Gravitational Intensity Questions in Hindi

(D) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ में द्रव्यमान $m$ पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान $m$ के सीधे समानुपाती होता है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $g$ को प्रति इकाई द्रव्यमान बल के रूप में परिभाषित किया गया है,$g = F/m$,जिसका अर्थ है $F = mg$। चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ द्रव्यमान के चारों ओर के स्थान का एक गुण है,और बल $F$ एक अंतःक्रिया है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान मौलिक रूप से इन सभी राशियों से संबंधित है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 100 \, kg$ है और दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 10000 \, kg$ है। उनके बीच की दूरी $r = 1 \, m$ है।
माना वह बिंदु जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य है,छोटे द्रव्यमान $(m_1)$ से $x$ दूरी पर है।
$m_1$ के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E_1 = \frac{G m_1}{x^2}$ है और $m_2$ के कारण $E_2 = \frac{G m_2}{(1-x)^2}$ है।
कुल तीव्रता शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$,अतः $\frac{G \times 100}{x^2} = \frac{G \times 10000}{(1-x)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{10}{x} = \frac{100}{1-x}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $10(1-x) = 100x \Rightarrow 10 - 10x = 100x \Rightarrow 110x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \, m$।

(C) एक समान गोलीय कोश के अंदर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि केंद्र पर रखे गए कण पर कोश के विभिन्न भागों द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव समरूपता के कारण पूरी तरह से एक-दूसरे को निरस्त कर देता है।
यदि कण को केंद्र से दूर भी ले जाया जाए,तो निकटतम पक्ष से गुरुत्वाकर्षण खिंचाव में वृद्धि,दूसरी तरफ मौजूद अधिक द्रव्यमान द्वारा ठीक संतुलित हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप कोश के अंदर हर जगह शुद्ध गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है।

(A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान के तीन कण $L$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों $A$,$B$ और $C$ पर रखे गए हैं। त्रिभुज का केंद्र $O$ है।
प्रत्येक कण केंद्र $O$ पर अपनी ओर निर्देशित गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता उत्पन्न करता है।
केंद्र पर प्रत्येक कण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $I = \frac{Gm}{r^2}$ है,जहाँ $r$ शीर्ष से केंद्र तक की दूरी है।
चूँकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए तीनों कणों के लिए दूरी $r$ समान है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रताओं के परिमाण समान हैं: $|\vec{I}_A| = |\vec{I}_B| = |\vec{I}_C| = I$.
किन्हीं भी दो सदिशों के बीच का कोण $120^\circ$ है।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार,केंद्र पर कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{I}_{net} = \vec{I}_A + \vec{I}_B + \vec{I}_C$.
चूँकि ये तीनों सदिश परिमाण में समान हैं और एक-दूसरे से $120^\circ$ के कोण पर हैं,इसलिए इनका सदिश योग शून्य होता है।

(B) केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = m \cdot E(r)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E(r)$ उस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता है।
$1$. $0 \le r \le R_1$ के लिए: कण गुहा के अंदर है। शेल प्रमेय के अनुसार,एक समान गोलाकार शेल के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होता है। अतः,$F = 0$.
$2$. $R_1 \le r \le R_2$ के लिए: कण गोले के पदार्थ के भीतर है। बल में योगदान देने वाला प्रभावी द्रव्यमान $M_{eff}$,$r$ त्रिज्या वाले गोले का द्रव्यमान माइनस गुहा का द्रव्यमान है। $M_{eff} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)$,जहाँ $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi(R_2^3 - R_1^3)}$ है। बल $F = \frac{G \cdot M_{eff} \cdot m}{r^2}$,जो $r$ बढ़ने पर बढ़ता है।
$3$. $r > R_2$ के लिए: कण गोले के बाहर है। गोला केंद्र पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करता है। अतः,$F = \frac{G M m}{r^2}$,जिसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{r^2}$।
इन शर्तों की तुलना करने पर,जो ग्राफ $r < R_1$ के लिए $F=0$,$R_1 < r < R_2$ के लिए एक बढ़ता हुआ वक्र,और $r > R_2$ के लिए एक घटता हुआ $1/r^2$ वक्र दिखाता है,वह विकल्प $(B)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < a)$,गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $(I)$ शून्य होती है क्योंकि एक समान गोलीय कोश के अंदर किसी बिंदु द्रव्यमान पर लगने वाला कुल गुरुत्वीय बल शून्य होता है।
$2$. कोश के बाहर $(r \ge a)$,कोश अपने केंद्र पर केंद्रित एक बिंदु द्रव्यमान की तरह व्यवहार करता है। इसलिए,गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $I = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $I \propto \frac{1}{r^2}$.
$3$. इस प्रकार,ग्राफ में $r < a$ के लिए $I = 0$ और $r \ge a$ के लिए $I \propto \frac{1}{r^2}$ को दर्शाने वाला वक्र होना चाहिए।

