Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1 - \cos x}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{\sin \alpha}{\cos x} - \frac{2}{1 + \cos x}$
બંને બાજુ $\cos x(1 + \cos x)$ વડે ગુણતા:
$1 - \cos x = \sin \alpha (1 + \cos x) - 2 \cos x$
$1 - \cos x = \sin \alpha + \sin \alpha \cos x - 2 \cos x$
$1 - \cos x = \sin \alpha + \cos x(\sin \alpha - 2)$
બંને બાજુ અચળ પદો અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
અચળ પદ: $1 = \sin \alpha$
$\cos x$ નો સહગુણક: $-1 = \sin \alpha - 2$
અચળ પદ પરથી,$\sin \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
સહગુણક સાથે ચકાસતા: $-1 = 1 - 2$,જે $-1 = -1$ થાય છે.
આમ,$\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \sum \frac{1}{1 + x^{a - b} + x^{a - c}}$ છે.
દરેક પદના અંશ અને છેદને $x^a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$S = \sum \frac{x^a}{x^a + x^b + x^c}$.
આ ચક્રીય સરવાળા માટેનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\sum \frac{x^{b+c}}{x^{b+c} + x^{a+c} + x^{a+b}}$ છે.
છેદ $x^{a+b} + x^{b+c} + x^{c+a}$ બધા પદો માટે સમાન હોવાથી:
$S = \frac{1}{x^{a+b} + x^{b+c} + x^{c+a}} \sum (x^{b+c} + x^{a+c} + x^{a+b}) = 1$.

(C) આપેલ છે: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.
ધારો કે $a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,અને $c = e^{i\gamma}$.
તેથી $a + b + c = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) + i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) = 0 + i(0) = 0$.
$a, b, c$ એ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ હોવાથી,$|a| = |b| = |c| = 1$,તેથી $\bar{a} = 1/a$,$\bar{b} = 1/b$,અને $\bar{c} = 1/c$.
$a + b + c = 0$ નો અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0$ થાય છે,તેથી $ab + bc + ca = 0$.
હવે,$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$ ધ્યાનમાં લો.
$ab + bc + ca = 0$ હોવાથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 0$ મળે છે.
$a^2 = e^{i2\alpha} = \cos 2\alpha + i\sin 2\alpha$ વગેરે મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma) + i(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma) = 0$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$
ધારો કે $y = e^{\sin x}$. તેથી $e^{-\sin x} = \frac{1}{y}$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$y - \frac{1}{y} - 4 = 0$
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$:
$y^2 - 4y - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
$y = e^{\sin x} > 0$ હોવાથી,$y = 2 + \sqrt{5}$ લેતા.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$
અહીં $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ છે,અને $\sin x$ ની કિંમત $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$.
$\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ હોવાથી,$\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા,$\sin^2 \theta + 1 = 2 \sin \theta$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 0$ થાય,જે $(\sin \theta - 1)^2 = 0$ છે.
તેથી,$\sin \theta = 1$.
આમ,$\sin^{10} \theta + \text{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + \frac{1}{(1)^{10}} = 1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \text{cosec} \theta)^2 = 2^2$
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \text{cosec} \theta = 4$
કારણ કે $\sin \theta \text{cosec} \theta = 1$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta + 2(1) = 4$
$\sin^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta = 4 - 2 = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = m$ અને $\sec \theta + \text{cosec} \theta = n$.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = m^2 \implies 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = m^2 \implies 2 \sin \theta \cos \theta = m^2 - 1$.
હવે,પદ $n(m + 1)(m - 1) = n(m^2 - 1)$ ધ્યાનમાં લો.
$n = \sec \theta + \text{cosec} \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{m}{\sin \theta \cos \theta}$ મૂકતા.
તેથી,$n(m^2 - 1) = \left( \frac{m}{\sin \theta \cos \theta} \right) (2 \sin \theta \cos \theta) = 2m$.

