Word problem -Statistics Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $\sigma_{x}^{2} = 4$ અને $\sigma_{y}^{2} = 5$,જ્યાં $n_1 = 5$ અને $n_2 = 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = 2$ અને $\bar{y} = 4$ છે.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Sigma x_i^2 = n(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 5(4 + 2^2) = 5(8) = 40$.
$\Sigma y_i^2 = n(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 5(5 + 4^2) = 5(21) = 105$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{z} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma_z^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{z})^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $16$ અવલોકનોનો મધ્યક $16$ છે,તેથી અવલોકનોનો સરવાળો:
$\sum_{i=1}^{16} x_i = 16 \times 16 = 256$.
$16$ મૂલ્ય ધરાવતું અવલોકન દૂર કર્યા પછી અને $3, 4, 5$ મૂલ્ય ધરાવતા ત્રણ નવા અવલોકનો ઉમેર્યા પછી,અવલોકનોનો નવો સરવાળો:
$\text{નવો સરવાળો} = 256 - 16 + 3 + 4 + 5 = 252$.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $16 - 1 + 3 = 18$ છે.
નવો મધ્યક:
$\text{નવો મધ્યક} = \frac{252}{18} = 14$.

(C) સંયુક્ત મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\bar{x} = 500$,$\bar{x}_1 = 510$,$\bar{x}_2 = 460$.
ધારો કે કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા $100$ છે,જ્યાં $n_1$ પુરુષ કર્મચારીઓની સંખ્યા છે અને $n_2$ સ્ત્રી કર્મચારીઓની સંખ્યા છે.
તેથી,$n_2 = 100 - n_1$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$500 = \frac{510n_1 + 460(100 - n_1)}{100}$
$50000 = 510n_1 + 46000 - 460n_1$
$50000 - 46000 = 50n_1$
$4000 = 50n_1$
$n_1 = \frac{4000}{50} = 80$.
આમ,ફેક્ટરીમાં પુરુષ કર્મચારીઓની ટકાવારી $80\%$ છે.

(B) પ્રથમ સમૂહ માટે: $n_1 = 5$,$\bar{x}_1 = 8$,$\sigma_1^2 = 18$.
બીજા સમૂહ માટે: $n_2 = 3$,$\bar{x}_2 = 8$,$\sigma_2^2 = 24$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5 \times 8 + 3 \times 8}{5 + 3} = \frac{64}{8} = 8$.
અહીં $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = \bar{x} = 8$ હોવાથી,વિચલનો $D_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 0$ અને $D_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 0$ થશે.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + D_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + D_2^2)}{n_1 + n_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{5(18 + 0^2) + 3(24 + 0^2)}{5 + 3} = \frac{90 + 72}{8} = \frac{162}{8} = 20.25$.

(B) ધારો કે બે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $5$ અવલોકનોનો મધ્યક $4.4$ છે,તેથી:
$\frac{1 + 2 + 6 + x + y}{5} = 4.4$
$9 + x + y = 22$
$x + y = 13$ ..... $(i)$
આપેલ છે કે વિચરણ $8.24$ છે,આપણે સૂત્ર $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$8.24 = \frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2$
$8.24 = \frac{1 + 4 + 36 + x^2 + y^2}{5} - 19.36$
$27.6 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5}$
$x^2 + y^2 = 97$ ..... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$y = 13 - x$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$
$2x^2 - 26x + 72 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
$(x - 9)(x - 4) = 0$
આમ,$x = 9$ અથવા $x = 4$. તેથી અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.

