Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Hindi

(D) हम जानते हैं कि $\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
इसी प्रकार,$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
इन दोनों मानों को जोड़ने पर:
$\cos 105^\circ + \sin 105^\circ = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया है $\tan A = \frac{1}{2}$ और $\tan B = \frac{1}{3}$.
हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3})} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.
चूंकि $\tan(A + B) = 1$,इसलिए $A + B = 45^\circ$.
अतः,$2A = 90^\circ - 2B$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos 2A = \cos(90^\circ - 2B) = \sin 2B$.

(D) दिया गया है $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ और $\sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
चूँकि $A$ और $B$ न्यून कोण हैं,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
इसी प्रकार,$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(A + B) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2+3}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$A + B = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया है कि $\sin A + \sin B = C$ और $\cos A + \cos B = D$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \frac{C}{D}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}} = \frac{C}{D}$
$\tan \frac{A+B}{2} = \frac{C}{D}$
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = A+B$:
$\sin (A+B) = \frac{2 \tan \frac{A+B}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A+B}{2}}$
$\tan \frac{A+B}{2} = \frac{C}{D}$ रखने पर:
$\sin (A+B) = \frac{2(\frac{C}{D})}{1 + (\frac{C}{D})^2} = \frac{2CD}{C^2 + D^2}$.

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cos(A - B)$.
$A = 48^\circ$ और $B = 12^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 48^\circ - \sin^2 12^\circ = \cos(48^\circ + 12^\circ) \cos(48^\circ - 12^\circ)$
$= \cos 60^\circ \cos 36^\circ$
हम जानते हैं कि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$.
अतः,व्यंजक का मान:
$= \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \right) = \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ होता है।
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$
$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.

(B) हमें दिया गया है $\tan \alpha = \frac{m}{m + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{2m + 1}$।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{2m + 1}}{1 - \left(\frac{m}{m + 1}\right) \left(\frac{1}{2m + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{m(2m + 1) + (m + 1)}{(m + 1)(2m + 1)}}{\frac{(m + 1)(2m + 1) - m}{(m + 1)(2m + 1)}}$
$= \frac{2m^2 + m + m + 1}{2m^2 + m + 2m + 1 - m}$
$= \frac{2m^2 + 2m + 1}{2m^2 + 2m + 1} = 1$
चूंकि $\tan(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan(A + B)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
$A = 20^\circ$ और $B = 40^\circ$ रखने पर:
$\tan(20^\circ + 40^\circ) = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$
चूँकि $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$
दोनों पक्षों को $(1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ)$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3} - \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \sqrt{3}$

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{1}{4} [\sqrt{3} \cos 23^\circ - \sin 23^\circ]$
कोष्ठक के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 23^\circ - \frac{1}{2} \sin 23^\circ]$
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [\cos 30^\circ \cos 23^\circ - \sin 30^\circ \sin 23^\circ]$
सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} \cos(30^\circ + 23^\circ)$
$= \frac{1}{2} \cos 53^\circ$
अतः,$\frac{1}{2} \cos 53^\circ$ दिए गए विकल्पों में से कोई नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
चूंकि $\cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
अतः,$\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) हमें $\tan A = -\frac{1}{2}$ और $\tan B = -\frac{1}{3}$ दिया गया है।
दो कोणों के योग के लिए टेंजेंट का सूत्र उपयोग करने पर:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
मान रखने पर:
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})}$
$\tan(A + B) = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$
चूंकि $\tan(A + B) = -1$ और हम जानते हैं कि $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1,$
अतः $A + B = \frac{3\pi}{4}.$

(D) दिया गया है $\sin A = \frac{4}{5}$ और $\cos B = -\frac{12}{13}$।
चूँकि $A$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$।
चूँकि $B$ तृतीय चतुर्थांश में है,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$।
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(A + B) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{5}{13}\right)$
$= -\frac{36}{65} + \frac{20}{65}$
$= -\frac{16}{65}$।

(B) दिया गया है कि $A + B = \frac{\pi}{4}.$
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(A + B) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right).$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1.$
इसका अर्थ है $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B.$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1.$
अब,व्यंजक $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 1 + \tan B + \tan A + \tan A \tan B$ पर विचार करें.
$\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1$ का मान रखने पर,हमें $1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है.
अतः,$(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2.$

(C) हम जानते हैं कि दो कोणों के योग के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है:
$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\cos (A + B) = \alpha \cos A \cos B + \beta \sin A \sin B$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = 1$
$\beta = -1$
अतः,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cos A - \sin B \cos B}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\sin^2 A - \sin^2 B)}{2 \sin A \cos A - 2 \sin B \cos B}$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(1 - \cos 2A) - (1 - \cos 2B)}{\sin 2A - \sin 2B} = \frac{\cos 2B - \cos 2A}{\sin 2A - \sin 2B}$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(A + B) \sin(A - B)}{2 \cos(A + B) \sin(A - B)}$
$= \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} = \tan(A + B)$.