(A) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$
નિત્યસમ $(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin \theta \cos \theta = 0$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1.$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\text{cosec } A - \cot A)(\text{cosec } A + \cot A) = 1.$
આપેલ છે કે $\text{cosec } A + \cot A = \frac{11}{2},$ તેથી $(\text{cosec } A - \cot A) \times \frac{11}{2} = 1 \Rightarrow \text{cosec } A - \cot A = \frac{2}{11}.$
હવે,બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\text{cosec } A + \cot A) - (\text{cosec } A - \cot A) = \frac{11}{2} - \frac{2}{11}.$
$2 \cot A = \frac{121 - 4}{22} = \frac{117}{22}.$
$\cot A = \frac{117}{44}.$
$\tan A = \frac{1}{\cot A}$ હોવાથી,$\tan A = \frac{44}{117}.$

(B) આપેલ સમીકરણ: $(m + 2)\sin \theta + (2m - 1)\cos \theta = 2m + 1$.
$\cos \theta$ વડે ભાગતા: $(m + 2)\tan \theta + (2m - 1) = (2m + 1)\sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $((m + 2)\tan \theta + (2m - 1))^2 = (2m + 1)^2(1 + \tan^2 \theta)$.
ધારો કે $\tan \theta = t$. સાદુંરૂપ આપતા: $(3t - 4)((m^2 - 1)t - 2m) = 0$.
તેથી,$t = \frac{4}{3}$ અથવા $t = \frac{2m}{m^2 - 1}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{4}{3}$ એ એક સાચો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ છે: $\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\sin x + 3\cos x = 3\cos y - \sin y$.....$(i)$
બંને બાજુને $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{10}}\sin x + \frac{3}{\sqrt{10}}\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}}\cos y - \frac{1}{\sqrt{10}}\sin y$
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અને $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$,તેથી $\tan \alpha = 3$. હવે સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\sin(x + \alpha) = \sin(\alpha - y)$
આનો અર્થ એ છે કે $x + \alpha = n\pi + (-1)^n(\alpha - y)$.
$n=0$ માટે,$x + \alpha = \alpha - y \Rightarrow x = -y$.
$x = -y$ ને $\frac{\sin 3x}{\sin 3y}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{\sin 3(-y)}{\sin 3y} = \frac{-\sin 3y}{\sin 3y} = -1$.

(A) આપેલ છે કે $\sin A, \cos A, \tan A$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,મધ્યમ પદનો વર્ગ એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો થાય:
$\cos^2 A = \sin A \cdot \tan A$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ મૂકતા:
$\cos^2 A = \sin A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$\cos^3 A = \sin^2 A$
નિત્યસમ $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^3 A = 1 - \cos^2 A$
પદોને ગોઠવતા:
$\cos^3 A + \cos^2 A = 1$

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta + \sec \theta = e^x$ $(i)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ $(ii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = e^x + e^{-x}$.
$2 \sec \theta = e^x + e^{-x}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$ મળે.
$\sin \theta$ ને કર્તા બનાવવા માટે,બંને બાજુ $(\sqrt{2} - 1)$ વડે ગુણતા:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \sin \theta$.
કારણ કે $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$,તેથી:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = \sin \theta$.
આને વિસ્તૃત કરતા,$\sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta = \sin \theta$.
તેથી,$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$.

(B) આપેલ છે કે $\sec \theta + \tan \theta = p$ $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = p - \frac{1}{p}$
$2 \tan \theta = \frac{p^2 - 1}{p}$
$\tan \theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $X = e^{\log_{10} \tan 1^\circ + \log_{10} \tan 2^\circ + \dots + \log_{10} \tan 89^\circ}$ છે.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$X = e^{\log_{10}(\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,તેથી ગુણાકાર $P = 1$ થાય છે.
આમ,$X = e^{\log_{10}(1)} = e^0 = 1$.

