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Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation Questions in Hindi
Class 11 Physics · Gravitation · Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation
60+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 60 questions in Hindi
1
MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $nR$ ऊँचाई तक ले जाने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन क्या होगा? ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)
A
$mgR\frac{n}{n-1}$
B
$nmgR$
C
$mgR\frac{n^2}{n^2+1}$
D
$mgR\frac{n}{n+1}$
Solution
(D) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $h = nR$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + nR = R(1+n)$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} (1 - \frac{1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{1+n-1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{n}{n+1})$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} (\frac{n}{n+1}) = mgR \frac{n}{n+1}$।
सतह से $h = nR$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + nR = R(1+n)$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} (1 - \frac{1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{1+n-1}{1+n}) = \frac{GMm}{R} (\frac{n}{n+1})$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} (\frac{n}{n+1}) = mgR \frac{n}{n+1}$।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह पर रखा गया है। इसे पृथ्वी की सतह से $h = 3R$ की ऊँचाई तक ले जाया जाता है। पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है
A
$\frac{2}{3}mgR$
B
$\frac{3}{4}mgR$
C
$\frac{mgR}{2}$
D
$\frac{mgR}{4}$
Solution
(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r_1 = R$,इसलिए $U_1 = -\frac{GMm}{R}$।
$h = 3R$ की ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ है।
अतः,$U_2 = -\frac{GMm}{4R}$।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$।
पृथ्वी की सतह पर,$r_1 = R$,इसलिए $U_1 = -\frac{GMm}{R}$।
$h = 3R$ की ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ है।
अतः,$U_2 = -\frac{GMm}{4R}$।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह से $2R$ ऊपर से गिरना शुरू करता है। जब यह पृथ्वी की सतह से $R$ ऊपर गिरता है,तो इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी? [$R$ = पृथ्वी की त्रिज्या,$M$ = पृथ्वी का द्रव्यमान,$G$ = गुरुत्वाकर्षण नियतांक]
A
$\frac{1}{2} \frac{GMm}{R}$
B
$\frac{1}{6} \frac{GMm}{R}$
C
$\frac{2}{3} \frac{GMm}{R}$
D
$\frac{1}{3} \frac{GMm}{R}$
Solution
(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
प्रारंभिक स्थिति पृथ्वी की सतह से $2R$ ऊपर है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_i = R + 2R = 3R$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_i = -\frac{GMm}{3R}$।
अंतिम स्थिति पृथ्वी की सतह से $R$ ऊपर है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_f = R + R = 2R$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा $(KE)$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$KE = U_i - U_f = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$KE = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$।
प्रारंभिक स्थिति पृथ्वी की सतह से $2R$ ऊपर है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_i = R + 2R = 3R$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_i = -\frac{GMm}{3R}$।
अंतिम स्थिति पृथ्वी की सतह से $R$ ऊपर है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_f = R + R = 2R$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा $(KE)$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$KE = U_i - U_f = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$KE = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को $2R$ त्रिज्या की कक्षा से $3R$ त्रिज्या की कक्षा में ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है
A
$\frac{G M m}{12 R^{2}}$
B
$\frac{G M m}{3 R^{2}}$
C
$\frac{ G M m }{8 R }$
D
$\frac{ G M m }{6 R }$
Solution
(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पिंड को प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2R$ से अंतिम त्रिज्या $r_2 = 3R$ तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है,$\Delta U = U_f - U_i$.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{3 - 2}{6R} \right) = \frac{GMm}{6R}$.
पिंड को प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2R$ से अंतिम त्रिज्या $r_2 = 3R$ तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है,$\Delta U = U_f - U_i$.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{3 - 2}{6R} \right) = \frac{GMm}{6R}$.
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EasyMCQ
एक मिसाइल को पलायन वेग (escape velocity) से कम वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। इसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है
A
धनात्मक
B
ऋणात्मक
C
शून्य
D
इसके प्रारंभिक वेग के आधार पर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है
Solution
(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
यदि किसी मिसाइल को पलायन वेग $v_e = \sqrt{2GM/R}$ से प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसकी कुल ऊर्जा शून्य होती है,जिससे वह अनंत तक पलायन कर सकती है।
यदि प्रक्षेपण वेग $v$,पलायन वेग से कम $(v < v_e)$ है,तो पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से बंधा रहता है।
एक बद्ध निकाय (bound system) के लिए,कुल ऊर्जा $E = K + U$ हमेशा ऋणात्मक होती है।
यह ऋणात्मक मान दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण का है और वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर नहीं निकल सकती है।
यदि किसी मिसाइल को पलायन वेग $v_e = \sqrt{2GM/R}$ से प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसकी कुल ऊर्जा शून्य होती है,जिससे वह अनंत तक पलायन कर सकती है।
यदि प्रक्षेपण वेग $v$,पलायन वेग से कम $(v < v_e)$ है,तो पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से बंधा रहता है।
एक बद्ध निकाय (bound system) के लिए,कुल ऊर्जा $E = K + U$ हमेशा ऋणात्मक होती है।
यह ऋणात्मक मान दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण का है और वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर नहीं निकल सकती है।
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EasyMCQ
सौर मंडल में,किस राशि का संरक्षण होता है?
A
कुल ऊर्जा
B
गतिज ऊर्जा
C
कोणीय वेग
D
रैखिक संवेग
Solution
(A) सौर मंडल में,ग्रह की कक्षा एक दीर्घवृत्त होती है और सूर्य इसके दो केंद्रों में से एक पर स्थित होता है।
जैसे-जैसे ग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति करता है,सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी बदलती रहती है,इसलिए कक्षा के प्रत्येक बिंदु पर ग्रह का वेग समान नहीं होता है।
चूंकि वेग बदलता है,इसलिए रैखिक संवेग $(p = mv)$ और गतिज ऊर्जा $(K.E. = \frac{1}{2}mv^2)$ दोनों संरक्षित नहीं रहते हैं।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार कोणीय वेग भी बदलता रहता है।
हालाँकि,चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है,इसलिए ग्रह-सूर्य प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(K.E. + P.E.)$ संरक्षित रहती है।
जैसे-जैसे ग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति करता है,सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी बदलती रहती है,इसलिए कक्षा के प्रत्येक बिंदु पर ग्रह का वेग समान नहीं होता है।
चूंकि वेग बदलता है,इसलिए रैखिक संवेग $(p = mv)$ और गतिज ऊर्जा $(K.E. = \frac{1}{2}mv^2)$ दोनों संरक्षित नहीं रहते हैं।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार कोणीय वेग भी बदलता रहता है।
हालाँकि,चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है,इसलिए ग्रह-सूर्य प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(K.E. + P.E.)$ संरक्षित रहती है।
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MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान के एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $V$ प्रारंभिक गति के साथ लंबवत रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी की त्रिज्या $R$ और हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए,रॉकेट द्वारा पृथ्वी की सतह से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या है?
A
$R / \left( \frac{gR}{2V^2} - 1 \right)$
B
$R \left( \frac{gR}{2V^2} - 1 \right)$
C
$R / \left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)$
D
$R \left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)$
Solution
(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ का उपयोग करने पर,$GM_e = gR^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$
अंश और हर को $V^2$ से विभाजित करने पर: $h = \frac{R}{\frac{2gR}{V^2} - 1}$
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ का उपयोग करने पर,$GM_e = gR^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$
अंश और हर को $V^2$ से विभाजित करने पर: $h = \frac{R}{\frac{2gR}{V^2} - 1}$
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EasyMCQ
केंद्रीय बल के प्रभाव में,निम्नलिखित में से किसका संरक्षण होता है?
