Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Hindi

(D) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार:
$\frac{2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin \theta} \cdot 2^{\cos \theta}}$
$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{(\sin \theta + \cos \theta)/2} = 2^{1 + \frac{\sin \theta + \cos \theta}{2}}$
चूंकि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$,$\sin \theta + \cos \theta$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
अतः,$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

(B) हमें समीकरण $(a + b)^2 = 4ab \sin^2 \theta$ दिया गया है।
चूंकि $\sin^2 \theta$ का मान $[0, 1]$ के बीच होता है,इसलिए $\sin^2 \theta = \frac{(a + b)^2}{4ab} \le 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(a + b)^2 \le 4ab$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(a + b)^2 - 4ab \le 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(a - b)^2 \le 0$ बन जाता है।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए एकमात्र संभावना $(a - b)^2 = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $a = b$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$\sec^2 \theta \ge 1$ होता है।
दिए गए समीकरण $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ के लिए,$\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ होना चाहिए।
चूंकि $(x + y)^2 > 0$ है,इसलिए हमें $4xy \ge (x + y)^2$ प्राप्त होता है।
$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$.
$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$.
$0 \ge (x - y)^2$.
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(x - y)^2$ का मान $0$ होना चाहिए।
अतः,$x - y = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = y$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$0 \le \sin^2 \theta \le 1$ होता है।
दिया गया है $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$,इसलिए $\frac{x^2 + y^2 + 1}{2x} \le 1$ होना चाहिए।
मान लीजिए $x > 0$,तो $x^2 + y^2 + 1 \le 2x$,जो सरल होकर $(x - 1)^2 + y^2 \le 0$ हो जाता है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,यह असमिका केवल तभी संभव है जब $(x - 1)^2 = 0$ और $y^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $x = 1$ और $y = 0$।
यदि $x < 0$ है,तो व्यंजक $\frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$ ऋणात्मक हो जाएगा,जो $\sin^2 \theta \ge 0$ के विपरीत है।
अतः,$x$ का मान $y$ पर निर्भर करता है,इसलिए विकल्प $(d)$ सही है।

(B) दिया गया है $\cos 2B = \frac{\cos(A + C)}{\cos(A - C)}$.
$\cos(A+C)$ और $\cos(A-C)$ के विस्तार का उपयोग करने पर,$\cos 2B = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$.
अंश और हर को $\cos A \cos C$ से विभाजित करने पर,$\cos 2B = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$.
हम जानते हैं कि $\cos 2B = \frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B} = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$.
सरल करने पर $2 \tan^2 B = 2 \tan A \tan C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^2 B = \tan A \tan C$.
अतः,$\tan A, \tan B, \tan C$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(B) दिया गया है: $\cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)$
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$
दोनों पक्षों को $3 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$

(D) माना $f(\theta) = a \cos \theta + b \sin \theta$ है।
हम इसे $f(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \theta \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
तब $f(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \phi)$ होगा।
चूंकि $\cos(\theta - \phi)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(\theta)$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ है।
अतः,$a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच स्थित होता है।

(C) यह व्यंजक $a\cos \theta + b\sin \theta$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ और $b = -4$ है।
व्यंजक $a\cos \theta + b\sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिकतम मान $= \sqrt{3^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
अतः,अधिकतम मान $5$ है।

(D) माना $f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ लिख सकते हैं।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4(1 - \sin^2 \theta)$
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta$
$f(\theta) = 4 + \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 \theta$ का न्यूनतम मान $0$ है,इसलिए $f(\theta)$ का न्यूनतम मान $4 + 0 = 4$ होगा।