(B) આપેલ પદાવલિ:
$E = \frac{2\sin \theta \tan \theta (1 - \tan \theta) + 2\sin \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan \theta)^2}$
$2\sin \theta$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta (1 - \tan \theta) + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
કૌંસની અંદરના પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta - \tan^2 \theta + 1 + \tan^2 \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{2\sin \theta [1 + \tan \theta]}{(1 + \tan \theta)^2}$
$(1 + \tan \theta)$ ને છેદ ઉડાડતા:
$E = \frac{2\sin \theta}{1 + \tan \theta}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = 1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} + \frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y}$
પગલું $1$: પ્રથમ બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} = \frac{1 + \cos y - (1 - \cos^2 y)}{1 + \cos y} = \frac{\cos y + \cos^2 y}{1 + \cos y} = \frac{\cos y(1 + \cos y)}{1 + \cos y} = \cos y$
પગલું $2$: છેલ્લા બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y} = \frac{(1 + \cos y)(1 - \cos y) - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{1 - \cos^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{\sin^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = 0$
પગલું $3$: પરિણામોને જોડતા:
$E = \cos y + 0 = \cos y$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2y \cos \theta = x \sin \theta$ --- $(i)$
$2x \sec \theta - y \csc \theta = 3$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$\frac{x}{\cos \theta} = \frac{2y}{\sin \theta} = k$ (ધારો).
તેથી,$x = k \cos \theta$ અને $2y = k \sin \theta$,જેનો અર્થ છે $y = \frac{k}{2} \sin \theta$.
આ કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(k \cos \theta) \sec \theta - (\frac{k}{2} \sin \theta) \csc \theta = 3$
$2k(1) - \frac{k}{2}(1) = 3$
$\frac{3k}{2} = 3 \Rightarrow k = 2$.
આમ,$x = 2 \cos \theta$ અને $y = \sin \theta$.
હવે,$x^2 + 4y^2 = (2 \cos \theta)^2 + 4(\sin \theta)^2$
$= 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta$
$= 4(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4(1) = 4$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ અને $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$.
પદ $\frac{y - 1}{y + 1}$ ધ્યાનમાં લો:
$y - 1 = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{\sin \phi}$
$y + 1 = \frac{1 + \cos \phi + \sin \phi}{\sin \phi}$
તેથી,$\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{1 + \cos \phi + \sin \phi}$.
અંશ અને છેદને $(1 + \cos \phi - \sin \phi)$ વડે ગુણતા,આપણને $x$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{y - 1}{y + 1}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{x \sin \phi}{1 - x \cos \phi}$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\tan \theta - x \tan \theta \cos \phi = x \sin \phi$.
$\tan \theta = x(\sin \phi + \cos \phi \tan \theta) = x \left( \frac{\sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta}{\cos \theta} \right) = x \frac{\sin(\phi + \theta)}{\cos \theta}$.
આમ,$x = \frac{\tan \theta \cos \theta}{\sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin(\theta + \phi)}$.
તે જ રીતે,$\tan \phi = \frac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta}$ પરથી,આપણને મળે $y = \frac{\sin \phi}{\sin(\theta + \phi)}$.
તેથી,$\frac{x}{y} = \frac{\sin \theta / \sin(\theta + \phi)}{\sin \phi / \sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi}$.

(D) આપેલ છે કે $p = \frac{2\sin \theta}{1 + \cos \theta + \sin \theta}$ અને $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
$p + q = \frac{2\sin \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ લો.
ગણતરી કરતા,$p + q = \frac{2\sin \theta (1 + \sin \theta) + \cos \theta (1 + \sin \theta + \cos \theta)}{(1 + \sin \theta + \cos \theta)(1 + \sin \theta)}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$p + q = \frac{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta + \cos \theta)}{(1 + \sin \theta + \cos \theta)(1 + \sin \theta)} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $m = \tan \theta + \sin \theta$ અને $n = \tan \theta - \sin \theta$.
$m^2 - n^2$ ની ગણતરી કરતા:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
$m + n = (\tan \theta + \sin \theta) + (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \tan \theta$
$m - n = (\tan \theta + \sin \theta) - (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \sin \theta$
$m^2 - n^2 = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$ ... $(i)$
$4\sqrt{mn}$ ની ગણતરી કરતા:
$mn = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$
$mn = \sin^2 \theta \tan^2 \theta$
$\sqrt{mn} = \sin \theta \tan \theta$
$4\sqrt{mn} = 4 \sin \theta \tan \theta$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,${m^2} - {n^2} = 4\sqrt {mn}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cos \theta + b \sin \theta = m$ $(1)$
અને $a \sin \theta - b \cos \theta = n$ $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને ઉમેરતા,આપણને મળે:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = m^2 + n^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = m^2 + n^2$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = m^2 + n^2$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$a^2(1) + b^2(1) = m^2 + n^2$
આમ,$a^2 + b^2 = m^2 + n^2$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = b \sin^3 \theta$.
અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a} = \cos^3 \theta$ અને $\frac{y}{b} = \sin^3 \theta$ મળે છે.
બંને બાજુ $1/3$ ઘાત લેતા,$(\frac{x}{a})^{1/3} = \cos \theta$ અને $(\frac{y}{b})^{1/3} = \sin \theta$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\frac{x}{a})^{2/3} = \cos^2 \theta$ અને $(\frac{y}{b})^{2/3} = \sin^2 \theta$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ મળે છે.
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી $(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = 1$ થાય.