(C) विद्युत क्षेत्र के लिए,गॉस का नियम $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए,क्षेत्र की तीव्रता $\vec{g} = -\frac{Gm}{r^2} \hat{r}$ होती है।
विद्युत क्षेत्र के साथ सादृश्य द्वारा,जहाँ स्थिरांक $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,$G$ के अनुरूप है,और आवेश $q$,द्रव्यमान $m$ के अनुरूप है,हम $\frac{1}{\epsilon_0}$ को $4\pi G$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक प्रकृति का होता है,इसलिए एक बंद सतह से गुजरने वाला गुरुत्वाकर्षण फ्लक्स ऋणात्मक होता है।
अतः,गॉस के नियम का गुरुत्वाकर्षण रूप $\oint \vec{g} \cdot d\vec{s} = -4\pi Gm$ है।

(D) मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान $M_E$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $M_M$ है। दिया गया है कि $M_E = 81 M_M$ और उनके बीच की दूरी $D$ है।
मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है,पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर है।
इस बिंदु पर,पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए।
$\frac{G M_E}{x^2} = \frac{G M_M}{(D - x)^2}$
$M_E = 81 M_M$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{81 M_M}{x^2} = \frac{M_M}{(D - x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$10x = 9D$
$x = \frac{9D}{10}$

(C) माना $M_e = M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $M_m = \frac{M}{81}$ चंद्रमा का द्रव्यमान है। उनके बीच की दूरी $d = 60R$ है।
माना वह बिंदु जहाँ गुरुत्वाकर्षण तीव्रता शून्य है,पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर है। तो चंद्रमा के केंद्र से इसकी दूरी $(d - x)$ होगी।
इस बिंदु पर,पृथ्वी और चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए:
$\frac{GM_e}{x^2} = \frac{GM_m}{(d - x)^2}$
$\frac{M}{x^2} = \frac{M/81}{(60R - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{1/9}{60R - x}$
$60R - x = \frac{x}{9}$
$9(60R - x) = x$
$540R - 9x = x$
$10x = 540R$
$x = 54R$
यह पृथ्वी के केंद्र से दूरी है। चंद्रमा के केंद्र से दूरी $d - x = 60R - 54R = 6R$ होगी।

(B) गुरुत्वीय तीव्रता $I$ और गुरुत्वीय विभव $V$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$I = -\nabla V = - \left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
यहाँ $V = 3x + 4y + 12z$ दिया गया है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 3$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 4$,और $\frac{\partial V}{\partial z} = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,तीव्रता का सदिश रूप $I = -(3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k})$ है।
गुरुत्वीय तीव्रता का परिमाण $|I| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$ होगा।
$|I| = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ N \ kg^{-1}$.

(D) बिंदु $O$ पर कई कणों के कारण गुरुत्वीय तीव्रता $I$ व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग है:
$I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + \dots$
$I = \frac{GM}{r_1^2} + \frac{GM}{r_2^2} + \frac{GM}{r_3^2} + \frac{GM}{r_4^2} + \dots$
यहाँ $M = 3 \ kg$ और दूरियाँ $r = 1, 2, 4, 8, \dots$ दी गई हैं।
$I = GM \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$I = GM \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right]$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है। योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ है।
मान रखने पर:
$I = GM \times \frac{4}{3}$
$I = G \times 3 \times \frac{4}{3} = 4G$.

(D) कोश प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,एक गोलीय कोश के भीतर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है।
$r_1 < r < r_2$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,यह बिंदु आंतरिक कोश (द्रव्यमान $M_1$) के बाहर और बाहरी कोश (द्रव्यमान $M_2$) के भीतर स्थित है।
आंतरिक कोश के कारण $r$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $I_1 = \frac{GM_1}{r^2}$ होती है।
बाहरी कोश के कारण $r$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $I_2 = 0$ होती है (क्योंकि यह कोश के भीतर है)।
अतः,कुल गुरुत्वीय तीव्रता $I = I_1 + I_2 = \frac{GM_1}{r^2} + 0 = \frac{GM_1}{r^2}$ होगी।

(C) एक समान गोलीय कोश के अंदर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि ऊपरी भाग के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र $\vec{I_1}$ है और निचले भाग के कारण गुरुत्वीय क्षेत्र $\vec{I_2}$ है।
चूंकि कोश के अंदर बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए हमारे पास $\vec{I_1} + \vec{I_2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $\vec{I_1} = -\vec{I_2}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|\vec{I_1}| = |-\vec{I_2}|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I_1 = I_2$।

(A) माना पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $M_m$ है। दिया गया है $M_e = 81 M_m$।
माना चंद्रमा के केंद्र से $x$ दूरी पर परिणामी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है।
पृथ्वी के केंद्र से इस बिंदु की दूरी $(60R - x)$ होगी।
इस बिंदु पर,पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता और चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता समान होनी चाहिए:
$\frac{G M_e}{(60R - x)^2} = \frac{G M_m}{x^2}$
$M_e = 81 M_m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{81 M_m}{(60R - x)^2} = \frac{M_m}{x^2}$
$\frac{81}{(60R - x)^2} = \frac{1}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{60R - x} = \frac{1}{x}$
$9x = 60R - x$
$10x = 60R$
$x = 6R$
अतः,चंद्रमा के केंद्र से दूरी $6\,R$ है।

