Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(A) योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 52^\circ + \cos 172^\circ + \cos 68^\circ$
$= 2 \cos \left( \frac{52^\circ + 172^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{52^\circ - 172^\circ}{2} \right) + \cos 68^\circ$
$= 2 \cos (112^\circ) \cos (-60^\circ) + \cos 68^\circ$
चूंकि $\cos (-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:
$= 2 \cos (112^\circ) \left( \frac{1}{2} \right) + \cos 68^\circ$
$= \cos 112^\circ + \cos 68^\circ$
$= \cos (180^\circ - 68^\circ) + \cos 68^\circ$
$= -\cos 68^\circ + \cos 68^\circ = 0$.

(C) दिए गए समीकरण $\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ और $\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ हैं।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right) = -\cos \alpha$ $(i)$
$2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right) = -\sin \alpha$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = \tan \alpha$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:
$\cot \left( \frac{x + y}{2} \right) = \cot \alpha$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = \sin \alpha$ ... $(i)$
$\cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta = \cos \alpha$ ... $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$(\sin 3\theta + \sin \theta) + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$2 \sin 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$\sin 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \sin \alpha$ ... $(iii)$
इसी प्रकार,
$(\cos 3\theta + \cos \theta) + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$2 \cos 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \cos \alpha$ ... $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\tan 2\theta = \tan \alpha$
$2\theta = \alpha$
$\theta = \alpha / 2$

(C) हम जानते हैं कि $\tan {50^o} = \tan ({70^o} - {20^o}) = \frac{\tan {70^o} - \tan {20^o}}{1 + \tan {70^o} \tan {20^o}}$.
चूंकि $\tan {70^o} = \cot {20^o}$,इसलिए $\tan {70^o} \tan {20^o} = 1$.
अतः,$2 \tan {50^o} = \tan {70^o} - \tan {20^o}$,जिसका अर्थ है $\tan {70^o} = 2 \tan {50^o} + \tan {20^o}$.
इस प्रकार,$\sec {50^o} + \tan {50^o} = \tan {20^o} + 2 \tan {50^o}$.

(A) श्रेणी का योग $S = \sum_{k=1}^{n} \sin(k\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर श्रेणी में ज्या (sine) के योग का सूत्र उपयोग करने पर: $\sum_{k=0}^{n-1} \sin(\alpha + k\beta) = \frac{\sin(n\beta/2)}{\sin(\beta/2)} \sin(\alpha + \frac{(n-1)\beta}{2})$.
यहाँ,$\alpha = \theta$ और $\beta = \theta$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \sin(\theta + \frac{(n-1)\theta}{2})$
$S = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \sin(\frac{2\theta + n\theta - \theta}{2})$
$S = \frac{\sin(n\theta/2) \sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\theta/2)}$.

(B) माना व्यंजक $E = 2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13}$ है।
गुणनफल-से-योग सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} = \cos(\frac{10\pi}{13}) + \cos(-\frac{8\pi}{13}) = \cos(\frac{10\pi}{13}) + \cos(\frac{8\pi}{13})$.
अतः,$E = \cos \frac{10\pi}{13} + \cos \frac{8\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13}$.
$\cos \theta = \cos(\pi - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{10\pi}{13} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{13}) = -\cos \frac{3\pi}{13}$.
$\cos \frac{8\pi}{13} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{13}) = -\cos \frac{5\pi}{13}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = -\cos \frac{3\pi}{13} - \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} = 0$.

(D) दिया गया है $\tan A - \tan B = x$ और $\cot B - \cot A = y.$
सबसे पहले,$y$ को सरल करें:
$y = \frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan A - \tan B}{\tan A \tan B} = \frac{x}{\tan A \tan B}.$
अतः,$\tan A \tan B = \frac{x}{y}.$
अब,$\cot(A - B)$ के सूत्र का उपयोग करें:
$\cot(A - B) = \frac{1 + \tan A \tan B}{\tan A - \tan B}.$
$x$ और $\tan A \tan B$ के मान रखने पर:
$\cot(A - B) = \frac{1 + \frac{x}{y}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}.$