A
केवल कोणीय संवेग का
B
केवल यांत्रिक ऊर्जा का
C
कोणीय संवेग और यांत्रिक ऊर्जा दोनों का
D
कोणीय संवेग या यांत्रिक ऊर्जा का
Solution
(C) केंद्रीय बल वह बल है जो कण और मूल बिंदु (बल का केंद्र) को जोड़ने वाली रेखा की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि केंद्रीय बल के लिए टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है (क्योंकि $\vec{r}$ और $\vec{F}$ संरेखीय हैं),इसलिए कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
इसके अतिरिक्त,केंद्रीय बल संरक्षी बल होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनके द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U$ संरक्षित रहती है।
अतः,केंद्रीय बल के प्रभाव में कोणीय संवेग और यांत्रिक ऊर्जा दोनों का संरक्षण होता है।
चूंकि केंद्रीय बल के लिए टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है (क्योंकि $\vec{r}$ और $\vec{F}$ संरेखीय हैं),इसलिए कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
इसके अतिरिक्त,केंद्रीय बल संरक्षी बल होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनके द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K + U$ संरक्षित रहती है।
अतः,केंद्रीय बल के प्रभाव में कोणीय संवेग और यांत्रिक ऊर्जा दोनों का संरक्षण होता है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $2R$ की ऊँचाई से मुक्त किया जाता है। पृथ्वी की सतह से $R$ की ऊँचाई पर इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी? (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है)
A
$\frac{1}{2} \frac{GMm}{R}$
B
$\frac{1}{6} \frac{GMm}{R}$
C
$\frac{2}{3} \frac{GMm}{R}$
D
$\frac{1}{3} \frac{GMm}{R}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक ऊँचाई,$r_1 = R + 2R = 3R$.
पृथ्वी के केंद्र से अंतिम ऊँचाई,$r_2 = R + R = 2R$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{3R}$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा,$U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन,$\Delta U = U_1 - U_2 = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$.
$\Delta U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.
चूँकि पिंड को विराम अवस्था से मुक्त किया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा में वृद्धि $K = \Delta U = \frac{1}{6} \frac{GMm}{R}$ होगी।
पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक ऊँचाई,$r_1 = R + 2R = 3R$.
पृथ्वी के केंद्र से अंतिम ऊँचाई,$r_2 = R + R = 2R$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{3R}$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा,$U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन,$\Delta U = U_1 - U_2 = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$.
$\Delta U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.
चूँकि पिंड को विराम अवस्था से मुक्त किया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा में वृद्धि $K = \Delta U = \frac{1}{6} \frac{GMm}{R}$ होगी।
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DifficultMCQ
$R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से एक रॉकेट को $V$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?
A
$\frac{R}{(\frac{gR}{2V^2} - 1)}$
B
$R(\frac{gR}{2V^2} - 1)$
C
$\frac{R}{(\frac{2gR}{V^2} - 1)}$
D
$R(\frac{2gR}{V^2} - 1)$
Solution
(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा और अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा समान होती है।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ रखने पर: $\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इसका मान रखने पर:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{R+h-R}{R(R+h)}) = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{2gR}{V^2} = \frac{R+h}{h} = \frac{R}{h} + 1$
$\frac{R}{h} = \frac{2gR}{V^2} - 1$
$h = \frac{R}{(\frac{2gR}{V^2} - 1)}$
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ रखने पर: $\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इसका मान रखने पर:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$
$\frac{V^2}{2} = gR^2 (\frac{R+h-R}{R(R+h)}) = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{2gR}{V^2} = \frac{R+h}{h} = \frac{R}{h} + 1$
$\frac{R}{h} = \frac{2gR}{V^2} - 1$
$h = \frac{R}{(\frac{2gR}{V^2} - 1)}$
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के दोगुने के बराबर ऊंचाई तक ले जाया जाता है। पिंड की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होगा
A
$\frac{2}{3}mgR$
B
$3mgR$
C
$\frac{1}{3}mgR$
D
$2mgR$
Solution
(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_i = R$ है।
अतः,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $h = 2R$ की ऊंचाई पर,केंद्र से दूरी $r_f = R + h = R + 2R = 3R$ है।
अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{3R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}\frac{GMm}{R}$।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
यह मान रखने पर,$\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR^2)m}{R} = \frac{2}{3}mgR$।
पृथ्वी की सतह पर,केंद्र से दूरी $r_i = R$ है।
अतः,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $h = 2R$ की ऊंचाई पर,केंद्र से दूरी $r_f = R + h = R + 2R = 3R$ है।
अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{3R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}\frac{GMm}{R}$।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
यह मान रखने पर,$\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR^2)m}{R} = \frac{2}{3}mgR$।
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View Solution12
DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या की तीन गुनी ऊँचाई तक ऊपर उठाया जाता है। पिंड की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन क्या होगा? (जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।)
A
$3mgR$
B
$\frac{3}{4} mgR$
C
$\frac{1}{3} mgR$
D
$\frac{2}{3} mgR$
Solution
(B) $m$ द्रव्यमान के पिंड को पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई तक ले जाने पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta U = \frac{mgh}{1 + \frac{h}{R}}$.
दिया गया है कि ऊँचाई $h = 3R$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{mg(3R)}{1 + \frac{3R}{R}}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{1 + 3}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{4}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{3}{4} mgR$ है।
दिया गया है कि ऊँचाई $h = 3R$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{mg(3R)}{1 + \frac{3R}{R}}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{1 + 3}$
$\Delta U = \frac{3mgR}{4}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{3}{4} mgR$ है।
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DifficultMCQ
दो द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ अनंत पर विरामावस्था में हैं। जब उनके बीच की दूरी $d$ हो,तो गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के कारण उनके सापेक्ष दृष्टिकोण का वेग ज्ञात कीजिए।
A
$\sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{2d}}$
B
$\sqrt{\frac{2G(m_1 + m_2)}{d}}$
C
$\sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{8d}}$
D
$\sqrt{\frac{G(m_1 + m_2)}{d}}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर प्रारंभिक कुल ऊर्जा $0$ है।
$d$ दूरी पर,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $K.E. + P.E. = 0$.
रिड्यूस्ड मास $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा $-\frac{G m_1 m_2}{d}$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$.
$v_{rel}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$.
$v_{rel}^2 = \frac{2G(m_1 + m_2)}{d}$.
$v_{rel} = \sqrt{\frac{2G(m_1 + m_2)}{d}}$.
$d$ दूरी पर,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $K.E. + P.E. = 0$.
रिड्यूस्ड मास $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा $-\frac{G m_1 m_2}{d}$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$.
$v_{rel}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{rel}^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$.
$v_{rel}^2 = \frac{2G(m_1 + m_2)}{d}$.
$v_{rel} = \sqrt{\frac{2G(m_1 + m_2)}{d}}$.
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DifficultMCQ
एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से $u = \sqrt{Rg}$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है। वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{R}{2}$
B
$R$
C
$2R$
D
$3R$
Solution
(B) माना $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से $u = \sqrt{Rg}$ के प्रारंभिक वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। माना कि यह पृथ्वी की सतह से $h$ अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m u^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है कि $u^2 = Rg$ और $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। समीकरण में $u^2 = Rg$ और $GM = gR^2$ रखने पर:
$\frac{1}{2} m (Rg) - \frac{(gR^2) m}{R} = - \frac{(gR^2) m}{R+h}$
$\frac{1}{2} mgR - mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$-\frac{1}{2} mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 2R$
$h = R$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m u^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है कि $u^2 = Rg$ और $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। समीकरण में $u^2 = Rg$ और $GM = gR^2$ रखने पर:
$\frac{1}{2} m (Rg) - \frac{(gR^2) m}{R} = - \frac{(gR^2) m}{R+h}$
$\frac{1}{2} mgR - mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$-\frac{1}{2} mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 2R$
$h = R$
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DifficultMCQ
यदि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है,तो $m$ द्रव्यमान की वस्तु को पृथ्वी की सतह से उसकी त्रिज्या के आधे के बराबर ऊँचाई तक उठाने में स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि कितनी होगी?
A
$\frac{mgR}{2}$
B
$\frac{2mgR}{3}$
C
$\frac{mgR}{4}$
D
$\frac{mgR}{3}$
Solution
(D) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h = \frac{R}{2}$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{3R/2} = -\frac{2GMm}{3R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{3R}$।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{3R} = \frac{mgR}{3}$ प्राप्त होता है।
$h = \frac{R}{2}$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{3R/2} = -\frac{2GMm}{3R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{3R}$।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में रखने पर,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{3R} = \frac{mgR}{3}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक ग्रह से पलायन वेग $V_e$ है। ग्रह के व्यास के अनुदिश एक सुरंग खोदी जाती है और उसमें एक छोटा पिंड गिराया जाता है। ग्रह के केंद्र पर पिंड की चाल क्या होगी?