(B) मूल बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण प्रत्येक $m = 1 \ kg$ द्रव्यमान के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रताओं के योग के बराबर होगा।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र $I = \frac{Gm}{r^2}$ है।
सभी द्रव्यमानों के कारण तीव्रता का योग करने पर:
$I = G \times 1 \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \right)$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत $GP$ के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर:
$I = G \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = G \left( \frac{1}{3/4} \right) = \frac{4G}{3}$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला गुरुत्वाकर्षण फ्लक्स $\Phi_g = \oint \vec{E_g} \cdot d\vec{S} = -4\pi GM_{enclosed}$ द्वारा दिया जाता है।
कथन-$1$ में फ्लक्स $4\pi GM$ दिया गया है,लेकिन सही मान $-4\pi GM$ है (गुरुत्वाकर्षण की आकर्षक प्रकृति के कारण)। अतः,कथन-$1$ गलत है।
कथन-$2$ गॉस के नियम के सामान्य सिद्धांत का वर्णन करता है,जो व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करने वाले किसी भी क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्थिर विद्युत) पर लागू होता है। यह कथन सही है।
इसलिए,कथन-$1$ गलत है और कथन-$2$ सही है।

(C) शेल प्रमेय के अनुसार,एक समान गोलाकार कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
स्थिति $A$ पर (दोनों कोशों के बाहर): कण केंद्र से $r_1$ दूरी पर है। दोनों कोश केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करते हैं। कुल बल $F_A = \frac{G(m_1 + m_2)m}{r_1^2}$ है।
स्थिति $B$ पर (दो कोशों के बीच): कण केंद्र से $r_2$ दूरी पर है। यह आंतरिक कोश $(m_1)$ के बाहर है लेकिन बाहरी कोश $(m_2)$ के अंदर है। बाहरी कोश के कारण बल $0$ है। आंतरिक कोश के कारण बल $F_B = \frac{G m_1 m}{r_2^2}$ है।
स्थिति $C$ पर (दोनों कोशों के अंदर): कण केंद्र से $r_3$ दूरी पर है। यह दोनों कोशों के अंदर है। इसलिए,दोनों कोशों के कारण गुरुत्वाकर्षण बल $0$ है। अतः,$F_C = 0$।
इसलिए,$A, B$ और $C$ पर बल $\frac{G(m_1 + m_2)m}{r_1^2}, \frac{G m_1 m}{r_2^2}, 0$ हैं।

(B) गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $|E| = |\frac{dV}{dr}|$ है,जो $V-r$ ग्राफ की ढाल (slope) को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ से,किसी भी रेखा के लिए,$r$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
रेखा की ढाल $\tan(\theta) = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होती है।
हालाँकि,ग्राफ को देखते हुए,विभव $V$ में $4 \ J/kg$ का परिवर्तन होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि हम $|E| = \frac{V}{r_{intercept}}$ लें,तो $|E| = \frac{4}{1} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $4$ है।

(C) किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता,वस्तु के सभी सूक्ष्म द्रव्यमान तत्वों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वीय क्षेत्रों का सदिश योग होती है।
अर्धगोलीय कोश के लिए,रिम पर स्थित बिंदु $p$ के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण की समरूपता पर विचार करें।
द्रव्यमान तत्व इस प्रकार वितरित होते हैं कि कुल गुरुत्वीय क्षेत्र कोश के द्रव्यमान केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
समरूपता के कारण,बिंदु $p$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के दोनों ओर स्थित द्रव्यमान तत्वों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
बिंदु $p$ पर परिणामी गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता द्रव्यमान के मुख्य भाग की ओर,यानी नीचे की ओर और अर्धगोले के केंद्र की ओर होती है।
दी गई दिशाओं को देखने पर,सदिश $c$ सीधे नीचे की ओर कोश के भीतर इंगित करता है,जो रिम बिंदु $p$ पर कुल गुरुत्वीय क्षेत्र की दिशा के अनुरूप है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर गुरुत्वीय तीव्रता $E$ इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{Gmx}{(r^2 + x^2)^{3/2}}$
अधिकतम तीव्रता ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dx} = Gm \left[ \frac{(r^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(r^2 + x^2)^{1/2} \cdot 2x}{(r^2 + x^2)^3} \right] = 0$
$(r^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(r^2 + x^2)^{1/2} = 0$
$r^2 + x^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = r^2 \implies x = \frac{r}{\sqrt{2}}$
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ का मान $E$ के समीकरण में रखने पर:
$E_{\text{max}} = \frac{Gm(r/\sqrt{2})}{(r^2 + r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3r^2/2)^{3/2}} = \frac{Gmr/\sqrt{2}}{(3\sqrt{3}r^3)/(2\sqrt{2})} = \frac{Gmr}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}r^3} = \frac{2Gm}{3\sqrt{3}r^2}$