(C) हम जानते हैं कि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।
व्यंजक $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$ पर विचार करें।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ$
चूंकि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ और $\cos 60^\circ = 1/2$ है:
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - 1/2] \cos 36^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos^2 36^\circ - \frac{1}{2} \cos 36^\circ]$
$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}+1}{4})]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{6+2\sqrt{5}}{16} - \frac{2\sqrt{5}+2}{16}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{4}{16}] = \frac{1}{8}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cos 12^\circ - \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ + \sin 12^\circ} + \tan 147^\circ$
प्रथम पद के अंश और हर को $\cos 12^\circ$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \tan 12^\circ}{1 + \tan 12^\circ} + \tan 147^\circ$
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 12^\circ$:
$\tan(45^\circ - 12^\circ) + \tan(180^\circ - 33^\circ)$
$= \tan 33^\circ - \tan 33^\circ = 0$

(D) हम जानते हैं कि $\sin 108^\circ = \sin 72^\circ$ और $\sin 144^\circ = \sin 36^\circ$ होता है।
अतः,व्यंजक $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = \left(\frac{1 - \cos 72^\circ}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos 144^\circ}{2}\right)$
$= \frac{1}{4} (1 - \sin 18^\circ)(1 + \cos 36^\circ)$
मान रखने पर $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$= \frac{1}{4} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right) \left(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{5}{16}$.

(A) दिया गया है $\cos A = m \cos B,$ अतः $\frac{m}{1} = \frac{\cos A}{\cos B}.$
योगान्तरानुपात (Componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{\cos A + \cos B}{\cos A - \cos B}.$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)}{-2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)} = -\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cot \left( \frac{A - B}{2} \right).$
चूंकि $\cot \left( \frac{A - B}{2} \right) = -\cot \left( \frac{B - A}{2} \right) = -\frac{1}{\tan \left( \frac{B - A}{2} \right)},$
अतः $\frac{m + 1}{m - 1} = \cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \frac{1}{\tan \left( \frac{B - A}{2} \right)}.$
अतः,$\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) = \frac{m + 1}{m - 1} \tan \left( \frac{B - A}{2} \right).$

(A) हमें $S = \sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए:
$S = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ \sin 24^\circ = \sin 12^\circ \sin(60^\circ - 12^\circ) \sin(60^\circ + 12^\circ) \sin 24^\circ$
$S = \frac{1}{4} \sin(3 \times 12^\circ) \sin 24^\circ = \frac{1}{4} \sin 36^\circ \sin 24^\circ$.
अब,विकल्प $A$ पर विचार करें: $P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$.
सर्वसमिका $\cos \theta \cos(60^\circ - \theta) \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हुए:
$P = \cos 20^\circ \cos(60^\circ - 20^\circ) \cos(60^\circ + 20^\circ) \cos 60^\circ = \frac{1}{4} \cos(3 \times 20^\circ) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cos 60^\circ = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
$S = \frac{1}{4} \sin 36^\circ \sin 24^\circ = \frac{1}{8} [2 \sin 36^\circ \sin 24^\circ] = \frac{1}{8} [\cos 12^\circ - \cos 60^\circ] = \frac{1}{16}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B)\cos(A - B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{\pi}{4} - \beta$ और $B = \alpha - \frac{\pi}{4}$ है।
तब $A + B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) + \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \alpha - \beta$ होगा।
और $A - B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)$ होगा।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \sin^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \cos(\alpha - \beta)\cos\left( \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) \right)$।
चूंकि $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$,इसलिए:
$= \cos(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ$
$\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,$\tan 63^\circ = \cot 27^\circ$ और $\tan 81^\circ = \cot 9^\circ$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $= (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ)$
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
व्यंजक $= \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} = 2 \left( \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ सूत्र के अनुसार,$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $= 2 \left( \frac{2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right) = 4 \frac{\cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}$.
चूंकि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$,इसलिए व्यंजक $= 4(1) = 4$।

(A) दिया गया है: $x = \sin A + \sin 2A$ और $y = \cos A + \cos 2A$।
$x^2 + y^2$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = (\sin A + \sin 2A)^2 + (\cos A + \cos 2A)^2$
$x^2 + y^2 = (\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 2A + \cos^2 2A) + 2(\sin A \sin 2A + \cos A \cos 2A)$
$x^2 + y^2 = 1 + 1 + 2 \cos(2A - A)$
$x^2 + y^2 = 2 + 2 \cos A = 2(1 + \cos A)$।
अब,इस मान को व्यंजक $E = (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 3)$ में रखने पर:
$E = [2(1 + \cos A)][2(1 + \cos A) - 3]$
$E = [2(1 + \cos A)][2 + 2 \cos A - 3]$
$E = [2(1 + \cos A)][2 \cos A - 1]$
$E = 2(2 \cos^2 A + 2 \cos A - \cos A - 1)$
$E = 2(2 \cos^2 A + \cos A - 1)$।
चूंकि $y = \cos A + \cos 2A = \cos A + (2 \cos^2 A - 1)$,इसलिए $y = 2 \cos^2 A + \cos A - 1$।
अतः,$E = 2y$।

