Newton’s Law of Gravitation Questions in Hindi

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच लगने वाला बल $F$ है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$
बल $F$ का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$,दूरी $d$ का मीटर $(m)$ और द्रव्यमान $m$ का किलोग्राम $(kg)$ है।
इन मात्रकों को सूत्र में रखने पर:
$G = \frac{N \cdot m^2}{kg^2} = N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
अतः,सही मात्रक $N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$ है।

(A) समुद्र में ज्वारीय तरंगें मुख्य रूप से पृथ्वी के महासागरों पर चंद्रमा द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण होती हैं।
हालाँकि सूर्य भी पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है,लेकिन पृथ्वी से चंद्रमा की निकटता के कारण इसका ज्वारीय बल सूर्य की तुलना में काफी अधिक होता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) वायुमंडल में विभिन्न गैसों के अणु होते हैं जिनमें द्रव्यमान होता है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी और इन गैस अणुओं के बीच एक गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल गैस के अणुओं को पृथ्वी के केंद्र की ओर खींचता है,जिससे उन्हें अंतरिक्ष में जाने से रोका जाता है।
इसलिए,वायुमंडल मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी से बंधा रहता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच आकर्षण बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $F \propto \frac{1}{r^2}$ है।
यदि दूरी $r$ को दोगुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $r' = 2r$ हो जाती है।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ होगा: $F' = G \frac{m_1 m_2}{(2r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4} F$।
अतः,गुरुत्वाकर्षण आकर्षण अपने मूल मान का एक चौथाई रह जाता है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 1 \, kg$,$r = 1 \, m$,और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.675 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (6.675 \times 10^{-11}) \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 6.675 \times 10^{-11} \, N$.

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $2R$ है।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2R)^2} = \frac{Gm^2}{4R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गतिमान $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{Gm^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m}$
$v^2 = \frac{Gm}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$

(A) $F = k \frac{m_1 m_2}{r^2}$ सूत्र में स्थिरांक $k$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,जिसे $G$ के रूप में दर्शाया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनके बीच के माध्यम से स्वतंत्र होता है।
$G$ का मान एक सार्वत्रिक स्थिरांक है,लेकिन इसका संख्यात्मक मान उपयोग की जाने वाली इकाइयों की प्रणाली पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए,$SI$ इकाइयाँ बनाम $CGS$ इकाइयाँ)।
इसलिए,$k$ केवल इकाइयों की प्रणाली पर निर्भर करता है।

(D) मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $M_m$ है। दिया गया है कि $M_e = 81 M_m$ है।
मान लीजिए कि पृथ्वी के केंद्र से वह दूरी जहाँ गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है,$x$ है।
$x$ दूरी पर एक परीक्षण द्रव्यमान $m$ पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_e = \frac{G M_e m}{x^2}$ है।
$(D - x)$ दूरी पर उसी परीक्षण द्रव्यमान पर चंद्रमा द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_m = \frac{G M_m m}{(D - x)^2}$ है।
कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होने के लिए,$F_e = F_m$ होना चाहिए।
$\frac{G M_e m}{x^2} = \frac{G M_m m}{(D - x)^2}$
$\frac{81 M_m}{x^2} = \frac{M_m}{(D - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D - x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$10x = 9D$
$x = \frac{9D}{10}$.

(A) हेनरी कैवेंडिश ने पृथ्वी का घनत्व ज्ञात करने के लिए एक प्रयोग किया था। $1798$ में,उन्होंने टॉर्सियन बैलेंस (torsion balance) उपकरण का उपयोग करके सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मान प्रायोगिक रूप से निर्धारित किया था।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1 = xM$ और $m_2 = (1 - x)M$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$ का मान $F = \frac{G(xM)((1 - x)M)}{r^2}$ होता है।
चूंकि $G$,$M$,और $r$ स्थिरांक हैं,इसलिए बल $F$,$x(1 - x) = x - x^2$ के समानुपाती है।
बल को अधिकतम करने के लिए $x$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $F$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dx}(x - x^2) = 1 - 2x = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $1 = 2x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0.5$।

