Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $2 \sec 2\alpha = \tan \beta + \cot \beta$ है।
दाहिनी ओर को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan \beta + \cot \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{1}{\sin \beta \cos \beta}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{2}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ बन जाता है।
इसका अर्थ है कि $\cos 2\alpha = \sin 2\beta$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\cos 2\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta)$.
इसलिए,$2\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\beta$,जो सरल होकर $2\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $S = {\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{7\pi }}{8}$
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\sin \frac{{7\pi }}{8} = \sin \frac{\pi }{8}$ और $\sin \frac{{5\pi }}{8} = \sin \frac{{3\pi }}{8}$ है।
अतः,$S = 2\left( {\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{8} \right)$.
$2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - \cos \frac{\pi }{4})^2 + \frac{1}{4} (1 - \cos \frac{{3\pi }}{4})^2 \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1 - (- \frac{1}{\sqrt{2}}))^2 \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \right]$.
$(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ 1^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \right]$.
$S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$.
अतः,$\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi }{8}) = -\cos \frac{\pi }{8}$ और $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos(\pi - \frac{{3\pi }}{8}) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)$
पदों को समूहित करने पर:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
सर्वसमिका $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{{2\pi }}{8} - \cos \frac{{4\pi }}{8} \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2$
चूंकि $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi }{2} = 0$:
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(A) दिया गया है $3 \tan A - 4 = 0 \Rightarrow \tan A = \frac{4}{3}$.
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin A$ और $\cos A$ दोनों ऋणात्मक हैं।
$\tan A = \frac{4}{3}$ का उपयोग करने पर,$\sin A = -\frac{4}{5}$ और $\cos A = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A = 5(2 \sin A \cos A) + 3 \sin A + 4 \cos A$.
मान रखने पर: $10 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \left(-\frac{4}{5}\right) + 4 \left(-\frac{3}{5}\right)$.
$= 10 \left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$.
$= \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$.

(C) दिया गया व्यंजक: $E = 2 \sin^2 \beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ और $\cos 2(\alpha + \beta) = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1$ का उपयोग करने पर:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + (2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta$
$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)$
$E = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ का उपयोग करने पर:
$E = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$

(D) दिया गया समीकरण $\sin x \cos x = 2$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = 4$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin 2x = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\sin 2x$ का मान $4$ नहीं हो सकता है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(A) माना $f(x) = \cos x - x + \frac{1}{2}$ है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ की सीमाओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = \cos(0) - 0 + \frac{1}{2} = 1.5 > 0$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \pi}{2} < 0$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,चूंकि $f(0) > 0$ और $f(\frac{\pi}{2}) < 0$ है,इसलिए अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में कम से कम एक मूल स्थित है।

(C) माना व्यंजक $E = (1 + \tan x + \tan^2 x)(1 - \cot x + \cot^2 x)$ है।
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = (1 + \tan x + \tan^2 x)(1 - \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan^2 x})$.
$E = (1 + \tan x + \tan^2 x) \left( \frac{\tan^2 x - \tan x + 1}{\tan^2 x} \right)$.
$E = \frac{(1 + \tan^2 x + \tan x)(1 + \tan^2 x - \tan x)}{\tan^2 x}$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1 + \tan^2 x$ और $b = \tan x$:
$E = \frac{(1 + \tan^2 x)^2 - \tan^2 x}{\tan^2 x}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $1 + \tan^2 x \ge 2|\tan x|$ है,इसलिए $(1 + \tan^2 x)^2 > \tan^2 x$ होगा।
अतः,यह व्यंजक सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए धनात्मक है जहाँ $\tan x$ परिभाषित है।