A
$\frac{V_e}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{V_e}{2}$
C
$V_e$
D
$2V_e$
Solution
(A) ग्रह की सतह पर स्थितिज ऊर्जा $U_s = -\frac{GMm}{R}$ है।
ग्रह के केंद्र पर स्थितिज ऊर्जा $U_c = -\frac{3GMm}{2R}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा केंद्र पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$-\frac{GMm}{R} + 0 = -\frac{3GMm}{2R} + \frac{1}{2}mv^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{2R}$.
अतः,$v^2 = \frac{GM}{R}$.
चूंकि पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\frac{GM}{R} = \frac{V_e^2}{2}$.
इस मान को $v^2$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $v^2 = \frac{V_e^2}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = \frac{V_e}{\sqrt{2}}$।
ग्रह के केंद्र पर स्थितिज ऊर्जा $U_c = -\frac{3GMm}{2R}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा केंद्र पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$-\frac{GMm}{R} + 0 = -\frac{3GMm}{2R} + \frac{1}{2}mv^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{2R}$.
अतः,$v^2 = \frac{GM}{R}$.
चूंकि पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\frac{GM}{R} = \frac{V_e^2}{2}$.
इस मान को $v^2$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $v^2 = \frac{V_e^2}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = \frac{V_e}{\sqrt{2}}$।
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DifficultMCQ
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो काल्पनिक ग्रह जब अनंत दूरी पर होते हैं तो स्थिर होते हैं। गुरुत्वाकर्षण बल के कारण,वे अपने केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश एक-दूसरे की ओर गति करते हैं। जब उनके बीच की दूरी $d$ होती है,तो उनकी गति क्या होगी? ($m_1$ की गति $v_1$ है और $m_2$ की गति $v_2$ है)
A
$v_1 = v_2$
B
$v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}, v_2 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
C
$v_1 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}, v_2 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
D
$v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{m_1}}, v_2 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{m_2}}$
Solution
(B) अनंत दूरी पर निकाय की प्रारंभिक कुल ऊर्जा $0$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर कुल ऊर्जा भी $0$ होनी चाहिए:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{G m_1 m_2}{d} \quad ... (i)$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार (चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है):
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \implies v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$
$v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \left( \frac{m_1}{m_2} v_1 \right)^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left( \frac{m_1 + m_2}{m_2} \right) = \frac{G m_2}{d}$
$v_1^2 = \frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)} \implies v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
इसी प्रकार,$v_2 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर कुल ऊर्जा भी $0$ होनी चाहिए:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d} = 0$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{G m_1 m_2}{d} \quad ... (i)$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार (चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है):
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \implies v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$
$v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \left( \frac{m_1}{m_2} v_1 \right)^2 = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = \frac{G m_1 m_2}{d}$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left( \frac{m_1 + m_2}{m_2} \right) = \frac{G m_2}{d}$
$v_1^2 = \frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)} \implies v_1 = m_2 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$
इसी प्रकार,$v_2 = m_1 \sqrt{\frac{2G}{d(m_1 + m_2)}}$.
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MediumMCQ
एक कण को किस वेग से प्रक्षेपित किया जाना चाहिए ताकि उसकी ऊँचाई पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर हो जाए?
A
$\left(\frac{G M}{R}\right)^{1/2}$
B
$\left(\frac{8 G M}{R}\right)^{1/2}$
C
$\left(\frac{2 G M}{R}\right)^{1/2}$
D
$\left(\frac{4 G M}{R}\right)^{1/2}$
Solution
(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग शून्य होता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GM \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$
दिया गया है $h = R$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GMR}{R(R+R)} = \frac{GM}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left( \frac{GM}{R} \right)^{1/2}$
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग शून्य होता है,इसलिए अंतिम ऊर्जा: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GM \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$
दिया गया है $h = R$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GMR}{R(R+R)} = \frac{GM}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left( \frac{GM}{R} \right)^{1/2}$
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई से गिरता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। जमीन पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग क्या है? (पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है)
A
$gR$
B
$\sqrt{gR}$
C
$\sqrt{g/R}$
D
$g/R$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह से $R$ ऊँचाई पर (केंद्र से $2R$ दूरी पर) कुल यांत्रिक ऊर्जा,सतह पर (केंद्र से $R$ दूरी पर) कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
$R$ ऊँचाई पर प्रारंभिक ऊर्जा $(r = 2R)$: $E_i = -\frac{GMm}{2R} + 0$
सतह पर अंतिम ऊर्जा $(r = R)$: $E_f = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
$v^2$ के समीकरण में $GM = gR^2$ रखने पर:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
अतः,$v = \sqrt{gR}$.
$R$ ऊँचाई पर प्रारंभिक ऊर्जा $(r = 2R)$: $E_i = -\frac{GMm}{2R} + 0$
सतह पर अंतिम ऊर्जा $(r = R)$: $E_f = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
$v^2$ के समीकरण में $GM = gR^2$ रखने पर:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
अतः,$v = \sqrt{gR}$.
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DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान के एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $V$ प्रारंभिक गति के साथ लंबवत रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है और वायु प्रतिरोध नगण्य है,तो रॉकेट द्वारा पृथ्वी की सतह से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?
A
$\frac{R}{\left( \frac{gR}{2V^2} - 1 \right)}$
B
$R\left( \frac{gR}{2V^2} - 1 \right)$
C
$\frac{R}{\left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)}$
D
$R\left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)$
Solution
(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल यांत्रिक ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $GM_e = gR^2$ प्राप्त होता है:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2} = \frac{R}{\left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)}$
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GM_eM}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2}MV^2 - \frac{GM_eM}{R} = - \frac{GM_eM}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM_e \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
$g = \frac{GM_e}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $GM_e = gR^2$ प्राप्त होता है:
$\frac{V^2}{2} = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{gR^2h}{R(R+h)} = \frac{gRh}{R+h}$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2} = \frac{R}{\left( \frac{2gR}{V^2} - 1 \right)}$
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DifficultMCQ
पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है। यदि किसी पिंड को पृथ्वी की सतह से $3R$ की ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होगा:
A
$3mgR$
B
$\frac{3}{2}mgR$
C
$mgR$
D
$\frac{3}{4}mgR$
Solution
(D) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $h = 3R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा,केंद्र से दूरी $r = R + 3R = 4R$ होगी। अतः,$U_f = -\frac{GMm}{4R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,इसलिए $GM = gR^2$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी की सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
सतह से $h = 3R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा,केंद्र से दूरी $r = R + 3R = 4R$ होगी। अतः,$U_f = -\frac{GMm}{4R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,इसलिए $GM = gR^2$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊंचाई से गिराया जाता है। जब यह जमीन पर पहुँचता है,तो इसका वेग क्या होगा?
A
$\left[ \frac{GM}{R} \right]$
B
$\left[ \frac{GM}{R} \right]^{1/2}$
C
$\left[ \frac{2GM}{R} \right]^{1/2}$
D
$\left[ \frac{2GM}{R} \right]$
Solution
(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक ऊंचाई पर कुल ऊर्जा और पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
प्रारंभिक ऊंचाई $h = R$ है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r_i = R + h = 2R$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{2R}$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
सतह पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
$v^2 = \frac{GM}{R}$.
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left[ \frac{GM}{R} \right]^{1/2}$.
प्रारंभिक ऊंचाई $h = R$ है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r_i = R + h = 2R$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{2R}$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
सतह पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
$v^2 = \frac{GM}{R}$.
$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \left[ \frac{GM}{R} \right]^{1/2}$.
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MediumMCQ
एक पिंड पृथ्वी के केंद्र से $R_0$ दूरी पर स्थित एक बिंदु से विराम अवस्था से चलना शुरू करता है। पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग क्या होगा? ($R$ पृथ्वी की त्रिज्या को दर्शाता है)।
A
$2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$
B
$\sqrt{2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$
C
$GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$
D
$2GM\sqrt{\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु $(r = R_0)$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा पृथ्वी की सतह $(r = R)$ पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $(E_i)$ = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा + प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = $0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
अंतिम ऊर्जा $(E_f)$ = अंतिम गतिज ऊर्जा + अंतिम स्थितिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v = \sqrt{2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$.
प्रारंभिक ऊर्जा $(E_i)$ = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा + प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = $0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
अंतिम ऊर्जा $(E_f)$ = अंतिम गतिज ऊर्जा + अंतिम स्थितिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v = \sqrt{2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$.
