Escape Velocity and Escape Energy Questions in Hindi

(A) पृथ्वी गैसों (हवा) के वायुमंडल से घिरी हुई है।
इसका कारण यह है कि पृथ्वी के वायुमंडल में,अधिकतम संभव तापमान पर भी सबसे हल्के अणुओं का औसत तापीय वेग,पलायन वेग (escape velocity) की तुलना में कम होता है,जो कि गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है।
पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{2gR_{e}}$ है।
चूंकि गैस के अणुओं का तापीय वेग पलायन वेग से बहुत कम होता है,इसलिए अणु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर नहीं निकल सकते हैं। अतः,पृथ्वी के चारों ओर वायुमंडल मौजूद है।

(A) पृथ्वी और चंद्रमा के केंद्रों के बीच के मध्य बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = -\frac{GM_1}{d/2} - \frac{GM_2}{d/2} = -\frac{2G}{d}(M_1 + M_2)$
इस बिंदु पर $m$ द्रव्यमान के कण की स्थितिज ऊर्जा $PE$ है:
$PE = m \times V = -\frac{2G m}{d}(M_1 + M_2)$
अनंत तक पलायन करने के लिए,कण की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। इसलिए,प्रदान की गई गतिज ऊर्जा $KE$ स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$KE = |PE|$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2G m}{d}(M_1 + M_2)$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{4G}{d}(M_1 + M_2)$
$v = 2\sqrt{\frac{G}{d}(M_1 + M_2)}$

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$.
$V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का उपयोग करने पर,हमें $GM = \frac{V_e^2 R}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v^2}{2} - \frac{V_e^2}{2} = - \frac{V_e^2 R}{2(R+h)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} \left(1 - \frac{v^2}{V_e^2}\right)$.
दिया गया है $v = 10 \ km/s$ और $V_e = 11.2 \ km/s$:
$h = \frac{R}{\left(\frac{V_e^2}{v^2} - 1\right)} = \frac{R}{\left(\left(\frac{11.2}{10}\right)^2 - 1\right)} = \frac{R}{(1.2544 - 1)} = \frac{R}{0.2544} \approx 3.93R$.
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई लगभग $4R$ है।

(A) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिया गया है कि $v_e = 100\, m/s$,इसलिए $\sqrt{\frac{2GM}{R}} = 100$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{2GM}{R} = 10000$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{GM}{R} = 5000$ है।
ग्रह की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$m = 1\, kg$ और $\frac{GM}{R} = 5000$ के मान रखने पर,हमें $U = -(5000) \times 1 = -5000\, J$ प्राप्त होता है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$. अतः,$v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग शून्य हो जाता है,इसलिए $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3(R+h) = 4R \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(C) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है,जो पलायन वेग पर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ = $\frac{1}{2}mv_e^2$.
$v_e$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gR})^2$.
$K = \frac{1}{2}m(2gR)$.
$K = mgR$.

(B) अनंत से पृथ्वी की सतह पर गिरने वाले कण का वेग पृथ्वी के पलायन वेग (escape velocity) के बराबर होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर कुल ऊर्जा शून्य है (गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा = $0 + 0 = 0$)।
पृथ्वी की सतह पर,कुल ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0$ होती है।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इसका मान रखने पर,$v = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2gR}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी ग्रह की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग $(v_e)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,
$R$ ग्रह की त्रिज्या है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है।
यह पलायन करने वाले कण के द्रव्यमान या ग्रह के तापमान पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही कारक $I$ और $IV$ हैं।

(B) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ है,हम $M$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho}$।
यह दिया गया है कि औसत घनत्व $\rho$ स्थिर है,इसलिए $v \propto R$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी $(e)$ और ग्रह $(p)$ के लिए,$\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{R_p}$ होता है।
चूंकि $R_p = 2R_e$ दिया गया है,हमें $\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{2R_e} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_e = \frac{v_p}{2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग $v_e$ वह न्यूनतम वेग है जो वस्तु को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक होता है।
इसे वस्तु की गतिज ऊर्जा को पृथ्वी की सतह पर उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर रखकर प्राप्त किया जाता है: $\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GM_em}{R_e}$.
$v_e$ के लिए हल करने पर,हमें $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि वस्तु का द्रव्यमान $m$ समीकरण से कट जाता है,जिसका अर्थ है कि पलायन वेग वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
दिया गया है,ग्रह के लिए: $g_p = 2g_e$ और $R_p = 2R_e$ (चूँकि व्यास दोगुना है,इसलिए त्रिज्या भी दोगुनी होगी)।
पलायन वेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
अतः,$v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \ km/s = 22.4 \ km/s$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है,इसलिए हम $M$ को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho} \cdot R$.
यह दिया गया है कि औसत घनत्व $\rho$ स्थिर है,इसलिए $v_e \propto R$ प्राप्त होता है।
यदि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से दोगुनी $(R' = 2R)$ है,तो नया पलायन वेग $v_e'$ होगा:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \, km/s = 22 \, km/s$.