(B) બે સમૂહો માટે સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^{2}$ નું સૂત્ર:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1} \sigma_{1}^{2} + n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1} n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}} (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
અહીં $n_{1} = 6, \bar{x}_{1} = 11, \sigma_{1}^{2} = 24$ અને $n_{2} = 3, \bar{x}_{2} = 14, \sigma_{2}^{2} = 36$ છે:
$\sigma^{2} = \frac{6 \times 24 + 3 \times 36}{6 + 3} + \frac{6 \times 3}{(6 + 3)^{2}} (11 - 14)^{2}$
$\sigma^{2} = \frac{144 + 108}{9} + \frac{18}{81} \times 9 = 28 + 2 = 30$

(C) $w_i$ નો મધ્યક $\bar{w} = l \bar{y} + k$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\bar{y} = 48$ અને $\bar{w} = 55$,તેથી $55 = 48l + k$ $(i)$.
$w_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_w = |l| \sigma_y$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\sigma_y = 12$ અને $\sigma_w = 15$,તેથી $15 = |l| \times 12$.
આમ,$|l| = \frac{15}{12} = 1.25$.
જો $l$ ધન હોય,તો $l = 1.25$.
સમીકરણ $(i)$ માં $l = 1.25$ મૂકતા:
$55 = 48(1.25) + k$
$55 = 60 + k$
$k = 55 - 60 = -5$.
તેથી,$l = 1.25$ અને $k = -5$.

(B) ધારો કે $10$ પદો $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{10} x_i = 30$.
જ્યારે પ્રથમ પદમાં $1$,બીજામાં $2$ અને $i$-માં પદમાં $i$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે પદોનો નવો સરવાળો:
$\sum_{i=1}^{10} (x_i + i) = \sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=1}^{10} i$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ મળે.
નવો સરવાળો $= 30 + 55 = 85$.
નવો મધ્યક $\frac{85}{10} = \frac{17}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{30}$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} x_i = 75$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને $\lambda$ વડે ગુણીને $25$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $y_i = \lambda x_i - 25$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (\lambda x_i - 25) = 75\lambda - 25$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યક સમાન રહે છે,તેથી $75\lambda - 25 = 75$.
$75\lambda = 100$.
$\lambda = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.

(C) ધારો કે $25$ શિક્ષકોની ઉંમરનો સરવાળો $S$ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ ઉંમર $40 \text{ વર્ષ}$ છે,તેથી:
$\frac{S}{25} = 40 \Rightarrow S = 1000$.
ધારો કે નવા શિક્ષકની ઉંમર $A$ છે.
$60 \text{ વર્ષના}$ શિક્ષકની નિવૃત્તિ અને નવા શિક્ષકની નિમણૂક પછી,ઉંમરનો નવો સરવાળો $S - 60 + A$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $39 \text{ વર્ષ}$ છે,તેથી:
$\frac{S - 60 + A}{25} = 39$
$1000 - 60 + A = 39 \times 25$
$940 + A = 975$
$A = 975 - 940 = 35$.
આમ,નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $35 \text{ વર્ષ}$ છે.

(C) ધારો કે રાત્રિની પાળીના કામદારનું સરેરાશ વેતન $x$ છે.
કુલ કામદારોની સંખ્યા $70 + 30 = 100$ છે.
દિવસની પાળીના કામદારોના વેતનનો સરવાળો $70 \times 54 = 3780$ છે.
બધા કામદારોના વેતનનો સરવાળો $100 \times 60 = 6000$ છે.
રાત્રિની પાળીના કામદારોના વેતનનો સરવાળો $30 \times x$ છે.
આપણને સમીકરણ મળે છે: $3780 + 30x = 6000$.
$30x = 6000 - 3780 = 2220$.
$x = \frac{2220}{30} = 74$.
આમ,રાત્રિની પાળીના કામદારોનું સરેરાશ વેતન $Rs. 74$ છે.

(A) ધારો કે $2n$ અલગ અવલોકનો $x_1 < x_2 < ... < x_{2n}$ છે.
અહીં $2n$ અવલોકનો હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $n$ માં અને $(n+1)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થથી નીચે $n$ અવલોકનો છે (એટલે કે $x_1, ..., x_n$) અને મધ્યસ્થથી ઉપર $n$ અવલોકનો છે (એટલે કે $x_{n+1}, ..., x_{2n}$).
મૂળ અવલોકનોનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{2n} x_i$ છે.
નવો સરવાળો $S'$ એ પ્રથમ $n$ અવલોકનોમાં $5$ ઉમેરીને અને બાકીના $n$ અવલોકનોમાંથી $3$ બાદ કરીને મળે છે:
$S' = \sum_{i=1}^{n} (x_i + 5) + \sum_{i=n+1}^{2n} (x_i - 3)$
$S' = \sum_{i=1}^{n} x_i + 5n + \sum_{i=n+1}^{2n} x_i - 3n$
$S' = \sum_{i=1}^{2n} x_i + 2n = S + 2n$.
નવો મધ્યક $M' = \frac{S'}{2n} = \frac{S + 2n}{2n} = \frac{S}{2n} + 1$.
મૂળ મધ્યક $M = \frac{S}{2n}$ હોવાથી,નવો મધ્યક $M' = M + 1$ થાય.
આમ,મધ્યકમાં $1$ નો વધારો થાય છે.