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई $h$ तक ले जाने में किया गया कार्य है
A
$mgR$
B
$2mgR$
C
$\frac{1}{2}mgR$
D
$\frac{3}{2}mgR$
Solution
(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
चूँकि $h = R$ दिया गया है,हम समीकरण में मान रखते हैं:
$W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = GMm \left( \frac{1}{2R} \right) = \frac{GMm}{2R}$.
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ का मान $W$ के व्यंजक में रखने पर:
$W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
चूँकि $h = R$ दिया गया है,हम समीकरण में मान रखते हैं:
$W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = GMm \left( \frac{1}{2R} \right) = \frac{GMm}{2R}$.
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ का मान $W$ के व्यंजक में रखने पर:
$W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.
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MediumMCQ
यह मानते हुए कि अनंत पर किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा शून्य है,पृथ्वी की सतह (त्रिज्या $R$) से $h$ ऊँचाई पर ले जाने पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन (अंतिम - प्रारंभिक) क्या होगा?
A
$-\frac{GMm}{R+h}$
B
$\frac{GMmh}{R(R+h)}$
C
$mgh$
D
$\frac{GMm}{R+h}$
Solution
(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से प्रारंभिक दूरी $r_i = R$ है।
केंद्र से अंतिम दूरी $r_f = R + h$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
केंद्र से प्रारंभिक दूरी $r_i = R$ है।
केंद्र से अंतिम दूरी $r_f = R + h$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
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DifficultMCQ
एक क्षुद्रग्रह (asteroid) सीधे पृथ्वी के केंद्र की ओर बढ़ रहा है। जब यह पृथ्वी के केंद्र से $10 R$ ($R$ पृथ्वी की त्रिज्या है) की दूरी पर होता है,तो इसकी गति $12 \; km/s$ होती है। पृथ्वी के वायुमंडल के प्रभाव की उपेक्षा करते हुए,जब यह पृथ्वी की सतह से टकराएगा तो क्षुद्रग्रह की गति क्या होगी? (पृथ्वी से पलायन वेग $11.2 \; km/s$ है)। अपना उत्तर $km/s$ में निकटतम पूर्णांक में दें।
A
$20$
B
$24$
C
$14$
D
$16$
Solution
(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $U_1 + K_1 = U_2 + K_2$
यहाँ,$U = -\frac{GM_e m}{r}$ और $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ है।
$r_1 = 10R$ की दूरी पर,गति $v_1 = 12 \; km/s$ है। सतह पर $r_2 = R$ की दूरी पर,गति $v_2$ है।
$-\frac{GM_e m}{10R} + \frac{1}{2}mv_1^2 = -\frac{GM_e m}{R} + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}v_2^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{GM_e}{R} - \frac{GM_e}{10R} = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{9}{10} \left( \frac{GM_e}{R} \right)$
$\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_2^2 = v_1^2 + \frac{9}{10} v_e^2$
$v_2^2 = (12)^2 + 0.9 \times (11.2)^2 = 144 + 0.9 \times 125.44 = 144 + 112.896 = 256.896$
$v_2 = \sqrt{256.896} \approx 16.028 \; km/s$.
निकटतम पूर्णांक $16 \; km/s$ है।
यहाँ,$U = -\frac{GM_e m}{r}$ और $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ है।
$r_1 = 10R$ की दूरी पर,गति $v_1 = 12 \; km/s$ है। सतह पर $r_2 = R$ की दूरी पर,गति $v_2$ है।
$-\frac{GM_e m}{10R} + \frac{1}{2}mv_1^2 = -\frac{GM_e m}{R} + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}v_2^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{GM_e}{R} - \frac{GM_e}{10R} = \frac{1}{2}v_1^2 + \frac{9}{10} \left( \frac{GM_e}{R} \right)$
$\frac{GM_e}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_2^2 = v_1^2 + \frac{9}{10} v_e^2$
$v_2^2 = (12)^2 + 0.9 \times (11.2)^2 = 144 + 0.9 \times 125.44 = 144 + 112.896 = 256.896$
$v_2 = \sqrt{256.896} \approx 16.028 \; km/s$.
निकटतम पूर्णांक $16 \; km/s$ है।
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Difficult
समान त्रिज्या $R$ वाले लेकिन $M$ और $4M$ द्रव्यमान वाले दो एकसमान ठोस गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $6R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। दोनों गोलों को स्थिर रखा गया है। $m$ द्रव्यमान के एक प्रक्षेप्य को $M$ द्रव्यमान वाले गोले की सतह से सीधे दूसरे गोले के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप्य की न्यूनतम चाल $v$ के लिए व्यंजक प्राप्त करें ताकि वह दूसरे गोले की सतह तक पहुँच सके।
Solution
(N/A) प्रक्षेप्य पर दोनों गोलों द्वारा परस्पर विपरीत गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करते हैं। उदासीन बिंदु $N$ वह स्थिति है जहाँ दोनों बल एक-दूसरे को पूरी तरह से निरस्त कर देते हैं। यदि $ON = r$ है,तो:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{4GMm}{(6R - r)^2}$
$(6R - r)^2 = 4r^2$
$6R - r = \pm 2r$
$r = 2R$ या $r = -6R$ (ऋणात्मक मान को छोड़ते हुए क्योंकि यह गोलों के बीच के क्षेत्र के बाहर है)।
अतः,उदासीन बिंदु केंद्र $O$ से $r = 2R$ की दूरी पर है।
प्रक्षेप्य को ऐसी चाल से प्रक्षेपित करना पर्याप्त है कि वह $N$ तक पहुँच सके। उसके बाद,$4M$ द्रव्यमान वाले गोले का अधिक गुरुत्वाकर्षण बल उसे दूसरे गोले की ओर खींच लेगा।
$M$ द्रव्यमान वाले गोले की सतह पर यांत्रिक ऊर्जा:
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R}$
उदासीन बिंदु $N$ पर,चाल शून्य के निकट पहुँच जाती है। $N$ पर यांत्रिक ऊर्जा केवल स्थितिज ऊर्जा है:
$E_N = -\frac{GMm}{2R} - \frac{4GMm}{4R} = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{2R}$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार $(E_i = E_N)$:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R} = -\frac{3GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{4GM}{5R} - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{R} \left( 1 + 0.8 - 1.5 \right) = \frac{GM}{R} (0.3) = \frac{3GM}{10R}$
$v^2 = \frac{6GM}{10R} = \frac{3GM}{5R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{5R}}$
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{4GMm}{(6R - r)^2}$
$(6R - r)^2 = 4r^2$
$6R - r = \pm 2r$
$r = 2R$ या $r = -6R$ (ऋणात्मक मान को छोड़ते हुए क्योंकि यह गोलों के बीच के क्षेत्र के बाहर है)।
अतः,उदासीन बिंदु केंद्र $O$ से $r = 2R$ की दूरी पर है।
प्रक्षेप्य को ऐसी चाल से प्रक्षेपित करना पर्याप्त है कि वह $N$ तक पहुँच सके। उसके बाद,$4M$ द्रव्यमान वाले गोले का अधिक गुरुत्वाकर्षण बल उसे दूसरे गोले की ओर खींच लेगा।
$M$ द्रव्यमान वाले गोले की सतह पर यांत्रिक ऊर्जा:
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R}$
उदासीन बिंदु $N$ पर,चाल शून्य के निकट पहुँच जाती है। $N$ पर यांत्रिक ऊर्जा केवल स्थितिज ऊर्जा है:
$E_N = -\frac{GMm}{2R} - \frac{4GMm}{4R} = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{2R}$
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार $(E_i = E_N)$:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{4GMm}{5R} = -\frac{3GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{4GM}{5R} - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{R} \left( 1 + 0.8 - 1.5 \right) = \frac{GM}{R} (0.3) = \frac{3GM}{10R}$
$v^2 = \frac{6GM}{10R} = \frac{3GM}{5R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{5R}}$
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Difficult
एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $5 \; km/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी पर वापस लौटने से पहले रॉकेट पृथ्वी की सतह से कितनी दूर जाएगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 6.0 \times 10^{24} \; kg$,पृथ्वी की औसत त्रिज्या $R_e = 6.4 \times 10^{6} \; m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$)
Solution
(A) माना रॉकेट का द्रव्यमान $m$ है और प्राप्त की गई ऊँचाई $h$ है।
पृथ्वी की सतह पर,कुल ऊर्जा $E_i$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $v = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा $E_f$ केवल स्थितिज ऊर्जा है:
$E_f = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e} = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
$m$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v^2}{2} = G M_e \left( \frac{1}{R_e} - \frac{1}{R_e + h} \right) = G M_e \left( \frac{h}{R_e(R_e + h)} \right)$
$g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $G M_e = g R_e^2$:
$\frac{v^2}{2} = \frac{g R_e^2 h}{R_e(R_e + h)} = \frac{g R_e h}{R_e + h}$
$h$ के लिए हल करने पर:
$v^2(R_e + h) = 2 g R_e h \implies v^2 R_e = h(2 g R_e - v^2)$
$h = \frac{R_e v^2}{2 g R_e - v^2}$
मान रखने पर $v = 5 \times 10^3 \; m/s$,$R_e = 6.4 \times 10^6 \; m$,$g = 9.8 \; m/s^2$:
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times (5 \times 10^3)^2}{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6 - (5 \times 10^3)^2}$
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times 25 \times 10^6}{125.44 \times 10^6 - 25 \times 10^6} = \frac{160 \times 10^{12}}{100.44 \times 10^6} \approx 1.593 \times 10^6 \; m \approx 1.6 \times 10^6 \; m$.