(A) दिया गया समीकरण: $81^{\sin^2 x} + 81^{\cos^2 x} = 30$ है।
माना $u = 81^{\sin^2 x}$। चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,समीकरण $u + \frac{81}{u} = 30$ हो जाता है।
$u^2 - 30u + 81 = 0$ को हल करने पर,$(u - 27)(u - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = 27$ या $u = 3$।
स्थिति $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4 \sin^2 x = 3 \implies \sin^2 x = 3/4 \implies x = \pi/3$ या $2\pi/3$।
स्थिति $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4 \sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1/4 \implies x = \pi/6$ या $5\pi/6$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$\pi/6$ सही उत्तर है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$A.M. \ge G.M.$ असमिका के अनुसार,$\frac{5^x + 5^{-x}}{2} \ge \sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 1$ होता है।
इसका अर्थ है $5^x + 5^{-x} \ge 2$।
साथ ही,कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos(e^x) \le 1$ होता है।
इसका अर्थ है $2 \cos(e^x) \le 2$।
समीकरण $2 \cos(e^x) = 5^x + 5^{-x}$ को संतुष्ट करने के लिए दोनों पक्षों का मान $2$ होना चाहिए।
इसके लिए $5^x + 5^{-x} = 2$ होना आवश्यक है,जो केवल $x = 0$ पर संभव है।
$x = 0$ रखने पर,बायां पक्ष $2 \cos(e^0) = 2 \cos(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(1) \approx 0.54$,इसलिए $2 \cos(1) \approx 1.08 \neq 2$।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरण $r \sin \theta = 3$ और $r = 4(1 + \sin \theta)$ हैं।
दूसरे समीकरण में $r = \frac{3}{\sin \theta}$ रखने पर:
$\frac{3}{\sin \theta} = 4(1 + \sin \theta)$
$3 = 4 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta$
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3 = 0$
माना $x = \sin \theta$,तो $4x^2 + 4x - 3 = 0$.
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = -\frac{3}{2}$.
चूँकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,हम $x = -\frac{3}{2}$ को अस्वीकार करते हैं।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{1}{2}$.
$0 \le \theta \le 2\pi$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(A) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta ) = \cot (\pi \sin \theta )$.
$\cot(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan (\pi \cos \theta ) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta \right)$.
अतः $\pi \cos \theta = \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) चूंकि $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A + C = 2B$ है।
$A + B + C = 180^o$ दिया गया है,$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर $3B = 180^o$ मिलता है,अतः $B = 60^o$ है।
$\sin(2A + B) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $2A + 60^o = 30^o$ या $150^o$ होगा।
चूंकि $A$ धनात्मक होना चाहिए,$2A + 60^o = 150^o$ लेने पर $2A = 90^o$ मिलता है,अतः $A = 45^o$ है।
$A + C = 2B$ का उपयोग करने पर,$45^o + C = 120^o$ मिलता है,जिससे $C = 75^o$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $45^o, 60^o, 75^o$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\Delta DEF$ का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल सूत्र $\frac{1}{2}bc \sin A$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}(AB)(AC) \sin A = \frac{1}{2}(DE)(EF) \sin E$.
चूंकि $AB = DE$ और $AC = EF$,यह समीकरण सरल होकर बनता है:
$\sin A = \sin E$.
$\angle A = 2\angle E$ दिया गया है,इसलिए $A = 2E$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(2E) = \sin E$.
$2 \sin E \cos E = \sin E$.
चूंकि $\sin E \neq 0$ (त्रिभुज का कोण होने के कारण),$\sin E$ से भाग देने पर:
$2 \cos E = 1 \Rightarrow \cos E = \frac{1}{2}$.
अतः,$E = \frac{\pi}{3}$.
इसलिए,$A = 2E = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) माना कि दोनों सड़कों का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ है। बस की स्थिति $B$ और कार की स्थिति $C$ है।
दिया गया है कि $AB = 2 \, km$,$AC = 3 \, km$,और कोण $\angle BAC = 60^o$ है।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC) \cos(60^o)$
$BC^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3) \left(\frac{1}{2}\right)$
$BC^2 = 4 + 9 - 6$
$BC^2 = 7$
$BC = \sqrt{7} \, km$.
अतः,दोनों वाहनों के बीच की सीधी दूरी $\sqrt{7} \, km$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \cos 7\theta + \cos 3\theta + \cos 5\theta = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 7\theta + \cos \theta) + (\cos 5\theta + \cos 3\theta) = 0$
$2 \cos 4\theta \cos 3\theta + 2 \cos 4\theta \cos \theta = 0$
$2 \cos 4\theta (\cos 3\theta + \cos \theta) = 0$
$\cos 3\theta + \cos \theta = 2 \cos 2\theta \cos \theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$4 \cos 4\theta \cos 2\theta \cos \theta = 0$
अतः,$\theta = \frac{n\pi}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $\sin x + \sin y = \sin (x + y)$ को $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है $\sin \frac{x+y}{2} = 0$ या $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2}$।
स्थिति $1$: $\sin \frac{x+y}{2} = 0 \implies x+y = 0$। दिया गया है $|x| + |y| = 1$,यदि $x+y=0$ है,तो $y=-x$,इसलिए $|x| + |-x| = 2|x| = 1 \implies |x| = 1/2$। अतः,$(1/2, -1/2)$ और $(-1/2, 1/2)$ हल हैं।
स्थिति $2$: $\cos \frac{x-y}{2} = \cos \frac{x+y}{2} \implies \frac{x-y}{2} = \pm \frac{x+y}{2} + 2n\pi$। $n=0$ के लिए,यह $x-y = x+y \implies y=0$ या $x-y = -(x+y) \implies x=0$ देता है।
यदि $y=0$ है,तो $|x| + |0| = 1 \implies x = \pm 1$। अतः,$(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हल हैं।
यदि $x=0$ है,तो $|0| + |y| = 1 \implies y = \pm 1$। अतः,$(0, 1)$ और $(0, -1)$ हल हैं।
इन सबको मिलाकर,हमारे पास $6$ युग्म हैं: $(1/2, -1/2), (-1/2, 1/2), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)$।