(B) આપેલ છે $d_i = -x_i - a$.
વિધાન $I$: અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફાર અને સ્કેલ ફેક્ટર $-1$ હેઠળ બદલાતું નથી. ખાસ કરીને,જો $y_i = c x_i + k$ હોય,તો $\text{Var}(y) = c^2 \text{Var}(x)$. અહીં,$c = -1$ અને $k = -a$. તેથી,$\text{Var}(d) = (-1)^2 \sigma^2 = \sigma^2$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $d_i$ નો મધ્યક $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum (-x_i - a) = -\bar{x} - a$ છે. આ સાચું છે.
બહુલક માટે,જો $M$ એ $x_i$ નો બહુલક હોય,તો $d_i = -x_i - a$ નો બહુલક $-M - a$ થાય. આ પણ સાચું છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 20$ અને ખોટો મધ્યક $\bar{x}_{incorrect} = 40$ છે.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $= n \times \bar{x}_{incorrect} = 20 \times 40 = 800$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $= \text{ખોટો સરવાળો} - \text{ખોટી કિંમત} + \text{સાચી કિંમત} = 800 - 33 + 53 = 820$.
સાચો મધ્યક $= \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{n} = \frac{820}{20} = 41$.

(D) શરત $0 < y < x < 2y$ આપેલ છે,તેથી સંખ્યાઓનો ક્રમ આ મુજબ થશે:
$y < x$ અને $x < 2y$ હોવાથી,$x - y < y < x < 2x + y$ મળે.
ચાર સંખ્યાઓનો મધ્યસ્થ એ બે મધ્યમ પદોની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{y + x}{2} = 10 \Rightarrow x + y = 20 \quad (i)$
વિસ્તાર એ સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{વિસ્તાર} = (2x + y) - (x - y) = x + 2y = 28 \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20 \Rightarrow y = 8$.
$y = 8$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 8 = 20 \Rightarrow x = 12$.
ચાર સંખ્યાઓ $(12 - 8), 8, 12, (2(12) + 8)$ એટલે કે $4, 8, 12, 32$ છે.
મધ્યક $= \frac{4 + 8 + 12 + 32}{4} = \frac{56}{4} = 14$.

(D) બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે. અહીં બહુલક $140$ છે,જે $100-150$ વર્ગમાં આવે છે,તેથી બહુલક વર્ગ $100-150$ છે.
બહુલકનું સૂત્ર:
$Mode = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
જ્યાં:
$L = 100$,$f_1 = 37$,$f_0 = 33$,$f_2 = b$,$h = 50$
કિંમતો મૂકતા:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$41 - b = 5$
$b = 36$

(A) જૂથબદ્ધ માહિતી માટે મધ્યસ્થનું સૂત્ર:
$M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times C$
જ્યાં:
$l = 20$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા)
$N = 100$ (કુલ અવલોકનો)
$F = 45$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ)
$C = 30 - 20 = 10$ (મધ્યસ્થ વર્ગની વર્ગલંબાઈ)
$M = 25$ (મધ્યસ્થ)
$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 = 20 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 45}{f} \right) \times 10$
$25 - 20 = \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$
$5 = \frac{5}{f} \times 10$
$5 = \frac{50}{f}$
$f = \frac{50}{5} = 10$

