Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(C) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_e$ और $R_e$ हैं,और ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_p$ और $R_p$ हैं।
दिया गया है: $M_e = 80 M_p$ और $D_e = 2 D_p$,जिसका अर्थ है कि $R_e = 2 R_p$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_p)$ और पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का अनुपात:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{g_p}{9.8} = \left( \frac{1}{80} \right) \times (2)^2 = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$
$g_p = \frac{9.8}{20} = 0.49 \ m/s^2$.

(A) भूमध्य रेखा पर किसी वस्तु के भारहीन प्रतीत होने के लिए प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण शून्य होना चाहिए।
भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्व $g' = g - R\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
भारहीनता के लिए,$g' = 0$,जिसका अर्थ है $g = R\omega^2$।
अतः,कोणीय चाल $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ होगी।
यहाँ $g = 10\,m/s^2$ और $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ दिया गया है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{0.64 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} = 0.00125\,rad/s$।
इस प्रकार,$\omega = 1.25 \times 10^{-3}\,rad/s$।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
हमें दिया गया है कि $g' = \frac{g}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{2} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R+h = \sqrt{2} R$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $R+h = 1.414 R$.
यहाँ,$R+h$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी को दर्शाता है। अतः,अभीष्ट दूरी $1.414 R$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,इसलिए हम इसे $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
यह दर्शाता है कि $g \propto \rho R$.
मान लीजिए प्रारंभिक घनत्व $\rho_1$ और त्रिज्या $R_1$ है। अतः $g_1 \propto \rho_1 R_1$.
नया घनत्व $\rho_2 = 4\rho_1$ और नई त्रिज्या $R_2 = \frac{R_1}{2}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g_2$ का नया मान $\rho_2 R_2 = (4\rho_1) \times (\frac{R_1}{2}) = 2 \rho_1 R_1$ के समानुपाती है।
इसलिए,$g_2 = 2 g_1$.
चूंकि वजन $W = mg$ होता है,यदि $g$ दोगुना हो जाता है,तो वजन भी दोगुना हो जाएगा।

(C) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ कूदने वाले व्यक्ति द्वारा प्राप्त ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि प्रारंभिक वेग $u$ स्थिर है,$H \propto \frac{1}{g}$,जिसका अर्थ है $\frac{H_B}{H_A} = \frac{g_A}{g_B}$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $g \propto \rho R$।
दिया गया है कि $\rho_B = \frac{1}{4} \rho_A$ और $R_B = \frac{1}{3} R_A$,इसलिए $\frac{g_B}{g_A} = \frac{\rho_B R_B}{\rho_A R_A} = \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{12}$।
अतः,$\frac{H_B}{H_A} = \frac{g_A}{g_B} = 12$।
इस प्रकार,$H_B = 12 \times H_A = 12 \times 1.5 \, m = 18 \, m$।

(B) किसी वस्तु का भार $W = m \times g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए भार $W$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के सीधे आनुपातिक होता है।
पृथ्वी की सतह पर $g$ का मान अक्षांश के साथ बदलता है। यह $g = g_0 - \omega^2 R \cos^2 \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ अक्षांश है।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos^2 \phi$ अधिकतम होता है,जिससे $g$ न्यूनतम हो जाता है।
ध्रुवों पर,$\phi = 90^\circ$ होता है,इसलिए $\cos^2 \phi = 0$ होता है,जिससे $g$ अधिकतम हो जाता है।
अतः,किसी वस्तु का भार पृथ्वी के ध्रुवों पर अधिकतम होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = G \frac{M}{(R + h)^2}$
चूंकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को $g'$ के समीकरण में रखने पर:
$g' = \frac{gR^2}{(R + h)^2}$
अंश और हर को $R^2$ से विभाजित करने पर:
$g' = \frac{g}{(\frac{R+h}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि ग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $d$ और आयतन $V$ के पदों में $M = d \times V = d \times \frac{4}{3}\pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए हम इस मान को $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।
$g = \frac{G(d \times \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $g = \frac{4}{3}\pi G d R$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,और $G$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $g \propto dR$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर (जहाँ $r < R$) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$ है,जहाँ $\rho$ पृथ्वी का घनत्व है और $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,$\rho$ और $G$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम कह सकते हैं कि $g' \propto r$ है।
अतः,पृथ्वी के भीतर गुरुत्वीय त्वरण केंद्र से दूरी $r$ के सीधे समानुपाती होता है।