(A) खोखले गोलाकार कोश के कारण किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:
$1$. कोश के बाहर के बिंदु के लिए $(r > R_{shell})$,क्षेत्र $E = -\frac{GM}{r^2}$ है।
$2$. कोश के अंदर के बिंदु के लिए $(r < R_{shell})$,क्षेत्र $E = 0$ है।
दिए गए प्रश्न में,बिंदु $P$ केंद्र से $r$ दूरी पर है जहाँ $R < r < 2R$ है।
$R$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले के लिए,बिंदु $P$ बाहर है,इसलिए क्षेत्र की तीव्रता $E_1 = -\frac{GM}{r^2}$ है।
$2R$ त्रिज्या वाले बाहरी गोले के लिए,बिंदु $P$ अंदर है,इसलिए क्षेत्र की तीव्रता $E_2 = 0$ है।
बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $E = E_1 + E_2 = -\frac{GM}{r^2} + 0 = -\frac{GM}{r^2}$ है।

(C) मान लीजिए कि मूल समान गोले का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। छोटे गोले का द्रव्यमान (जिसे हटा दिया गया है) $m$ है।
आकृति से,हटाए गए गोले की त्रिज्या $r = R/2$ है।
गोले का घनत्व $\rho$ मानते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi (R/2)^3}$
$\Rightarrow m = M \cdot \left(\frac{R/2}{R}\right)^3 = \frac{M}{8}$
गोले के शेष भाग का द्रव्यमान:
$M' = M - m = M - \frac{M}{8} = \frac{7}{8}M$
मूल गोले के केंद्र से बहुत बड़ी दूरी $x$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,शेष द्रव्यमान $M'$ के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{GM'}{x^2} = \frac{G(7/8)M}{x^2} = \frac{7}{8} \frac{GM}{x^2}$

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $\vec{E}$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है,जिसका अर्थ है $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$।
दिया गया है $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} = 5\hat{i} + 12\hat{j}$।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $(x, y)$ तक समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $V(x, y) - V(0, 0) = -\int_{(0,0)}^{(x,y)} (E_x dx + E_y dy)$।
चूंकि $V(0,0) = 0$,इसलिए $V(x, y) = -(E_x x + E_y y) = -(5x + 12y)$।
बिंदु $A(12\,m, 0)$ के लिए,$V_A = -(5 \times 12 + 12 \times 0) = -60\,J/kg$।
बिंदु $B(0, 5\,m)$ के लिए,$V_B = -(5 \times 0 + 12 \times 5) = -60\,J/kg$।
बिंदुओं पर विभव का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{-60}{-60} = 1$ है।

(A) गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान वितरण के बाहर किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र,केंद्र पर स्थित निकाय के कुल द्रव्यमान के बराबर बिंदु द्रव्यमान द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के समतुल्य होता है।
निकाय का कुल द्रव्यमान ठोस गोले के द्रव्यमान और गोलाकार कोश के द्रव्यमान का योग है:
$M_{total} = M + 2M = 3M$
केंद्र से दूरी $r = 3a$ है।
बिंदु द्रव्यमान $M_{total}$ से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{G M_{total}}{r^2}$
मान रखने पर:
$g = \frac{G(3M)}{(3a)^2}$
$g = \frac{3GM}{9a^2}$
$g = \frac{GM}{3a^2}$

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 4x^2$ दिया गया है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $E = -\frac{d(4x^2)}{dx}$ प्राप्त होता है।
अवकलन करने पर,$E = -(4 \cdot 2x) = -8x$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।

(B) मान लीजिए $\rho$ घनत्व और $R$ त्रिज्या वाला एक ठोस गोला है। ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $\vec{g} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ गोले के केंद्र से स्थिति सदिश है।
जब एक गोलाकार गुहा बनाई जाती है,तो गुहा के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मूल ठोस गोले के कारण क्षेत्र और उसी स्थान पर रखे गए ऋणात्मक द्रव्यमान के एक छोटे गोले (जो गुहा का प्रतिनिधित्व करता है) के कारण क्षेत्र का सदिश योग होता है।
मान लीजिए $\vec{r_1}$ बड़े गोले के केंद्र से स्थिति सदिश है और $\vec{r_2}$ गुहा के केंद्र से स्थिति सदिश है।
कुल क्षेत्र $\vec{g}_{net} = \vec{g}_{large} + \vec{g}_{cavity} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r_1} - (-\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{r_2})$ है।
चूंकि $\vec{r_1} - \vec{r_2} = \vec{d}$,जहाँ $\vec{d}$ गोले के केंद्र से गुहा के केंद्र को जोड़ने वाला एक स्थिर सदिश है,हमें $\vec{g}_{net} = -\frac{4}{3} \pi G \rho \vec{d}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$G$ और $\vec{d}$ स्थिर हैं,इसलिए गुहा के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र समान (Uniform) होता है।