(B) माना अंश $N = \cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10$ और हर $D = \cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x$ है।
सर्वसमिका $\cos(n+1)x + \cos(n-1)x = 2\cos nx \cos x$ का उपयोग करते हुए,हम हर को $(2\cos x)^5$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सरल करने पर हमें $2\cos x$ प्राप्त होता है।

(D) हम सूत्र $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ और $n = 4$ है।
$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$
$= \frac{\sin \frac{32\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$
चूँकि $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,इसलिए $\sin \frac{32\pi}{15} = \sin \frac{2\pi}{15}$ है।
$= \frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(A) हमें व्यंजक $\cos^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{5\pi}{12}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{6})}{2} + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{6})}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{6}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\frac{5\pi}{6})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{6}))$
$= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$= \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.

(B) माना $S = \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3\pi}{16} \sin \frac{5\pi}{16} \sin \frac{7\pi}{16}$ है।
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin \frac{7\pi}{16} = \cos \frac{\pi}{16}$ और $\sin \frac{5\pi}{16} = \cos \frac{3\pi}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (\sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}) (\sin \frac{3\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16})$ है।
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सूत्र का उपयोग करने पर,$S = (\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{8}) (\frac{1}{2} \sin \frac{3\pi}{8}) = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ (क्योंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$)।
$S = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$।

(D) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $E = \cos^2 76^\circ + \cos^2 16^\circ - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$ है।
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 152^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 32^\circ}{2} - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 152^\circ + \cos 32^\circ) - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 152^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos 92^\circ \cos 60^\circ = 2 \cos 92^\circ (\frac{1}{2}) = \cos 92^\circ$।
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 76^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\cos 92^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}(\cos 92^\circ + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cos 92^\circ + \frac{1}{4}$।
इन मानों को वापस रखने पर:
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 92^\circ) - (\frac{1}{2} \cos 92^\circ + \frac{1}{4})$
$E = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

(A) सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + 120^\circ) + \cos^2(\alpha - 120^\circ) = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha + 240^\circ)}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha - 240^\circ)}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + \cos(2\alpha + 240^\circ) + \cos(2\alpha - 240^\circ)]$
सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha \cos 240^\circ]$
चूंकि $\cos 240^\circ = -1/2$ है:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha (-1/2)]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha - \cos 2\alpha]$
$= \frac{1}{2} \times 3 = 3/2$.

(B) हमारे पास व्यंजक $\tan {20^\circ} + 2\tan {50^\circ} - \tan {70^\circ}$ है।
व्यंजक को $(\tan {20^\circ} - \tan {70^\circ}) + 2\tan {50^\circ}$ के रूप में लिखें।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\sin {20^\circ}}{\cos {20^\circ}} - \frac{\sin {70^\circ}}{\cos {70^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$ प्राप्त होता है।
$= \frac{\sin {20^\circ} \cos {70^\circ} - \cos {20^\circ} \sin {70^\circ}}{\cos {20^\circ} \cos {70^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin(20^\circ - 70^\circ)}{\frac{1}{2}[\cos(70^\circ + 20^\circ) + \cos(70^\circ - 20^\circ)]} + 2\tan {50^\circ}$.
$= \frac{2\sin(-50^\circ)}{\cos {90^\circ} + \cos {50^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$.
चूंकि $\cos {90^\circ} = 0$,यह $\frac{-2\sin {50^\circ}}{\cos {50^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$ हो जाता है।
$= -2\tan {50^\circ} + 2\tan {50^\circ} = 0$.

(B) दिया गया है कि,$\tan x = \frac{b}{a}.$
व्यंजक $\sqrt{\frac{a + b}{a - b}} + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}$ पर विचार करें।
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर:
$= \sqrt{\frac{1 + \frac{b}{a}}{1 - \frac{b}{a}}} + \sqrt{\frac{1 - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}}$
$= \sqrt{\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}} + \sqrt{\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}}$
$= \frac{(1 + \tan x) + (1 - \tan x)}{\sqrt{(1 - \tan x)(1 + \tan x)}} = \frac{2}{\sqrt{1 - \tan^2 x}}$
$= \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{2\cos x}{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}$
चूंकि $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x,$ इसलिए:
$= \frac{2\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}.$

