यदि cos alpha + cos beta + cos gamma = 0 और s | vedclass

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Question

(C) दिया गया है: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.मान लीजिए $a = e^{i\alpha}$

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(C) दिया गया है: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.मान लीजिए $a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,और $c = e^{i\gamma}$.तब $a + b + c = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) + i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) = 0 + i(0) = 0$.चूंकि $a, b, c$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,$|a| = |b| = |c| = 1$,इसलिए $\bar{a} = 1/a$,$\bar{b} = 1/b$,और $\bar{c} = 1/c$.$a + b + c = 0$ का संयुग्मी लेने पर,हमें $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$.यह $\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0$ में सरल हो जाता है,इसलिए $ab + bc + ca = 0$.अब,$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$ पर विचार करें।चूंकि $ab + bc + ca = 0$,हमारे पास $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ है।$a^2 = e^{i2\alpha} = \cos 2\alpha + i\sin 2\alpha$ आदि रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma) + i(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma) = 0$.वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ है,तो $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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