Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1 - \cos x}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{\sin \alpha}{\cos x} - \frac{2}{1 + \cos x}$
दोनों पक्षों को $\cos x(1 + \cos x)$ से गुणा करने पर:
$1 - \cos x = \sin \alpha (1 + \cos x) - 2 \cos x$
$1 - \cos x = \sin \alpha + \sin \alpha \cos x - 2 \cos x$
$1 - \cos x = \sin \alpha + \cos x(\sin \alpha - 2)$
दोनों पक्षों के अचर पदों और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
अचर पद: $1 = \sin \alpha$
$\cos x$ का गुणांक: $-1 = \sin \alpha - 2$
अचर पद से,$\sin \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।
गुणांक के साथ जाँच करने पर: $-1 = 1 - 2$,जो $-1 = -1$ है।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sum \frac{1}{1 + x^{a - b} + x^{a - c}}$ है।
प्रत्येक पद के अंश और हर को $x^a$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \sum \frac{x^a}{x^a + x^b + x^c}$.
इस चक्रीय योग के लिए मानक रूप $\sum \frac{x^{b+c}}{x^{b+c} + x^{a+c} + x^{a+b}}$ है।
चूंकि हर $x^{a+b} + x^{b+c} + x^{c+a}$ सभी पदों के लिए समान है:
$S = \frac{1}{x^{a+b} + x^{b+c} + x^{c+a}} \sum (x^{b+c} + x^{a+c} + x^{a+b}) = 1$.

(C) दिया गया है: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.
मान लीजिए $a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,और $c = e^{i\gamma}$.
तब $a + b + c = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) + i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) = 0 + i(0) = 0$.
चूंकि $a, b, c$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,$|a| = |b| = |c| = 1$,इसलिए $\bar{a} = 1/a$,$\bar{b} = 1/b$,और $\bar{c} = 1/c$.
$a + b + c = 0$ का संयुग्मी लेने पर,हमें $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$.
यह $\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0$ में सरल हो जाता है,इसलिए $ab + bc + ca = 0$.
अब,$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$ पर विचार करें।
चूंकि $ab + bc + ca = 0$,हमारे पास $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ है।
$a^2 = e^{i2\alpha} = \cos 2\alpha + i\sin 2\alpha$ आदि रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma) + i(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma) = 0$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$
माना $y = e^{\sin x}$। चूंकि $e^{-\sin x} = \frac{1}{y}$,समीकरण होगा:
$y - \frac{1}{y} - 4 = 0$
$y$ से गुणा करने पर $(y \neq 0)$:
$y^2 - 4y - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$y = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
चूंकि $y = e^{\sin x} > 0$,इसलिए $y = 2 + \sqrt{5}$ होगा।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$
यहाँ $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ है,और $\sin x$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता।
अतः,कोई वास्तविक हल संभव नहीं है।

(D) दिया गया है $\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$.
चूंकि $\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,इसलिए $\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$.
$\sin \theta$ से गुणा करने पर,$\sin^2 \theta + 1 = 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 0$ मिलता है,जो $(\sin \theta - 1)^2 = 0$ है।
अतः,$\sin \theta = 1$.
इसलिए,$\sin^{10} \theta + \text{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + \frac{1}{(1)^{10}} = 1 + 1 = 2$.

(C) दिया गया है कि $\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \text{cosec} \theta)^2 = 2^2$
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \text{cosec} \theta = 4$
चूँकि $\sin \theta \text{cosec} \theta = 1$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta + 2(1) = 4$
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta = 4 - 2 = 2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = m$ और $\sec \theta + \text{cosec} \theta = n$.
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = m^2 \implies 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = m^2 \implies 2 \sin \theta \cos \theta = m^2 - 1$.
अब,व्यंजक $n(m + 1)(m - 1) = n(m^2 - 1)$ पर विचार करें।
$n = \sec \theta + \text{cosec} \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{m}{\sin \theta \cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$n(m^2 - 1) = \left( \frac{m}{\sin \theta \cos \theta} \right) (2 \sin \theta \cos \theta) = 2m$.