(D) माना चंद्रमा का द्रव्यमान $M$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $81M$ है।
माना पृथ्वी के केंद्र से वह दूरी जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है,$x$ है।
तब चंद्रमा के केंद्र से दूरी $(D - x)$ होगी।
इस बिंदु पर पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_E = \frac{G(81M)}{x^2}$ है।
इस बिंदु पर चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_M = \frac{GM}{(D - x)^2}$ है।
कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_E = E_M$ होना चाहिए।
$\frac{G(81M)}{x^2} = \frac{GM}{(D - x)^2}$.
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D - x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$ प्राप्त होता है।
$9(D - x) = x$.
$9D - 9x = x$.
$9D = 10x$.
$x = \frac{9D}{10}$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय द्वारा उसके केंद्र से $d$ दूरी पर उसकी अक्ष पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{GMmd}{(R^2 + d^2)^{3/2}}$
यहाँ दिया गया है कि दूरी $d = R$ है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{GMmR}{(R^2 + R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{(2R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{2^{3/2} \cdot (R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMmR}{2\sqrt{2} \cdot R^3}$
$F = \frac{GMm}{2\sqrt{2}R^2}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) त्रिज्या $R$ और समान घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले के भीतर केंद्र से $r$ $(r < R)$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ का सूत्र $g = \frac{G M_{in}}{r^2}$ होता है।
यहाँ,$M_{in}$ त्रिज्या $r$ के भीतर समाहित गोले का द्रव्यमान है।
द्रव्यमान $M_{in}$ को $M_{in} = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस मान को $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho r$.

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले की सतह पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I_{g} = \frac{GM}{R^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का अधिकतम मान गोले की सतह पर होता है।
गोले $(1)$ के लिए,त्रिज्या $R_{1} = 1 \; m$ है और अधिकतम गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I_{g1} = 2$ है।
अतः,$\frac{GM_{1}}{(1)^{2}} = 2 \implies GM_{1} = 2$.
गोले $(2)$ के लिए,त्रिज्या $R_{2} = 2 \; m$ है और अधिकतम गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $I_{g2} = 3$ है।
अतः,$\frac{GM_{2}}{(2)^{2}} = 3 \implies \frac{GM_{2}}{4} = 3 \implies GM_{2} = 12$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{GM_{1}}{GM_{2}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
इसलिए,$\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) समान द्रव्यमान घनत्व वाले एक पूर्ण गोलीय कोश के लिए,इसके अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता शून्य होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोश के विभिन्न भागों द्वारा केंद्र में स्थित कण पर लगाए गए गुरुत्वीय बल समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
यदि हम एक अर्धगोलीय कोश पर विचार करें,तो हम इसे एक पूर्ण गोलीय कोश के रूप में मान सकते हैं जिससे ऊपरी आधा भाग हटा दिया गया है। मान लीजिए कि पूर्ण कोश के कारण गुरुत्वीय तीव्रता $I_{total} = 0$ है। मान लीजिए $I_{upper}$ ऊपरी अर्धगोले के कारण और $I_{lower}$ निचले अर्धगोले के कारण केंद्र $O$ पर तीव्रता है। तब,$I_{upper} + I_{lower} = 0$,जिसका अर्थ है $I_{lower} = -I_{upper}$।
केंद्र $O$ पर ऊपरी अर्धगोले के कारण गुरुत्वीय बल (और इसलिए तीव्रता) नीचे की दिशा में (निचले अर्धगोले की ओर) होगा। इसलिए,निचले अर्धगोले के कारण तीव्रता ऊपर की ओर होनी चाहिए,ताकि प्रभाव को निरस्त किया जा सके। हालाँकि,प्रश्न मौजूदा अर्धगोलीय कोश (निचले भाग) के कारण तीव्रता के बारे में पूछता है। निचले अर्धगोलीय कोश द्वारा केंद्र $O$ पर स्थित कण पर लगाया गया गुरुत्वीय बल द्रव्यमान की ओर,यानी नीचे की ओर होता है। इस प्रकार,केंद्र $O$ पर गुरुत्वीय तीव्रता नीचे की दिशा में होती है,जो तीर $c$ द्वारा इंगित है।

(C) अर्धगोलीय कवच के कारण किसी भी बिंदु $P$ पर गुरुत्वाकर्षण तीव्रता कवच के द्रव्यमान केंद्र की ओर निर्देशित होती है।
एक अर्धगोलीय कवच के लिए,द्रव्यमान केंद्र समरूपता की धुरी पर,रिम के केंद्र के नीचे स्थित होता है।
द्रव्यमान वितरण की समरूपता पर विचार करने पर,रिम पर स्थित बिंदु $P$ पर इकाई द्रव्यमान पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल अर्धगोले के मुख्य भाग की ओर निर्देशित होगा।
अर्धगोलीय कवच की ज्यामिति को देखने पर,बिंदु $P$ पर गुरुत्वाकर्षण तीव्रता सदिश कवच के आंतरिक भाग की ओर इंगित करता है,विशेष रूप से तीर $e$ द्वारा दर्शाई गई दिशा में।