(C) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,यदि किसी कण को दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किसी बल द्वारा या उसके विरुद्ध किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र होता है,तो वह बल संरक्षी बल कहलाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,किसी वस्तु को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल स्थिति का फलन होता है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच $r$ दूरी पर लगने वाला बल $F_g$ इस प्रकार है:
$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि बल द्रव्यमानों के गुणनफल $(m_1 m_2)$,गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ और उनके बीच की दूरी के वर्ग $(r^2)$ पर निर्भर करता है।
यह द्रव्यमानों के योग $(m_1 + m_2)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $m$ और $M$ द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = G \frac{mM}{r^2}$।
यह बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
स्थिर वैद्युत बल के विपरीत,गुरुत्वाकर्षण बल उस माध्यम से स्वतंत्र होता है जिसमें वस्तुओं को रखा जाता है।
इसलिए,जब द्रव्यमानों के आसपास के स्थान को तरल से भर दिया जाता है,तब भी गुरुत्वाकर्षण बल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नया बल $F$ होगा।

(D) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $M_1$ और $M_2$ के बीच का बल $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$G$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $G = \frac{F r^2}{M_1 M_2}$ प्राप्त होता है।
$G$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,जिसका अर्थ है कि इसका मान द्रव्यमानों,उनके बीच की दूरी,या उस माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है जिसमें पिंड रखे गए हैं।
चूंकि $G$ एक भौतिक नियतांक है जिसकी विमाएँ $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ हैं,इसलिए इसके विशिष्ट मात्रक होते हैं (जैसे,$SI$ मात्रकों में $N \cdot m^2/kg^2$) और इसका संख्यात्मक मान उपयोग की जाने वाली मात्रक प्रणाली के आधार पर बदलता है।
इसलिए,यह कथन कि यह माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है,सही है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले दो गोले,जिनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2R$ है,उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार: $F = \frac{G m^2}{(2R)^2}$ होता है।
चूंकि गोले ठोस तांबे के हैं,उनका द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ तांबे का घनत्व है।
बल के समीकरण में $m$ का मान रखने पर:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{4R^2} = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4R^2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$.
चूंकि $G$,$\pi$,और $\rho$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto R^4$ प्राप्त होता है।

(C) किसी पिंड का द्रव्यमान उसमें निहित पदार्थ की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रव्यमान एक वस्तु का आंतरिक गुण है और यह ब्रह्मांड में किसी भी स्थान पर स्थिर रहता है।
भार के विपरीत,जो किसी विशिष्ट स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है,द्रव्यमान नहीं बदलता है।
इसलिए,यदि पृथ्वी पर पिंड का द्रव्यमान $M$ है,तो चंद्रमा पर भी यह $M$ ही रहेगा।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m$ और $(M-m)$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m (M - m)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बल को अधिकतम करने के लिए,हम $F$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dF}{dm} = 0$.
$\frac{d}{dm} \left( \frac{G M m - G m^2}{r^2} \right) = 0$.
चूंकि $G$ और $r^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{d}{dm} (M m - m^2) = 0$ प्राप्त होता है।
$M - 2m = 0$.
$M = 2m$.
अतः,अनुपात $\frac{m}{M} = \frac{1}{2}$ है।