(A) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$
सर्वसमिका $(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin \theta \cos \theta = 0$

(C) हम जानते हैं कि $\text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1.$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(\text{cosec } A - \cot A)(\text{cosec } A + \cot A) = 1.$
दिया है $\text{cosec } A + \cot A = \frac{11}{2},$ इसलिए $(\text{cosec } A - \cot A) \times \frac{11}{2} = 1 \Rightarrow \text{cosec } A - \cot A = \frac{2}{11}.$
अब,दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\text{cosec } A + \cot A) - (\text{cosec } A - \cot A) = \frac{11}{2} - \frac{2}{11}.$
$2 \cot A = \frac{121 - 4}{22} = \frac{117}{22}.$
$\cot A = \frac{117}{44}.$
चूंकि $\tan A = \frac{1}{\cot A},$ इसलिए $\tan A = \frac{44}{117}.$

(B) दिया गया समीकरण: $(m + 2)\sin \theta + (2m - 1)\cos \theta = 2m + 1$.
$\cos \theta$ से भाग देने पर: $(m + 2)\tan \theta + (2m - 1) = (2m + 1)\sec \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $((m + 2)\tan \theta + (2m - 1))^2 = (2m + 1)^2(1 + \tan^2 \theta)$.
माना $\tan \theta = t$. सरल करने पर: $(3t - 4)((m^2 - 1)t - 2m) = 0$.
अतः,$t = \frac{4}{3}$ या $t = \frac{2m}{m^2 - 1}$.
इसलिए,$\tan \theta = \frac{4}{3}$ एक सही हल है।

(B) दिया गया है: $\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $\sin x + 3\cos x = 3\cos y - \sin y$.....$(i)$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{10}}\sin x + \frac{3}{\sqrt{10}}\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}}\cos y - \frac{1}{\sqrt{10}}\sin y$
माना $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ और $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$,अतः $\tan \alpha = 3$। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$\sin(x + \alpha) = \sin(\alpha - y)$
इसका अर्थ है $x + \alpha = n\pi + (-1)^n(\alpha - y)$।
$n=0$ के लिए,$x + \alpha = \alpha - y \Rightarrow x = -y$।
$x = -y$ को $\frac{\sin 3x}{\sin 3y}$ व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sin 3(-y)}{\sin 3y} = \frac{-\sin 3y}{\sin 3y} = -1$.

(A) दिया गया है कि $\sin A, \cos A, \tan A$ एक $G.P.$ में हैं।
इसलिए,मध्य पद का वर्ग अंतिम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
$\cos^2 A = \sin A \cdot \tan A$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ रखने पर:
$\cos^2 A = \sin A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$\cos^3 A = \sin^2 A$
सर्वसमिका $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ का उपयोग करने पर:
$\cos^3 A = 1 - \cos^2 A$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cos^3 A + \cos^2 A = 1$

(B) दिया गया है कि $\tan \theta + \sec \theta = e^x$ $(i)$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = e^x + e^{-x}$.
$2 \sec \theta = e^x + e^{-x}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$.

(A) दिया गया है कि $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ को अलग करने के लिए,दोनों पक्षों को $(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करें:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \sin \theta$।
चूंकि $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$,इसलिए:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = \sin \theta$।
इसे विस्तारित करने पर,$\sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta = \sin \theta$।
अतः,$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$।

(B) दिया गया है कि $\sec \theta + \tan \theta = p$ $(i)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = p - \frac{1}{p}$
$2 \tan \theta = \frac{p^2 - 1}{p}$
$\tan \theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$.

(D) माना दिया गया व्यंजक $X = e^{\log_{10} \tan 1^\circ + \log_{10} \tan 2^\circ + \dots + \log_{10} \tan 89^\circ}$ है।
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$X = e^{\log_{10}(\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ)}$.
हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,इसलिए गुणनफल $P = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$X = e^{\log_{10}(1)} = e^0 = 1$.