(D) माना $y = \cos x \cos(x + 2) - \cos^2(x + 1)$.
सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{2}[\cos(x - (x + 2)) + \cos(x + x + 2)] - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}[\cos(-2) + \cos(2x + 2)] - \cos^2(x + 1)$
चूंकि $\cos(-2) = \cos 2$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \frac{1}{2}\cos(2(x + 1)) - \cos^2(x + 1)$
$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \frac{1}{2}(2\cos^2(x + 1) - 1) - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}\cos 2 + \cos^2(x + 1) - \frac{1}{2} - \cos^2(x + 1)$
$y = \frac{1}{2}(\cos 2 - 1)$
$1 - \cos 2 = 2\sin^2 1$ का उपयोग करने पर,$y = -\sin^2 1$ प्राप्त होता है।
यह $x$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो $(\frac{\pi}{2}, -\sin^2 1)$ से गुजरती है।

(A) माना $f(x) = 5x^2 + 2x + 3 - 2\sin x$ है।
हम $f(x) = 5(x^2 + \frac{2}{5}x) + 3 - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 3 - \frac{1}{5} - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2\sin x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,पद $-2\sin x$ का न्यूनतम मान $-2$ है।
अतः,$f(x) \ge 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2 = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 0.8$ है।
चूंकि $5(x + \frac{1}{5})^2 \ge 0$,इसलिए सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \ge 0.8 > 0$ है।
अतः,$f(x)$ कभी भी $0$ के बराबर नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि वक्र कभी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया है $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$।
सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = \sin \theta (4\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$
चूंकि $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = 4\sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$f(\theta) = (2 \sin \theta \cos \theta)^2$
$f(\theta) = (\sin 2\theta)^2$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $(\sin 2\theta)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $\theta$ के लिए।
अतः,$f(\theta) \ge 0$ सभी वास्तविक $\theta$ के लिए।

(A) माना $e^{\sin x} = y$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [e^{-1}, e^1]$,जिसका अर्थ है $y \in [1/e, e]$।
समीकरण $y - \frac{1}{y} - 4 = 0$ बन जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,$y^2 - 4y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y > 0$ है,हम $y = 2 + \sqrt{5} \approx 4.236$ लेते हैं।
हालाँकि,$y = e^{\sin x}$ का अधिकतम मान $e^1 \approx 2.718$ है।
चूँकि $4.236 > 2.718$ है,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ हो।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया है $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2 \sin x \cos x = -\frac{3}{4}$.
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र से,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$।
चूंकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\tan x < 0$ होगा,इसलिए $\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$।