(C) ब्लैक होल स्पेस-टाइम का एक ऐसा क्षेत्र है जहाँ गुरुत्वाकर्षण इतना शक्तिशाली होता है कि कुछ भी—कोई कण या प्रकाश जैसा विद्युत चुम्बकीय विकिरण भी—वहाँ से बाहर नहीं निकल सकता। यह विशाल तारों के गुरुत्वाकर्षण पतन (gravitational collapse) द्वारा बनता है। दिए गए विकल्पों में से विकल्प $C$ सबसे सटीक वर्णन है,क्योंकि यह अत्यधिक उच्च घनत्व और गुरुत्वाकर्षण खिंचाव वाले क्षेत्र को संदर्भित करता है।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस सूत्र को पृथ्वी के द्रव्यमान के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M = \frac{gR^2}{G}$ प्राप्त होता है।
हेनरी कैवेंडिश ने टॉर्सनल बैलेंस का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मान निर्धारित किया था।
चूंकि भूगर्भीय मापों से पृथ्वी की त्रिज्या $R$ ज्ञात है और प्रयोगों द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ ज्ञात है,इसलिए इन मानों का उपयोग करके पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ ज्ञात किया जा सकता है।
अतः,सही विधि कैवेंडिश द्वारा $G$ का निर्धारण और सतह पर $R$ और $g$ का उपयोग है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1 = xM$ और $m_2 = (1 - x)M$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{G (xM) ((1 - x)M)}{r^2}$
$F = \frac{G M^2}{r^2} (x - x^2)$
$F$ को अधिकतम करने के लिए $x$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $F$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे और इसे शून्य के बराबर रखेंगे:
$\frac{dF}{dx} = \frac{G M^2}{r^2} \frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$
$\frac{G M^2}{r^2} (1 - 2x) = 0$
चूंकि $\frac{G M^2}{r^2} \neq 0$,इसलिए:
$1 - 2x = 0$
$2x = 1$
$x = 1/2$
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल तब अधिकतम होता है जब $x = 1/2$ हो।

(D) गुरुत्वाकर्षण मुक्त अंतरिक्ष में,दो अंतरिक्ष यात्रियों के बीच कार्य करने वाला एकमात्र बल उनका पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण है।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच आकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह गुरुत्वाकर्षण बल प्रकृति में आकर्षक है,इसलिए यह दोनों अंतरिक्ष यात्रियों को एक-दूसरे की ओर खींचेगा।
अतः,वे एक-दूसरे की ओर बढ़ेंगे।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले दो गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{M^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = G \frac{(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = G \frac{\frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
अतः,$F \propto R^4$.

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,एक पिंड द्वारा दूसरे पर लगाया गया बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल पारस्परिक होता है,जिसका अर्थ है कि न्यूटन की गति के तीसरे नियम के अनुसार,पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया बल और चंद्रमा द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
इसलिए,चंद्रमा द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल,पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के समान ही होता है।

(D) कोश प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,एक समान गोलाकार कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है,और बाहर के बिंदु पर यह ऐसा व्यवहार करता है जैसे कि पूरा द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो।
$1$. स्थिति $A$ पर (दोनों कोशों के बाहर): केंद्र $O$ से दूरी $p$ है। कुल द्रव्यमान $M_1 + M_2$ है। अतः बल $F_A = G\frac{(M_1 + M_2)m}{p^2}$ होगा।
$2$. स्थिति $B$ पर (दो कोशों के बीच): केंद्र $O$ से दूरी $q$ है। कण कोश $M_1$ के बाहर है लेकिन कोश $M_2$ के अंदर है। $M_2$ के कारण बल शून्य है। $M_1$ के कारण बल $F_B = G\frac{M_1 m}{q^2}$ होगा।
$3$. स्थिति $C$ पर (दोनों कोशों के अंदर): केंद्र $O$ से दूरी $r$ है। कण दोनों कोशों $M_1$ और $M_2$ के अंदर है। इसलिए,कुल गुरुत्वाकर्षण बल $F_C = 0$ होगा।

(A) मान लीजिए कि सोने के गोलों का घनत्व $\rho$ है। प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$,$m = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो गोले संपर्क में होते हैं,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = r + r = 2r$ होती है।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F$,न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{G m^2}{d^2}$।
$m$ और $d$ के मान रखने पर:
$F = \frac{G (\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3)^2}{(2r)^2}$
$F = \frac{G \rho^2 \times \frac{16}{9} \pi^2 r^6}{4r^2}$
$F = G \rho^2 \times \frac{4}{9} \pi^2 r^4$
चूंकि $G$,$\rho$,और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F \propto r^4$ प्राप्त होता है।