(B) दी गई व्यंजक:
$E = \frac{2\sin \theta \tan \theta (1 - \tan \theta) + 2\sin \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan \theta)^2}$
$2\sin \theta$ को कॉमन लेने पर:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta (1 - \tan \theta) + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
कोष्ठक के अंदर के पदों का विस्तार करने पर:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta - \tan^2 \theta + 1 + \tan^2 \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$E = \frac{2\sin \theta [1 + \tan \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
$(1 + \tan \theta)$ को काटने पर:
$E = \frac{2\sin \theta}{1 + \tan \theta}$

(D) दिया गया व्यंजक: $E = 1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} + \frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y}$
चरण $1$: पहले दो पदों को सरल करने पर:
$1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} = \frac{1 + \cos y - (1 - \cos^2 y)}{1 + \cos y} = \frac{\cos y + \cos^2 y}{1 + \cos y} = \frac{\cos y(1 + \cos y)}{1 + \cos y} = \cos y$
चरण $2$: अंतिम दो पदों को सरल करने पर:
$\frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y} = \frac{(1 + \cos y)(1 - \cos y) - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{1 - \cos^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{\sin^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = 0$
चरण $3$: परिणामों को जोड़ने पर:
$E = \cos y + 0 = \cos y$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2y \cos \theta = x \sin \theta$ --- $(i)$
$2x \sec \theta - y \csc \theta = 3$ --- $(ii)$
$(i)$ से,हमारे पास $\frac{x}{\cos \theta} = \frac{2y}{\sin \theta} = k$ (माना).
अतः,$x = k \cos \theta$ और $2y = k \sin \theta$,जिसका अर्थ है $y = \frac{k}{2} \sin \theta$.
इन मानों को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(k \cos \theta) \sec \theta - (\frac{k}{2} \sin \theta) \csc \theta = 3$
$2k(1) - \frac{k}{2}(1) = 3$
$\frac{3k}{2} = 3 \Rightarrow k = 2$.
इस प्रकार,$x = 2 \cos \theta$ और $y = \sin \theta$.
अब,$x^2 + 4y^2 = (2 \cos \theta)^2 + 4(\sin \theta)^2$
$= 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta$
$= 4(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4(1) = 4$.

(B) दिया गया है $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ और $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$.
व्यंजक $\frac{y - 1}{y + 1}$ पर विचार करें:
$y - 1 = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{\sin \phi}$
$y + 1 = \frac{1 + \cos \phi + \sin \phi}{\sin \phi}$
अतः,$\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{1 + \cos \phi + \sin \phi}$.
अंश और हर को $(1 + \cos \phi - \sin \phi)$ से गुणा करने पर,हमें $x$ प्राप्त होता है.
अतः,$x = \frac{y - 1}{y + 1}$.

(B) दिया गया है $\tan \theta = \frac{x \sin \phi}{1 - x \cos \phi}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\tan \theta - x \tan \theta \cos \phi = x \sin \phi$.
$\tan \theta = x(\sin \phi + \cos \phi \tan \theta) = x \left( \frac{\sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta}{\cos \theta} \right) = x \frac{\sin(\phi + \theta)}{\cos \theta}$.
अतः,$x = \frac{\tan \theta \cos \theta}{\sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin(\theta + \phi)}$.
इसी प्रकार,$\tan \phi = \frac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta}$ से,हमें मिलता है $y = \frac{\sin \phi}{\sin(\theta + \phi)}$.
इसलिए,$\frac{x}{y} = \frac{\sin \theta / \sin(\theta + \phi)}{\sin \phi / \sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi}$.

(D) दिया गया है $p = \frac{2\sin \theta}{1 + \cos \theta + \sin \theta}$ और $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
$p + q = \frac{2\sin \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ लें।
सरल करने पर,$p + q = \frac{2\sin \theta (1 + \sin \theta) + \cos \theta (1 + \sin \theta + \cos \theta)}{(1 + \sin \theta + \cos \theta)(1 + \sin \theta)}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$p + q = \frac{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta + \cos \theta)}{(1 + \sin \theta + \cos \theta)(1 + \sin \theta)} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $m = \tan \theta + \sin \theta$ और $n = \tan \theta - \sin \theta$।
$m^2 - n^2$ की गणना करने पर:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
$m + n = (\tan \theta + \sin \theta) + (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \tan \theta$
$m - n = (\tan \theta + \sin \theta) - (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \sin \theta$
$m^2 - n^2 = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$ ... $(i)$
$4\sqrt{mn}$ की गणना करने पर:
$mn = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$
$mn = \sin^2 \theta \tan^2 \theta$
$\sqrt{mn} = \sin \theta \tan \theta$
$4\sqrt{mn} = 4 \sin \theta \tan \theta$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,${m^2} - {n^2} = 4\sqrt {mn}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $a \cos \theta + b \sin \theta = m$ $(1)$
और $a \sin \theta - b \cos \theta = n$ $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = m^2 + n^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = m^2 + n^2$
पदों को समूहित करने पर:
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = m^2 + n^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$a^2(1) + b^2(1) = m^2 + n^2$
अतः,$a^2 + b^2 = m^2 + n^2$.