(B) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए,पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
$K.E. + P.E. = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r}$
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{r^2}$ है,इसलिए हम $GM = gr^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2(gr^2)}{r}}$
$v = \sqrt{2gr}$

(C) पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{2gR}$ है।
यहाँ गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \ m/s^2$ (अनुमानित $10 \ m/s^2$) और पृथ्वी की त्रिज्या $R \approx 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ है।
मान रखने पर:
$V_{e} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 11.2 \times 10^3 \ m/s$.
अतः,पलायन वेग $11.2 \ km/s$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से किसी पिंड के पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल उस ग्रह (या खगोलीय पिंड) के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है जिससे वस्तु को प्रक्षेपित किया जा रहा है।
यह प्रक्षेपित किए जाने वाले पिंड के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,पलायन वेग $m^0$ के समानुपाती होता है।

(B) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी $r$ पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $v_e = \sqrt{2} \, v_0$ प्राप्त होता है।
अतः,चंद्रमा के उपग्रह न रहने और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए,इसके कक्षीय वेग को $\sqrt{2}$ के गुणक से बढ़ाना होगा।

(A) पलायन वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = 0$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ इसके औसत घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
$M$ के इस मान को पलायन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi R^2 \rho} = R\sqrt{\frac{8\pi}{3}G\rho}$.

(B) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,यदि त्रिज्या $R$ स्थिर रहती है,तो $v_e \propto \sqrt{M}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ है और नया द्रव्यमान $M' = 4M$ है।
नया पलायन वेग $v_e'$ होगा: $v_e' = \sqrt{\frac{2G(4M)}{R}} = 2 \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 2v_e$।
अतः,पलायन वेग मूल मान का $2$ गुना हो जाएगा।

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि $V_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ और त्रिज्या $R_e$ है,और ग्रह का द्रव्यमान $M_p$ और त्रिज्या $R_p$ है।
दिया गया है: $M_p = 3M_e$ और $R_p = 3R_e$.
ग्रह का पलायन वेग $V_p$ इस प्रकार होगा:
$V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2G(3M_e)}{3R_e}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = V_e$.
अतः,पलायन वेग समान रहेगा।

(C) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $PE = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं।
इसे स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $PE = -\frac{(gR^2)m}{R} = -mgR$.
यहाँ $m = 500 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,और $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ है:
$PE = -(500) \times (9.8) \times (6.4 \times 10^6) = -3.136 \times 10^{10} \, J$.
पिंड को पलायन कराने के लिए,हमें उसकी स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी,जो $3.1 \times 10^{10} \, J$ है।

(D) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिया गया है कि पृथ्वी का पलायन वेग $v_e = 11.2 \ km/s$ है।
दूसरे ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 100 M_e$ और त्रिज्या $R_p = 4 R_e$ है।
पलायन वेगों का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{100 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{4 R_e}} = \sqrt{100 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$v_p = 5 \times v_e = 5 \times 11.2 \ km/s = 56.0 \ km/s$।

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ और त्रिज्या $R_e$ है,और पृथ्वी का पलायन वेग $V_e$ है।
दिए गए ग्रह के लिए,$M_p = 6M_e$ और $R_p = 2R_e$ है।
ग्रह का पलायन वेग $V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात लेने पर: $\frac{V_p}{V_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}} = \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$।
अतः,$V_p = \sqrt{3} \, V_e$।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
दिया गया है,$g_p = 9g_e$ और $R_p = 4R_e$,जहाँ $g_p$ और $R_p$ ग्रह का गुरुत्वीय त्वरण और त्रिज्या हैं,और $g_e$ और $R_e$ पृथ्वी के हैं।
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$.
चूँकि पृथ्वी पर पलायन वेग लगभग $v_e = 11.2 \ km/s$ है,इसलिए ग्रह पर पलायन वेग $v_p = 6 \times 11.2 \ km/s = 67.2 \ km/s$ होगा।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_p = 8M_e$ और $R_p = 2R_e$.
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{8 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है। प्रारंभिक पलायन वेग $v_{e1} = 11.2 \, km/s$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया द्रव्यमान $M' = 2M$ और नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ है।
नया पलायन वेग $v_{e2}$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$v_{e2} = \sqrt{\frac{2G(2M)}{R/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2GM}{R}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 2 \cdot v_{e1}$।
$v_{e1}$ का मान रखने पर:
$v_{e2} = 2 \cdot 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
चंद्रमा के लिए,द्रव्यमान $M_m = \frac{M_e}{81}$ और त्रिज्या $R_m = \frac{R_e}{4}$ है।
चंद्रमा पर पलायन वेग $v_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/81)}{(R_e/4)}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e} \times \frac{4}{81}}$.
मान रखने पर,$v_m = \sqrt{\frac{4}{81}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \frac{2}{9} \times 11.2 \, km/s$.
$v_m = 0.222 \times 11.2 \approx 2.488 \, km/s$,जो लगभग $2.5 \, km/s$ है।