(C) सर्वसमिका $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B - A) \sin(B + A)$ का उपयोग करते हुए:
माना $A = \frac{\pi}{3} - x$ और $B = \frac{\pi}{3} + x$.
तब $B - A = 2x$ और $B + A = \frac{2\pi}{3}$.
अतः,$\cos^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin(2x) \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)$.
चूँकि $\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,व्यंजक $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$ हो जाता है।
$\sin(2x)$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,व्यंजक का अधिकतम मान $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x \neq 0$ के लिए,$(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$।
मान लीजिए $x = \tan \theta$। चूँकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,हम असमिका में $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} \ge 2$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta \ge 2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $f(x) = a \cos x + b \sin x$ है।
हम इस व्यंजक को $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
तब $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x - \alpha)$ होगा।
चूंकि $\cos(x - \alpha)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(D) यह व्यंजक $a \cos x + b \sin x + c$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$,$b = 4$,और $c = 5$ है।
$a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
मान की गणना: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$3 \cos x + 4 \sin x$ का न्यूनतम मान $-5$ है।
इसलिए,$3 \cos x + 4 \sin x + 5$ का न्यूनतम मान $-5 + 5 = 0$ है।

(B) माना $f(x) = \sin x \cos x$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \le \sin 2x \le 1$.
असमिका को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \le \frac{\sin 2x}{2} \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है और न्यूनतम मान $-\frac{1}{2}$ है।

(B) माना $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta$.
हम इसे $f(\theta) = \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \le \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \le 1$ होता है।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(\theta)$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।

(B) माना $f(x) = 4\sin^2 x + 3\cos^2 x$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = 4\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 4\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x = \sin^2 x + 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^2 x = 1$ हो।
अतः,अधिकतम मान $1 + 3 = 4$ है।

(A) माना $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
हम इसे $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{12}$ अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में स्थित है,इसलिए अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{12}$ पर प्राप्त होता है।

(D) हम दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो कहता है कि $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
मान लीजिए $a = 9 \tan^2 \theta$ और $b = 4 \cot^2 \theta$.
तब,$\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge \sqrt{9 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta}$.
चूंकि $\tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है $\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge \sqrt{36}$.
$\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge 6$.
$9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \ge 12$.
अतः,न्यूनतम मान $12$ है.

(C) दिया गया है $\alpha + \beta + \gamma = \pi$।
त्रिभुज के कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए,ज्या का योग $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})$ होता है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिभुज के कोण हैं,प्रत्येक कोण $(0, \pi)$ अंतराल में होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$।
$(0, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में,कोज्या फलन हमेशा धनात्मक होता है।
अतः,$4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2}) > 0$।
इस प्रकार,व्यंजक $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ हमेशा धनात्मक रहता है।

(D) यह व्यंजक $a\sin \theta + b\cos \theta$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ और $b = 4$ है।
फलन $f(\theta) = a\sin \theta + b\cos \theta$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
मान रखने पर,हमें परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-5$ है।

(A) यह व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$ और $b = -1$ है।
$a \sin x + b \cos x$ व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया है $A = \cos^2 \theta + \sin^4 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta \le 1$,इसलिए $A = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cdot \sin^2 \theta \le \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
अतः,$A \le 1$.
अब,$A$ को $\sin^2 \theta$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$A = (1 - \sin^2 \theta) + \sin^4 \theta = \sin^4 \theta - \sin^2 \theta + 1$.
माना $x = \sin^2 \theta$,जहाँ $0 \le x \le 1$. तब $A = x^2 - x + 1$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $A = (x - 1/2)^2 + 3/4$.
चूंकि $(x - 1/2)^2 \ge 0$,इसलिए $A$ का न्यूनतम मान $3/4$ है जब $x = 1/2$ (अर्थात $\sin^2 \theta = 1/2$).
अतः,$3/4 \le A \le 1$.

(B) दिया गया है $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$।
चूंकि $\cos^2 \theta \le 1$,इसलिए $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$।
अतः,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
इस प्रकार,$A \le 1$।
अब,$A$ को $\cos^2 \theta$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$।
माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $0 \le x \le 1$।
तब $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$।
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है जब $x = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{3}{4} \le A \le 1$।

(C) माना $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$.
हम इसे $f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = 2 \sin(x + 30^\circ)$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$x + 30^\circ = 90^\circ$.
$x = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