(C) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है:
$g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$
दिया गया है कि ऊँचाई $h = R/2$,इसे सूत्र में रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$
$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg'$ होगा।
$g'$ का मान रखने पर,हमें $W' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9}W$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\frac{4}{3}\pi R^3) \rho$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि जब त्रिज्या $R$ स्थिर रहती है तो $g \propto \rho$ होता है।
यदि घनत्व $\rho$ को दोगुना कर दिया जाए $(\rho' = 2\rho)$,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा:
$g' = 2 \times g = 2 \times 9.8\,m/s^2 = 19.6\,m/s^2$.

(D) पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए भूमध्य रेखा पर त्रिज्या $(R_e)$ ध्रुवों की त्रिज्या $(R_p)$ से अधिक होती है।
चूंकि $g \propto \frac{1}{R^2}$ है,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण गुरुत्वीय त्वरण का मान अधिक होता है $(g_p > g_e)$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है: $g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$d$ गहराई है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गहराई $d$ त्रिज्या $R$ के बराबर होती है (अर्थात $d = R$)।
सूत्र में $d = R$ रखने पर: $g' = g \left(1 - \frac{R}{R}\right) = g(1 - 1) = g(0) = 0$.
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $0 \ m/s^2$ होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह $(r = R)$ पर $1 \,kg$ द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण खिंचाव $10 \,N$ दिया गया है,इसलिए $g = 10 \,m/s^2$ है।
$r = 3R/2$ की कक्षीय त्रिज्या पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{r} \right)^2$ होता है।
$r = 3R/2$ प्रतिस्थापित करने पर,$g' = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ प्राप्त होता है।
$m = 200 \,kg$ द्रव्यमान वाले उपग्रह पर गुरुत्वाकर्षण खिंचाव $F' = m \times g' = 200 \times \frac{4}{9} \times 10$ होगा।
$F' = \frac{8000}{9} \approx 888.89 \,N$.
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $889 \,N$ है।

(A) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ है,इसलिए $g = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $g \propto \rho R$,अतः $\frac{g_e}{g_m} = \frac{\rho_e}{\rho_m} \times \frac{R_e}{R_m}$.
दिया गया है कि $\frac{g_e}{g_m} = 6$ और $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,इन मानों को रखने पर:
$6 = \frac{5}{3} \times \frac{R_e}{R_m}$.
$R_m$ के लिए हल करने पर,हमें $R_m = \frac{5}{3 \times 6} R_e = \frac{5}{18} R_e$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
यहाँ,सतह से दूरी $h = 2R$ दी गई है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{3} \right)^2$
$g' = \frac{g}{9}$.

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = \frac{g}{4}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{4} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,गहराई $d = \frac{3R}{4}$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
भार (या गुरुत्व) में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta g}{g} \times 100\% = 1\%$,इसलिए $\frac{2h}{R} = 0.01$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{R} = 0.005$ है।
खदान में $d = h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है।
गहराई $d$ पर भार में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta g}{g} = \frac{d}{R}$ है।
चूँकि $d = h$ है,इसलिए भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{h}{R} = 0.005$ होगा।
प्रतिशत में बदलने पर: $0.005 \times 100\% = 0.5\%$।
अतः,भार में $0.5\%$ की कमी होती है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(g) = \ln(G) + \ln(M) - 2\ln(R)$.
आंशिक परिवर्तन ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dg}{g} = \frac{dM}{M} - 2\frac{dR}{R}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान $M$ में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{dM}{M} = -0.01$.
दिया गया है कि त्रिज्या $R$ में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{dR}{R} = -0.01$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{dg}{g} = (-0.01) - 2(-0.01) = -0.01 + 0.02 = +0.01$.
यह $g$ के मान में $1\%$ की वृद्धि को दर्शाता है।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{4}{3}\pi \rho GR$ है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g_p = g_e$ और $\rho_p = 2\rho_e$,इसलिए:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_e R_e} = 1$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{2\rho_e R_p}{\rho_e R_e}$
$1 = 2 \frac{R_p}{R_e}$
$R_p = \frac{R_e}{2} = \frac{R}{2}$
अतः,ग्रह की त्रिज्या $\frac{R}{2}$ है।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए हम इसे $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi \rho R$.
अतः,दो ग्रहों के लिए गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \times \frac{R_1}{R_2}$ होगा।
दिए गए अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{2}$ हैं,इन मानों को रखने पर:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$.
इस प्रकार,दोनों ग्रहों की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $1$ है।