(A) शेल प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,एक समान गोलीय कोश द्वारा उसके अंदर स्थित किसी कण पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि कोश के विभिन्न भागों द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण खिंचाव अंदर के किसी भी बिंदु पर एक-दूसरे को निरस्त कर देता है।
इसलिए,एक समान गोलीय कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $0$ होती है।

(N/A) कुछ दूरी पर स्थित दो पिंडों के बीच लगने वाला बल क्षेत्र के माध्यम से कैसे कार्य करता है,इसे निम्नलिखित रूप में समझाया गया है:
$(1)$ प्रत्येक वस्तु अपने द्रव्यमान के कारण अपने चारों ओर एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र उत्पन्न करती है।
$(2)$ यह क्षेत्र इस क्षेत्र में स्थित किसी अन्य पिंड पर बल लगाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता: 'किसी दिए गए बिंदु पर इकाई द्रव्यमान के पिंड पर किसी दिए गए पिंड द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल को उस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $(\overrightarrow{I})$ कहा जाता है'। इसे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण तीव्रता के रूप में भी जाना जाता है।
मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान का एक पिंड निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु $O$ पर है और $m = 1 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक पिंड स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले बिंदु $P$ पर रखा गया है।
$m$ और $M$ द्रव्यमान के पिंडों पर गुरुत्वाकर्षण बल,$\overrightarrow{F} = -\frac{GMm}{r^{2}} \hat{r}$ है।
यदि $m = 1 \text{ kg}$ है,तो $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{I}$ (गुरुत्वाकर्षण की तीव्रता),इसलिए:
$\overrightarrow{I} = -\frac{GM(1)}{r^{2}} \hat{r} \quad \ldots \ldots \ldots(1)$
यहाँ,$M$ द्रव्यमान के पिंड द्वारा $m$ द्रव्यमान के पिंड पर लगाया गया बल $O$ की दिशा में है,जबकि स्थिति सदिश और इकाई सदिश $O$ से $P$ की ओर हैं,इसलिए सूत्र में ऋणात्मक चिह्न मौजूद है।
गुरुत्वाकर्षण की तीव्रता का मान,
$I = \frac{GM}{r^{2}} \quad \ldots \ldots \ldots(2)$
इसका मात्रक: $\text{N/kg}$ और विमीय सूत्र $M^{0} L^{1} T^{-2}$ है।
यदि इस बिंदु $P$ पर $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड रखा जाता है,तो क्षेत्र द्वारा उस पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{I} = -\frac{GMm}{r^{2}} \hat{r}$ होता है।

(N/A) दो पिंडों के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की अवधारणा द्वारा इस प्रकार समझाया जा सकता है:
$(1)$ प्रत्येक पिंड अपने द्रव्यमान के कारण अपने चारों ओर एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$(2)$ यह क्षेत्र इसमें स्थित किसी अन्य पिंड पर बल लगाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता की परिभाषा: किसी दिए गए बिंदु पर एकांक द्रव्यमान के पिंड पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को उस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $(\overrightarrow{I})$ कहते हैं। इसे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की प्रबलता भी कहा जाता है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर $M$ द्रव्यमान का एक पिंड है और स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले बिंदु $P$ पर $m = 1 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक परीक्षण पिंड रखा है।
$m$ द्रव्यमान के पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $\overrightarrow{F} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$ है।
यदि $m = 1 \text{ kg}$ हो,तो $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{I}$ होगा। अतः,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता:
$\overrightarrow{I} = -\frac{GM}{r^2} \hat{r}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण प्रकृति का है और यह स्रोत द्रव्यमान $M$ की ओर (स्थिति सदिश $\vec{r}$ की विपरीत दिशा में) कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण तीव्रता का परिमाण:
$I = \frac{GM}{r^2}$
मात्रक: $\text{N/kg}$ (या $\text{m/s}^2$)।
विमीय सूत्र: $[M^0 L^1 T^{-2}]$।
यदि बिंदु $P$ पर $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड रखा जाए,तो क्षेत्र द्वारा उस पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{I} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$ होगा।

(A) किसी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता $I$ होने पर,$m$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वीय बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$F = I \times m$
दिया गया है:
गुरुत्वीय तीव्रता $I = 0.7\, N/kg$
वस्तु का द्रव्यमान $m = 5\, kg$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 0.7\, N/kg \times 5\, kg$
$F = 3.5\, N$
अतः,गुरुत्वीय बल का मान $3.5\, N$ होगा।

(A) गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $(I)$ को गुरुत्वीय विभव $(V)$ के ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $I = -\frac{dV}{dr}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु द्रव्यमान $m$ के लिए,विभव $V = -\frac{Gm}{r}$ होता है और तीव्रता $I = \frac{Gm}{r^2}$ होती है।
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(-\frac{Gm}{r}) = \frac{Gm}{r^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = -\frac{dV}{dr}$ संबंध सत्य है।