(C) घूर्णन करते तारे की भूमध्य रेखा से पदार्थ के पलायन करने के लिए,भूमध्य रेखा पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अपकेंद्री बल उस पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
भूमध्य रेखा पर,कण के अलग होने की स्थिति के लिए शर्त $m\omega^2 R = \frac{GMm}{R^2}$ है।
यहाँ,पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का उपयोग करते हुए,कोणीय वेग $\omega = \frac{v_e}{R}$ होता है।
अतः,$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2GM}{R^3}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) किसी वस्तु को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग को पलायन वेग $(v_e)$ कहा जाता है।
पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है: $g = 9.8 \ m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \ m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6}$
$v_e = \sqrt{19.6 \times 6.4 \times 10^6}$
$v_e = \sqrt{125.44 \times 10^6}$
$v_e = 11.2 \times 10^3 \ m/s$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_e$ और $R_e$ है,और ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_p$ और $R_p$ है।
दिया गया है: $M_p = 1000 M_e$ और $R_p = 10 R_e$.
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{1000 \times \frac{1}{10}} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,$v_p = 10 \times v_e = 10 \times 11.2 \, km/s = 112 \, km/s$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
यदि ग्रह एक समान घनत्व $\rho$ वाला गोला है,तो इसके द्रव्यमान $M$ को इसके आयतन और घनत्व के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) \rho$
$M$ का मान पलायन वेग के सूत्र में रखने पर:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)}$
समीकरण को सरल करने पर:
$v_e = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho}$
$v_e = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$
चूंकि $G$,$\pi$ और अन्य कारक स्थिरांक हैं,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v_e \propto R \sqrt{\rho}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से $h$ ऊँचाई पर किसी पिंड का पलायन वेग $v_e$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग ग्रह के केंद्र से दूरी $(R+h)$ पर निर्भर करता है।
अतः,पलायन वेग उस ऊँचाई $h$ पर निर्भर करता है जहाँ से पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
मान लीजिए $g_e$ और $R_e$ क्रमशः पृथ्वी का गुरुत्वीय त्वरण और त्रिज्या हैं।
ग्रह के लिए,हमें दिया गया है $g_p = 2g_e$ और $R_p = 2R_e$।
ग्रह से पलायन वेग $v_p = \sqrt{2g_p R_p}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$v_p = \sqrt{2(2g_e)(2R_e)} = \sqrt{4(2g_e R_e)} = 2\sqrt{2g_e R_e}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v_e = \sqrt{2g_e R_e}$,इसलिए $v_p = 2v_e$ होगा।

(A) पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल उस ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है जहाँ से वस्तु को प्रक्षेपित किया जाता है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु (रॉकेट) के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) किसी ग्रह की सतह से पलायन वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = k_1$ है और गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = k_2$ है।
इसलिए,पलायन वेग $v_A$ और $v_B$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2g_A R_A}}{\sqrt{2g_B R_B}} = \sqrt{\frac{g_A}{g_B} \times \frac{R_A}{R_B}}$
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{k_2 \times k_1} = \sqrt{k_1 k_2}$.

(D) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिए गए मान $M = 6 \times 10^{24} \ kg$,$v_e = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$ हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{2GM}{v_e^2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^8)^2}$.
$R = \frac{80.04 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}} = 8.893 \times 10^{-3} \ m \approx 9 \times 10^{-3} \ m$.
चूंकि $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $9 \ mm$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
काल्पनिक ग्रह के लिए,$M_p = 2M_e$ और $R_p = 3R_e$.
अतः,ग्रह पर पलायन वेग $v_p$ होगा:
$v_p = \sqrt{\frac{2G(2M_e)}{3R_e}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
समीकरण में $v_e$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v_p = \sqrt{\frac{2}{3}} v_e$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान $M_p = M_e$ (पृथ्वी का द्रव्यमान) है और त्रिज्या $R_p = \frac{R_e}{4}$ (जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है) है।
ग्रह के लिए पलायन वेग $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e/4}}$ होगा।
इसे सरल करने पर $v_p = \sqrt{4 \times \frac{2GM_e}{R_e}} = 2 \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पृथ्वी का पलायन वेग $v_e = 11.2 \ km/s$ है,इसलिए ग्रह के लिए पलायन वेग $v_p = 2 \times 11.2 \ km/s = 22.4 \ km/s$ होगा।