(C) दिया गया है $x = a \cos^3 \theta$ और $y = b \sin^3 \theta$।
क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a} = \cos^3 \theta$ और $\frac{y}{b} = \sin^3 \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की घात $1/3$ लेने पर,$(\frac{x}{a})^{1/3} = \cos \theta$ और $(\frac{y}{b})^{1/3} = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\frac{x}{a})^{2/3} = \cos^2 \theta$ और $(\frac{y}{b})^{2/3} = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = 1$ है।

(A) दिया गया है $\cot \theta + \tan \theta = m$
$\Rightarrow \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = m$ $\Rightarrow \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta} = m$ $\Rightarrow \sec^2 \theta = m \tan \theta$ ... $(i)$
दिया गया है $\sec \theta - \cos \theta = n$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = n$ $\Rightarrow \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = n$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = n \cos \theta$
$\Rightarrow \tan^2 \theta \cos^2 \theta = n \cos \theta$ $\Rightarrow \tan^2 \theta \cos \theta = n$ $\Rightarrow \tan^2 \theta = n \sec \theta$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$\tan \theta = \frac{\sec^2 \theta}{m}$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\sec^2 \theta}{m})^2 = n \sec \theta$ $\Rightarrow \frac{\sec^4 \theta}{m^2} = n \sec \theta$ $\Rightarrow \sec^3 \theta = m^2 n$ $\Rightarrow \sec \theta = (m^2 n)^{1/3}$
$(i)$ से,$\tan \theta = \frac{\sec^2 \theta}{m} = \frac{(m^2 n)^{2/3}}{m} = (m n^2)^{1/3}$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(m^2 n)^{2/3} - (m n^2)^{2/3} = 1$
$m (m n^2)^{1/3} - n (n m^2)^{1/3} = 1$.

(C) हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ जानते हैं।
माना $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ है।
तब,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ है।
मूल व्यंजक में यह मान रखने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
सबसे पहले,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$ पर विचार करें,जिसका विस्तार $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ होता है।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2$ पर विचार करें,जिसका विस्तार $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta + 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$ होता है।
अतः,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 1$
$= 2 - 3 + 1 = 0$.

(C) दिया गया है,$\sin x + \sin^2 x = 1$.
इसका अर्थ है $\sin x = 1 - \sin^2 x$,अतः $\sin x = \cos^2 x$.
अब,व्यंजक पर विचार करें: $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 2$.
$\cos^2 x = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = (\sin x)^6 + 3(\sin x)^5 + 3(\sin x)^4 + (\sin x)^3 - 2$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$E = (\sin^2 x)^3 + 3(\sin^2 x)^2(\sin x) + 3(\sin^2 x)(\sin x)^2 + (\sin x)^3 - 2$.
द्विपद विस्तार $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \sin x$:
$E = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 2$.
चूँकि $\sin^2 x + \sin x = 1$,इसलिए:
$E = (1)^3 - 2 = 1 - 2 = -1$.

(D) दिया गया है कि $\sin x + \sin^2 x = 1.$
इसका अर्थ है कि $\sin x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x.$
अब,हमें व्यंजक $\cos^8 x + 2\cos^6 x + \cos^4 x$ का मान ज्ञात करना है.
व्यंजक में $\cos^2 x = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\cos^2 x)^4 + 2(\cos^2 x)^3 + (\cos^2 x)^2$
$= (\sin x)^4 + 2(\sin x)^3 + (\sin x)^2$
$= \sin^4 x + 2\sin^3 x + \sin^2 x$
$= (\sin^2 x + \sin x)^2.$
चूंकि $\sin x + \sin^2 x = 1,$ इसलिए $(1)^2 = 1.$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x \sin^3 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$ ... $(i)$
$x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ ... $(ii)$
$(ii)$ से,हमारे पास $x \sin \alpha = y \cos \alpha$ है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x \sin \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$(y \cos \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$y \cos \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha$
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$y \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
यदि $\cos \alpha \neq 0$ है,तो $y = \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
$y = \sin \alpha$ को $x \sin \alpha = y \cos \alpha$ में रखने पर,$x \sin \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$,जिसका अर्थ है $x = \cos \alpha$।
अतः,$x^2 + y^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$।