(B) दिया गया है $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,$2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हम $3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ और $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ और $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left( \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(B) हमें $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$ दिया गया है।
हमें $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
अतः,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ और $t = \cos^2 x$ रखने पर:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
चूंकि $t = \cos^2 x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{1}{3}$.
अब,$\cos 2x = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
अतः,$\cos 4x = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(B) दिया गया समीकरण $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ है।
माना $e^{\sin x} = t$ है। चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
समीकरण $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ हो जाता है।
$t$ से गुणा करने पर,$t^2 - 4t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t > 0$,हम $t = 2 - \sqrt{5}$ को अस्वीकार करते हैं (क्योंकि $2 - \sqrt{5} < 0$)।
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$।
चूँकि $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ और $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) दिया गया है $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$।
हमें $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$।
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$।
अब,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$।
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{2}{4} - \frac{3}{6})\sin^2 x \cos^2 x$।
$= (\frac{3-2}{12}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$।
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$।

(D) माना $S = \sum\limits_{r = 1}^{89} {{\log _3}(\tan {r^\circ})}$.
$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$S = \log_3 (\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ)$.
हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\tan 89^\circ = \cot 1^\circ$,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,आदि।
गुणनफल $P = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \dots \cdot \tan 44^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 46^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $r = 1$ से $44$ तक के पदों का गुणनफल $\tan r^\circ \cdot \tan(90^\circ - r^\circ) = 1$ होगा।
अतः,$P = (1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1) \cdot \tan 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1$.
इसलिए,$S = \log_3 (1) = 0$.

(D) हम जानते हैं कि $1 + \sec \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta}$.
दिया गया है ${f_n}(\theta ) = \tan(\theta/2) \cdot (1 + \sec \theta) \cdot (1 + \sec 2\theta) \dots (1 + \sec 2^n \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर: ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n \theta)$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$1$) ${f_2}(\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1$.
$2$) ${f_3}(\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1$.
$3$) ${f_4}(\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1$.
अतः,उपरोक्त सभी सही हैं।

(B) दिया गया है $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर:
$\sin \left( \frac{\pi }{2^n} + \frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} \le 1$ $\Rightarrow \sqrt{n} \le 2\sqrt{2}$ $\Rightarrow n \le 8$.
अतः,$4 < n \le 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sin x + \sin^2 x = 1$।
इसका अर्थ है $\sin x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$।
माना व्यंजक $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 1$ है।
हम व्यंजक को $E = \cos^6 x (\cos^6 x + 3\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1) - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर,$\cos^6 x + 3\cos^4 x + 3\cos^2 x + 1 = (\cos^2 x + 1)^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \cos^6 x (\cos^2 x + 1)^3 - 1$।
चूंकि $\cos^2 x = \sin x$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$E = (\cos^2 x)^3 (\sin x + 1)^3 - 1 = (\sin x)^3 (\sin x + 1)^3 - 1 = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 1$।
$\sin x + \sin^2 x = 1$ होने के कारण,$E = (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0$।

(D) माना $L = (\sec A + \tan A)(\sec B + \tan B)(\sec C + \tan C)$ और $M = (\sec A - \tan A)(\sec B - \tan B)(\sec C - \tan C)$ है।
हम जानते हैं कि $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होता है।
$L$ और $M$ का गुणा करने पर,$LM = (\sec^2 A - \tan^2 A)(\sec^2 B - \tan^2 B)(\sec^2 C - \tan^2 C) = 1 \times 1 \times 1 = 1$ प्राप्त होता है।
दिया है कि $L = M$,इसलिए $LM = 1$ में $M = L$ रखने पर,$L^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $L = 1$ या $L = -1$ है।
चूंकि $L = M$ है,इसलिए प्रत्येक पक्ष $1$ या $-1$ के बराबर है।

(C) इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज में,भुजा की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $A_0 A_1 = 1$.
चूंकि नियमित षट्भुज का आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है,इसलिए $\triangle A_0 A_1 A_2$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
अतः,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
समरूपता द्वारा,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
लंबाइयों का गुणनफल $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $3\left[ \sin^4\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \sin^4(3\pi + \alpha) \right] - 2\left[ \sin^6\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + \sin^6(5\pi - \alpha) \right]$
त्रिकोणमितीय रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
इन मानों को रखने पर:
$= 3\left[ (-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4 \right] - 2\left[ (\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6 \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
सर्वसमिका $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ और $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$= 3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(D) माना $S = \sum\limits_{r = 1}^{89} {{\log _3}(\tan {r^o})}$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\sum \log a = \log (\prod a)$,हमें प्राप्त होता है:
$S = {\log _3}(\tan {1^o} \cdot \tan {2^o} \cdot \tan {3^o} \cdots \tan {89^o})$.
हम जानते हैं कि $\tan {r^o} \cdot \tan {(90 - r)^o} = 1$.
गुणनफल के पदों की जोड़ी बनाने पर: $(\tan {1^o} \cdot \tan {89^o}) \cdot (\tan {2^o} \cdot \tan {88^o}) \cdots (\tan {44^o} \cdot \tan {46^o}) \cdot \tan {45^o}$.
चूंकि प्रत्येक जोड़ी $1$ के बराबर है और $\tan {45^o} = 1$,इसलिए गुणनफल $1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$ है।
अतः,$S = {\log _3}(1) = 0$.