(B) दिया गया है $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}$ और $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$।
चूंकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ और $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$\sin (\alpha + \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$ और $\cos (\alpha - \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$।
हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )$।
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\alpha = \sin ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \sin (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$।
$\sin 2\alpha = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$।
सूत्र $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha = \cos ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \cos (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) - \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$।
$\cos 2\alpha = (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}) - (\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$।
इसलिए,$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{56/65}{33/65} = \frac{56}{33}$।

(A) दिया गया है $\cos \theta = \frac{8}{17}$ और $\theta$ $1^{st}$ चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \theta = \frac{15}{17}$।
दी गई अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर:
$= \cos \theta (\cos 30^\circ + \cos 45^\circ + \cos 120^\circ) + \sin \theta (-\sin 30^\circ + \sin 45^\circ + \sin 120^\circ)$
$= \cos \theta \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right) + \sin \theta \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$= \frac{8}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \frac{15}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{23}{17} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर: $(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$
$= 2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 4 \cos 7^\circ \cos 36^\circ \sin 18^\circ$
मान रखने पर $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$:
$= 4 \cos 7^\circ \left( \frac{5-1}{16} \right) = \cos 7^\circ$

(A) हम जानते हैं कि $\cos A - \sin A = \sqrt{2} \cos(A + 45^\circ)$.
$A = 15^\circ$ रखने पर:
$\cos 15^\circ - \sin 15^\circ = \sqrt{2} \cos(15^\circ + 45^\circ)$
$= \sqrt{2} \cos 60^\circ$
$= \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) हम जानते हैं कि $5x = 3x + 2x$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें $\tan 5x = \tan (3x + 2x)$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 5x = \frac{\tan 3x + \tan 2x}{1 - \tan 3x \tan 2x}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\tan 5x (1 - \tan 3x \tan 2x) = \tan 3x + \tan 2x$.
$\tan 5x - \tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 3x + \tan 2x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 5x - \tan 3x - \tan 2x$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ होता है।
माना $A = \frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{15}$ और $B = \frac{\pi}{15}$ है।
अतः $A - B = \frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan\left(\frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15}\right) = \frac{\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15}}{1 + \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15}} = \tan \frac{\pi}{3}$ है।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15}}{1 + \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15}} = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर: $\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} (1 + \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15})$ प्राप्त होता है।
$\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} + \sqrt{3} \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \frac{2\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{15} - \sqrt{3} \tan \frac{2\pi}{5} \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos 12^\circ + \cos 84^\circ + \cos 156^\circ + \cos 132^\circ$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर: $(\cos 132^\circ + \cos 12^\circ) + (\cos 156^\circ + \cos 84^\circ)$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos 72^\circ \cos 60^\circ + 2 \cos 120^\circ \cos 36^\circ$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$:
$= 2 \cos 72^\circ \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos 36^\circ$
$= \cos 72^\circ - \cos 36^\circ$
मान $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ रखने पर:
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) अंश और हर को $\cos 17^\circ$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\cos 17^\circ + \sin 17^\circ}{\cos 17^\circ - \sin 17^\circ} = \frac{1 + \tan 17^\circ}{1 - \tan 17^\circ}$
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= \frac{\tan 45^\circ + \tan 17^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 17^\circ}$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 17^\circ$:
$= \tan(45^\circ + 17^\circ) = \tan 62^\circ$.

(A) अंश और हर को $\cos 9^\circ$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}}{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}} = \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 9^\circ$:
$\frac{\tan 45^\circ + \tan 9^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 9^\circ} = \tan(45^\circ + 9^\circ) = \tan 54^\circ$.