(N/A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान भारी गोले का द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः $M$ और $R$ है। $m$ द्रव्यमान का एक पिंड उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य-बिंदु $P$ पर रखा गया है।
प्रत्येक गोले के कारण मध्य-बिंदु पर रखे पिंड पर लगने वाला बल $F_{1} = F_{2} = \frac{GMm}{(5R)^{2}}$ है। चूँकि इन बलों की दिशाएँ विपरीत हैं,इसलिए पिंड पर लगने वाला कुल बल शून्य है। यह एक संतुलन की स्थिति है।
यदि हम पिंड को गोले $A$ की ओर $x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित करते हैं,तो नए बल होंगे:
$F_{1}^{\prime} = \frac{GMm}{(5R - x)^{2}}$
$F_{2}^{\prime} = \frac{GMm}{(5R + x)^{2}}$
चूँकि $F_{1}^{\prime} > F_{2}^{\prime}$ है,इसलिए पिंड पर गोले $A$ की ओर एक परिणामी बल $(F_{1}^{\prime} - F_{2}^{\prime})$ कार्य करता है। परिणामस्वरूप,पिंड संतुलन स्थिति में वापस आने के बजाय गोले $A$ की ओर गति करना शुरू कर देता है। इसलिए,यह संतुलन अस्थिर है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय की अक्ष पर $h$ दूरी पर रखे $m$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = \frac{GMmh}{(r^2 + h^2)^{3/2}}$
जब द्रव्यमान को $2h$ दूरी पर ले जाया जाता है,तो नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{GMm(2h)}{(r^2 + (2h)^2)^{3/2}} = \frac{2GMmh}{(r^2 + 4h^2)^{3/2}}$
दिया गया है $h = r$,तो:
$F = \frac{GMmr}{(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{GMmr}{(2r^2)^{3/2}} = \frac{GMm}{2\sqrt{2}r^2}$
$F' = \frac{2GMmr}{(r^2 + 4r^2)^{3/2}} = \frac{2GMmr}{(5r^2)^{3/2}} = \frac{2GMm}{5\sqrt{5}r^2}$
अब,अनुपात $F'/F$ की गणना करने पर:
$\frac{F'}{F} = \frac{2GMm}{5\sqrt{5}r^2} \times \frac{2\sqrt{2}r^2}{GMm} = \frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}$
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल $\frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}$ के कारक से कम हो जाएगा।

(B) ग्रह के अंदर $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ को गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E(4\pi r^{2}) = 4\pi G M(r)$,जहाँ $M(r)$ त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान है।
$M(r) = \int_{0}^{r} \rho(r) 4\pi r^{2} dr = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r^{2} dr$.
$M(r) = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5R^{2}} \right]$.
अतः,$E = \frac{G M(r)}{r^{2}} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^{3}}{5R^{2}} \right)$.
अधिकतम क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,$\frac{dE}{dr} = 0$ रखें:
$\frac{dE}{dr} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{1}{3} - \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \right) = 0$.
$\frac{1}{3} = \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \Rightarrow r^{2} = \frac{5R^{2}}{9} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{5}{9}} R$.

(D) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय द्वारा उसके केंद्र से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ निम्न है:
$E = \frac{Gmx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
चूंकि गोला वलय के केंद्र से $x = \sqrt{8}R$ की दूरी पर रखा गया है,इसलिए वलय द्वारा $M$ द्रव्यमान के गोले पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F$ है:
$F = M \cdot E = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(R^2 + (\sqrt{8}R)^2)^{3/2}}$
मान रखने पर:
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(R^2 + 8R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{(9R^2)^{3/2}}$
$F = \frac{GMm(\sqrt{8}R)}{27R^3}$
$F = \frac{\sqrt{8}}{27} \cdot \frac{GMm}{R^2}$

(A) किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $I_g$ को उस बिंदु पर रखे गए प्रति इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I_g = \frac{F}{m}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 60 \, g = 60 \times 10^{-3} \, kg = 0.06 \, kg$
बल $F = 3.0 \, N$
मान रखने पर:
$I_g = \frac{3.0 \, N}{0.06 \, kg} = 50 \, N/kg$
अतः,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $50 \, N/kg$ है।

(A) षट्कोण के केंद्रक (मूल बिंदु) पर स्थित $m$ द्रव्यमान के लिए, कुल बल तब शून्य होता है जब $\Sigma F_x = 0$ और $\Sigma F_y = 0$ हो।
मूल बिंदु से $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m_k$ द्वारा $m$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_k = \frac{G m m_k}{r^2}$ है।
बल का $x$-घटक $F_{kx} = -\frac{G m m_k}{r^2} \cos \theta_k$ है (वस्तु की ओर निर्देशित)।
$x$-घटकों का योग करने पर: $\Sigma F_x = -\frac{G m M}{r^2} \sum_{k=1}^{6} k^i |\cos \theta_k| \cos \theta_k = 0$.
एक नियमित षट्कोण के शीर्षों के लिए, कोण $\theta_k$ $0^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 180^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ}$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^i |\cos 0^{\circ}| \cos 0^{\circ} + 2^i |\cos 60^{\circ}| \cos 60^{\circ} + 3^i |\cos 120^{\circ}| \cos 120^{\circ} + 4^i |\cos 180^{\circ}| \cos 180^{\circ} + 5^i |\cos 240^{\circ}| \cos 240^{\circ} + 6^i |\cos 300^{\circ}| \cos 300^{\circ} = 0$
$1^i(1)(1) + 2^i(1/2)(1/2) + 3^i(1/2)(-1/2) + 4^i(1)(-1) + 5^i(1/2)(-1/2) + 6^i(1/2)(1/2) = 0$
$1^i + \frac{2^i}{4} - \frac{3^i}{4} - 4^i - \frac{5^i}{4} + \frac{6^i}{4} = 0$
$i=0$ रखने पर:
$1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$. यह सत्य है।
अतः, $i$ का मान $0$ है।