पृथ्वी की सतह पर,कुल ऊर्जा $E_i$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $v = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा $E_f$ केवल स्थितिज ऊर्जा है:
$E_f = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_e m}{R_e} = -\frac{G M_e m}{R_e + h}$
$m$ से भाग देने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v^2}{2} = G M_e \left( \frac{1}{R_e} - \frac{1}{R_e + h} \right) = G M_e \left( \frac{h}{R_e(R_e + h)} \right)$
$g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $G M_e = g R_e^2$:
$\frac{v^2}{2} = \frac{g R_e^2 h}{R_e(R_e + h)} = \frac{g R_e h}{R_e + h}$
$h$ के लिए हल करने पर:
$v^2(R_e + h) = 2 g R_e h \implies v^2 R_e = h(2 g R_e - v^2)$
$h = \frac{R_e v^2}{2 g R_e - v^2}$
मान रखने पर $v = 5 \times 10^3 \; m/s$,$R_e = 6.4 \times 10^6 \; m$,$g = 9.8 \; m/s^2$:
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times (5 \times 10^3)^2}{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6 - (5 \times 10^3)^2}$
$h = \frac{6.4 \times 10^6 \times 25 \times 10^6}{125.44 \times 10^6 - 25 \times 10^6} = \frac{160 \times 10^{12}}{100.44 \times 10^6} \approx 1.593 \times 10^6 \; m \approx 1.6 \times 10^6 \; m$.
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Medium
एक सौर द्रव्यमान $\left(=2 \times 10^{30} \; kg\right)$ वाले दो तारे एक-दूसरे की ओर आमने-सामने की टक्कर के लिए आ रहे हैं। जब वे $10^{9} \; km$ की दूरी पर होते हैं,तो उनकी गति नगण्य होती है। वे किस गति से टकराएंगे? प्रत्येक तारे की त्रिज्या $10^{4} \; km$ है। मान लें कि तारे टकराने तक विकृत नहीं होते हैं। ($G = 6.67 \times 10^{-11} \; N \cdot m^{2}/kg^{2}$ का उपयोग करें)
Solution
(D) प्रत्येक तारे का द्रव्यमान,$M = 2 \times 10^{30} \; kg$.
प्रत्येक तारे की त्रिज्या,$R = 10^{4} \; km = 10^{7} \; m$.
तारों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी,$r = 10^{9} \; km = 10^{12} \; m$.
गति नगण्य होने के कारण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
कुल प्रारंभिक ऊर्जा,$E_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
टक्कर के क्षण,केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
मान लीजिए प्रत्येक तारे की गति $v$ है।
कुल गतिज ऊर्जा,$K_{f} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2}Mv^{2} = Mv^{2}$.
कुल स्थितिज ऊर्जा,$U_{f} = -\frac{GM^{2}}{2R}$.
कुल अंतिम ऊर्जा,$E_{f} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_{i} = E_{f}$:
$-\frac{GM^{2}}{r} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
$v^{2} = GM \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{r} \right)$.
चूंकि $r \gg 2R$,इसलिए $\frac{1}{r}$ का मान $\frac{1}{2R}$ की तुलना में नगण्य है।
$v^{2} \approx \frac{GM}{2R} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^{7}} = 6.67 \times 10^{12} \; m^{2}/s^{2}$.
$v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \approx 2.58 \times 10^{6} \; m/s$.
प्रत्येक तारे की त्रिज्या,$R = 10^{4} \; km = 10^{7} \; m$.
तारों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी,$r = 10^{9} \; km = 10^{12} \; m$.
गति नगण्य होने के कारण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा,$U_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
कुल प्रारंभिक ऊर्जा,$E_{i} = -\frac{GM^{2}}{r}$.
टक्कर के क्षण,केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
मान लीजिए प्रत्येक तारे की गति $v$ है।
कुल गतिज ऊर्जा,$K_{f} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2}Mv^{2} = Mv^{2}$.
कुल स्थितिज ऊर्जा,$U_{f} = -\frac{GM^{2}}{2R}$.
कुल अंतिम ऊर्जा,$E_{f} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_{i} = E_{f}$:
$-\frac{GM^{2}}{r} = Mv^{2} - \frac{GM^{2}}{2R}$.
$v^{2} = GM \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{r} \right)$.
चूंकि $r \gg 2R$,इसलिए $\frac{1}{r}$ का मान $\frac{1}{2R}$ की तुलना में नगण्य है।
$v^{2} \approx \frac{GM}{2R} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^{7}} = 6.67 \times 10^{12} \; m^{2}/s^{2}$.
$v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \approx 2.58 \times 10^{6} \; m/s$.
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MediumMCQ
जब कोई वस्तु पृथ्वी से दूर जाती है और पृथ्वी के करीब आती है,तो उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?
A
दूर जाने पर बढ़ती है,करीब आने पर घटती है।
B
दूर जाने पर घटती है,करीब आने पर बढ़ती है।
C
दोनों स्थितियों में स्थिर रहती है।
D
दोनों स्थितियों में बढ़ती है।
Solution
(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
$1$. जब कोई वस्तु पृथ्वी से दूर जाती है,तो दूरी $r$ बढ़ती है। चूँकि $U$ ऋणात्मक है और $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह बढ़ती है।
$2$. जब कोई वस्तु पृथ्वी के करीब आती है,तो दूरी $r$ घटती है। जैसे-जैसे $r$ घटता है,$U$ का मान अधिक ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
$1$. जब कोई वस्तु पृथ्वी से दूर जाती है,तो दूरी $r$ बढ़ती है। चूँकि $U$ ऋणात्मक है और $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह बढ़ती है।
$2$. जब कोई वस्तु पृथ्वी के करीब आती है,तो दूरी $r$ घटती है। जैसे-जैसे $r$ घटता है,$U$ का मान अधिक ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
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Difficult
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर ले जाए गए एक पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन लिखिए।
Solution
(N/A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$,गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
चूँकि पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ होता है,इसलिए पिंड को $h$ ऊँचाई तक उठाने के लिए किया गया कार्य $W = F \times h = mgh$ है।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = mgh$ है।
चूँकि पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ होता है,इसलिए पिंड को $h$ ऊँचाई तक उठाने के लिए किया गया कार्य $W = F \times h = mgh$ है।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = mgh$ है।
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Medium
$m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई तक उठाया जाता है,अर्थात इसे पृथ्वी के केंद्र से $R$ दूरी से $2R$ दूरी तक ले जाया जाता है। इसकी स्थितिज ऊर्जा में कितनी वृद्धि होगी?
Solution
(N/A) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(r = R + R = 2R)$: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$.
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$ = $U_f - U_i$.
$\Delta U = -\frac{GMm}{2R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
इस मान को स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.
पृथ्वी की सतह पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(r = R)$: $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(r = R + R = 2R)$: $U_f = -\frac{GMm}{2R}$.
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$ = $U_f - U_i$.
$\Delta U = -\frac{GMm}{2R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
इस मान को स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.