(A) दिया गया है $\cos (A - B) = \frac{3}{5}$।
विस्तार सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{3}{5}$ ..... $(i)$।
दिया गया है $\tan A \tan B = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$,अतः $\sin A \sin B = 2 \cos A \cos B$ ..... $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A \cos B + 2 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$3 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$।
अब,$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ को $(ii)$ में रखने पर:
$\sin A \sin B = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$।
अतः,सही विकल्प $\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ है।

(D) हम सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $A = 100^\circ$ और $B = 125^\circ$ है।
तब $\tan(100^\circ + 125^\circ) = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$ होगा।
चूंकि $100^\circ + 125^\circ = 225^\circ$,इसलिए $\tan 225^\circ = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $1 = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$।
दोनों पक्षों को $(1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ)$ से गुणा करने पर,हमें $1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ = \tan 100^\circ + \tan 125^\circ$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan 100^\circ + \tan 125^\circ + \tan 100^\circ \tan 125^\circ = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{15}{17}$ और $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (द्वितीय चतुर्थांश),इसलिए $\cos \alpha = -\sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = -\frac{8}{17}$।
दिया गया है $\tan \beta = \frac{12}{5}$ और $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ (तृतीय चतुर्थांश),इसलिए $\sin \beta = -\frac{12}{13}$ और $\cos \beta = -\frac{5}{13}$।
सूत्र $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\beta - \alpha) = (-\frac{12}{13})(-\frac{8}{17}) - (-\frac{5}{13})(\frac{15}{17})$
$= \frac{96}{221} + \frac{75}{221} = \frac{171}{221}$।

(A) अंश और हर को $\cos 10^o$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 + \tan 10^o}{1 - \tan 10^o}$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^o$ और $B = 10^o$ है:
$\tan(45^o + 10^o) = \tan 55^o$

(B) दिया है,$\cos P = \frac{1}{7}$ और $\cos Q = \frac{13}{14}$।
चूँकि $P$ और $Q$ न्यून कोण हैं,$\sin P = \sqrt{1 - \cos^2 P} = \sqrt{1 - (\frac{1}{7})^2} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$।
इसी प्रकार,$\sin Q = \sqrt{1 - \cos^2 Q} = \sqrt{1 - (\frac{13}{14})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$।
सूत्र $\cos(P - Q) = \cos P \cos Q + \sin P \sin Q$ का उपयोग करने पर:
$\cos(P - Q) = (\frac{1}{7})(\frac{13}{14}) + (\frac{4\sqrt{3}}{7})(\frac{3\sqrt{3}}{14})$
$= \frac{13}{98} + \frac{36}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\cos(P - Q) = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $P - Q = 60^o$।

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{2^x}{2^x + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{1 + 2^{x+1}}$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
गणना करने पर $\tan(\alpha + \beta) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया है $\sin \theta = \frac{12}{13}$ और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ (प्रथम चतुर्थांश),इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक है।
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$.
दिया गया है $\cos \phi = -\frac{3}{5}$ और $\pi < \phi < \frac{3\pi}{2}$ (तृतीय चतुर्थांश),इसलिए $\sin \phi$ ऋणात्मक है।
$\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
सर्वसमिका $\sin(\theta + \phi) = \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\theta + \phi) = (\frac{12}{13})(-\frac{3}{5}) + (\frac{5}{13})(-\frac{4}{5})$
$= -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = -\frac{56}{65}$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{\sin 3\theta + \sin 5\theta + \sin 7\theta + \sin 9\theta}{\cos 3\theta + \cos 5\theta + \cos 7\theta + \cos 9\theta}$
पदों को समूहित करने पर: $\frac{(\sin 9\theta + \sin 3\theta) + (\sin 7\theta + \sin 5\theta)}{(\cos 9\theta + \cos 3\theta) + (\cos 7\theta + \cos 5\theta)}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
अंश: $2 \sin 6\theta \cos 3\theta + 2 \sin 6\theta \cos \theta = 2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
हर: $2 \cos 6\theta \cos 3\theta + 2 \cos 6\theta \cos \theta = 2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
अंश को हर से विभाजित करने पर: $\frac{2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)}{2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)} = \frac{\sin 6\theta}{\cos 6\theta} = \tan 6\theta$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\sin {163^\circ} \cos {347^\circ} + \sin {73^\circ} \sin {167^\circ}$
रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin {163^\circ} = \sin (180^\circ - 17^\circ) = \sin {17^\circ}$
$\cos {347^\circ} = \cos (360^\circ - 13^\circ) = \cos {13^\circ}$
$\sin {73^\circ} = \sin (90^\circ - 17^\circ) = \cos {17^\circ}$
$\sin {167^\circ} = \sin (180^\circ - 13^\circ) = \sin {13^\circ}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \sin {17^\circ} \cos {13^\circ} + \cos {17^\circ} \sin {13^\circ}$
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \sin (17^\circ + 13^\circ) = \sin {30^\circ}$
चूंकि $\sin {30^\circ} = 1/2$,इसलिए अंतिम उत्तर $1/2$ है.