(A) આપેલ છે $\cot \theta + \tan \theta = m$
$\Rightarrow \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = m$ $\Rightarrow \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta} = m$ $\Rightarrow \sec^2 \theta = m \tan \theta$ ... $(i)$
આપેલ છે $\sec \theta - \cos \theta = n$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = n$ $\Rightarrow \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = n$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = n \cos \theta$
$\Rightarrow \tan^2 \theta \cos^2 \theta = n \cos \theta$ $\Rightarrow \tan^2 \theta \cos \theta = n$ $\Rightarrow \tan^2 \theta = n \sec \theta$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$\tan \theta = \frac{\sec^2 \theta}{m}$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$(\frac{\sec^2 \theta}{m})^2 = n \sec \theta$ $\Rightarrow \frac{\sec^4 \theta}{m^2} = n \sec \theta$ $\Rightarrow \sec^3 \theta = m^2 n$ $\Rightarrow \sec \theta = (m^2 n)^{1/3}$
$(i)$ પરથી,$\tan \theta = \frac{\sec^2 \theta}{m} = \frac{(m^2 n)^{2/3}}{m} = (m n^2)^{1/3}$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(m^2 n)^{2/3} - (m n^2)^{2/3} = 1$
$m (m n^2)^{1/3} - n (n m^2)^{1/3} = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ છે.
ધારો કે $a = \sin^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
મૂળ પદાવલિમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
પ્રથમ,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$ લો,જેનું વિસ્તરણ $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ થાય છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ મળે.
ત્યારબાદ,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2$ લો,જેનું વિસ્તરણ $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta + 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$ થાય છે.
તેથી,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 1$
$= 2 - 3 + 1 = 0$.

(C) આપેલ છે કે,$\sin x + \sin^2 x = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x = 1 - \sin^2 x$,તેથી $\sin x = \cos^2 x$.
હવે,પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 2$.
$\cos^2 x = \sin x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = (\sin x)^6 + 3(\sin x)^5 + 3(\sin x)^4 + (\sin x)^3 - 2$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$E = (\sin^2 x)^3 + 3(\sin^2 x)^2(\sin x) + 3(\sin^2 x)(\sin x)^2 + (\sin x)^3 - 2$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sin^2 x$ અને $b = \sin x$:
$E = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 2$.
કારણ કે $\sin^2 x + \sin x = 1$,તેથી:
$E = (1)^3 - 2 = 1 - 2 = -1$.

(D) આપેલ છે કે $\sin x + \sin^2 x = 1.$
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x.$
હવે,આપણે પદાવલિ $\cos^8 x + 2\cos^6 x + \cos^4 x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાં $\cos^2 x = \sin x$ મૂકતા:
$= (\cos^2 x)^4 + 2(\cos^2 x)^3 + (\cos^2 x)^2$
$= (\sin x)^4 + 2(\sin x)^3 + (\sin x)^2$
$= \sin^4 x + 2\sin^3 x + \sin^2 x$
$= (\sin^2 x + \sin x)^2.$
કારણ કે $\sin x + \sin^2 x = 1,$ તેથી $(1)^2 = 1.$

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$x \sin^3 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$ ... $(i)$
$x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ ... $(ii)$
$(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $x \sin \alpha = y \cos \alpha$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(x \sin \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$(y \cos \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$y \cos \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha$
કારણ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી:
$y \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
જો $\cos \alpha \neq 0$ હોય,તો $y = \sin \alpha$.
$y = \sin \alpha$ ને $x \sin \alpha = y \cos \alpha$ માં મૂકતા,$x \sin \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$,જેનો અર્થ છે $x = \cos \alpha$.
તેથી,$x^2 + y^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.