(A) दिया गया है $\alpha + \beta - \gamma = \pi ,$ अतः $\gamma = \alpha + \beta - \pi .$
व्यंजक $E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma$ पर विचार करें.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$ का उपयोग करते हुए,
$E = \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma)\sin(\beta + \gamma).$
चूंकि $\beta - \gamma = \pi - \alpha,$ इसलिए $\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha.$
$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,
$E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta - \pi) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta).$
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ का उपयोग करते हुए,
$E = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \sin(\alpha + 2\beta).$
$E = \sin \alpha [\sin \alpha - \sin(\alpha + 2\beta)].$
$\sin C - \sin D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करते हुए,
$E = -2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).$
चूंकि $\alpha + \beta = \pi + \gamma,$ इसलिए $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma.$
अतः,$E = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

(C) दिया गया है $A + B + C = \pi$।
माना व्यंजक $E = \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B}{\sin C \sin A} + \frac{\cos C}{\sin A \sin B}$ है।
उभयनिष्ठ हर $\sin A \sin B \sin C$ लेने पर:
$E = \frac{\cos A \sin A + \cos B \sin B + \cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{2 \sin A \cos A + 2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C}{2 \sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A \sin B \sin C}$।
$A + B + C = \pi$ के लिए सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{4 \sin A \sin B \sin C}{2 \sin A \sin B \sin C} = 2$।

(B) त्रिभुज $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।
$\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
चूंकि $\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$,इसलिए $\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$ होता है।
साथ ही,$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A+B}{2}$
$= 2\cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right]$
सर्वसमिका $\cos(x-y) + \cos(x+y) = 2\cos x \cos y$ का उपयोग करने पर:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( 2\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \right)$
$= 4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(B) दिया गया है $x + y + z = 180^\circ$,इसलिए $x + y = 180^\circ - z$.
व्यंजक $\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z$ पर विचार करें।
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos(x + y) \cos(x - y)$.
चूंकि $x + y = 180^\circ - z$,इसलिए $\cos(x + y) = \cos(180^\circ - z) = -\cos z$.
सर्वसमिका $\cos 2z = 2 \cos^2 z - 1$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z = 2(-\cos z) \cos(x - y) - (2 \cos^2 z - 1)$
$= 1 - 2 \cos z \cos(x - y) - 2 \cos^2 z$
$= 1 - 2 \cos z (\cos(x - y) + \cos z)$.
चूंकि $z = 180^\circ - (x + y)$,इसलिए $\cos z = \cos(180^\circ - (x + y)) = -\cos(x + y)$.
$= 1 - 2 \cos z (\cos(x - y) - \cos(x + y))$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - 2 \cos z (2 \sin x \sin y)$
$= 1 - 4 \sin x \sin y \cos z$.

(A) दिया गया है $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}) = \tan(\pi) = 0$।
सर्वसमिका $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2}\tan \frac{\alpha}{2})} = 0$।
चूंकि हर शून्य नहीं है,इसलिए अंश शून्य होना चाहिए:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} = 0$।
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}$।

(C) दिया गया है $A + B + C = \pi$,अतः $A + B = \pi - C$।
$L.H.S. = \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$
$= 2 \cos (A + B) \cos (A - B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos (\pi - C) \cos (A - B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= - 2 \cos C \cos (A - B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= - 1 - 2 \cos C [\cos (A - B) - \cos C]$
चूँकि $C = \pi - (A + B)$,इसलिए $\cos C = - \cos (A + B)$।
$= - 1 - 2 \cos C [\cos (A - B) + \cos (A + B)]$
$= - 1 - 2 \cos C [2 \cos A \cos B]$
$= - 1 - 4 \cos A \cos B \cos C$।

(B) दिया गया है $A + B + C = 180^\circ$।
अंश: $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C = 32 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$।
हर: $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$।
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{32 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}{4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}} = 8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$।

(C) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ सत्य होती है।
दिया है $\tan A + \tan B + \tan C = 6$ और $\tan A \tan B = 2$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर: $6 = 2 \tan C \Rightarrow \tan C = 3$।
अब,$\tan A + \tan B = 6 - 3 = 3$।
हमारे पास $\tan A + \tan B = 3$ और $\tan A \tan B = 2$ है।
$\tan A$ और $\tan B$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ है।
$(x - 1)(x - 2) = 0$ को हल करने पर,हमें $x = 1$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,मान $(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$ या $(2, 1, 3)$ हैं।

