Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $\text{sech}(iz) = \sec(z)$.
$z = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{sech}(i\pi) = \sec(\pi)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec(\pi) = \frac{1}{\cos(\pi)} = \frac{1}{-1} = -1$.
अतः,मान $-1$ है।

(C) $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin \theta = -\frac{1}{5}$ संभव है।
$\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos \theta = 1$ संभव है।
$\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। चूँकि $\frac{1}{2} < 1$,इसलिए $\sec \theta = \frac{1}{2}$ कथन गलत है।
$\tan \theta$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है,इसलिए $\tan \theta = 20$ संभव है।
अतः,गलत कथन $C$ है।

(B) किसी भी वास्तविक कोण $\theta$ के लिए:
$1$. $\sin \theta$ और $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है। अतः,$\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ संभव नहीं है।
$2$. $\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। अतः,$\sec \theta = \frac{1}{2}$ संभव नहीं है क्योंकि $\frac{1}{2} < 1$ है।
$3$. $\cos \theta = \frac{1 + p^2}{1 - p^2}$ के लिए,यदि $p = 2$ लें,तो $\cos \theta = \frac{5}{-3} = -1.66$,जो $-1$ से कम है,इसलिए यह संभव नहीं है।
$4$. $\tan \theta$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है। अतः,$\tan \theta = 1002$ संभव है।

(A) यहाँ $1$ और $2$ रेडियन में हैं।
चूँकि $1 \text{ रेडियन} \approx 57.3^{\circ}$,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan 1 > 0$ है।
चूँकि $2 \text{ रेडियन} \approx 114.6^{\circ}$,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan 2 < 0$ है।
अतः,$\tan 1 > 0 > \tan 2$ है।
इस प्रकार,$\tan 1 > \tan 2$ सही है।

(B) सही संबंध $\sin 1 > \sin 1^\circ$ है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में,फलन $f(x) = \sin x$ एक वर्धमान फलन है।
हम जानते हैं कि $1 \text{ रेडियन} \approx 57.3^\circ$ होता है।
चूंकि $57.3^\circ > 1^\circ$ और साइन फलन प्रथम चतुर्थांश में वर्धमान है,इसलिए $\sin(57.3^\circ) > \sin(1^\circ)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\sin 1 > \sin 1^\circ$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$.
अतः,$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$.
इसी प्रकार,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,आदि।
व्यंजक $P = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ$ है।
दोनों सिरों से पदों का युग्म बनाने पर: $(\tan 1^\circ \tan 89^\circ) = (\tan 1^\circ \cot 1^\circ) = 1$.
$(\tan 2^\circ \tan 88^\circ) = (\tan 2^\circ \cot 2^\circ) = 1$.
यह $\tan 44^\circ \tan 46^\circ = 1$ तक जारी रहता है।
मध्य पद $\tan 45^\circ = 1$ है।
अतः,गुणनफल $1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ है।

(C) दिया गया है $\sin \theta = \frac{24}{25}$.
चूँकि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\cos \theta$ और $\tan \theta$ ऋणात्मक होंगे।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{7}{25}$.
तब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.
साथ ही,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{25}{7}$.
इसलिए,$\sec \theta + \tan \theta = -\frac{25}{7} - \frac{24}{7} = -\frac{49}{7} = -7$.

(C) दिया गया है $5 \tan \theta = 4$,इसलिए $\tan \theta = \frac{4}{5}$ है।
व्यंजक के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta} = \frac{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 3}{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 2}$
व्यंजक में $\tan \theta = \frac{4}{5}$ का मान रखने पर:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{5(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{4 + 2} = \frac{1}{6}$.

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{20}{21}$ है।
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ होता है।
$\sec^2 \theta = 1 + (\frac{20}{21})^2 = 1 + \frac{400}{441} = \frac{441 + 400}{441} = \frac{841}{441}$।
अतः,$\sec \theta = \pm \sqrt{\frac{841}{441}} = \pm \frac{29}{21}$।
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,इसलिए $\cos \theta = \pm \frac{21}{29}$।

(B) दिया गया है $\sin x = -\frac{24}{25}$।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$।
$\cos^2 x = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$।
अतः,$\cos x = \pm \frac{7}{25}$।
चूंकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,यदि $\cos x = \frac{7}{25}$ है,तो $\tan x = -\frac{24}{7}$।
यदि $\cos x = -\frac{7}{25}$ है,तो $\tan x = \frac{24}{7}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-\frac{24}{7}$ है।