(B) ધારો કે $x = (1 + \sin A)(1 + \sin B)(1 + \sin C)$ અને $y = (1 - \sin A)(1 - \sin B)(1 - \sin C)$.
આપેલ છે કે $x = y$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$xy = y^2$
$(1 + \sin A)(1 - \sin A)(1 + \sin B)(1 - \sin B)(1 + \sin C)(1 - \sin C) = y^2$
$(1 - \sin^2 A)(1 - \sin^2 B)(1 - \sin^2 C) = y^2$
$\cos^2 A \cos^2 B \cos^2 C = y^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \pm \cos A \cos B \cos C$
$x = y$ હોવાથી,દરેક બાજુ $\pm \cos A \cos B \cos C$ બરાબર થાય.

(A) આપેલ છે: $(\sec \alpha + \tan \alpha )(\sec \beta + \tan \beta )(\sec \gamma + \tan \gamma ) = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ ... $(i)$
ધારો કે $x = (\sec \alpha - \tan \alpha )(\sec \beta - \tan \beta )(\sec \gamma - \tan \gamma )$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha )(\sec^2 \beta - \tan^2 \beta )(\sec^2 \gamma - \tan^2 \gamma ) = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$
કારણ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,ડાબી બાજુ $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ થાય.
તેથી,$1 = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$
$x = \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } = \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma $

(D) આપેલ છે કે $\tan \theta - \cot \theta = a$ $(i)$ અને $\sin \theta + \cos \theta = b$ $(ii)$.
હવે,પદાવલિ $({b^2} - 1)^2({a^2} + 4)$ ધ્યાનમાં લો.
$b = \sin \theta + \cos \theta$ હોવાથી,$b^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$.
તેથી,$b^2 - 1 = \sin 2\theta$,એટલે કે $(b^2 - 1)^2 = \sin^2 2\theta$.
$a = \tan \theta - \cot \theta$ હોવાથી,$a^2 = (\tan \theta - \cot \theta)^2 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta - 2$.
તેથી,$a^2 + 4 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = (\tan \theta + \cot \theta)^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(b^2 - 1)^2(a^2 + 4) = \sin^2 2\theta (\tan \theta + \cot \theta)^2$
$= (2 \sin \theta \cos \theta)^2 \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)^2$
$= 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 4$.

(C) આપેલ છે: $\tan^2 \alpha \tan^2 \beta + \tan^2 \beta \tan^2 \gamma + \tan^2 \gamma \tan^2 \alpha + 2\tan^2 \alpha \tan^2 \beta \tan^2 \gamma = 1$.
ધારો કે $x = \tan^2 \alpha$,$y = \tan^2 \beta$,અને $z = \tan^2 \gamma$.
તેથી આપેલ સમીકરણ $xy + yz + zx + 2xyz = 1$ થાય.
આપણે $S = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ શોધવાનું છે.
$\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{x}{1+x} + \frac{y}{1+y} + \frac{z}{1+z} = 1$.