(B) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 3, 8, x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\mu = 5$ હોવાથી,$\frac{1 + 3 + 8 + x + y}{5} = 5$.
$12 + x + y = 25 \Rightarrow x + y = 13$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 9.20$,સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9.2 = \frac{1^2 + 3^2 + 8^2 + x^2 + y^2}{5} - 5^2$.
$9.2 = \frac{1 + 9 + 64 + x^2 + y^2}{5} - 25$.
$34.2 = \frac{74 + x^2 + y^2}{5} \Rightarrow 171 = 74 + x^2 + y^2$.
$x^2 + y^2 = 97$ (સમીકરણ $2$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$,તેથી $13^2 = 97 + 2xy$.
$169 - 97 = 2xy$ $\Rightarrow 72 = 2xy$ $\Rightarrow xy = 36$.
$x + y = 13$ અને $xy = 36$ ઉકેલતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $(t - 4)(t - 9) = 0$ છે.
આમ,બે અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{4}{9}$ અથવા $\frac{9}{4}$ છે.

(A) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. આપેલ છે કે $n = 5$,$\bar{x} = 4$,અને $\sigma^2 = 5.2$.
અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 5 \times 4 = 20$.
આપેલ છે કે $x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 4$,તેથી $3 + 4 + 4 + x_4 + x_5 = 20$,એટલે કે $x_4 + x_5 = 9$ $(i)$.
વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 4^2$ $\Rightarrow 5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 16$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5 \times 21.2 = 106$.
વર્ગોનો સરવાળો: $3^2 + 4^2 + 4^2 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow 9 + 16 + 16 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow x_4^2 + x_5^2 = 65$ $(ii)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_4 - x_5)^2 = 2(x_4^2 + x_5^2) - (x_4 + x_5)^2$.
$(x_4 - x_5)^2 = 2(65) - (9)^2 = 130 - 81 = 49$.
તેથી,$|x_4 - x_5| = \sqrt{49} = 7$.

(D) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$,તેથી $\sum_{i=1}^{7} x_i = 7 \times 8 = 56$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$,આપણે સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 8^2$.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 64 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 7 \times 80 = 560$.
આપેલ $5$ અવલોકનો $2, 4, 10, 12, 14$ છે. ધારો કે બાકીના બે $x_6$ અને $x_7$ છે.
$5$ અવલોકનોનો સરવાળો: $2 + 4 + 10 + 12 + 14 = 42$.
$x_6 + x_7 = 56 - 42 = 14$.
$5$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો: $2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 = 4 + 16 + 100 + 144 + 196 = 460$.
$x_6^2 + x_7^2 = 560 - 460 = 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_6 + x_7)^2 = x_6^2 + x_7^2 + 2x_6x_7$.
$14^2 = 100 + 2x_6x_7$.
$196 = 100 + 2x_6x_7$ $\Rightarrow 2x_6x_7 = 96$ $\Rightarrow x_6x_7 = 48$.

(C) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $10$ છે:
$\frac{3+7+9+12+13+20+x+y}{8} = 10$
$64+x+y = 80$
$x+y = 16$ (સમીકરણ $1$)
વિચરણ $25$ છે:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 25$
$\frac{3^2+7^2+9^2+12^2+13^2+20^2+x^2+y^2}{8} - 10^2 = 25$
$\frac{9+49+81+144+169+400+x^2+y^2}{8} = 125$
$852+x^2+y^2 = 1000$
$x^2+y^2 = 148$ (સમીકરણ $2$)
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16^2 = 148 + 2xy$
$256 = 148 + 2xy$
$2xy = 108$
$xy = 54$

(A) આપેલ છે $n = 20$,$\text{મધ્યક} = 10$,અને $\text{વિચરણ} = 4$.
$\frac{\sum x_i}{20} = 10 \implies \sum x_i = 200$.
$\frac{\sum x_i^2}{20} - (10)^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{20} = 104 \implies \sum x_i^2 = 2080$.
સાચો અવલોકનોનો સરવાળો $= 200 - 9 + 11 = 202$.
સાચો મધ્યક $= \frac{202}{20} = 10.1$.
સાચો વર્ગોનો સરવાળો $= 2080 - 9^2 + 11^2 = 2080 - 81 + 121 = 2120$.
સાચું વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = \frac{2120}{20} - (10.1)^2$.
$= 106 - 102.01 = 3.99$.