(B) पलायन वेग वह न्यूनतम प्रारंभिक वेग है जो किसी वस्तु को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने और कभी वापस न आने के लिए आवश्यक होता है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु को पृथ्वी की सतह (द्रव्यमान $M_e$,त्रिज्या $R_e$) से पलायन कराने के लिए,उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_e m}{R_e}$
$v_e$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2 G M_e}{R_e}}$
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग $v_e$ केवल गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$,पृथ्वी के द्रव्यमान $M_e$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R_e$ पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेप्य के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ है।
मान लीजिए कि $g_e$ और $R_e$ पृथ्वी का गुरुत्वीय त्वरण और त्रिज्या हैं,और $g_p$ और $R_p$ ग्रह का गुरुत्वीय त्वरण और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $R_p = \frac{1}{4} R_e$ और $g_p = 2g_e$.
ग्रह पर पलायन वेग $(v_p)$ और पृथ्वी पर पलायन वेग $(v_e)$ का अनुपात है:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{2 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,ग्रह पर पलायन वेग पृथ्वी के पलायन वेग का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होगा।

(B) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho}$.
अतः,$v \propto R\sqrt{\rho}$.
ग्रह के लिए दिया गया है: $R_p = 4R_e$ और $\rho_p = 9\rho_e$.
इसलिए,पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{v_p}{v_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \sqrt{\frac{\rho_p}{\rho_e}} = 4 \times \sqrt{9} = 4 \times 3 = 12$.
अतः,$v_p = 12v_e$.

(D) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या (या प्रक्षेपण बिंदु पर गुरुत्वीय विभव) पर निर्भर करता है।
यह उस दिशा या कोण पर निर्भर नहीं करता है जिस पर पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग वही रहेगा,जो कि $11.2 \ km/s$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से पलायन करने के लिए,किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा सतह से अनंत तक जाने के लिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होनी चाहिए।
ऊर्जा संतुलन समीकरण इस प्रकार है: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
हम जानते हैं कि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ को $v$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2(gR^2)}{R}} = \sqrt{2gR}$.
अतः,सही समीकरण $V = \sqrt{2gR}$ है।

(B) पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र से स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल उस ग्रह (या खगोलीय पिंड) के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है जहाँ से वस्तु को प्रक्षेपित किया जा रहा है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,$100\, kg$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए भी पलायन वेग वही रहेगा जो $1\, kg$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए है,अर्थात $11.2\, km/s$।

(B) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के समान है $(g_p = g_e)$ और ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुना है $(R_p = 4R_e)$।
पलायन वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{1 \times 4} = \sqrt{4} = 2$
अतः,ग्रह पर पलायन वेग $v_p = 2v_e$ होगा।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए $g$ का मान समान है,इसलिए $g_p = g_e$ है।
ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुना है,इसलिए $R_p = 4R_e$ है।
पलायन वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \times \frac{R_p}{R_e}} = \sqrt{1 \times 4} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,ग्रह पर पलायन वेग $v_p = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \; km/s = 22.4 \; km/s$ होगा।

(B) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि नई त्रिज्या $R' = 2R$ और नया गुरुत्वीय त्वरण $g' = 2g$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,नया पलायन वेग $v_e'$ होगा:
$v_e' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2(2g)(2R)} = \sqrt{4(2gR)} = 2\sqrt{2gR}$.
चूँकि प्रारंभिक पलायन वेग $v_e = 11.2 \, km/s$ है,इसलिए नया पलायन वेग $v_e' = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$ होगा।

(C) त्रिज्या $R$ और औसत घनत्व $\rho$ के पदों में पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi \rho G}$ है।
ग्रह के लिए दिया गया है: $R_p = 2R_e$ और $\rho_p = \frac{1}{4} \rho_e$.
ग्रह से पलायन वेग $(v_p)$ और पृथ्वी से पलायन वेग $(v_e)$ का अनुपात है:
$\frac{v_p}{v_e} = \frac{R_p}{R_e} \sqrt{\frac{\rho_p}{\rho_e}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
अतः,पृथ्वी से पलायन वेग और ग्रह से पलायन वेग का अनुपात $1:1$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर पिंड की कुल ऊर्जा और अंतरग्रहीय अंतरिक्ष में उसकी कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए $v$ प्रक्षेपण वेग है और $v'$ अंतरग्रहीय अंतरिक्ष में वेग है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{es}^2$.
अंतरग्रहीय अंतरिक्ष में कुल ऊर्जा = $\frac{1}{2}m(v')^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{es}^2$.
$v' = \sqrt{v^2 - v_{es}^2}$.
यहाँ $v = 2v_{es}$ दिया गया है,इसलिए $v' = \sqrt{(2v_{es})^2 - v_{es}^2} = \sqrt{4v_{es}^2 - v_{es}^2} = \sqrt{3v_{es}^2}$.
अतः,$v' = \sqrt{3}v_{es}$.