(A) माना व्यंजक $S = \frac{1}{1 + x^{a-b} + x^{a-c}} + \frac{1}{1 + x^{b-a} + x^{b-c}} + \frac{1}{1 + x^{c-a} + x^{c-b}}$ है।
प्रथम पद पर विचार करें: $\frac{1}{1 + \frac{x^a}{x^b} + \frac{x^a}{x^c}} = \frac{x^b x^c}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$।
इसी प्रकार,दूसरा पद $\frac{x^a x^c}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$ और तीसरा पद $\frac{x^a x^b}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}$ हो जाता है।
इन तीनों पदों को जोड़ने पर,हमें $\frac{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b}{x^b x^c + x^a x^c + x^a x^b} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1) 2x \cos^2 \theta + y \sin 2\theta = 2 \sin \theta$
$2) x \sin 2\theta + 2y \sin^2 \theta = -2 \cos \theta$
$3) x \sin \theta - y \cos \theta = 0$
समीकरण $(3)$ से,$x \sin \theta = y \cos \theta$,जिसका अर्थ है $y = x \tan \theta$ (मान लीजिए $\cos \theta \neq 0$ है)।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x \cos^2 \theta + (x \tan \theta)(2 \sin \theta \cos \theta) = 2 \sin \theta$
$2x \cos^2 \theta + 2x \sin^2 \theta = 2 \sin \theta$
$2x(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 2 \sin \theta \Rightarrow 2x = 2 \sin \theta \Rightarrow x = \sin \theta$.
अतः $y = \sin \theta \cdot \tan \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$.
इन मानों को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$(\sin \theta)(2 \sin \theta \cos \theta) + 2(\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta})(\sin^2 \theta) = -2 \cos \theta$
$2 \sin^2 \theta \cos \theta + \frac{2 \sin^4 \theta}{\cos \theta} = -2 \cos \theta$
$\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 2 \sin^4 \theta = -2 \cos^2 \theta$
$2 \sin^2 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -2 \cos^2 \theta$
$2 \sin^2 \theta = -2 \cos^2 \theta \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 0 \Rightarrow 1 = 0$.
यह एक विरोधाभास है। अतः,इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(D) माना $f(x) = \cos x \cos(x + 2) - \cos^2(x + 1)$.
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} [\cos(2x + 2) + \cos(-2)] - \cos^2(x + 1)$.
हम जानते हैं कि $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$,इसलिए $\cos^2(x + 1) = \frac{1 + \cos(2x + 2)}{2}$.
इस मान को $f(x)$ में रखने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \cos(2x + 2) + \frac{1}{2} \cos 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x + 2)$.
$f(x) = \frac{1}{2} \cos 2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} (1 - \cos 2)$.
$1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 2 = 2 \sin^2 1$.
अतः,$f(x) = -\frac{1}{2} (2 \sin^2 1) = -\sin^2 1$.
चूंकि $f(x) = -\sin^2 1$ एक स्थिरांक है,इसलिए ग्राफ $x$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है जो $(\frac{\pi}{2}, -\sin^2 1)$ बिंदु से गुजरती है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 3 - \cos 4\theta = 3 - (1 - 2\sin^2 2\theta) = 2 + 2\sin^2 2\theta$
$x - y = 4\sin 2\theta$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2x = 2 + 2\sin^2 2\theta + 4\sin 2\theta = 2(1 + \sin 2\theta)^2$
$x = (1 + \sin 2\theta)^2 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 + \sin 2\theta$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$2y = 2 + 2\sin^2 2\theta - 4\sin 2\theta = 2(1 - \sin 2\theta)^2$
$y = (1 - \sin 2\theta)^2 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 - \sin 2\theta$
$\sqrt{x}$ और $\sqrt{y}$ को जोड़ने पर:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = (1 + \sin 2\theta) + (1 - \sin 2\theta) = 2$