(B) माना समबाहु त्रिभुज $PQR$ है जिसकी भुजा की लंबाई $l$ है। द्रव्यमान $M$ बिंदुओं $P, Q$ और $R$ पर स्थित हैं। द्रव्यमान $m$ को भुजा $QR$ के मध्य-बिंदु $L$ पर रखा गया है।
$Q$ पर स्थित द्रव्यमान $M$ द्वारा $L$ पर स्थित द्रव्यमान $m$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_Q = \frac{GMm}{(l/2)^2}$ है,जो $Q$ की दिशा में है।
$R$ पर स्थित द्रव्यमान $M$ द्वारा $L$ पर स्थित द्रव्यमान $m$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_R = \frac{GMm}{(l/2)^2}$ है,जो $R$ की दिशा में है।
चूंकि $F_Q$ और $F_R$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं $(F_Q + F_R = 0)$।
अतः $m$ पर कुल बल केवल शीर्ष $P$ पर स्थित द्रव्यमान $M$ के कारण है।
दूरी $PL$ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है,जो $PL = l \sin 60^{\circ} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ द्वारा दी जाती है।
बल का परिमाण $F = \frac{GMm}{(PL)^2} = \frac{GMm}{(l\sqrt{3}/2)^2} = \frac{GMm}{3l^2/4} = \frac{4GMm}{3l^2}$ है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m$ और $M$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच का बल $F$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{G M m}{r^2}$.
यह सूत्र केवल वस्तुओं के द्रव्यमान,उनके बीच की दूरी और सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ पर निर्भर करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल दो पिंडों के बीच मौजूद माध्यम पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,जब आसपास के स्थान को $3$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव से भर दिया जाता है,तब भी गुरुत्वाकर्षण बल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,नया बल $F$ ही रहेगा।

(A) किसी पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = m_g g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_g$ गुरुत्वीय द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। पिंड का भार इस गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है,इसलिए $W = m_g g$ होता है।
चूंकि गुरुत्वीय द्रव्यमान $m_g$ दोनों पिंडों के लिए समान है,इसलिए उनका भार $W$ समान होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m_i a$,जहाँ $m_i$ जड़त्वीय द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है। गुरुत्वाकर्षण बल को जड़त्वीय बल के बराबर करने पर,हमें $m_g g = m_i a$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,त्वरण $a = (m_g / m_i) g$ है।
चूंकि गुरुत्वीय द्रव्यमान $m_g$ समान है लेकिन जड़त्वीय द्रव्यमान $m_i$ दोनों पिंडों के लिए अलग है,इसलिए त्वरण $a$ दोनों पिंडों के लिए अलग होगा।
अतः,पिंडों का भार समान होगा लेकिन गुरुत्वीय त्वरण अलग-अलग होगा।

(A) $x = r, 2r, 4r, 8r, \ldots$ पर स्थित बिंदु द्रव्यमानों के अनंत वितरण के कारण मूल बिंदु पर रखे गए बिंदु द्रव्यमान पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ व्यक्तिगत गुरुत्वाकर्षण बलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{Gm^2}{r^2} + \frac{Gm^2}{(2r)^2} + \frac{Gm^2}{(4r)^2} + \frac{Gm^2}{(8r)^2} + \ldots$
$F = \frac{Gm^2}{r^2} \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \right]$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (geometric series) है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $q = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-q}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,$F = \frac{Gm^2}{r^2} \times \frac{4}{3} = \frac{4Gm^2}{3r^2}$.