(B) माना $x = \tan \frac{A}{2}, y = \tan \frac{B}{2}, z = \tan \frac{C}{2}$ है।
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ है।
सर्वसमिका $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} = \tan \frac{\pi}{2} = \infty$ का उपयोग करने पर।
इसका अर्थ है कि $1 - (xy + yz + zx) = 0$,अतः $xy + yz + zx = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) \ge 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$।
चूंकि $xy + yz + zx = 1$,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$ है।
अतः,$\tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \ge 1$ है।

(C) दिया गया है कि $A + B + C = 180^\circ$ है।
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज या किन्हीं तीन कोणों का योग $180^\circ$ होने पर,सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ सत्य होती है।
अतः,व्यंजक $\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = \frac{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = 1$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\cos A = \cos B \cos C$ और $A + B + C = \pi.$
चूंकि $A + B + C = \pi,$ इसलिए $B + C = \pi - A.$
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos(B + C) = \cos(\pi - A).$
सर्वसमिका $\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ और $\cos(\pi - A) = -\cos A$ का उपयोग करने पर:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos A.$
$\cos A = \cos B \cos C$ का मान रखने पर:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos B \cos C.$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \cos B \cos C = \sin B \sin C.$
दोनों पक्षों को $\sin B \sin C$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{1}{2}.$
अतः,$\cot B \cot C = \frac{1}{2}.$

(B) दिया गया है $A + B + C = 180^o.$
हम जानते हैं कि $\cot B + \cot C = \frac{\sin C \cos B + \sin B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B + C)}{\sin B \sin C}.$
चूंकि $B + C = 180^o - A,$ इसलिए $\sin(B + C) = \sin(180^o - A) = \sin A.$
अतः,$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}.$
इसी प्रकार,$\cot C + \cot A = \frac{\sin B}{\sin C \sin A}$ और $\cot A + \cot B = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}.$
इन तीनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$(\cot B + \cot C)(\cot C + \cot A)(\cot A + \cot B) = \left(\frac{\sin A}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin B}{\sin C \sin A}\right) \left(\frac{\sin C}{\sin A \sin B}\right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C} = \csc A \csc B \csc C.$

(C) दिया गया है $A + B + C = 180^o$,अतः $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों में $\cot$ लेने पर: $\cot(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot(90^o - \frac{C}{2})$.
सूत्र $\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \tan \frac{C}{2}$.
चूंकि $\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$,इसलिए $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$.
वज्र-गुणन करने पर,$(\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1) \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
इसे विस्तारित करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} - \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A + B + C = 270^o.$ मान लीजिए $A = B = C = 90^o.$
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4\sin A \sin B \sin C$
$= \cos 180^o + \cos 180^o + \cos 180^o + 4\sin 90^o \sin 90^o \sin 90^o$
$= (-1) + (-1) + (-1) + 4(1)(1)(1)$
$= -3 + 4 = 1.$

(B) दिया गया है $A + B + C = 180^o$,अतः $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^o$.
इसलिए,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(90^o - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$.
वज्र गुणन करने पर: $\tan \frac{C}{2} (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
अतः,$\sum \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = 1$.

(B) दिया गया है $A + B + C = \pi$,इसलिए $A + B = \pi - C$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
चूंकि $C$ एक अधिककोण है $(90^{\circ} < C < 180^{\circ})$,इसलिए $\tan C < 0$,जिसका अर्थ है $-\tan C > 0$.
अतः,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} > 0$.
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं और $C$ अधिककोण है,इसलिए $A$ और $B$ न्यूनकोण होंगे,अतः $\tan A > 0$ और $\tan B > 0$,जिसका अर्थ है $\tan A + \tan B > 0$.
भिन्न को धनात्मक होने के लिए,हर को धनात्मक होना चाहिए: $1 - \tan A \tan B > 0$.
इस प्रकार,$\tan A \tan B < 1$.