(A) हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$।
$\tan B = \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}$ रखने पर:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \tan A \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\sin A(1 - n \cos^2 A) + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n \cos^2 A) - n \sin^2 A \cos A}$
$= \frac{\sin A}{\cos A(1 - n(\cos^2 A + \sin^2 A))}$
$= \frac{\sin A}{(1 - n) \cos A}$।

(D) माना $x = \frac{\pi}{28}$ है। व्यंजक $S = \cos(2x) \csc(3x) + \cos(6x) \csc(9x) + \cos(18x) \csc(27x)$ है।
सामान्य पद $T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x)}{\sin(3^k x)}$ लें।
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर,$T_k = \frac{1}{2} (\csc(3^{k-1} x) - \csc(3^k x))$ प्राप्त होता है।
$k=1, 2, 3$ के लिए योग करने पर:
$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc 27x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $27x = \pi - x$,इसलिए $\csc 27x = \csc x$ होता है।
अतः,$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc x) = 0$।

(D) माना व्यंजक $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan^2 \theta - 1}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta - 1 = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}$ है।
दूसरे पद में यह मान रखने पर:
$E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{(\sin \theta + \cos \theta) \cdot \cos^2 \theta}{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}$.
$\sin \theta + \cos \theta \neq 0$ मानते हुए,सरल करने पर:
$E = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \sin \theta + \cos \theta$.
हम जानते हैं कि $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,मान $-\sqrt{2}$ और $\sqrt{2}$ के बीच स्थित है।

(A) माना $CD = l = 6$ है। $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta ACD$ और $\Delta BCD$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\text{Area}(\Delta ABC) = \text{Area}(\Delta ACD) + \text{Area}(\Delta BCD)$
$\frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} b l \sin \frac{C}{2} + \frac{1}{2} a l \sin \frac{C}{2}$
$\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} l (a + b) \sin \frac{C}{2}$
$ab \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} l (a + b)$
दिया है $\cos \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$ और $l = 6$:
$ab \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} (6) (a + b)$
$\frac{ab}{3} = 3(a + b)$
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{9}$

(A) दिए गए व्यंजक को सरल करने पर: $1 + \sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| - 2 = -1$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $\sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| = 0$ है।
यह शर्त $\theta \in (0, \pi)$ के लिए सत्य है,अतः विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{2 \cos \beta - 1}{2 - \cos \beta}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) लागू करने पर:
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(2 - \cos \beta) - (2 \cos \beta - 1)}{(2 - \cos \beta) + (2 \cos \beta - 1)}$
$\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{3 - 3 \cos \beta}{1 + \cos \beta}$
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = 3 \tan^2 \frac{\beta}{2}$
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2} = 3$
वर्गमूल लेने पर,$\tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = \sqrt{3}$.

(C) माना शीर्ष $A$ पर कोण $\theta$ के चार बराबर भागों में विभाजित है। अतः,$\angle A = 4\theta$.
चित्र से,शीर्षलंब $AN$,$\angle BAN = \frac{\pi}{2} - B = \theta$ बनाता है,इसलिए $B = \frac{\pi}{2} - \theta$.
इसी प्रकार,$\angle CAM = \frac{\pi}{2} - C = \theta$,इसलिए $C = \frac{\pi}{2} - 3\theta$.
गणना करने पर,$\theta = \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 4\theta = \frac{\pi}{2}$,$B = \frac{3\pi}{8}$,और $C = \frac{\pi}{8}$.
इस प्रकार,कोण $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}$ हैं।

(B) माना $x \sin \theta = y \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
तब $x = \frac{k}{\sin \theta}$,$y = \frac{k}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,और $z = \frac{k}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
योग $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{k} [\sin \theta + \sin(\theta + 2\pi/3) + \sin(\theta + 4\pi/3)]$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\sin A + \sin(A + 120^\circ) + \sin(A + 240^\circ) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{yz + zx + xy}{xyz} = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $xy + yz + zx = 0$।