(B) दिया गया है कि $\tan \theta = -\frac{4}{3}.$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}.$
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{9}{25}.$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}.$
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है,$\theta$ दूसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित है। दूसरे चतुर्थांश में $\sin \theta$ धनात्मक $(4/5)$ होता है और चौथे चतुर्थांश में $\sin \theta$ ऋणात्मक $(-4/5)$ होता है।
अतः,दोनों मान संभव हैं।

(C) दिया गया है कि $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = 1$ है।
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,विभिन्न चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न इस प्रकार हैं:
- $I$ चतुर्थांश: सभी धनात्मक
- $II$ चतुर्थांश: $\sin$ धनात्मक
- $III$ चतुर्थांश: $\tan$ धनात्मक
- $IV$ चतुर्थांश: $\cos$ धनात्मक
चूंकि $\sin \theta$ ऋणात्मक है और $\tan \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ को $III$ चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए,जहाँ $\sin$ और $\cos$ दोनों ऋणात्मक होते हैं,जिससे $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ धनात्मक हो जाता है।

(A) दिया गया है $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{1}{2}$। चूँकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha - \beta = 30^\circ$ $(i)$।
दिया गया है $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{1}{2}$। चूँकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha + \beta = 60^\circ$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर $2\alpha = 90^\circ$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 45^\circ$।
$\alpha = 45^\circ$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$45^\circ + \beta = 60^\circ$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = 15^\circ$।
अतः,$\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 15^\circ$ है।

(C) दिया गया है $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक होना चाहिए।
हम सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
$\tan \theta$ का मान रखने पर:
$1 + \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \sec^2 \theta$
$1 + \frac{1}{10} = \sec^2 \theta$
$\sec^2 \theta = \frac{11}{10}$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{10}{11}$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\cos \theta$ धनात्मक है,अतः $\cos \theta = \sqrt{\frac{10}{11}}$।

(D) दिया गया है $3\tan A + 4 = 0,$ अतः $\tan A = -\frac{4}{3}$.
चूंकि $A$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\tan A$ ऋणात्मक है,$\sin A$ धनात्मक है और $\cos A$ ऋणात्मक है।
सर्वसमिका $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec A = -\frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos A = \frac{1}{\sec A} = -\frac{3}{5}$.
साथ ही,$\sin A = \tan A \times \cos A = (-\frac{4}{3}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$.
और $\cot A = \frac{1}{\tan A} = -\frac{3}{4}$.
इन मानों को $2\cot A - 5\cos A + \sin A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(-\frac{3}{4}) - 5(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5}$
$= -\frac{3}{2} + 3 + \frac{4}{5}$
$= \frac{-15 + 30 + 8}{10} = \frac{23}{10}$.

(B) माना $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} + \sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$
$E = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 \theta}} = \frac{2}{|\cos \theta|}$.
चूँकि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \theta$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$|\cos \theta| = -\cos \theta$.
अतः,$E = \frac{2}{-\cos \theta} = -2 \sec \theta$.

(B) दिया गया है कि $x = \sec \theta + \tan \theta$ है।
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta - \tan \theta$ है।
अब,$x + \frac{1}{x} = (\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)$।
$x + \frac{1}{x} = 2 \sec \theta$।

(A) दिया है $\tan \theta = \frac{a}{b}.$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a}{b},$ इसलिए $\sin \theta = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\cos \theta = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
अब,व्यंजक $E = \frac{\sin \theta}{\cos^8 \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin^8 \theta}$ पर विचार करें।
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \pm \frac{(a^2 + b^2)^4}{\sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a}{b^8} + \frac{b}{a^8} \right).$

(A) दी गई व्यंजक $\cos 1^\circ$ से $\cos 179^\circ$ तक के पदों का गुणनफल है।
हम जानते हैं कि इस गुणनफल में $\cos 90^\circ$ एक गुणनखंड के रूप में शामिल है।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए इस गुणनफल का मान $0$ होगा।
अतः,$\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \dots \cdot \cos 90^\circ \cdot \dots \cdot \cos 179^\circ = 0$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{k=1}^{180} \cos k^\circ$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$।
अतः,$\cos 179^\circ = -\cos 1^\circ$,$\cos 178^\circ = -\cos 2^\circ$,इत्यादि।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\cos 1^\circ + \cos 179^\circ) + (\cos 2^\circ + \cos 178^\circ) + \dots + (\cos 89^\circ + \cos 91^\circ) + \cos 90^\circ + \cos 180^\circ$।
प्रत्येक युग्म का योग $0$ होता है क्योंकि $\cos \theta + \cos(180^\circ - \theta) = 0$।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ और $\cos 180^\circ = -1$,इसलिए कुल योग $0 + 0 + \dots + 0 + 0 + (-1) = -1$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\sin 15^\circ + \cos 105^\circ $
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ $
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 15^\circ + (-\sin 15^\circ) = 0$