(B) माना $x = (1 + \sin A)(1 + \sin B)(1 + \sin C)$ और $y = (1 - \sin A)(1 - \sin B)(1 - \sin C)$ है।
दिया गया है $x = y$।
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर:
$xy = y^2$
$(1 + \sin A)(1 - \sin A)(1 + \sin B)(1 - \sin B)(1 + \sin C)(1 - \sin C) = y^2$
$(1 - \sin^2 A)(1 - \sin^2 B)(1 - \sin^2 C) = y^2$
$\cos^2 A \cos^2 B \cos^2 C = y^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y = \pm \cos A \cos B \cos C$
चूंकि $x = y$,इसलिए प्रत्येक पक्ष $\pm \cos A \cos B \cos C$ के बराबर है।

(A) दिया है: $(\sec \alpha + \tan \alpha )(\sec \beta + \tan \beta )(\sec \gamma + \tan \gamma ) = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ ... $(i)$
माना $x = (\sec \alpha - \tan \alpha )(\sec \beta - \tan \beta )(\sec \gamma - \tan \gamma )$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha )(\sec^2 \beta - \tan^2 \beta )(\sec^2 \gamma - \tan^2 \gamma ) = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,बायां पक्ष $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ हो जाता है।
अतः,$1 = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$
$x = \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } = \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma $

(D) दिया गया है कि $\tan \theta - \cot \theta = a$ $(i)$ और $\sin \theta + \cos \theta = b$ $(ii)$.
अब,व्यंजक $({b^2} - 1)^2({a^2} + 4)$ पर विचार करें।
चूंकि $b = \sin \theta + \cos \theta$,इसलिए $b^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$ है।
अतः,$b^2 - 1 = \sin 2\theta$,जिससे $(b^2 - 1)^2 = \sin^2 2\theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = \tan \theta - \cot \theta$,इसलिए $a^2 = (\tan \theta - \cot \theta)^2 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta - 2$ है।
अतः,$a^2 + 4 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = (\tan \theta + \cot \theta)^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(b^2 - 1)^2(a^2 + 4) = \sin^2 2\theta (\tan \theta + \cot \theta)^2$
$= (2 \sin \theta \cos \theta)^2 \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 4$.

(C) दिया गया है: $\tan^2 \alpha \tan^2 \beta + \tan^2 \beta \tan^2 \gamma + \tan^2 \gamma \tan^2 \alpha + 2\tan^2 \alpha \tan^2 \beta \tan^2 \gamma = 1$.
माना $x = \tan^2 \alpha$,$y = \tan^2 \beta$,और $z = \tan^2 \gamma$.
तब समीकरण $xy + yz + zx + 2xyz = 1$ है।
हमें $S = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{x}{1+x} + \frac{y}{1+y} + \frac{z}{1+z} = 1$.

(B) माना $S = \sum_{k=1}^{36} \sin(k \times 10^\circ)$.
हम जानते हैं कि $\sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta$.
अतः,$\sin(180^\circ + 10^\circ) = \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ$.
इसी प्रकार,$\sin(180^\circ + 20^\circ) = \sin 200^\circ = -\sin 20^\circ$,और इसी तरह $\sin(180^\circ + 170^\circ) = \sin 350^\circ = -\sin 170^\circ$ तक।
साथ ही,$\sin 180^\circ = 0$ और $\sin 360^\circ = 0$.
योग को $(\sin 10^\circ + \sin 190^\circ) + (\sin 20^\circ + \sin 200^\circ) + \dots + (\sin 170^\circ + \sin 350^\circ) + \sin 180^\circ + \sin 360^\circ$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक युग्म का योग $0$ है और $\sin 180^\circ = \sin 360^\circ = 0$ है,इसलिए कुल योग $0$ है।