(B) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{36} \sin(k \times 10^\circ)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta$.
તેથી,$\sin(180^\circ + 10^\circ) = \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ$.
તે જ રીતે,$\sin(180^\circ + 20^\circ) = \sin 200^\circ = -\sin 20^\circ$,અને આ રીતે $\sin(180^\circ + 170^\circ) = \sin 350^\circ = -\sin 170^\circ$ સુધી.
વળી,$\sin 180^\circ = 0$ અને $\sin 360^\circ = 0$.
સરવાળાને $(\sin 10^\circ + \sin 190^\circ) + (\sin 20^\circ + \sin 200^\circ) + \dots + (\sin 170^\circ + \sin 350^\circ) + \sin 180^\circ + \sin 360^\circ$ તરીકે લખી શકાય.
દરેક જોડીનો સરવાળો $0$ થાય છે અને $\sin 180^\circ = \sin 360^\circ = 0$ હોવાથી,કુલ સરવાળો $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = 22^\circ 30' = \frac{\pi}{8}$.
ધારો કે $P = (1 + \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 + \cos 5\alpha)(1 + \cos 7\alpha)$.
અહીં $3\alpha = 67^\circ 30'$,$5\alpha = 112^\circ 30'$,અને $7\alpha = 157^\circ 30'$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 5\alpha = \cos(180^\circ - 67^\circ 30') = -\cos 3\alpha$ અને $\cos 7\alpha = \cos(180^\circ - 22^\circ 30') = -\cos \alpha$.
તેથી,$P = (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 - \cos 3\alpha)$.
$P = (1 - \cos^2 \alpha)(1 - \cos^2 3\alpha) = \sin^2 \alpha \sin^2 3\alpha$.
$\alpha = 22.5^\circ$ હોવાથી,$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}$.
$3\alpha = 67.5^\circ$ હોવાથી,$\sin^2 3\alpha = \frac{1 - \cos 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}$.
$P = \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}\right) = \frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8}$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$,અને $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$6(1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 9(1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 4$
$= 6 - 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 9 + 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4$
$= 6 - 9 + 4 = 1$.

(A) આપેલ છે $A = 130^\circ$.
$x = \sin 130^\circ + \cos 130^\circ$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 130^\circ = \cos(90^\circ - 130^\circ) = \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ$.
તેથી,$x = \cos 40^\circ + \cos 130^\circ$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = 2 \cos(\frac{40^\circ + 130^\circ}{2}) \cos(\frac{40^\circ - 130^\circ}{2}) = 2 \cos 85^\circ \cos 45^\circ$.
$85^\circ$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos 85^\circ > 0$.
$45^\circ$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos 45^\circ > 0$.
તેથી,$x = 2 \cos 85^\circ \cos 45^\circ > 0$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} + \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$
છેદ સમાન કરતા: $E = \frac{(1 - \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha)}{\sqrt{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}}$
અંશ અને છેદનું સાદુરૂપ આપતા: $E = \frac{2}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{2}{|\sin \alpha|}$
અહીં $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ હોવાથી,$\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\sin \alpha$ ઋણ હોય છે.
તેથી,$|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
આમ,$E = \frac{2}{-\sin \alpha} = -\frac{2}{\sin \alpha}$.

(A) ધારો કે બે ભાગ $A$ અને $B$ છે જેથી $A + B = \theta$ અને $A - B = \phi$.
આપેલ છે કે $\tan A = k \tan B$,તેથી $\frac{\tan A}{\tan B} = k$.
ટેન્જન્ટને સાઈન અને કોસાઈનમાં વિસ્તૃત કરતા:
$\frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B} = \frac{k}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
નિત્યસમ $\frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\sin A \cos B - \cos A \sin B} = \frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
$A + B = \theta$ અને $A - B = \phi$ મૂકતા:
$\frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{k + 1}{k - 1} \sin \phi$.

(A) આપેલ છે કે $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,તેથી $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે,એટલે કે $\sin \alpha < 0$.
ધારો કે $E = \sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} + 4\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
$E = \sqrt{4\sin^4 \alpha + 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} + 2(1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))$
$E = \sqrt{4\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} + 2(1 + \sin \alpha)$
$E = \sqrt{4\sin^2 \alpha} + 2 + 2\sin \alpha$
$E = 2|\sin \alpha| + 2 + 2\sin \alpha$
કારણ કે $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે,$\sin \alpha < 0$,તેથી $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
$E = 2(-\sin \alpha) + 2 + 2\sin \alpha = 2$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\sec A + \tan A - 1)(\sec A - (\tan A - 1)) - 2\tan A$ છે.
નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\sec A + (\tan A - 1))(\sec A - (\tan A - 1)) - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - (\tan A - 1)^2 - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - (\tan^2 A - 2\tan A + 1) - 2\tan A$
$E = \sec^2 A - \tan^2 A + 2\tan A - 1 - 2\tan A$
કારણ કે $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$,તેથી:
$E = 1 - 1 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $\tan A = 2\tan B + \cot B.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}.$
$\tan A$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\tan (A - B) = 2 \left( \frac{2\tan B + \cot B - \tan B}{1 + (2\tan B + \cot B)\tan B} \right)$
$= 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{1 + 2\tan^2 B + 1} \right) = \frac{\tan B + \cot B}{1 + \tan^2 B}$
$= \frac{\tan B + \frac{1}{\tan B}}{\sec^2 B} = \frac{\frac{\tan^2 B + 1}{\tan B}}{\sec^2 B} = \frac{\sec^2 B}{\tan B \cdot \sec^2 B} = \frac{1}{\tan B} = \cot B.$