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बाइनरी स्टार सिस्टम में,दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के चारों ओर घूमते हैं।
दोनों तारों के बीच की दूरी द्रव्यमान केंद्र से मापी गई उनकी कक्षीय त्रिज्याओं का योग है,जो $r = r_1 + r_2$ है।
इस दूरी को सूत्र में रखने पर,हमें गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण $F = \frac{G m_1 m_2}{(r_1 + r_2)^2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A$ का द्रव्यमान $4m$ है और $B$ का द्रव्यमान $3m$ है। माना $C$ का द्रव्यमान $M$ है।
माना $A$ से $C$ की दूरी $r$ है। तो $B$ से $C$ की दूरी $(1 - r)$ होगी।
$A$ और $C$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_{AC} = \frac{G(4m)M}{r^2}$ है।
$B$ और $C$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_{BC} = \frac{G(3m)M}{(1 - r)^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_{AC} = \frac{1}{3} F_{BC}$.
मान रखने पर: $\frac{G(4m)M}{r^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{G(3m)M}{(1 - r)^2}$.
सरल करने पर: $\frac{4}{r^2} = \frac{1}{(1 - r)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{r} = \frac{1}{1 - r}$.
$2(1 - r) = r \Rightarrow 2 - 2r = r \Rightarrow 3r = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{3}\, m$.

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_G = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ दोनों द्रव्यमानों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
इस मामले में,अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी की सतह से $h$ दूरी पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से उसकी दूरी $r = R + h$ है।
अतः,अंतरिक्ष यात्री पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_G = \frac{GMm}{(R + h)^2}$ है।

(A) मान लीजिए गोले का घनत्व $\rho$ है।
मूल गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
हटाए गए गोले का आयतन $V_{\text{removed}} = \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = \frac{1}{8} (\frac{4}{3}\pi R^3)$ है।
हटाए गए गोले का द्रव्यमान $m = \rho \cdot V_{\text{removed}} = \frac{M}{8}$ है।
गोले के शेष भाग का द्रव्यमान $M' = M - m = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$ है।
गोले के शेष भाग और हटाए गए गोले के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G M' m}{r^2}$
यहाँ,$r = 3R$ दोनों गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
$F = \frac{G (\frac{7M}{8}) (\frac{M}{8})}{(3R)^2}$
$F = \frac{G (\frac{7M^2}{64})}{9R^2}$
$F = \frac{7GM^2}{576R^2}$

(A) सूर्य ग्रहण के दौरान,सूर्य और चंद्रमा पृथ्वी के एक ही तरफ होते हैं। चंद्र ग्रहण के दौरान,चंद्रमा और सूर्य पृथ्वी के विपरीत दिशाओं में होते हैं।
मान लीजिए $F_S$ पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल है,और $F_L$ पृथ्वी और चंद्रमा के बीच गुरुत्वाकर्षण बल है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,पृथ्वी पर कुल बल $F = m_e a$ है,जहाँ $m_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
सूर्य ग्रहण के दौरान,सूर्य और चंद्रमा के बल पृथ्वी पर एक ही दिशा में कार्य करते हैं:
$m_e a_S = F_S + F_L$ --- $(1)$
चंद्र ग्रहण के दौरान,बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं:
$m_e a_L = F_S - F_L$ --- $(2)$
त्वरण में परिवर्तन $\Delta a = a_S - a_L$ है। समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$m_e (a_S - a_L) = (F_S + F_L) - (F_S - F_L) = 2F_L$
चूंकि $F_L = G \frac{m_e M_L}{D^2}$,जहाँ $M_L$ चंद्रमा का द्रव्यमान है और $D$ कक्षा की त्रिज्या है:
$m_e \Delta a = 2 G \frac{m_e M_L}{D^2} \implies \Delta a = \frac{2 G M_L}{D^2}$
मान रखने पर: $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,$M_L = 7.36 \times 10^{22} \ kg$,$D = 3.8 \times 10^8 \ m$:
$\Delta a = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 7.36 \times 10^{22}}{(3.8 \times 10^8)^2} = \frac{98.1776 \times 10^{11}}{14.44 \times 10^{16}} \approx 6.8 \times 10^{-5} \ m/s^2$.
सबसे निकटतम विकल्प $6.73 \times 10^{-5} \ m/s^2$ है।