(A) दिया है $\alpha = 22^\circ 30' = \frac{\pi}{8}$.
माना $P = (1 + \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 + \cos 5\alpha)(1 + \cos 7\alpha)$.
यहाँ $3\alpha = 67^\circ 30'$,$5\alpha = 112^\circ 30'$,और $7\alpha = 157^\circ 30'$ है।
हम जानते हैं कि $\cos 5\alpha = \cos(180^\circ - 67^\circ 30') = -\cos 3\alpha$ और $\cos 7\alpha = \cos(180^\circ - 22^\circ 30') = -\cos \alpha$.
अतः,$P = (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 - \cos 3\alpha)$.
$P = (1 - \cos^2 \alpha)(1 - \cos^2 3\alpha) = \sin^2 \alpha \sin^2 3\alpha$.
चूँकि $\alpha = 22.5^\circ$,$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}$.
चूँकि $3\alpha = 67.5^\circ$,$\sin^2 3\alpha = \frac{1 - \cos 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}$.
$P = \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}\right) = \frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8}$.

(C) हम सर्वसमिकाओं $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$,और $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ का उपयोग करेंगे।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$6(1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 9(1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 4$
$= 6 - 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 9 + 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4$
$= 6 - 9 + 4 = 1$.

(A) दिया गया है $A = 130^\circ$.
$x = \sin 130^\circ + \cos 130^\circ$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin 130^\circ = \cos(90^\circ - 130^\circ) = \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ$.
अतः,$x = \cos 40^\circ + \cos 130^\circ$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$x = 2 \cos(\frac{40^\circ + 130^\circ}{2}) \cos(\frac{40^\circ - 130^\circ}{2}) = 2 \cos 85^\circ \cos 45^\circ$.
चूंकि $85^\circ$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos 85^\circ > 0$.
चूंकि $45^\circ$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos 45^\circ > 0$.
इसलिए,$x = 2 \cos 85^\circ \cos 45^\circ > 0$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} + \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$
समान हर लेने पर: $E = \frac{(1 - \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha)}{\sqrt{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}}$
अंश और हर को सरल करने पर: $E = \frac{2}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{2}{|\sin \alpha|}$
चूंकि $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,$\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\sin \alpha$ ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
अतः,$E = \frac{2}{-\sin \alpha} = -\frac{2}{\sin \alpha}$.

(A) माना कि दो भाग $A$ और $B$ हैं ताकि $A + B = \theta$ और $A - B = \phi$ हो।
दिया गया है कि $\tan A = k \tan B$,इसलिए $\frac{\tan A}{\tan B} = k$ है।
स्पर्शज्या को साइन और कोसाइन के रूप में विस्तारित करने पर:
$\frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B} = \frac{k}{1}$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{k + 1}{k - 1}$।
सर्वसमिका $\frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\sin A \cos B - \cos A \sin B} = \frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)} = \frac{k + 1}{k - 1}$।
$A + B = \theta$ और $A - B = \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{k + 1}{k - 1}$।
अतः,$\sin \theta = \frac{k + 1}{k - 1} \sin \phi$।

(A) दिया है $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,अतः $\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \alpha < 0$.
माना $E = \sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} + 4\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
$E = \sqrt{4\sin^4 \alpha + 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} + 2(1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))$
$E = \sqrt{4\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} + 2(1 + \sin \alpha)$
$E = \sqrt{4\sin^2 \alpha} + 2 + 2\sin \alpha$
$E = 2|\sin \alpha| + 2 + 2\sin \alpha$
चूंकि $\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin \alpha < 0$,इसलिए $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
$E = 2(-\sin \alpha) + 2 + 2\sin \alpha = 2$.

(C) माना व्यंजक $E = (\sec A + \tan A - 1)(\sec A - (\tan A - 1)) - 2\tan A$ है।
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करते हुए:
$E = (\sec A + (\tan A - 1))(\sec A - (\tan A - 1)) - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - (\tan A - 1)^2 - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - (\tan^2 A - 2\tan A + 1) - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - \tan^2 A + 2\tan A - 1 - 2\tan A$
चूंकि $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$,इसलिए:
$E = 1 - 1 = 0$.