(C) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य है,$m$ द्रव्यमान से $r$ दूरी पर है। तब इस बिंदु की $2m$ द्रव्यमान से दूरी $(d-r)$ होगी।
इस बिंदु पर,दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होनी चाहिए।
$\frac{Gm}{r^2} = \frac{G(2m)}{(d-r)^2}$
$\frac{1}{r^2} = \frac{2}{(d-r)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{2}}{d-r}$
$d-r = \sqrt{2}r$
$d = r(1+\sqrt{2})$
$r = \frac{d}{1+\sqrt{2}}$
अतः,वह बिंदु $m$ द्रव्यमान से $\frac{d}{1+\sqrt{2}}$ दूरी पर है।

(A) गुरुत्वीय तीव्रता $\vec{I}$ और गुरुत्वीय विभव $V$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\vec{I} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
दिया गया है $V = -(x + y + z)$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -1$,$\frac{\partial V}{\partial y} = -1$,और $\frac{\partial V}{\partial z} = -1$.
इन मानों को $\vec{I}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\vec{I} = -[(-1)\hat{i} + (-1)\hat{j} + (-1)\hat{k}] = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \text{ N/kg}$.
अतः,$(2, 2, 2)$ पर गुरुत्वीय तीव्रता $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \text{ N/kg}$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$,सूत्र $F = m \times E$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.5 \,kg$
बल $F = 45 \,N$
हमें गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $E$ ज्ञात करनी है।
सूत्र $E = \frac{F}{m}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{45}{1.5} = 30 \,N/kg$.
अतः,उस बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $30 \,N/kg$ है।

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
दिया गया है $V = -\frac{K}{x}$,इसलिए $x$-अक्ष पर क्षेत्र की तीव्रता का घटक $E_x = -\frac{dV}{dx}$ होगा।
$E_x = -\frac{d}{dx} \left( -\frac{K}{x} \right) = K \frac{d}{dx} (x^{-1}) = K (-1) x^{-2} = -\frac{K}{x^2}$।
चूंकि विभव केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए $E_y$ और $E_z$ घटक शून्य होंगे।
बिंदु $(2, 0, 3) \ m$ पर,$x$-निर्देशांक $2$ है।
$E_x$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर:
$E_x = -\frac{K}{2^2} = -\frac{K}{4}$।

(D) अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई $L = \pi R$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
तार के एक सूक्ष्म खंड $dl = R d\theta$ पर विचार करें। इस खंड का द्रव्यमान $dm = \lambda dl = \frac{M}{L} R d\theta$ है।
केंद्र पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण पर इस खंड द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $dF = \frac{G m dm}{R^2} = \frac{G m (M/L) R d\theta}{R^2} = \frac{GMm}{LR} d\theta$ है।
समरूपता के कारण,बल के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं।
कुल बल $F = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dF \sin\theta = \frac{GMm}{LR} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta d\theta$ है। अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर क्षेत्र का मानक परिणाम $E = \frac{2GM}{LR}$ है।
$R = L/\pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = mE = m \left( \frac{2GM}{L(L/\pi)} \right) = \frac{2GMm\pi}{L^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $100 \ kg$ द्रव्यमान से वह दूरी जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य है,$x$ है।
इस बिंदु पर,दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
माना $m_1 = 100 \ kg$ और $m_2 = 10^4 \ kg$ है। उनके बीच की दूरी $d = 1 \ m$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य होने की शर्त है:
$\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d - x}$
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x = \frac{d \sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1} + \sqrt{m_2}}$
मान रखने पर:
$x = \frac{1 \times \sqrt{100}}{\sqrt{100} + \sqrt{10^4}} = \frac{10}{10 + 100} = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \ m$.

(C) एक समान गोलीय कोश के अंदर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि $\vec{I}_1$ ऊपरी भाग के कारण बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र है और $\vec{I}_2$ निचले भाग के कारण बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र है।
पूरे कोश के कारण बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय क्षेत्र $\vec{I}_{\text{Total}} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 = \vec{0}$ है।
इसका तात्पर्य है कि $\vec{I}_1 = -\vec{I}_2$.
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $I_1 = I_2$ प्राप्त होता है।