(D) मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का छड़ का एक छोटा अवयव लें।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = (A + Bx^2)dx$ है।
इस अवयव द्वारा $x = 0$ पर स्थित बिंदु द्रव्यमान $m$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $dF = \frac{G(dm)m}{x^2}$ है।
$dm$ का मान रखने पर,हमें $dF = \frac{Gm(A + Bx^2)dx}{x^2} = Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx$ प्राप्त होता है।
कुल बल ज्ञात करने के लिए,हम $x = a$ से $x = a + L$ तक समाकलन करते हैं:
$F = \int_a^{a+L} Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx = Gm \left[ A \int_a^{a+L} x^{-2} dx + B \int_a^{a+L} dx \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{x} \right)_a^{a+L} + B(x)_a^{a+L} \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{a+L} + \frac{1}{a} \right) + B(a+L-a) \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right) + BL \right]$.

(B) प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M$ उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $M = V \cdot \rho = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$.
संपर्क में रखे गए दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = R + R = 2R$ है।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच बल $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ होता है।
मान रखने पर: $F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{(2R)^2}$.
$F = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$.
$F = \frac{16}{36} \pi^2 \rho^2 R^4 G = \frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 R^4 G$.

(A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया बल $(F_{EM})$ और चंद्रमा द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया बल $(F_{ME})$ एक क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाते हैं।
इसलिए,पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण,चंद्रमा द्वारा पृथ्वी पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के परिमाण के बराबर होता है।
$F_{EM} = F_{ME}$
अतः,पृथ्वी का चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण खिंचाव और चंद्रमा का पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण खिंचाव का अनुपात $1 : 1$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $m$ और $M$ द्रव्यमान के दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = G \frac{mM}{r^2}$।
यह बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
स्थिर वैद्युत बल के विपरीत,गुरुत्वाकर्षण बल उस माध्यम से स्वतंत्र होता है जिसमें वस्तुओं को रखा जाता है।
इसलिए,जब गोलों के चारों ओर के स्थान को $3$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव से भर दिया जाता है,तब भी गुरुत्वाकर्षण बल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नया बल $F$ ही होगा।

(A) माना कि प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। दोनों गोलों के बीच की दूरी $r = L + 2L \sin \theta$ है। चूंकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $r \approx L$ होगा।
गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल $F = \frac{GM^2}{r^2} \approx \frac{GM^2}{L^2}$ है।
एक गोले के संतुलन के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $F$,और भार $Mg$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = F = \frac{GM^2}{L^2}$
$T \cos \theta = Mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F}{Mg} = \frac{GM^2 / L^2}{Mg} = \frac{GM}{gL^2}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left[\frac{GM}{gL^2}\right]$.