(A) दिया गया है $A + B + C = \pi$,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
चूंकि $A, B, C$ न्यून कोण हैं,$\tan A, \tan B, \tan C > 0$। समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका के अनुसार:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan A \tan B \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$
माना $P = \tan A \tan B \tan C$ है। तब $\frac{P}{3} \ge P^{1/3}$ $\Rightarrow P^{2/3} \ge 3$ $\Rightarrow P \ge 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$।
चूंकि $K = \cot A \cot B \cot C = \frac{1}{\tan A \tan B \tan C} = \frac{1}{P}$ है,इसलिए:
$K = \frac{1}{P} \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$।

(D) दिया गया है: $A + B + C = \frac{3\pi}{2} \implies A + B = \frac{3\pi}{2} - C$.
व्यंजक पर विचार करें: $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$.
सूत्र $\cos X + \cos Y = 2\cos\left(\frac{X+Y}{2}\right)\cos\left(\frac{X-Y}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2A + \cos 2B = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$.
$A+B = \frac{3\pi}{2} - C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)\cos(A-B) = 2(-\sin C)\cos(A-B) = -2\sin C \cos(A-B)$.
अब,$\cos 2C = 1 - 2\sin^2 C$.
अतः,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1 - 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin^2 C$.
$= 1 - 2\sin C [\cos(A-B) + \sin C]$.
चूंकि $C = \frac{3\pi}{2} - (A+B)$,$\sin C = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - (A+B)\right) = -\cos(A+B)$.
$= 1 - 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - 2\sin C [2\sin A \sin B] = 1 - 4\sin A \sin B \sin C$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ है।
हम इसे $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ दिया गया है।
$x$-अक्ष से अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हमें फलन का अधिकतम निरपेक्ष मान $|f(x)|_{max}$ ज्ञात करना होगा।
$f(x) = a \sin x + b \cos x$ के रूप वाले फलन के लिए,अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ और न्यूनतम मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
न्यूनतम मान $= -\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = -2$.
$x$-अक्ष से अधिकतम दूरी $|f(x)|$ का अधिकतम मान है,जो $|2| = 2$ या $|-2| = 2$ है।
अतः,अधिकतम दूरी $2$ है।

(C) फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ के रूप में है।
इस फलन का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

(B) माना $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right) = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$.
चूंकि $\sin(\alpha)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए फलन $f(\theta)$ अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब $\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1$ हो।
यह तब होता है जब $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ हो।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
डिग्री में बदलने पर,$\theta = 45^o$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए,$(a - \frac{1}{a})^2 \ge 0$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \ge 0$,या $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ है।
माना $a = \cos x$ है। चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $f(x) = \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x}$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$ $\ge$ $GM$) के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए,$\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x \ge 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$ है।
अतः,$f(x) \ge 2$ है।

(C) माना $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\cos \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 + 2\cos \theta$
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta) - 1$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta + \frac{1}{4}) - 1 - \frac{1}{2}$
$f(\theta) = 2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$
चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,न्यूनतम मान $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\theta) = -\frac{3}{2}$ है।
अधिकतम मान $\cos \theta = 1$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\theta) = 2(1 + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = 3$ है।
अतः,$-\frac{3}{2} \le \cos 2\theta + 2\cos \theta \le 3$.

(B) दिया गया है $A + B + C = \pi,$ इसलिए $A = \pi - (B + C).$
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर,$\cos A = \cos(\pi - (B + C)).$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta,$ इसलिए $\cos A = -\cos(B + C).$
दिया गया है $\cos A = \cos B \cos C,$ इसे समीकरण में रखने पर:
$-\cos(B + C) = \cos B \cos C.$
$\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$-(\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \cos B \cos C.$
$-\cos B \cos C + \sin B \sin C = \cos B \cos C.$
$\sin B \sin C = 2 \cos B \cos C.$
दोनों पक्षों को $\cos B \cos C$ से विभाजित करने पर,
$\frac{\sin B \sin C}{\cos B \cos C} = 2.$
$\tan B \tan C = 2.$

(B) माना $u = \cos \theta \left\{ \sin \theta + \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha} \right\}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$u^2 \tan^2 \theta - 2u \tan \theta + (u^2 - \sin^2 \alpha) = 0$.
चूंकि $\tan \theta$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$:
$4u^2 - 4u^2(u^2 - \sin^2 \alpha) \ge 0$.
$1 - u^2 + \sin^2 \alpha \ge 0$.
$u^2 \le 1 + \sin^2 \alpha$.
अतः,$|u| \le \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.
इस प्रकार,$k = \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.