \sqrt{g/R}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \times 2 = 4 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $M$ और $R$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = M - 0.10M = 0.9M = \frac{9}{10}M$ है।
त्रिज्या $R' = R + 0.20R = 1.2R = \frac{12}{10}R = \frac{6}{5}R$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{(R')^2}$ है।
मान रखने पर: $g' = \frac{G(\frac{9}{10}M)}{(\frac{6}{5}R)^2}$।
$g' = \frac{G \cdot \frac{9}{10}M}{\frac{36}{25}R^2} = \frac{9}{10} \cdot \frac{25}{36} \cdot \frac{GM}{R^2}$।
$g' = \frac{5}{8}g$।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी की सतह का $\frac{5}{8}$ गुना होगा।

(A) इलेक्ट्रॉनिक आवेश एक मौलिक भौतिक स्थिरांक है और यह इलेक्ट्रॉन का एक आंतरिक गुण है।
यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र या उस स्थान पर निर्भर नहीं करता है जहाँ माप किया जाता है।
मिलिकन का तेल बूंद प्रयोग प्राथमिक आवेश $e$ का मान निर्धारित करता है,जो लगभग $1.602 \times 10^{-19} \ C$ है।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण ($g_E$ या $g_M$) चाहे जो भी हो,इलेक्ट्रॉन का आवेश स्थिर रहता है,इसलिए चंद्रमा पर इलेक्ट्रॉनिक आवेश और पृथ्वी पर इलेक्ट्रॉनिक आवेश का अनुपात $1$ होगा।

(D) एकसमान घनत्व वाले गोले के लिए, केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R)$: $g_{in} = \frac{G M r}{R^3}$. अतः, $g \propto r$. यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r > R)$: $g_{out} = \frac{G M}{r^2}$. अतः, $g \propto \frac{1}{r^2}$. यह एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है।
इसलिए, ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है, $r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है, और फिर व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करते हुए घटता है। यह विकल्प $D$ में दिए गए चित्र के अनुरूप है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$g = \frac{GM_e}{R_e^2}$।
चंद्रमा के लिए,$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$।
दिया गया है: $M_e = 80 M_m$ (अर्थात $M_m = \frac{M_e}{80}$) और $R_e = 4 R_m$ (अर्थात $R_m = \frac{R_e}{4}$)।
इन मानों को $g_m$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g_m = \frac{G(M_e / 80)}{(R_e / 4)^2} = \frac{G M_e / 80}{R_e^2 / 16} = \frac{16}{80} \frac{G M_e}{R_e^2}$।
चूंकि $g = \frac{G M_e}{R_e^2}$,इसलिए हमें $g_m = \frac{1}{5} g = \frac{g}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) किसी वस्तु का द्रव्यमान पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और ब्रह्मांड में उसकी स्थिति की परवाह किए बिना यह नहीं बदलता है।
जैसे-जैसे पत्थर पृथ्वी के केंद्र की ओर बढ़ता है,उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उसका भार $(W = mg)$ कम हो जाता है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ शून्य हो जाता है,इसलिए भार और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता भी शून्य हो जाती है।
अतः,गति के दौरान केवल पत्थर का द्रव्यमान स्थिर रहता है।

(B) ग्रह के अंदर केंद्र से $r_1$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g(r_1) = g_0 \frac{r_1}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g(r_1) = \frac{g_0}{4}$,इसलिए $\frac{g_0}{4} = g_0 \frac{r_1}{R}$,जिससे $r_1 = \frac{R}{4}$ प्राप्त होता है।
ग्रह के बाहर केंद्र से $r_2$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,गुरुत्वीय त्वरण $g(r_2) = g_0 \frac{R^2}{r_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g(r_2) = \frac{g_0}{4}$,इसलिए $\frac{g_0}{4} = g_0 \frac{R^2}{r_2^2}$,जिसका अर्थ है $r_2^2 = 4R^2$,इसलिए $r_2 = 2R$।
अतः,$r_2 - r_1 = 2R - \frac{R}{4} = \frac{7R}{4}$।