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DifficultMCQ
दो ग्रहों के द्रव्यमान $M$ और $16\, M$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $2\, a$ हैं। ग्रहों के केंद्रों के बीच की दूरी $10\, a$ है। $m$ द्रव्यमान के एक पिंड को बड़े ग्रह की सतह से छोटे ग्रह की ओर उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश फेंका जाता है। पिंड के छोटे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम प्रक्षेपण गति क्या है?
A
$\sqrt{\frac{GM}{a}}$
B
$\frac{3}{2} \sqrt{\frac{5GM}{a}}$
C
$4 \sqrt{\frac{GM}{a}}$
D
$2 \sqrt{\frac{GM}{a}}$
Solution
(B) छोटे ग्रह तक पहुँचने के लिए,पिंड को दोनों ग्रहों के बीच शून्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (तटस्थ बिंदु) को पार करना होगा।
मान लीजिए कि छोटे ग्रह के केंद्र से तटस्थ बिंदु की दूरी $x$ है।
इस बिंदु पर दोनों ग्रहों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों की तुलना करने पर:
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(16M)}{(10a - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{10a - x} \implies 10a - x = 4x \implies x = 2a$.
अब,बड़े ग्रह की सतह और तटस्थ बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर।
बड़े ग्रह की सतह पर विभव (त्रिज्या $2a$,द्रव्यमान $16M$) $V_L = -\frac{G(16M)}{2a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{8GM}{a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{65GM}{8a}$ है।
तटस्थ बिंदु पर विभव (बड़े ग्रह से $8a$ दूरी,छोटे ग्रह से $2a$ दूरी) $V_P = -\frac{G(16M)}{8a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{2GM}{a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{5GM}{2a}$ है।
$KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$ का उपयोग करने पर,जहाँ तटस्थ बिंदु पर $KE_f = 0$ है:
$\frac{1}{2}mv^2 + m V_L = 0 + m V_P$
$\frac{1}{2}v^2 = V_P - V_L = -\frac{5GM}{2a} - (-\frac{65GM}{8a}) = \frac{-20GM + 65GM}{8a} = \frac{45GM}{8a}$.
$v^2 = \frac{45GM}{4a} \implies v = \sqrt{\frac{45GM}{4a}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5GM}{a}}$.
मान लीजिए कि छोटे ग्रह के केंद्र से तटस्थ बिंदु की दूरी $x$ है।
इस बिंदु पर दोनों ग्रहों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों की तुलना करने पर:
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(16M)}{(10a - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{10a - x} \implies 10a - x = 4x \implies x = 2a$.
अब,बड़े ग्रह की सतह और तटस्थ बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर।
बड़े ग्रह की सतह पर विभव (त्रिज्या $2a$,द्रव्यमान $16M$) $V_L = -\frac{G(16M)}{2a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{8GM}{a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{65GM}{8a}$ है।
तटस्थ बिंदु पर विभव (बड़े ग्रह से $8a$ दूरी,छोटे ग्रह से $2a$ दूरी) $V_P = -\frac{G(16M)}{8a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{2GM}{a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{5GM}{2a}$ है।
$KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$ का उपयोग करने पर,जहाँ तटस्थ बिंदु पर $KE_f = 0$ है:
$\frac{1}{2}mv^2 + m V_L = 0 + m V_P$
$\frac{1}{2}v^2 = V_P - V_L = -\frac{5GM}{2a} - (-\frac{65GM}{8a}) = \frac{-20GM + 65GM}{8a} = \frac{45GM}{8a}$.
$v^2 = \frac{45GM}{4a} \implies v = \sqrt{\frac{45GM}{4a}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5GM}{a}}$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि $R$ और $2R$ त्रिज्या वाले दो ग्रह (गोलाकार),जिनका द्रव्यमान क्रमशः $M$ और $9M$ है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $8R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $m$ द्रव्यमान के एक उपग्रह को $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह की सतह से सीधे दूसरे ग्रह के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। उपग्रह को दूसरे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति $v = \sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
[दिया गया है: दोनों ग्रह अपनी स्थिति में स्थिर हैं]
[दिया गया है: दोनों ग्रह अपनी स्थिति में स्थिर हैं]
A
$4$
B
$8$
C
$16$
D
$64$
Solution
(A) दूसरे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए,उपग्रह को उस बिंदु को पार करना होगा जहाँ कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है।
मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से इस बिंदु की दूरी $x$ है।
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(9M)}{(8R-x)^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{8R-x}$
$8R-x = 3x \Rightarrow x = 2R$.
अब,पहले ग्रह की सतह और $x = 2R$ बिंदु (जहाँ वेग न्यूनतम है,यानी $v_{min} = 0$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{G(9M)m}{7R} = 0 - \frac{GMm}{2R} - \frac{G(9M)m}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{9GM}{7R} - \frac{GM}{2R} - \frac{9GM}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}]$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - 2] = \frac{GM}{R} [\frac{9}{7} - 1] = \frac{GM}{R} [\frac{2}{7}]$
$v^2 = \frac{4}{7} \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{4}{7} \frac{GM}{R}}$
इसकी तुलना $\sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ से करने पर,हमें $a = 4$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से इस बिंदु की दूरी $x$ है।
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(9M)}{(8R-x)^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{8R-x}$
$8R-x = 3x \Rightarrow x = 2R$.
अब,पहले ग्रह की सतह और $x = 2R$ बिंदु (जहाँ वेग न्यूनतम है,यानी $v_{min} = 0$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{G(9M)m}{7R} = 0 - \frac{GMm}{2R} - \frac{G(9M)m}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} + \frac{9GM}{7R} - \frac{GM}{2R} - \frac{9GM}{6R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}]$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{R} [1 + \frac{9}{7} - 2] = \frac{GM}{R} [\frac{9}{7} - 1] = \frac{GM}{R} [\frac{2}{7}]$
$v^2 = \frac{4}{7} \frac{GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{4}{7} \frac{GM}{R}}$
इसकी तुलना $\sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ से करने पर,हमें $a = 4$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$1 \, kg$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के तीन गुना ऊँचाई पर ले जाया जाता है। वस्तु की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $.... \, MJ$ होगी [दिया है: $g = 10 \, m/s^2$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km$].
A
$48$
B
$24$
C
$36$
D
$12$
Solution
(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
वस्तु को $h = 3R$ की ऊँचाई पर ले जाया जाता है। पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी $r = R + h = R + 3R = 4R$ है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{4R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.
यहाँ $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ है:
$\Delta U = \frac{3}{4} \times 1 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 3 \times 2.5 \times 6.4 \times 10^6 = 48 \times 10^6 \, J = 48 \, MJ$.
वस्तु को $h = 3R$ की ऊँचाई पर ले जाया जाता है। पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी $r = R + h = R + 3R = 4R$ है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{4R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.
यहाँ $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ है:
$\Delta U = \frac{3}{4} \times 1 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 3 \times 2.5 \times 6.4 \times 10^6 = 48 \times 10^6 \, J = 48 \, MJ$.
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DifficultMCQ
$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले एक ग्रह की सतह से एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर रूप से $4 R$ की अधिकतम ऊँचाई तक प्रक्षेपित किया जाता है। जब वस्तु ग्रह की सतह पर वापस लौटती है,तो उसकी चाल क्या होगी?
A
$2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$
B
$\sqrt{\frac{G M}{2 R}}$
C
$\sqrt{\frac{3 G M}{2 R}}$
D
$\sqrt{\frac{G M}{5 R}}$
Solution
(A) मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और ग्रह की सतह पर वापस लौटने पर उसकी चाल $v$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,ग्रह के केंद्र से दूरी $r_{max} = R + 4R = 5R$ है। इस बिंदु पर,वस्तु का वेग $0$ है।
अधिकतम ऊँचाई और ग्रह की सतह के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$E_{initial} = E_{final}$
$U_{max} + K_{max} = U_{surface} + K_{surface}$
$-\frac{G M m}{5R} + 0 = -\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} - \frac{G M}{5R}$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} (1 - \frac{1}{5}) = \frac{G M}{R} (\frac{4}{5})$
$v^2 = \frac{8 G M}{5 R}$
$v = \sqrt{\frac{8 G M}{5 R}} = 2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$
अतः,जब वस्तु सतह पर वापस लौटती है तो उसकी चाल $2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$ होगी।
अधिकतम ऊँचाई पर,ग्रह के केंद्र से दूरी $r_{max} = R + 4R = 5R$ है। इस बिंदु पर,वस्तु का वेग $0$ है।
अधिकतम ऊँचाई और ग्रह की सतह के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$E_{initial} = E_{final}$
$U_{max} + K_{max} = U_{surface} + K_{surface}$
$-\frac{G M m}{5R} + 0 = -\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} - \frac{G M}{5R}$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} (1 - \frac{1}{5}) = \frac{G M}{R} (\frac{4}{5})$
$v^2 = \frac{8 G M}{5 R}$
$v = \sqrt{\frac{8 G M}{5 R}} = 2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$
अतः,जब वस्तु सतह पर वापस लौटती है तो उसकी चाल $2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$ होगी।
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MediumMCQ
एक स्थिर वस्तु को चंद्रमा के केंद्र से $3R$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ से छोड़ा जाता है। चंद्रमा की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प चंद्रमा से टकराते समय वस्तु की गति को दर्शाता है?