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin 3A - \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}{\cos A + \cos (\pi + 3A)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \sin A$ और $\cos (\pi + 3A) = -\cos 3A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin 3A - \sin A}{\cos A - \cos 3A}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ और $\cos D - \cos C = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos 2A \sin A}{2 \sin 2A \sin A}$
$= \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \cot 2A$

(A) दिया गया है कि $\cos (\theta - \alpha ), \cos \theta, \cos (\theta + \alpha )$ $H.P.$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\cos (\theta - \alpha )}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$ $A.P.$ में होंगे।
इसका अर्थ है $\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta - \alpha )} + \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$.
सूत्र $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$.
सरल करने पर,$\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$.
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin^2 \alpha = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
$\cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
$\cos^2 \theta \sec^2 \frac{\alpha}{2} = 2$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) दिया है: $\sin \theta + \sin \phi = a$ $(i)$ और $\cos \theta + \cos \phi = b$ $(ii)$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \theta + \sin \phi)^2 + (\cos \theta + \cos \phi)^2 = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2$
$2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2 - 2$
$\cos(\theta - \phi) = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
सर्वसमिका $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
$\tan(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}}$.

(D) दिया गया है कि $\sin \beta$,$\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है।
अतः,$\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha.$
अब,$\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha.$
सर्वसमिका $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करने पर,$\cos 2\beta = 1 - \sin 2\alpha.$
चूंकि $1 - \sin 2\alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2,$ हम लिख सकते हैं:
$\cos 2\beta = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha\right)^2 = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$
साथ ही,सर्वसमिका $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,
$\cos 2\beta = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right).$
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है $\tan \beta = \cos \theta \tan \alpha$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\tan \beta}{\tan \alpha} = \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}$ है।
सूत्र ${\tan ^2}\frac{\theta }{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \theta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
${\tan ^2}\frac{\theta }{2} = \frac{1 - \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}}{1 + \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}}$
$= \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$
$= \frac{\sin (\alpha - \beta )}{\sin (\alpha + \beta )}$।

(B) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = x.$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = x^2.$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,$ इसलिए $1 + \sin 2\theta = x^2,$ जिसका अर्थ है $\sin 2\theta = x^2 - 1.$
चूँकि $-1 \le \sin 2\theta \le 1,$ इसलिए $-1 \le x^2 - 1 \le 1,$ जो $0 \le x^2 \le 2$ में सरल हो जाता है.
अब,${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$ पर विचार करें.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta.$
$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$1 - 3(\frac{1}{2} \sin 2\theta)^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\theta.$
$\sin 2\theta = x^2 - 1$ रखने पर,$1 - \frac{3}{4}(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}[4 - 3(x^2 - 1)^2].$
यह सर्वसमिका केवल तभी सत्य है जब $x^2 \le 2$ हो।

(B) दिया गया समीकरण $25\cos^2\alpha + 5\cos\alpha - 12 = 0$ है।
माना $x = \cos\alpha$,तब $25x^2 + 5x - 12 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$।
इससे $x = 3/5$ या $x = -4/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\pi/2 < \alpha < \pi$,$\cos\alpha$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $\cos\alpha = -4/5$।
अब,$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - 16/25} = 3/5$ (दूसरे चतुर्थांश में $\sin$ धनात्मक होता है)।
अतः,$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2(3/5)(-4/5) = -24/25$।

(A) दिया गया है $2\tan A = 3\tan B$,इसलिए $\tan A = \frac{3}{2}\tan B$.
माना $\tan B = t$,तो $\tan A = \frac{3}{2}t$.
हम जानते हैं कि $\sin 2B = \frac{2t}{1 + t^2}$ और $\cos 2B = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B} = \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{5 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{5(1 + t^2) - (1 - t^2)} = \frac{2t}{4 + 6t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
अब,$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{2}t - t}{1 + (\frac{3}{2}t)(t)} = \frac{\frac{1}{2}t}{1 + \frac{3}{2}t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
अतः,$\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B} = \tan(A - B)$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = 1/2$ $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = 3/2$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 + (\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = (1/2)^2 + (3/2)^2$
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\sin 2\theta \sin 2\phi + \cos 2\theta \cos 2\phi) = 1/4 + 9/4$
$1 + 1 + 2\cos(2\theta - 2\phi) = 10/4$
$2 + 2\cos(2(\theta - \phi)) = 5/2$
$2\cos(2(\theta - \phi)) = 5/2 - 2 = 1/2$
$\cos(2(\theta - \phi)) = 1/4$
सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2(\theta - \phi) - 1 = 1/4$
$2\cos^2(\theta - \phi) = 1 + 1/4 = 5/4$
$\cos^2(\theta - \phi) = 5/8$