વિચલન ગુણાંક $(C.V.)$ નું સૂત્ર $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ સમાંતર મધ્યક છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે:
$C.V._{1} = 60$,$\sigma_{1} = 21$
$60 = \frac{21}{\bar{x}_{1}} \times 100$
$\bar{x}_{1} = \frac{21 \times 100}{60} = 35$
બીજા વિતરણ માટે:
$C.V._{2} = 70$,$\sigma_{2} = 16$
$70 = \frac{16}{\bar{x}_{2}} \times 100$
$\bar{x}_{2} = \frac{16 \times 100}{70} \approx 22.86$
આમ,સમાંતર મધ્યક અનુક્રમે $35$ અને $22.86$ છે.

(B) પેઢી દ્વારા ચૂકવવામાં આવતું કુલ માસિક વેતન એ સરેરાશ માસિક વેતન અને વેતન મેળવનારાઓની સંખ્યાના ગુણાકાર તરીકે ગણવામાં આવે છે.
પેઢી $A$ માટે:
કુલ રકમ $= 5253 \times 586 = 3,078,258$.
પેઢી $B$ માટે:
કુલ રકમ $= 5253 \times 648 = 3,403,944$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$3,403,944 > 3,078,258$.
તેથી,પેઢી $B$ માસિક વેતન તરીકે વધુ રકમ ચૂકવે છે.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
$5$ અવલોકનોનો સરવાળો $5 \times 4.4 = 22$ થાય.
તેથી,$1 + 2 + 6 + x + y = 22$,જે $x + y = 13$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$8.24 = \frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2$.
$8.24 = \frac{1 + 4 + 36 + x^2 + y^2}{5} - 19.36$.
$8.24 + 19.36 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5}$.
$27.6 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5} \implies 138 = 41 + x^2 + y^2 \implies x^2 + y^2 = 97$ (સમીકરણ $2$).
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$13^2 = 97 + 2xy$.
$169 = 97 + 2xy \implies 2xy = 72 \implies xy = 36$.
$x + y = 13$ અને $xy = 36$ હોવાથી,$x$ અને $y$ એ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ના બીજ છે.
$(t - 9)(t - 4) = 0$,તેથી $t = 9$ અથવા $t = 4$.
બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.

(A) આપેલ છે કે અવલોકનોની સંખ્યા $(n) = 100$.
ખોટો મધ્યક $(\bar{x}) = 40$.
ખોટું પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = 5.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.
$40 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i \implies \sum_{i=1}^{100} x_i = 4000$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $= 4000$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $= 4000 - 50 + 40 = 3990$.
સાચો મધ્યક $= \frac{3990}{100} = 39.9$.
વળી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2}$.
$5.1 = \sqrt{\frac{1}{100} \sum x_i^2 - (40)^2}$.
$26.01 = \frac{1}{100} \sum x_i^2 - 1600$.
ખોટો $\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 162601$.
સાચો $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\frac{161701}{100} - (39.9)^2} = \sqrt{1617.01 - 1592.01} = \sqrt{25} = 5$.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આઠ અવલોકનોનો સરવાળો $8 \times 9 = 72$ થાય.
છ આપેલા અવલોકનોનો સરવાળો $6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 = 60$ થાય.
તેથી,$x + y = 72 - 60 = 12$ ........... $(1)$
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$9.25 = \frac{1}{8} (6^2 + 7^2 + 10^2 + 12^2 + 12^2 + 13^2 + x^2 + y^2) - 9^2$.
$9.25 + 81 = \frac{1}{8} (36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x^2 + y^2)$.
$90.25 \times 8 = 642 + x^2 + y^2$.
$722 = 642 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 80$ ........... $(2)$
$(1)$ પરથી,$(x + y)^2 = 144 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = 144$.
$80 + 2xy = 144$ $\Rightarrow 2xy = 64$ $\Rightarrow xy = 32$.
$x + y = 12$ અને $xy = 32$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 12t + 32 = 0$ ઉકેલતા.
$(t - 8)(t - 4) = 0$.
આમ,બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $8$ છે.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
અવલોકનો $2, 4, 10, 12, 14, x, y$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$.
$\Rightarrow 42 + x + y = 56$ $\Rightarrow x + y = 14$ (સમીકરણ $1$).
વિચરણ,$\sigma^2 = 16 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 + x^2 + y^2}{7} - 8^2$.
$16 + 64 = \frac{4 + 16 + 100 + 144 + 196 + x^2 + y^2}{7}$.
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$.
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100$ (સમીકરણ $2$).
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 = 100 + 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
$x+y = 14$ અને $xy = 48$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 14t + 48 = 0$ ઉકેલતા.
$(t-6)(t-8) = 0 \Rightarrow t = 6, 8$.
આમ,બાકીના બે અવલોકનો $6$ અને $8$ છે.