(A) किसी वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
ध्रुवों पर,$g$ का मान अधिकतम $(g \approx 9.83 \ m/s^2)$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप दिए गए द्रव्यमान के लिए भार अधिकतम प्राप्त होता है।
भूमध्य रेखा पर,$g$ न्यूनतम $(g \approx 9.78 \ m/s^2)$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप भार न्यूनतम प्राप्त होता है।
उपग्रह में,वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,इसलिए $g_{eff} = 0$ होता है और भार $0$ होता है।
अतः,एक व्यक्ति ध्रुवों पर सबसे अधिक भार $(kg-wt)$ मापेगा।

(D) माना पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km$ है।
ऊंचाई $h = 1600 \, km$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h = 1600 \, km$ और $R = 6400 \, km$ रखने पर,हमें $h = R/4$ प्राप्त होता है।
$g_h = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} g$.
गहराई $d$ पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_d = \frac{1}{2} g_h$.
$g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{16}{25} g \right) = \frac{8}{25} g$.
$1 - \frac{d}{R} = \frac{8}{25} \Rightarrow \frac{d}{R} = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$.
$d = \frac{17}{25} \times 6400 \, km = 17 \times 256 \, km = 4352 \, km = 4.352 \times 10^6 \, m$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ होता है।
भूमध्य रेखा पर वस्तु को भारहीन प्रतीत होने के लिए प्रभावी गुरुत्व $g'$ शून्य होना चाहिए।
भूमध्य रेखा पर अक्षांश $\lambda = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos \lambda = 1$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0 = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर,$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ मिलता है।
दिया गया है $g = 10\,m/s^2$ और $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800}\,rad/s$।

(B) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 500 \, N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूँकि वस्तु सतह से आधी गहराई पर है,इसलिए $d = \frac{R}{2}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$।
अतः,$d$ गहराई पर भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
$mg = 500 \, N$ रखने पर:
$W' = \frac{500}{2} = 250 \, N$।

(A) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$R$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $g \propto R$ होगा।
मान लीजिए कि पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है और ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ है।
दिया गया है कि $R' = 0.2 R$,इसलिए अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{g'}{g} = \frac{R'}{R} = 0.2$.
अतः,$g' = 0.2 g$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार $F = \frac{G M m}{R^2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = m g$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $m g = \frac{G M m}{R^2}$।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $g = \frac{G M}{R^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G$ और $M$ पृथ्वी के लिए नियतांक हैं,इसलिए $g$ वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है (जिसे $m^0$ के रूप में लिखा जा सकता है)।
अतः,$g$ का मान $m^0$ के समानुपाती है।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चंद्रमा $(m)$ और पृथ्वी $(e)$ की तुलना करने पर:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
दिया गया है कि $M_m = \frac{1}{9} M_e$ और $R_m = \frac{1}{2} R_e$,इसलिए:
$\frac{g_m}{g_e} = \left( \frac{1}{9} \right) \times \left( \frac{R_e}{1/2 R_e} \right)^2 = \frac{1}{9} \times (2)^2 = \frac{4}{9}$.
अतः,$g_m = \frac{4}{9} g_e$.
चंद्रमा पर पिंड का भार $W_m = m \cdot g_m = m \cdot \left( \frac{4}{9} g_e \right) = \frac{4}{9} W_e$ होगा।
चूंकि $W_e = 90 \ kgf$ दिया गया है,इसलिए $W_m = \frac{4}{9} \times 90 = 40 \ kgf$ प्राप्त होता है।