(A) दिया गया व्यंजक: $E = \cos 2(\theta + \phi) - 4\cos (\theta + \phi)\sin \theta \sin \phi + 2\sin^2 \phi$
$\theta = \frac{\pi}{4}$ और $\phi = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$E = \cos 2(\frac{\pi}{2}) - 4\cos(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{4})$
$E = -1 - 0 + 1 = 0$.
विकल्प $(a)$ में मान रखने पर: $\cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(B) दिया है: $\sin A + \cos A = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin A + \cos A)^2 = (\sqrt{2})^2$
$\sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \cos A = 2$
$1 + \sin 2A = 2$
$\sin 2A = 1 = \sin 90^{\circ}$
$2A = 90^{\circ} \implies A = 45^{\circ}$.
अब,$\cos^2 A = \cos^2 45^{\circ} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है: $\tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 1$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $1 + \tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 2$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2(1 + \tan^2 \phi)$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2\sec^2 \phi$
व्युत्क्रम लेने पर: $\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
$\Rightarrow 2\cos^2 \theta = \cos^2 \phi$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$
इन मानों को $2\cos^2 \theta = \cos^2 \phi$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \cos 2\theta = 1 - \sin^2 \phi$
$\Rightarrow \cos 2\theta + \sin^2 \phi = 0$.

(C) हम जानते हैं कि $1 = \sec^2 A - \tan^2 A$। अंश में इसका मान रखने पर:
$\frac{\tan A + \sec A - (\sec^2 A - \tan^2 A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)(\sec A + \tan A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A)(1 - (\sec A - \tan A))}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A)(1 - \sec A + \tan A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \tan A + \sec A$
$= \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{1}{\cos A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$.

(D) दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $A + C = 180^\circ$ और $B + D = 180^\circ$ है।
$A + C = 180^\circ$ से,हमें $A = 180^\circ - C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$,जिसका अर्थ है कि $\cos A + \cos C = 0$ है।
इसी प्रकार,$B + D = 180^\circ$ से,हमें $B = 180^\circ - D$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$,जिसका अर्थ है कि $\cos B + \cos D = 0$ है।
इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक $S = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ + \sin^2 90^\circ$ है।
$5^\circ$ से $90^\circ$ तक $5^\circ$ के अंतराल पर कुल $18$ पद हैं।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\sin^2 5^\circ + \sin^2 85^\circ) + (\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ) + \dots + (\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$।
ऐसे $8$ युग्म हैं,जिनमें से प्रत्येक का मान $1$ है।
अतः,योग $8(1) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$ होगा।
मान रखने पर: $8 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1)^2 = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9\frac{1}{2}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{\csc^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
सर्वसमिका $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{1 + \cot^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
$= \sqrt{(1 + \cot \alpha)^2} = |1 + \cot \alpha|$
चूंकि $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$,कोण $\alpha$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $\cot \alpha$ ऋणात्मक होता है।
विशेष रूप से,$\alpha \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ के लिए $\cot \alpha < -1$ होता है।
अतः,$1 + \cot \alpha < 0$ है।
इसलिए,$|1 + \cot \alpha| = -(1 + \cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.

(C) दिया गया है $\cos(\theta - \alpha) = a$ और $\sin(\theta - \beta) = b$।
माना $x = \theta - \alpha$ और $y = \theta - \beta$। तब $\cos x = a$ और $\sin y = b$।
ध्यान दें कि $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha = -(\alpha - \beta)$।
अतः,$\cos(\alpha - \beta) = \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2}$।
और $\sin(\alpha - \beta) = -\sin(x - y) = -(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = -(\sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2} - ab) = ab - \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2}$।
इन मानों को $\cos^2(\alpha - \beta) + 2ab\sin(\alpha - \beta)$ में रखने पर:
$= (a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2})^2 + 2ab(ab - \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2})$
$= a^2(1 - b^2) + b^2(1 - a^2) + 2ab \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2} + 2a^2b^2 - 2ab \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2}$
$= a^2 - a^2b^2 + b^2 - a^2b^2 + 2a^2b^2$
$= a^2 + b^2$।

(A) दिया गया है $\sin x + \text{cosec } x = 2$.
चूँकि $\text{cosec } x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$ होगा।
माना $\sin x = t$,तो $t + \frac{1}{t} = 2$,जिससे $t^2 - 2t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(t - 1)^2 = 0$ में बदल जाता है,अतः $t = 1$ है।
इसलिए,$\sin x = 1$ है।
अतः,$\sin^n x + \text{cosec}^n x = (1)^n + (\frac{1}{1})^n = 1 + 1 = 2$।