A
$\left(\frac{2 G M}{3 R}\right)^{1 / 2}$
B
$\left(\frac{4 G M}{3 R}\right)^{1 / 2}$
C
$\left(\frac{G M}{3 R}\right)^{1 / 2}$
D
$\left(\frac{G M}{R}\right)^{1 / 2}$
Solution
(B) प्रारंभिक बिंदु $P$ (केंद्र से $3R$ की दूरी पर) और चंद्रमा की सतह $S$ (केंद्र से $R$ की दूरी पर) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $(E_i)$ = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $(E_f)$
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left(-\frac{G M m}{3 R}\right) = -\frac{G M m}{3 R}$
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + \left(-\frac{G M m}{R}\right)$
$E_i$ और $E_f$ की तुलना करने पर:
$-\frac{G M m}{3 R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{3 R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{G M m}{R} \left(\frac{2}{3}\right)$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{2 G M}{3 R}$
$v^2 = \frac{4 G M}{3 R}$
$v = \sqrt{\frac{4 G M}{3 R}}$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $(E_i)$ = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $(E_f)$
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left(-\frac{G M m}{3 R}\right) = -\frac{G M m}{3 R}$
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + \left(-\frac{G M m}{R}\right)$
$E_i$ और $E_f$ की तुलना करने पर:
$-\frac{G M m}{3 R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{3 R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{G M m}{R} \left(\frac{2}{3}\right)$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{2 G M}{3 R}$
$v^2 = \frac{4 G M}{3 R}$
$v = \sqrt{\frac{4 G M}{3 R}}$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।
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DifficultMCQ
एक पिंड को $\sqrt{\frac{G M}{R}}$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है ($M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है)। पिंड कितनी अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करेगा?
A
$\frac{R}{2}$
B
$R$
C
$\frac{5}{4} R$
D
$\frac{3 R}{2}$
Solution
(B) पृथ्वी की सतह और पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $(E_i)$ = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $(E_f)$
$P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{G M}{R}}\right)^2 = -\frac{G M m}{r} + 0$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$-\frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$r = 2 R$
चूँकि $r = R + h$,जहाँ $h$ सतह से ऊँचाई है:
$R + h = 2 R$
$h = R$
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $(E_i)$ = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $(E_f)$
$P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{G M}{R}}\right)^2 = -\frac{G M m}{r} + 0$
$-\frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$-\frac{G M m}{2 R} = -\frac{G M m}{r}$
$r = 2 R$
चूँकि $r = R + h$,जहाँ $h$ सतह से ऊँचाई है:
$R + h = 2 R$
$h = R$
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MediumMCQ
एक वस्तु को पृथ्वी से $R$ ऊँचाई से गिरने दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए,पृथ्वी की सतह से टकराते समय इसका वेग क्या होगा?
A
$2 \sqrt{g R}$
B
$\sqrt{g R}$
C
$\sqrt{\frac{g R}{2}}$
D
$\sqrt{2 g R}$
Solution
(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
$h = R$ ऊँचाई पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
पृथ्वी की सतह पर $(r = R)$ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = $U_i - U_f = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}mv^2$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$।
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2}v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v^2 = gR$,जिससे $v = \sqrt{gR}$ प्राप्त होता है।
$h = R$ ऊँचाई पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
पृथ्वी की सतह पर $(r = R)$ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = $U_i - U_f = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2}mv^2$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$।
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2}v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v^2 = gR$,जिससे $v = \sqrt{gR}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक पिंड को पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के बराबर ऊँचाई से छोड़ा जाता है। पृथ्वी की सतह से टकराते समय पिंड का वेग क्या होगा? (दिया गया है $g$ = पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण।)
A
$\sqrt{g R}$
B
$\sqrt{4 g R}$
C
$\sqrt{2 g R}$
D
$\sqrt{\frac{g R}{2}}$
Solution
(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति (सतह से $h = R$ ऊँचाई,केंद्र से $r = 2R$ दूरी) पर कुल ऊर्जा,पृथ्वी की सतह (केंद्र से $r = R$ दूरी) पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
$v = \sqrt{gR}$
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$-\frac{GMm}{2R} + 0 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$
$v = \sqrt{gR}$
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DifficultMCQ
एक पिंड जो शुरू में $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर स्थिर है,पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरता है। पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर उसका वेग क्या होगा?
A
$\sqrt{2 gR }$
B
$\sqrt{ gR }$
C
$\sqrt{\frac{3}{2} gR }$
D
$\sqrt{4 gR }$
Solution
(B) मान लीजिए $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है। $m$ द्रव्यमान का पिंड शुरू में सतह से $R$ ऊँचाई पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r_A = R + R = 2R$ है।
बिंदु $A$ (ऊँचाई $R$ पर) और बिंदु $B$ (सतह पर) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$E_A = E_B$
$K_A + U_A = K_B + U_B$
चूँकि पिंड शुरू में स्थिर है,$K_A = 0$ है।
$0 - \frac{G M m}{2R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{2R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2R}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
हम जानते हैं कि $g = \frac{G M}{R^2}$,इसलिए $G M = g R^2$ है।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{g R^2}{R} = g R$
$v = \sqrt{g R}$
बिंदु $A$ (ऊँचाई $R$ पर) और बिंदु $B$ (सतह पर) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$E_A = E_B$
$K_A + U_A = K_B + U_B$
चूँकि पिंड शुरू में स्थिर है,$K_A = 0$ है।
$0 - \frac{G M m}{2R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{2R}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2R}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
हम जानते हैं कि $g = \frac{G M}{R^2}$,इसलिए $G M = g R^2$ है।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{g R^2}{R} = g R$
$v = \sqrt{g R}$
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MediumMCQ
एक पिंड पृथ्वी के केंद्र से $R_0$ दूरी से विरामावस्था से चलना शुरू करता है। पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग क्या होगा? ($R=$ पृथ्वी की त्रिज्या,$M=$ पृथ्वी का द्रव्यमान)
A
$2 GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_0}\right)$
B
$\sqrt{2 GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_0}\right)}$
C
$GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_0}\right)$
D
$2 GM \sqrt{\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_0}\right)}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{R_0}$।
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
अतः,वेग $v$ होगा:
$v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)}$।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{R_0}$।
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
अतः,वेग $v$ होगा:
$v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)}$।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह से $3R$ की ऊँचाई से गिरना शुरू करता है। जब यह $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर पहुँचता है,तो इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी?
A
$\frac{2}{3} \frac{GMm}{R}$
B
$\frac{1}{3} \frac{GMm}{R}$
C
$\frac{1}{2} \frac{GMm}{R}$
D
$\frac{1}{4} \frac{GMm}{R}$
Solution
(D) कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। मान लीजिए $r_1$ पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक दूरी है और $r_2$ पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी है।
केंद्र से प्रारंभिक दूरी: $r_1 = 3R + R = 4R$.
केंद्र से अंतिम दूरी: $r_2 = R + R = 2R$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{4R}$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
चूँकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = 0$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$.
$0 + (-\frac{GMm}{4R}) = K_2 + (-\frac{GMm}{2R})$.
$K_2 = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{GMm}{4R}$.
केंद्र से प्रारंभिक दूरी: $r_1 = 3R + R = 4R$.