(C) माना दूरी $RS = x$ है। चित्र से,$RS = l$ है। $P$ से $S$ की दूरी $PS = \sqrt{PR^2 + RS^2} = \sqrt{(l/2)^2 + l^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2} = \sqrt{5l^2/4} = \frac{\sqrt{5}}{2} l$ है।
$P$ पर स्थित कण द्वारा $S$ पर स्थित कण पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{G m^2}{PS^2} = \frac{G m^2}{5l^2/4} = \frac{4 G m^2}{5 l^2}$ है।
इसी प्रकार,$Q$ पर स्थित कण द्वारा $S$ पर स्थित कण पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{G m^2}{QS^2} = \frac{4 G m^2}{5 l^2}$ है।
माना $RS$ और $PS$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = \frac{RS}{PS} = \frac{l}{(\sqrt{5}/2) l} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ होगा।
बलों $F_1$ और $F_2$ के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परिणामी बल ऊर्ध्वाधर घटकों का योग है:
$F = F_1 \cos \theta + F_2 \cos \theta = 2 F_1 \cos \theta$.
मान रखने पर:
$F = 2 \times \left( \frac{4 G m^2}{5 l^2} \right) \times \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \frac{16 G m^2}{5 \sqrt{5} l^2}$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान का द्रव्यमान $m$ है। $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{Gm^2}{r^2}$ होता है।
व्यवस्था $(A)$ के लिए:
बिंदु द्रव्यमान $1$ एक सिरे पर है। अन्य दो द्रव्यमान इससे $x$ और $y$ दूरी पर हैं। चूँकि दोनों बल एक ही दिशा में कार्य करते हैं,इसलिए कुल बल $F_A = \frac{Gm^2}{x^2} + \frac{Gm^2}{y^2} = Gm^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right)$ होगा।
व्यवस्था $(B)$ के लिए:
बिंदु द्रव्यमान $1$ एक समकोण त्रिभुज के कोने पर है। अन्य दो द्रव्यमान लंबवत अक्षों पर $x$ और $y$ दूरी पर हैं। बल $F_x = \frac{Gm^2}{x^2}$ और $F_y = \frac{Gm^2}{y^2}$ हैं। कुल बल $F_B = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = Gm^2 \sqrt{\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}}$ होगा।
व्यवस्था $(C)$ के लिए:
बिंदु द्रव्यमान $1$ बीच में है। अन्य दो द्रव्यमान विपरीत दिशाओं में $x$ और $y$ दूरी पर हैं। बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए कुल बल $F_C = \left| \frac{Gm^2}{x^2} - \frac{Gm^2}{y^2} \right| = Gm^2 \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right|$ होगा।
परिमाणों की तुलना करने पर,$F_C < F_B < F_A$ (मानते हुए कि $x < y$)। अतः,बढ़ता क्रम $C, B, A$ है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है और अपनाए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा एक बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है,इसलिए इसे संरक्षी बल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(A) दोनों द्रव्यमानों पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जिसका अर्थ है $a = F/m$।
चूंकि बल $F$ दोनों के लिए समान है,इसलिए त्वरण $a$ द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a \propto 1/m)$।
दिया गया है कि $m_1 < m_2$,इसलिए $a_1 > a_2$ होगा। अतः,$m_1$ का त्वरण $m_2$ से अधिक है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल निकाय के लिए एक आंतरिक बल है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है।
इसलिए,निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

(D) मान लीजिए $M_s = 2 \times 10^{30} \; kg$ सूर्य का द्रव्यमान है और $M_e = 6 \times 10^{24} \; kg$ पृथ्वी का द्रव्यमान है। उनके बीच की दूरी $r = 1.5 \times 10^{11} \; m$ है।
मान लीजिए $x$ पृथ्वी के केंद्र से वह दूरी है जहाँ $m$ द्रव्यमान वाले रॉकेट पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के बराबर होगा:
$\frac{G M_e m}{x^2} = \frac{G M_s m}{(r - x)^2}$
$\frac{M_e}{x^2} = \frac{M_s}{(r - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{M_e}}{x} = \frac{\sqrt{M_s}}{r - x}$
$\frac{r - x}{x} = \sqrt{\frac{M_s}{M_e}}$
$\frac{r}{x} - 1 = \sqrt{\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 10^6} = \frac{1000}{\sqrt{3}} \approx 577.35$
$\frac{r}{x} = 578.35$
$x = \frac{1.5 \times 10^{11}}{578.35} \approx 2.59 \times 10^8 \; m$.