(B) दिया गया समीकरण: ${\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha + K{\sin ^2}2\alpha = 1$ है।
सर्वसमिका ${a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = {\cos ^2}\alpha$ और $b = {\sin ^2}\alpha$ है।
अतः,${\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha = 1 - 3{\cos ^2}\alpha {\sin ^2}\alpha$।
हम जानते हैं कि ${\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{4}{\sin ^2}2\alpha$।
मान रखने पर: $1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha + K{\sin ^2}2\alpha = 1$।
अतः,$(K - \frac{3}{4}){\sin ^2}2\alpha = 0$,जिससे $K = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \sin \frac{7\pi}{14} \sin \frac{9\pi}{14} \sin \frac{11\pi}{14} \sin \frac{13\pi}{14}$.
गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{13\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11\pi}{14} = \sin \frac{3\pi}{14}$,और $\sin \frac{9\pi}{14} = \sin \frac{5\pi}{14}$.
साथ ही,$\sin \frac{7\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
अतः,$P = \left( \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\sqrt{3} \csc 20^{\circ} - \sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$.

(C) दी गई व्यंजक: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \cos^2 28^\circ + (\cos 58^\circ - \cos 66^\circ)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$,व्यंजक $2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$ हो जाता है।
चूंकि $\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$,हमें $2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ)$ प्राप्त होता है।
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$2 \cos 28^\circ [2 \cos 57^\circ \cos 29^\circ]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$,अंतिम उत्तर $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\sin x > 0$ और $\cos x < 1$ होता है।
व्यंजक $E = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)$ पर विचार करें।
$\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ के विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \sin \alpha(1 - \cos \beta \cos \gamma) + \sin \beta(1 - \cos \alpha \cos \gamma) + \sin \gamma(1 - \cos \alpha \cos \beta) + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है,इसलिए $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma < 1$ है,अतः $(1 - \cos \beta \cos \gamma) > 0$,$(1 - \cos \alpha \cos \gamma) > 0$,और $(1 - \cos \alpha \cos \beta) > 0$ होगा।
इस प्रकार,$E > 0$,जिसका अर्थ है कि $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \sin(\alpha + \beta + \gamma)$।
अतः,$\frac{\sin(\alpha + \beta + \gamma)}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma} < 1$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण: $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = c$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$
$(1 + \tan^2 \theta)$ से गुणा करने पर:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ के द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$
यहाँ $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों के योग के सूत्र $-B/A$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha + \tan \beta = - \frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$

(B) हमें $y = a \cos^2 x + 2b \sin x \cos x + c \sin^2 x$ और $z = a \sin^2 x - 2b \sin x \cos x + c \cos^2 x$ दिया गया है।
$y$ और $z$ को जोड़ने पर:
$y + z = a(\cos^2 x + \sin^2 x) + c(\sin^2 x + \cos^2 x) = a(1) + c(1) = a + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $a \sin^2 x + b \cos^2 x = c$। $\cos^2 x$ से भाग देने पर,$a \tan^2 x + b = c \sec^2 x = c(1 + \tan^2 x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a - c) \tan^2 x = c - b$,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = \frac{b - c}{a - c} = \frac{c - b}{c - a}$।
इसी प्रकार,$b \sin^2 y + a \cos^2 y = d$ के लिए,$\cos^2 y$ से भाग देने पर $b \tan^2 y + a = d(1 + \tan^2 y)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(b - d) \tan^2 y = d - a$,जिसका अर्थ है $\tan^2 y = \frac{d - a}{b - d} = \frac{a - d}{d - b}$।
दिया गया है $a \tan x = b \tan y$,इसलिए $\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{b}{a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{\tan^2 x}{\tan^2 y} = \frac{b^2}{a^2}$।
मान रखने पर,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{(c - b)/(c - a)}{(a - d)/(d - b)} = \frac{(b - c)(d - b)}{(c - a)(a - d)}$।
अतः,$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(c - a)(a - d)}{(b - c)(d - b)}$।

(C) योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
पहला पद: $\left( \frac{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
दूसरा पद: $\left( \frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \left( -\cot \left( \frac{A-B}{2} \right) \right)^n = (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
कुल व्यंजक: $\cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right) + (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः योग $0$ है।
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^n = 1$,अतः योग $2 \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$ है।