(B) योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos(X + Y) + \cos(X - Y) = 2 \cos X \cos Y$ का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos(240^\circ + A) + \cos(240^\circ - A)$
$= \cos A + 2 \cos 240^\circ \cos A$
$= \cos A(1 + 2 \cos 240^\circ)$
चूँकि $\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$,
$= \cos A(1 + 2(-\frac{1}{2}))$
$= \cos A(1 - 1)$
$= \cos A(0) = 0$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cos(A - B)$.
माना $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
तब,$A + B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
और,$A - B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = 2\theta$.
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos(2\theta)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$,इसलिए व्यंजक $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ हो जाता है।

(C) दिया गया है $b \sin \alpha = a \sin (\alpha + 2\beta)$।
दोनों पक्षों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + 2\beta)}$।
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta)}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta)}$।
योग-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin (\alpha + \beta) \cos (-\beta)}{2 \cos (\alpha + \beta) \sin (-\beta)}$।
चूंकि $\cos(-\beta) = \cos \beta$ और $\sin(-\beta) = -\sin \beta$:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin (\alpha + \beta) \cos \beta}{-2 \cos (\alpha + \beta) \sin \beta} = -\tan (\alpha + \beta) \cot \beta$।
इसे $-\frac{\cot \beta}{\cot (\alpha + \beta)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $E = \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)}$
$\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\sin(B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}{\sin(B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}$
$\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2 \sin(45^\circ + A) \cos(B - 45^\circ)}{2 \sin(45^\circ - A) \cos(B - 45^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ + A)}{\sin(45^\circ - A)}$
$\sin(x \pm y)$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(B) दिया गया है,$\frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} = \frac{a + b}{a - b}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{\sin(x + y) - \sin(x - y)} = \frac{(a + b) + (a - b)}{(a + b) - (a - b)}$.
सर्वसमिकाओं $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ और $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$.
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$.
$\tan x \cdot \frac{1}{\tan y} = \frac{a}{b}$.
अतः,$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$.

(A) हमारे पास व्यंजक है: $E = \cos \alpha \sin (\beta - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) + \cos \gamma \sin (\alpha - \beta )$.
$\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ सर्वसमिका का उपयोग करके प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$E = \cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$.
पदों का वितरण करने पर:
$E = \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$.
पदों का अवलोकन करने पर:
$(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta) + (-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha) + (-\cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta) = 0 + 0 + 0 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) माना व्यंजक $E = \sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) + \sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma )$ है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
पहले दो पदों को समूहबद्ध करने पर: $\sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) = 2 \sin \gamma \cos (\beta - \alpha )$.
अंतिम दो पदों को समूहबद्ध करने पर: $\sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma ) = 2 \cos (\alpha + \beta ) \sin (-\gamma) = -2 \sin \gamma \cos (\alpha + \beta )$.
इन्हें संयोजित करने पर,$E = 2 \sin \gamma [\cos (\beta - \alpha ) - \cos (\alpha + \beta )]$.
सर्वसमिका $\cos (A-B) - \cos (A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \sin \gamma [2 \sin \alpha \sin \beta] = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $.