(C) हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{10} = 18^\circ$ और $\frac{3\pi}{10} = 54^\circ$ है।
अतः,$\sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \sin \left( \frac{3\pi}{10} \right) = \sin 18^\circ \sin 54^\circ$।
चूंकि $\sin 54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos 36^\circ$,व्यंजक $\sin 18^\circ \cos 36^\circ$ हो जाता है।
$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ मान रखने पर:
$\frac{\sqrt{5}-1}{4} \times \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{5-1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया गया समीकरण: $x \sin 45^\circ \cos^2 60^\circ = \frac{\tan^2 60^\circ \csc 30^\circ}{\sec 45^\circ \cot^2 30^\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,$\csc 30^\circ = 2$,$\sec 45^\circ = \sqrt{2}$,$\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.
$x \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2 \times 2}{\sqrt{2} \times (\sqrt{3})^2}$
$x \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{3 \times 2}{\sqrt{2} \times 3}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$x = \frac{2 \times 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$x = 8$.

(B) हम निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$\sin (270^\circ + A) = -\cos A$
$\sin (270^\circ - A) = -\cos A$
$\cos (180^\circ + A) = -\cos A$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A + (-\cos A) - (-\cos A) + (-\cos A)$
$= \cos A - \cos A + \cos A - \cos A$
$= 0$

(B) हम जानते हैं कि $\sin (\pi + \theta ) = -\sin \theta$ और $\sin (\pi - \theta ) = \sin \theta$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin (\pi + \theta )\sin (\pi - \theta )\csc^2 \theta = (-\sin \theta )(\sin \theta )\left(\frac{1}{\sin^2 \theta}\right)$
$= -\sin^2 \theta \times \frac{1}{\sin^2 \theta}$
$= -1$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot(90^\circ - A) = \tan A$.
दिया गया व्यंजक: $\cot (45^\circ + \theta ) \cot (45^\circ - \theta )$.
सर्वसमिका $\cot(45^\circ + \theta) = \tan(90^\circ - (45^\circ + \theta)) = \tan(45^\circ - \theta)$ का उपयोग करने पर।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\tan (45^\circ - \theta ) \cot (45^\circ - \theta ) = 1$ (क्योंकि $\tan A \cot A = 1$).
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\tan A + \cot (180^\circ + A) + \cot (90^\circ + A) + \cot (360^\circ - A)$
त्रिकोणमितीय रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cot (180^\circ + A) = \cot A$
$\cot (90^\circ + A) = -\tan A$
$\cot (360^\circ - A) = -\cot A$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \tan A + \cot A - \tan A - \cot A$
$= 0$

(D) हमें व्यंजक दिया गया है: $\tan \theta \sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) = \cos \theta$ और $\cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \tan \theta \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \sin \theta \cdot \sin \theta$
$= \sin^2 \theta$.

(B) दिया गया है कि $x = y \cos \frac{2\pi}{3} = z \cos \frac{4\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$।
अतः,$x = y(-\frac{1}{2}) = z(-\frac{1}{2})$।
इसका अर्थ है $x = -\frac{y}{2} = -\frac{z}{2}$।
माना $x = \lambda$,तो $y = -2\lambda$ और $z = -2\lambda$।
अब,$xy + yz + zx$ की गणना करें:
$xy + yz + zx = (\lambda)(-2\lambda) + (-2\lambda)(-2\lambda) + (-2\lambda)(\lambda)$
$= -2\lambda^2 + 4\lambda^2 - 2\lambda^2$
$= 0$।

(D) दिया गया व्यंजक: $S = \sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{5\pi }{8} + \sin ^2\frac{7\pi }{8}$
सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{5\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi }{8}) = \sin \frac{3\pi }{8}$
$\sin \frac{7\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{\pi }{8}) = \sin \frac{\pi }{8}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$S = \sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{\pi }{8}$
$S = 2(\sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8})$
$\sin^2 \theta + \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = 1$ का उपयोग करने पर:
चूंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$,
$S = 2(\sin ^2\frac{\pi }{8} + \cos ^2\frac{\pi }{8}) = 2(1) = 2$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$.
अतः,$\tan(-945^\circ) = -\tan(945^\circ)$.
चूंकि $945^\circ = 2 \times 360^\circ + 225^\circ$,इसलिए $\tan(945^\circ) = \tan(225^\circ)$.
अब,$\tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1$.
इसलिए,$\tan(-945^\circ) = -1$.