(B) मान लीजिए कि क्षुद्रग्रह का मूल द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। सतह पर गुरुत्वीय क्षेत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक गोलाकार भाग निकाला जाता है,तो इसका द्रव्यमान $M'$ इस प्रकार होगा: $M' = \rho \cdot V' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = \frac{1}{8} \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{M}{8}$।
खुदाई के ठीक ऊपर सतह पर स्थित बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र,मूल गोले के कारण क्षेत्र और हटाए गए भाग (जिसे ऋणात्मक द्रव्यमान माना जाता है) के कारण क्षेत्र का सदिश योग है।
सतह पर मूल गोले के कारण क्षेत्र $g_1 = \frac{GM}{R^2}$ है (केंद्र की ओर)।
हटाए गए गोले के कारण उसकी अपनी सतह पर क्षेत्र $g_2 = \frac{GM'}{r^2} = \frac{G(M/8)}{(R/2)^2} = \frac{GM/8}{R^2/4} = \frac{GM}{2R^2}$ है (खुदाई के केंद्र से दूर,यानी बाहर की ओर)।
कुल गुरुत्वीय त्वरण $g_{net} = g_1 - g_2 = \frac{GM}{R^2} - \frac{GM}{2R^2} = \frac{GM}{2R^2}$ है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ प्राप्त होता है।
अतः,$g \propto \rho R$ है।
व्यास का अनुपात $D_1 : D_2 = 4 : 1$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $R_1 : R_2 = 4 : 1$ होगा।
घनत्व का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 2$ दिया गया है।
गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{4}{1}\right) = \frac{4}{2} = 2 : 1$ होगा।

(D) अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,जहाँ $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\phi = 90^\circ$ है,इसलिए $\cos 90^\circ = 0$ होता है। इस प्रकार,$g' = g$,जिसका अर्थ है कि $\omega$ में परिवर्तन के बावजूद ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण में कोई बदलाव नहीं होता है।
अन्य सभी अक्षांशों पर,जैसे-जैसे कोणीय गति $\omega$ बढ़ती है,पद $\omega^2 R \cos^2 \phi$ बढ़ता है।
चूंकि $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,इसलिए $\omega$ में वृद्धि से $g'$ में कमी आती है।
परिणामस्वरूप,ध्रुवों को छोड़कर पृथ्वी पर सभी बिंदुओं पर वस्तु का वजन $W = mg'$ कम हो जाएगा।

(C) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान (जहाँ $\theta = 0^\circ$) $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि भार $\frac{3}{4} W$ हो जाता है,इसलिए प्रभावी गुरुत्व $g' = \frac{3}{4} g$ होना चाहिए।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{3}{4} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{3}{4} g = \frac{1}{4} g$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{g}{4R}}$.
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$ और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{4 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{10}{25.6 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{2.56 \times 10^6}} = \frac{1}{1.6 \times 10^3} \ rad/s$.
$\omega = 0.625 \times 10^{-3} \ rad/s \approx 0.63 \times 10^{-3} \ rad/s$.

(A) गुरुत्वीय त्वरण $g$,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r$ के साथ इस प्रकार बदलता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R_E)$: गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM r}{R_E^3}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $g \propto r$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r \geq R_E)$: गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
इस प्रकार,ग्राफ $r = R_E$ तक एक रैखिक वृद्धि और $r > R_E$ के लिए एक गैर-रैखिक गिरावट दिखाता है,जिसे विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर (जहाँ $r < R$,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है) गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$
यहाँ,$\rho$ पृथ्वी का एक समान घनत्व है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,$\rho$ और $G$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:
$g' \propto r$
अतः,पृथ्वी के भीतर गुरुत्वीय त्वरण केंद्र से दूरी $r$ के सीधे समानुपाती होता है।

(D) ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_p = 3M_e$ और $D_p = 3D_e$,जिसका अर्थ है $R_p = 3R_e$।
ग्रह और पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण का अनुपात $\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2 = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$।
अतः,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $T_e = 2 \ s$,इसलिए $T_p = 2\sqrt{3} \ s$।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8\, m\,s^{-2}$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ होता है।
हमें $g' = 4.9\, m\,s^{-2}$ दिया गया है,जो कि $g/2$ है।
अतः,$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{2} \frac{GM}{R^2}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम और वर्गमूल लेने पर: $\frac{R+h}{R} = \sqrt{2}$.
$1 + \frac{h}{R} = 1.414$.
$\frac{h}{R} = 0.414$.
$h = 0.414 \times R = 0.414 \times 6.4 \times 10^6\, m$.
$h \approx 2.65 \times 10^6\, m$.