(N/A) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप प्राप्त करने के लिए,मान लीजिए कि $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान के दो बिंदु द्रव्यमान एक-दूसरे से $r$ दूरी पर स्थित हैं। उनके बीच लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ इस प्रकार है:
$F \propto m_{1} m_{2}$ ... $(1)$
$F \propto \frac{1}{r^{2}}$ ... $(2)$
इन दोनों संबंधों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F \propto \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है। इसका मान $6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}$ है। इसे सार्वत्रिक नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान ब्रह्मांड में हर जगह समान रहता है।

(N/A) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
यह बल दोनों पिंडों को जोड़ने वाली रेखा पर कार्य करता है।
इस बल को गुरुत्वाकर्षण बल कहा जाता है।
$\therefore \left|\overrightarrow{F}_{12}\right| = \left|\overrightarrow{F}_{21}\right| = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
जहाँ $m_{1}$ और $m_{2}$ दोनों पिंडों के द्रव्यमान हैं,$r$ उनके बीच की दूरी है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
आकृति के अनुसार,$m_{1}$ और $m_{2}$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में रखे गए दो द्रव्यमान हैं और $\vec{r}_{1}$ तथा $\vec{r}_{2}$ उनके स्थिति सदिश हैं।
$m_{1}$ से $m_{2}$ तक का विस्थापन सदिश $\overrightarrow{r}_{12} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ है।
$\overrightarrow{r}_{12}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r}_{12} = \frac{\overrightarrow{r}_{12}}{\left|\overrightarrow{r}_{12}\right|} = \frac{\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}}{r}$ है,जहाँ $r = \left|\overrightarrow{r}_{12}\right|$ है।
द्रव्यमान $m_{2}$ द्वारा द्रव्यमान $m_{1}$ पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $\overrightarrow{F}_{12} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}_{21}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{r}_{21}$ द्रव्यमान $m_{2}$ से $m_{1}$ की दिशा में इकाई सदिश है।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत यह बताता है कि किसी कण पर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल अन्य सभी कणों द्वारा उस पर लगाए गए व्यक्तिगत गुरुत्वाकर्षण बलों का सदिश योग (vector sum) होता है।
यदि $m_1$ द्रव्यमान का एक कण $m_2, m_3, ..., m_n$ द्रव्यमान वाले कणों से क्रमशः $r_{12}, r_{13}, ..., r_{1n}$ दूरी पर स्थित है,तो $m_1$ पर लगने वाला कुल बल $\vec{F}_1$ होगा:
$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + ... + \vec{F}_{1n} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$
जहाँ किसी भी द्रव्यमान $m_i$ के कारण लगने वाला बल इस प्रकार है:
$\vec{F}_{1i} = G \frac{m_1 m_i}{|\vec{r}_{1i}|^2} \hat{r}_{1i}$
यहाँ,$\hat{r}_{1i}$ वह एकांक सदिश (unit vector) है जो $m_1$ से $m_i$ की दिशा में इंगित करता है। चित्र में दिखाए अनुसार कुल बल इन व्यक्तिगत बलों का सदिश योग है।

(N/A) पृथ्वी जैसी विस्तृत वस्तु और एक बिंदु द्रव्यमान के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के लिए $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ समीकरण सीधे लागू नहीं होता है,क्योंकि यह केवल बिंदु द्रव्यमानों के लिए मान्य है।
विस्तृत वस्तु के भीतर प्रत्येक सूक्ष्म बिंदु द्रव्यमान दिए गए बिंदु द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है। चूंकि ये व्यक्तिगत बल अलग-अलग दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए कुल बल प्राप्त करने के लिए इन सभी सूक्ष्म बलों का सदिश योग करना आवश्यक है।
इस योग को गणितीय रूप से विस्तृत वस्तु के आयतन पर समाकलन (integral) के रूप में दर्शाया जाता है: $\vec{F} = \int d\vec{F}$। इस प्रक्रिया को कलन (Calculus) का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।

(A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच $r$ दूरी पर लगने वाला बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि नए द्रव्यमान $m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$ हैं,और नई दूरी $r' = 2r$ है।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = G \frac{m_1' m_2'}{(r')^2}$.
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $F' = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{(2r)^2} = G \frac{4 m_1 m_2}{4 r^2}$.
समीकरण को सरल करने पर: $F' = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = F$.
अतः,नया गुरुत्वाकर्षण बल समान रहता है।