(A) दिया गया है,$m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
$\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
चूँकि $\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ और $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$ है:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(C) दिया गया व्यंजक: $1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x$
पदों को समूहित करने पर: $(1 + \cos 6x) + (\cos 2x + \cos 4x)$
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= 2\cos^2 3x + 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2})$
$= 2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x$
$2\cos 3x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= 2\cos 3x(\cos 3x + \cos x)$
पुनः $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= 2\cos 3x \cdot 2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2})$
$= 4\cos 3x \cos 2x \cos x$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हमें $\frac{\tan 70^o - \tan 20^o}{\tan 50^o}$ दिया गया है।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\frac{\sin 70^o}{\cos 70^o} - \frac{\sin 20^o}{\cos 20^o}}{\tan 50^o}$
$= \frac{\sin 70^o \cos 20^o - \cos 70^o \sin 20^o}{\cos 70^o \cos 20^o \tan 50^o}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र के अनुसार अंश $\sin(70^o - 20^o) = \sin 50^o$ होगा।
$= \frac{\sin 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o \tan 50^o}$
चूंकि $\tan 50^o = \frac{\sin 50^o}{\cos 50^o}$,इसलिए:
$= \frac{\sin 50^o \cos 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o \sin 50^o} = \frac{\cos 50^o}{\cos 70^o \cos 20^o}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \cos 50^o}{2 \cos 70^o \cos 20^o}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos 50^o}{\cos(70^o + 20^o) + \cos(70^o - 20^o)}$
$= \frac{2 \cos 50^o}{\cos 90^o + \cos 50^o}$
चूंकि $\cos 90^o = 0$:
$= \frac{2 \cos 50^o}{0 + \cos 50^o} = \frac{2 \cos 50^o}{\cos 50^o} = 2$.

(B) दिया है $\cos \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \phi = \frac{4}{5}$।
चूँकि $\theta$ और $\phi$ न्यून कोण हैं,$\sin \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \phi = \frac{3}{5}$ होगा।
सूत्र $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \phi) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{24}{25}$।
हम जानते हैं कि $2\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = 1 + \cos(\theta - \phi)$।
मान रखने पर,$2\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$।
अतः,$\cos^2\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = \frac{49}{50}$।
वर्गमूल लेने पर,$\cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = \frac{7}{5\sqrt{2}}$।

(A) व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\cos \alpha + \cos \beta )^2 + (\sin \alpha + \sin \beta )^2 = \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta + \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta$
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) + (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
$= 1 + 1 + 2\cos (\alpha - \beta)$
$= 2 + 2\cos (\alpha - \beta)$
$= 2(1 + \cos (\alpha - \beta))$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2\cos ^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \times 2\cos ^2 \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$
$= 4\cos ^2 \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A)$ जानते हैं।
$A = \frac{\pi}{4} + \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 - 2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \cos\left( 2\left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right)$
$= \cos\left( \frac{\pi}{2} + 2\theta \right)$
सर्वसमिका $\cos\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$ का उपयोग करने पर:
$= -\sin(2\theta)$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$।
$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ)$
$= \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$
$= \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1 \times 1/\sqrt{3}}$
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(\sqrt{3} - 1)$ से गुणा करें:
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$= \frac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{3 - 1}$
$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$
$= 2 - \sqrt{3}$.

(D) दिया है,$\tan \theta = \frac{1}{7}$ और $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूंकि $\theta$ $1^{st}$ चतुर्थांश में है,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{50}}$ और $\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{50}}$.
चूंकि $\phi$ $1^{st}$ चतुर्थांश में है,$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
अब,$\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{18}{10} - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
और $\sin 2\phi = 2\sin \phi \cos \phi = 2(\frac{1}{\sqrt{10}})(\frac{3}{\sqrt{10}}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
अब,$\cos(\theta + 2\phi) = \cos \theta \cos 2\phi - \sin \theta \sin 2\phi$.
$\cos(\theta + 2\phi) = (\frac{7}{\sqrt{50}})(\frac{8}{10}) - (\frac{1}{\sqrt{50}})(\frac{6}{10}) = \frac{56 - 6}{10\sqrt{50}} = \frac{50}{10(5\sqrt{2})} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta + 2\phi = 45^\circ$.

(B) दिया है $\sin A = n \sin B,$ अतः $\frac{n}{1} = \frac{\sin A}{\sin B}.$
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}.$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ और $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ का उपयोग करने पर,
$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A - B}{2}.$
अतः,$\frac{n - 1}{n + 1} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2}.$

(A) दिया है $\sin \alpha = 1/\sqrt{5}$,अतः $\cos \alpha = 2/\sqrt{5}$।
दिया है $\sin \beta = 3/5$,अतः $\cos \beta = 4/5$।
सूत्र $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\beta - \alpha) = (3/5)(2/\sqrt{5}) - (4/5)(1/\sqrt{5}) = 2/(5\sqrt{5}) \approx 0.1789$।
हम जानते हैं कि $\sin 0 = 0$ और $\sin(\pi/4) \approx 0.707$।
अतः $0 < \beta - \alpha < \pi/4$।
इस प्रकार,$\beta - \alpha$ अंतराल $[0, \pi/4]$ में स्थित है।