(A) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\lambda = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होता है।
अतः,भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ होता है।
यहाँ,$\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यदि पृथ्वी की घूर्णन गति (कोणीय वेग $\omega$) बढ़ती है,तो $\omega^2 R$ का मान बढ़ जाता है।
चूंकि $g'$ की गणना इस मान को स्थिर $g$ से घटाकर की जाती है,इसलिए $\omega$ में वृद्धि होने पर $g'$ का मान कम हो जाता है।
चूंकि किसी पिंड का भार $W = mg'$ होता है,इसलिए $g'$ में कमी आने के कारण भूमध्य रेखा पर पिंड का भार घट जाएगा।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
मान लीजिए कि दो ग्रहों के द्रव्यमान $M_1$ और $M_2$ हैं,और उनकी त्रिज्याएँ $R_1$ और $R_2$ हैं।
दिया गया है: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{M_1}{M_2} \times (\frac{R_2}{R_1})^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{g_1}{g_2} = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{1})^2 = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र निम्नलिखित है:
$g' = g - R{\omega ^2}{\cos ^2}\lambda$
जहाँ $g$ भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण है (अपकेंद्री प्रभाव को अनदेखा करते हुए) या जहाँ $\lambda = 0^\circ$ है।
अक्षांश $\lambda = 30^\circ$ पर:
$g_{30} = g - R{\omega ^2}{\cos ^2}30^\circ$
हम जानते हैं कि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$g_{30} = g - R{\omega ^2} \left( \frac{3}{4} \right)$
अतः,अंतर:
$g - g_{30} = \frac{3}{4}{\omega ^2}R$.

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $G$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{g}{G} = \frac{M}{R^2}$
अतः,सही अनुपात $\frac{M}{R^2}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ इस प्रकार है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto r$.
$2$. गोले के बाहर $(r > R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$.
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ है,इसलिए बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2}$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अनुपात $\frac{g_1}{g_2}$ के बराबर होता है।
यदि $r_1 < R$ और $r_2 < R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$। यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
यदि $r_1 > R$ और $r_2 > R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$। यह विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) लेने पर,हमें $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि त्रिज्या $1\%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ प्राप्त होता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण में $2\%$ की वृद्धि होगी।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है।
विषुववृत्त पर,अक्षांश $\lambda = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos \lambda = 1$ होता है।
अतः,प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ हो जाता है।
प्रभावी त्वरण को शून्य $(g' = 0)$ करने के लिए,$0 = g - \omega^2 R$ होगा।
इससे $\omega^2 = \frac{g}{R}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $g = 10\,m/s^2$ और $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ दिया गया है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800}\,rad/s$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R$ रखने पर,हमें $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
$R$ ऊँचाई पर आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g'} = 2\pi \sqrt{l/(g/4)} = 2 \times 2\pi \sqrt{l/g}$ होता है।
इसलिए,$T_2/T_1 = 2$।

(C) पृथ्वी के अंदर एक बिंदु $(r < R)$ के लिए, गुरुत्वीय त्वरण $g_{in} = \frac{4}{3} \pi G \rho r$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि $g \propto r$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
पृथ्वी के बाहर एक बिंदु $(r \geq R)$ के लिए, गुरुत्वीय त्वरण $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि $g \propto \frac{1}{r^2}$। यह एक वक्र को दर्शाता है जो $r$ के बढ़ने पर घटता है।
इसलिए, ग्राफ $r = R$ तक एक रैखिक वृद्धि और फिर $r > R$ के लिए एक गैर-रैखिक कमी दिखाता है, जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) जब पृथ्वी के व्यास के अनुदिश बने छेद में एक पत्थर गिराया जाता है,तो केंद्र से $r$ दूरी पर पत्थर पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -(\frac{GMm}{R^3})r$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल विस्थापन $r$ के समानुपाती है और केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए पत्थर पृथ्वी के केंद्र के परितः सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) करता है।
इस दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे हम खदान के अंदर (पृथ्वी की सतह के नीचे) जाते हैं,गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान घटता जाता है।
चूंकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$,इसलिए $g$ के मान में कमी होने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
अतः,खदान के अंदर दोलन काल $T$ से अधिक होगा।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $M_p = 2M_e$ और $R_p = 2R_e$।
अतः,पृथ्वी और ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण का अनुपात:
$\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \times \left(\frac{R_p}{R_e}\right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{4}{2} = 2$।
इसलिए,$g_p = \frac{g_e}{2}$।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए,$T_e = 2 \, \text{s}$।
इस प्रकार,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{2}$।
$T_p = T_e \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{s}$।