(A) આપેલ છે કે $\sin A = \sin B$ અને $\cos A = \cos B.$
તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A - \cos B = 0 \Rightarrow -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
તેમજ,$\sin A - \sin B = 0 \Rightarrow 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
આથી,બંને શરતોનું પાલન કરવા માટે $\sin \frac{A-B}{2} = 0$ થવું જરૂરી છે.

(C) આપેલ છે કે $A - B = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(A - B) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
આથી $\tan A - \tan B = 1 + \tan A \tan B$.
ગોઠવતા,$\tan A - \tan B - \tan A \tan B = 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$\tan A - \tan B - \tan A \tan B + 1 = 1 + 1 = 2$.
અવયવ પાડતા,$(1 + \tan A)(1 - \tan B) = 2$.
કારણ કે $y = (1 + \tan A)(1 - \tan B)$,તેથી $y = 2$.
તેથી,$(y + 1)^{y + 1} = (2 + 1)^{2 + 1} = 3^3 = 27$.

(D) ધારો કે $X = \frac{\cot A}{1 + \cot A} \cdot \frac{\cot B}{1 + \cot B}$.
ટેન્જન્ટ સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $X = \frac{1/\tan A}{1 + 1/\tan A} \cdot \frac{1/\tan B}{1 + 1/\tan B} = \frac{1}{\tan A + 1} \cdot \frac{1}{\tan B + 1}$.
$X = \frac{1}{\tan A \tan B + \tan A + \tan B + 1}$.
આપેલ છે કે $A + B = 225^\circ$,તેથી $\tan(A + B) = \tan(225^\circ) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ મળે છે.
આ કિંમત $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = \frac{1}{\tan A \tan B + (1 - \tan A \tan B) + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
$= \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2(\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4$.

(B) આપેલ છે કે $\sin (\theta + \alpha ) = a$ અને $\sin (\theta + \beta ) = b$.
ધારો કે $x = \theta + \alpha$ અને $y = \theta + \beta$. તેથી $\alpha - \beta = x - y$.
આપણને મળે છે $\sin x = a$ અને $\sin y = b$. તેથી $\cos x = \pm \sqrt{1-a^2}$ અને $\cos y = \pm \sqrt{1-b^2}$.
$\cos (\alpha - \beta ) = \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \pm \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2} + ab$.
ધારો કે $C = \cos (\alpha - \beta )$. તો $C - ab = \pm \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(C - ab)^2 = (1-a^2)(1-b^2) = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.
$C^2 - 2abC + a^2b^2 = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$.
આપણે $\cos 2(\alpha - \beta ) - 4ab\cos (\alpha - \beta ) = 2\cos^2 (\alpha - \beta ) - 1 - 4ab\cos (\alpha - \beta )$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$= 2(C^2 - 2abC) - 1$.
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$ મૂકતા:
$= 2(1 - a^2 - b^2) - 1 = 2 - 2a^2 - 2b^2 - 1 = 1 - 2a^2 - 2b^2$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - 2\cos(A - B)\cos A\cos B$ છે.
નિત્યસમ $2\cos A\cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos(A - B)[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos^2(A - B) - \cos(A - B)\cos(A + B)$
$E = \cos^2 B - \cos(A - B)\cos(A + B)$
નિત્યસમ $\cos(A - B)\cos(A + B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos^2 B - (\cos^2 A - \sin^2 B)$
$E = \cos^2 B + \sin^2 B - \cos^2 A$
કારણ કે $\cos^2 B + \sin^2 B = 1$,તેથી:
$E = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$
પરિણામ $\sin^2 A$ ફક્ત $A$ પર આધારિત હોવાથી,આ પદાવલિ $A$ પર આધારિત છે.