केंद्र से अंतिम दूरी: $r_2 = R + R = 2R$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_1 = -\frac{GMm}{r_1} = -\frac{GMm}{4R}$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_2 = -\frac{GMm}{r_2} = -\frac{GMm}{2R}$.
चूँकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = 0$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$.
$0 + (-\frac{GMm}{4R}) = K_2 + (-\frac{GMm}{2R})$.
$K_2 = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{GMm}{4R}$.
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MediumMCQ
एक पिंड को $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के $\frac{1}{3}$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है
A
$\frac{R}{8}$
B
$\frac{R}{6}$
C
$\frac{R}{4}$
D
$\frac{R}{9}$
Solution
(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{3}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ पलायन वेग है।
$v^2 = \frac{v_e^2}{9} = \frac{2GM}{9R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{9R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{9R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{9R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-9}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{-8}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{3}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ पलायन वेग है।
$v^2 = \frac{v_e^2}{9} = \frac{2GM}{9R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{9R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{9R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{9R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-9}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{-8}{9R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$
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MediumMCQ
एक पिंड (द्रव्यमान $m$) पृथ्वी के केंद्र से $R_0$ $(R_0 > R)$ दूरी पर स्थित एक बिंदु से विरामावस्था से गति शुरू करता है। पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग क्या होगा? ($G =$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$M =$ पृथ्वी का द्रव्यमान,$R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)।
A
$2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$
B
$\left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
C
$GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$
D
$2 GM \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु ($R_0$ दूरी पर) पर कुल यांत्रिक ऊर्जा पृथ्वी की सतह ($R$ दूरी पर) पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$E_i = E_f$:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R_0} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
अतः,प्राप्त वेग $v$ है:
$v = \left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$E_i = E_f$:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R_0} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
अतः,प्राप्त वेग $v$ है:
$v = \left[ 2 GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
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MediumMCQ
एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $V \ m/s$ के वेग से फेंका जाता है। पृथ्वी की सतह से वह अधिकतम ऊँचाई क्या होगी जहाँ तक वह पहुँचेगा? ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या,$g =$ गुरुत्वीय त्वरण)
A
$\frac{VR^{2}}{gR-V}$
B
$\frac{V^{2}R}{2gR-V^{2}}$
C
$\frac{2gR}{V^{2}(R-1)}$
D
$\frac{VR}{2gR-V}$
Solution
(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
ऊँचाई $h$ पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
चूँकि $GM = gR^2$:
$\frac{1}{2}V^2 = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = gR \left( \frac{h}{R+h} \right)$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R}$
ऊँचाई $h$ पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{1}{2}V^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$
चूँकि $GM = gR^2$:
$\frac{1}{2}V^2 = gR^2 \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = gR \left( \frac{h}{R+h} \right)$
$\frac{V^2}{2gR} = \frac{h}{R+h}$
$V^2(R+h) = 2gRh$
$V^2R + V^2h = 2gRh$
$V^2R = h(2gR - V^2)$
$h = \frac{V^2R}{2gR - V^2}$
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MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को $2R$ की ऊँचाई पर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा क्या है?
A
$\frac{G M m}{2 R}$
B
$\frac{2 G M m}{3 R}$
C
$\frac{G M m}{3 R}$
D
$\frac{5 G M m}{6 R}$
Solution
(B) पृथ्वी की सतह से उपग्रह को प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा,सतह से अंतिम ऊँचाई तक जाने में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में हुए परिवर्तन के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r_1 = R)$: $U_i = -\frac{G M m}{R}$
$h = 2R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(r_2 = R + 2R = 3R)$: $U_f = -\frac{G M m}{3R}$
आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{G M m}{3R} - (-\frac{G M m}{R})$
$\Delta U = G M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{3R})$
$\Delta U = G M m (\frac{3-1}{3R}) = \frac{2 G M m}{3 R}$
सतह पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(r_1 = R)$: $U_i = -\frac{G M m}{R}$
$h = 2R$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(r_2 = R + 2R = 3R)$: $U_f = -\frac{G M m}{3R}$
आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = -\frac{G M m}{3R} - (-\frac{G M m}{R})$
$\Delta U = G M m (\frac{1}{R} - \frac{1}{3R})$
$\Delta U = G M m (\frac{3-1}{3R}) = \frac{2 G M m}{3 R}$
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EasyMCQ
एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $u \ m \ s^{-1}$ के वेग से फेंका जाता है। पृथ्वी की सतह से वह अधिकतम ऊँचाई (मीटर में) क्या होगी जहाँ तक वह पहुँचेगा? ($R=$ पृथ्वी की त्रिज्या,$g=$ गुरुत्वीय त्वरण)
A
$\frac{u^2 R}{2 g R - u^2}$
B
$\frac{2 u^2 R}{g R - u^2}$
C
$\frac{u^2 R^2}{2 g R^2 - u^2}$
D
$\frac{u^2 R}{g R - u^2}$
Solution
(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$m$ से भाग देने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{GM}{R+h} = \frac{GM}{R} - \frac{u^2}{2}$
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर: $\frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{u^2}{2} = \frac{2gR - u^2}{2}$
$\frac{R+h}{R^2} = \frac{2g}{2gR - u^2}$
$R+h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2}$
$h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2} - R = \frac{2gR^2 - 2gR^2 + u^2R}{2gR - u^2} = \frac{u^2R}{2gR - u^2}$
सतह पर: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$m$ से भाग देने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{GM}{R+h} = \frac{GM}{R} - \frac{u^2}{2}$
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर: $\frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{u^2}{2} = \frac{2gR - u^2}{2}$
$\frac{R+h}{R^2} = \frac{2g}{2gR - u^2}$
$R+h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2}$
$h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2} - R = \frac{2gR^2 - 2gR^2 + u^2R}{2gR - u^2} = \frac{u^2R}{2gR - u^2}$
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MediumMCQ
एक पिंड को पृथ्वी की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि इसकी प्रक्षेपण गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम मान की आधी है,तो वह ऊँचाई जहाँ तक यह ऊपर उठता है,है ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)।
A
$4 R$
B
$R$
C
$2 R$
D
$3 R$
Solution
(B) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{GMm}{R}$ है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} K_e = \frac{GMm}{2R}$ है।
उच्चतम बिंदु पर पिंड का वेग शून्य हो जाता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में कमी = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$K = U_f - U_i$
$\frac{GMm}{2R} = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$\frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R+h}$
दोनों पक्षों को $GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$
$R+h = 2R$
$h = R$.
दिया गया है कि प्रक्षेपण गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} K_e = \frac{GMm}{2R}$ है।
उच्चतम बिंदु पर पिंड का वेग शून्य हो जाता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में कमी = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि:
$K = U_f - U_i$
$\frac{GMm}{2R} = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$\frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{R+h}$
दोनों पक्षों को $GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$
$R+h = 2R$
$h = R$.
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MediumMCQ
पृथ्वी की सतह पर स्थित '$m$' द्रव्यमान को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है। यदि '$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है और '$M$' पृथ्वी का द्रव्यमान है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य क्या होगा?
A
$\frac{m g R}{2}$
B
$mgR$
C
$2 mgR$
D
$\frac{m g R}{4}$
Solution
(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_E = -\frac{G M m}{R}$ है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान,$m$ वस्तु का द्रव्यमान,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या और $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
जब द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो केंद्र से दूरी $r = R + R = 2R$ हो जाती है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{2R}$ है।
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = U - U_E = -\frac{G M m}{2R} - (-\frac{G M m}{R}) = -\frac{G M m}{2R} + \frac{G M m}{R} = \frac{G M m}{2R}$ है।
संबंध $g = \frac{G M}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $G M = g R^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को कार्य के समीकरण में रखने पर: $W = \frac{(g R^2) m}{2R} = \frac{m g R}{2}$.
जब द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो केंद्र से दूरी $r = R + R = 2R$ हो जाती है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{2R}$ है।
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = U - U_E = -\frac{G M m}{2R} - (-\frac{G M m}{R}) = -\frac{G M m}{2R} + \frac{G M m}{R} = \frac{G M m}{2R}$ है।
संबंध $g = \frac{G M}{R^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $G M = g R^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को कार्य के समीकरण में रखने पर: $W = \frac{(g R^2) m}{2R} = \frac{m g R}{2}$.
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View SolutionGravitation — Change in Gravitational Potential Energy, Energy Conservation · Frequently Asked Questions
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