(C) दिया गया है $A = \frac{5\pi}{4}$.
हमें $\cos A - \sin A$ का मान ज्ञात करना है।
$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)$.
चूंकि $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ और $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$,इसलिए:
$= -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - (-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right))$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.

(D) हम त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$\cos (270^\circ + \theta ) = \sin \theta$
$\cos (90^\circ - \theta ) = \sin \theta$
$\sin (270^\circ - \theta ) = -\cos \theta$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta \cdot \sin \theta - (-\cos \theta ) \cdot \cos \theta$
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$
$= 1$

(B) सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 50^\circ - \sin 70^\circ + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} \sin \frac{50^\circ - 70^\circ}{2} + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos 60^\circ \sin(-10^\circ) + \sin 10^\circ$
$= -2 \cos 60^\circ \sin 10^\circ + \sin 10^\circ$
$= -2 \times \frac{1}{2} \times \sin 10^\circ + \sin 10^\circ$
$= -\sin 10^\circ + \sin 10^\circ = 0.$

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin 70^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 70^\circ + \sin 40^\circ}$
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 40^\circ = \sin 50^\circ$ और $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{\sin 70^\circ + \sin 50^\circ}{\sin 20^\circ + \sin 40^\circ}$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin 70^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ$
हर: $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos(-10^\circ) = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ$
$= \frac{2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ}{2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) हम रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$\sin 600^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(- \frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (- \frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$.

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{{\cot^2 15^\circ - 1}}{{\cot^2 15^\circ + 1}}$
$\cot 15^\circ = \frac{{\cos 15^\circ}}{{\sin 15^\circ}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{\frac{{\cos^2 15^\circ}}{{\sin^2 15^\circ}} - 1}}{{\frac{{\cos^2 15^\circ}}{{\sin^2 15^\circ}} + 1}}$
अंश और हर को सरल करने पर:
$= \frac{{\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ}}{{\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ और $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ$
चूंकि $\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ है।

(C) दिया गया है,वृत्ताकार तार का व्यास $10 \, cm$ है।
अतः,तार की लंबाई (चाप की लंबाई $s$) तार की परिधि के बराबर होगी: $s = \pi \times d = 10\pi \, cm$.
जिस वृत्त पर तार को रखा गया है उसका व्यास $1 \, m = 100 \, cm$ है।
इसलिए,इस वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{100}{2} = 50 \, cm$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $s$ लंबाई के चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta = \frac{s}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\theta = \frac{10\pi}{50} = \frac{\pi}{5} \, \text{रेडियन}$।

(A) दिया गया है $\tan \theta = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.
अंश और हर को $\cos \alpha$ से विभाजित करने पर,$\tan \theta = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
अतः,$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$.
अब,$\sin \alpha + \cos \alpha = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) + \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos \theta$.
इसी प्रकार,$\sin \alpha - \cos \alpha = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) - \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin \theta$.

(B) दिया गया है $x = \sin 130^\circ \cos 80^\circ$ और $y = \sin 80^\circ \cos 130^\circ$।
चूंकि $130^\circ$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sin 130^\circ = \sin 50^\circ = \cos 40^\circ > 0$ और $\cos 130^\circ = -\sin 40^\circ < 0$।
साथ ही,$\cos 80^\circ > 0$ और $\sin 80^\circ > 0$।
इसलिए,$x = (\sin 130^\circ)(\cos 80^\circ) = (\text{धनात्मक})(\text{धनात्मक}) > 0$।
और $y = (\sin 80^\circ)(\cos 130^\circ) = (\text{धनात्मक})(\text{ऋणात्मक}) < 0$।
चूंकि $x > 0$ और $y < 0$,उनका गुणनफल $xy < 0$ है।
दिया गया है $z = 1 + xy$,चूंकि $xy < 0$,इसलिए $z < 1$ है।
अतः,$0 < z < 1$ सत्य है।