(A) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से ध्रुव की ओर जाते हैं,पृथ्वी के आकार के कारण $g$ का मान बढ़ता है (पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है)।
चूंकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$,इसलिए $g$ के मान में वृद्धि होने से आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।
अतः,सरल लोलक का आवर्तकाल घटता है।

(B) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ है,जिसका अर्थ है कि $n \propto \sqrt{g}$।
जब लोलक को खदान में $d$ गहराई पर ले जाया जाता है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ होता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूँकि $g' < g$,इसलिए खदान में गहराई पर जाने पर गुरुत्वीय त्वरण का मान घट जाता है।
चूँकि आवृत्ति $n$,$g$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,इसलिए $g$ में कमी होने के कारण लोलक की आवृत्ति भी घट जाती है।

(A) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \rho GR$ प्राप्त होता है।
अतः,$g \propto \rho R$.
चंद्रमा और पृथ्वी के लिए अनुपात लेने पर: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m}{\rho_e} \times \frac{R_m}{R_e}$.
दिया गया है कि $\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{6}$ और $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$ होगा।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{6} = \frac{3}{5} \times \frac{R_m}{R_e}$.
$R_m$ के लिए हल करने पर: $\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$.
अतः,$R_m = \frac{5}{18}R_e$.

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
पृथ्वी के लिए: $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
चंद्रमा के लिए: $g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
दिया गया है कि $M_m = \frac{M_e}{80}$ और $R_m = \frac{R_e}{4}$.
दोनों त्वरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{g_m}{g_e} = \left( \frac{1}{80} \right) \times \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{1}{80} \times 16 = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$.
अतः,$g_m = \frac{g_e}{5} = \frac{g}{5}$.

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्रह $(g_p)$ और पृथ्वी $(g_e)$ पर गुरुत्वाकर्षण की तुलना करने पर:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2$
यहाँ $M_p = \frac{1}{10} M_e$ और $R_p = \frac{1}{3} R_e$ दिया गया है:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{10}$.
प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ है,जिसका अर्थ है $H \propto \frac{1}{g}$।
अतः,$\frac{H_p}{H_e} = \frac{g_e}{g_p} = \frac{10}{9}$.
$H_p = \frac{10}{9} \times H_e = \frac{10}{9} \times 90 = 100\,m$.

(D) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
अतः,$g \propto R \rho$.
इसलिए,दो ग्रहों के लिए गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2}$ होगा,जिसे $g_1 : g_2 = R_1 \rho_1 : R_2 \rho_2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$।
यहाँ दिया गया है कि सतह से दूरी $h = 2R$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{3} \right)^2$
$g' = \frac{g}{9}$।
अतः,पृथ्वी की सतह से $2R$ की दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{9}$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
दिया गया है कि $g' = 1\% \text{ of } g$,इसलिए $g' = \frac{g}{100}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{100} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{10} = \frac{R}{R+h}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 10R$।
अतः,$h = 9R$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर वस्तु का भार $W' = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $W = 72 \, N$ और $h = R/2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$W' = 72 \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2$
$W' = 72 \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2$
$W' = 72 \left( \frac{2}{3} \right)^2$
$W' = 72 \times \frac{4}{9}$
$W' = 8 \times 4 = 32 \, N$.

(B) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $\frac{\Delta g_h}{g} \approx \frac{2h}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि भार में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{2h}{R} \times 100\% = 1\%$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{R} = 0.005$ है।
$h$ गहराई $(d = h)$ पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $\frac{\Delta g_d}{g} = \frac{d}{R} = \frac{h}{R}$ होता है।
$\frac{h}{R}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta g_d}{g} = 0.005$ प्राप्त होता है।
अतः,$h$ गहराई पर भार में प्रतिशत कमी $0.005 \times 100\% = 0.5\%$ है।