(C) दिया गया है $\tan A = 2\tan B + \cot B.$
हम जानते हैं कि $\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}.$
$\tan A$ का मान रखने पर:
$2\tan (A - B) = 2 \left( \frac{2\tan B + \cot B - \tan B}{1 + (2\tan B + \cot B)\tan B} \right)$
$= 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{1 + 2\tan^2 B + 1} \right) = \frac{\tan B + \cot B}{1 + \tan^2 B}$
$= \frac{\tan B + \frac{1}{\tan B}}{\sec^2 B} = \frac{\frac{\tan^2 B + 1}{\tan B}}{\sec^2 B} = \frac{\sec^2 B}{\tan B \cdot \sec^2 B} = \frac{1}{\tan B} = \cot B.$

(A) दिया गया है कि $\sin A = \sin B$ और $\cos A = \cos B.$
अंतर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos A - \cos B = 0 \Rightarrow -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
साथ ही,$\sin A - \sin B = 0 \Rightarrow 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
अतः,दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए $\sin \frac{A-B}{2} = 0$ होना आवश्यक है।

(C) दिया गया है $A - B = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(A - B) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$.
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = 1$ का उपयोग करने पर.
इसका अर्थ है $\tan A - \tan B = 1 + \tan A \tan B$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\tan A - \tan B - \tan A \tan B = 1$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$\tan A - \tan B - \tan A \tan B + 1 = 1 + 1 = 2$.
गुणनखंड करने पर,$(1 + \tan A)(1 - \tan B) = 2$.
चूंकि $y = (1 + \tan A)(1 - \tan B)$,इसलिए $y = 2$.
अतः,$(y + 1)^{y + 1} = (2 + 1)^{2 + 1} = 3^3 = 27$.

(D) माना $X = \frac{\cot A}{1 + \cot A} \cdot \frac{\cot B}{1 + \cot B}$ है।
टैंजेंट रूप में बदलने पर: $X = \frac{1/\tan A}{1 + 1/\tan A} \cdot \frac{1/\tan B}{1 + 1/\tan B} = \frac{1}{\tan A + 1} \cdot \frac{1}{\tan B + 1}$।
$X = \frac{1}{\tan A \tan B + \tan A + \tan B + 1}$।
दिया गया है $A + B = 225^\circ$,इसलिए $\tan(A + B) = \tan(225^\circ) = 1$।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ प्राप्त होता है।
इस मान को $X$ के समीकरण में रखने पर:
$X = \frac{1}{\tan A \tan B + (1 - \tan A \tan B) + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
$= \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2(\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4$.

(B) दिया है $\sin (\theta + \alpha ) = a$ और $\sin (\theta + \beta ) = b$।
माना $x = \theta + \alpha$ और $y = \theta + \beta$। तब $\alpha - \beta = x - y$।
हमें प्राप्त है $\sin x = a$ और $\sin y = b$। अतः $\cos x = \pm \sqrt{1-a^2}$ और $\cos y = \pm \sqrt{1-b^2}$।
$\cos (\alpha - \beta ) = \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \pm \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2} + ab$।
माना $C = \cos (\alpha - \beta )$। तब $C - ab = \pm \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(C - ab)^2 = (1-a^2)(1-b^2) = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$।
$C^2 - 2abC + a^2b^2 = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$।
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$।
हमें $\cos 2(\alpha - \beta ) - 4ab\cos (\alpha - \beta ) = 2\cos^2 (\alpha - \beta ) - 1 - 4ab\cos (\alpha - \beta )$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2(C^2 - 2abC) - 1$।
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1 - a^2 - b^2) - 1 = 2 - 2a^2 - 2b^2 - 1 = 1 - 2a^2 - 2b^2$।

(C) माना व्यंजक $E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - 2\cos(A - B)\cos A\cos B$ है।
सर्वसमिका $2\cos A\cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos(A - B)[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos^2(A - B) - \cos(A - B)\cos(A + B)$
$E = \cos^2 B - \cos(A - B)\cos(A + B)$
सर्वसमिका $\cos(A - B)\cos(A + B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos^2 B - (\cos^2 A - \sin^2 B)$
$E = \cos^2 B + \sin^2 B - \cos^2 A$
चूंकि $\cos^2 B + \sin^2 B = 1$,इसलिए:
$E = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$
चूंकि परिणाम $\sin^2 A$ केवल $A$ पर निर्भर करता है,इसलिए व्यंजक $A$ पर निर्भर है।