(A) दिया गया है कि $\sin (A + B) = 1$ और $\cos (A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूँकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए $A + B = 90^\circ$।
चूँकि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $A - B = 30^\circ$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(A + B) + (A - B) = 90^\circ + 30^\circ$ $\Rightarrow 2A = 120^\circ$ $\Rightarrow A = 60^\circ$।
$A = 60^\circ$ को $A + B = 90^\circ$ में रखने पर,$60^\circ + B = 90^\circ \Rightarrow B = 30^\circ$।
अतः,$A$ और $B$ के सबसे छोटे धनात्मक मान $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं।

(A) माना $AC = BC = a$ है। चूँकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CD = a/2$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ है।
माना $\angle DBC = \alpha$ है।
तब,$\tan \alpha = \frac{CD}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = 2$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos (x/3)$ है।
हम जानते हैं कि मूल कोसाइन फलन $y = \cos(\theta)$ का परिसर किसी भी वास्तविक मान $\theta$ के लिए $[-1, 1]$ होता है।
यहाँ,$\theta = x/3$ है। चूँकि $x$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए $x/3$ भी सभी वास्तविक मान ग्रहण करता है।
अतः,$\cos(x/3)$ का परिसर $[-1, 1]$ ही रहता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) यहाँ कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (-\sqrt{3}, -1)$ हैं।
हम जानते हैं कि $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{-1}{2}$ है।
चूंकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए बिंदु तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right| = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ है।
तीसरे चतुर्थांश में,$\theta = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$ होता है।
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(2, -5\pi/6)$ हैं।

(D) यदि कोई फलन $f(x)$ किसी अंतराल पर या तो पूरी तरह से गैर-वर्धमान या गैर-ह्रासमान है,तो उसे एकदिष्ट (monotonic) फलन कहा जाता है।
त्रिकोणमितीय फलन जैसे $\sin(x)$,$\cos(x)$,$\tan(x)$ आदि आवर्ती फलन होते हैं।
उदाहरण के लिए,$\sin(x)$ अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में बढ़ता है और अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में घटता है।
चूंकि ये फलन अपने मानों के बीच दोलन करते हैं,इसलिए वे अपने पूरे प्रांत $\mathbb{R}$ पर एकदिष्ट नहीं होते हैं।
अतः,त्रिकोणमितीय फलनों का एकदिष्ट होना आवश्यक नहीं है।

(B) दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{2}$,चूँकि $\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{6}$।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{1}{3}$,चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,और $\frac{1}{3}$ का मान $0$ और $\frac{1}{2}$ के बीच है,इसलिए $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$।
असमिका $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$ में $\theta = \frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर,$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta + \phi < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{\pi}{2} < \theta + \phi < \frac{2\pi}{3}$ हो जाता है।

(A) प्रतीक $ \alpha $ alpha अक्षर को दर्शाता है। इसलिए,सही विकल्प $ A $ है।

(D) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$
$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$\sin(\frac{7\pi}{2} - x) = -\cos x$
$\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$
$\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cot x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{(-\cot x)(\sin x) - (-\cos x)^3}{(\sin x)(-\cot x)}$
$= \frac{-\cos x + \cos^3 x}{-\cos x}$
$= \frac{\cos x(\cos^2 x - 1)}{-\cos x}$
$= -(\cos^2 x - 1) = \sin^2 x$

(A) दिया गया है कि $\cos(\alpha + \beta) = 0$ है।
चूंकि $\cos(\theta) = 0$ का अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$,हम मुख्य मान $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ लेते हैं।
अतः,$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ है।
अब,$\sin(\alpha + 2\beta)$ व्यंजक में $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\alpha + 2(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \sin(\alpha + \pi - 2\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\tan \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = \cot \alpha$
$\cos \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin \alpha$
$\cos (2\pi - \alpha ) = \cos \alpha$
$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha$
$\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha$
$\cos (\pi + \alpha ) = -\cos \alpha$
$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \alpha$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{(\cot \alpha )(-\sin \alpha )}{\cos \alpha } + (\sin \alpha )(\sin \alpha ) + (-\cos \alpha )(-\cos \alpha )$
$= \frac{(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha })(-\sin \alpha )}{\cos \alpha } + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$= -1 + 1 = 0$