(A) અવલોકનોની સંખ્યા $(n) = 20$.
ખોટો મધ્યક $(\bar{x}) = 10$.
ખોટું પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = 2$.
$\sum x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
સાચો સરવાળો $= 200 - 8 = 192$.
સાચો મધ્યક $= \frac{192}{19} \approx 10.105$.
ખોટો $\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 20(2^2 + 10^2) = 20(4 + 100) = 2080$.
સાચો $\sum x_i^2 = 2080 - 8^2 = 2080 - 64 = 2016$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2} = \sqrt{\frac{2016}{19} - (10.105)^2} = \sqrt{106.105 - 102.111} = \sqrt{3.994} \approx 2.00$.

(B) આપેલ છે $n = 20$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 10$,ખોટું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $\sum x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $= 200 - 8 + 12 = 204$.
સાચો મધ્યક $= \frac{204}{20} = 10.2$.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$2^2 = \frac{1}{20} \sum x_i^2 - 10^2$.
$4 = \frac{1}{20} \sum x_i^2 - 100 \Rightarrow \sum x_i^2 = 20 \times 104 = 2080$.
સાચો $\sum x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\frac{2160}{20} - (10.2)^2} = \sqrt{108 - 104.04} = \sqrt{3.96} \approx 1.9899$.

(B) આપેલ છે $n = 100$,$\bar{x} = 20$,$\sigma = 3$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = 100 \times 20 = 2000$.
અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 100(3^2 + 20^2) = 100(9 + 400) = 40900$.
ખોટા અવલોકનો $21, 21, 18$ છે. સરવાળો $= 60$. વર્ગોનો સરવાળો $= 21^2 + 21^2 + 18^2 = 441 + 441 + 324 = 1206$.
નવું $n = 100 - 3 = 97$.
નવો સરવાળો $\sum x_i' = 2000 - 60 = 1940$.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{1940}{97} = 20$.
નવા વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i'^2 = 40900 - 1206 = 39694$.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n'} - (\bar{x}')^2 = \frac{39694}{97} - 20^2 = 409.216 - 400 = 9.216$.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma' = \sqrt{9.216} \approx 3.036$.

(N/A) ધારો કે બે અવલોકનોના સમૂહ $x_{i}$ $(i=1, 2, \ldots, n_{1})$ અને $y_{j}$ $(j=1, 2, \ldots, n_{2})$ છે.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ છે.
સંયુક્ત સમૂહનું વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{1}{n_{1}+n_{2}} [\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} + \sum (y_{j}-\bar{x})^{2}]$ છે.
નિત્યસમ $\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} = n_{1}s_{1}^{2} + n_{1}d_{1}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $d_{1} = \bar{x}_{1}-\bar{x}$.
તે જ રીતે,$\sum (y_{j}-\bar{x})^{2} = n_{2}s_{2}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}$,જ્યાં $d_{2} = \bar{x}_{2}-\bar{x}$.
$d_{1} = \frac{n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})}{n_{1}+n_{2}}$ અને $d_{2} = \frac{n_{1}(\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1})}{n_{1}+n_{2}}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}s_{1}^{2} + n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}} + \frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$.
$\frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$ પદનું સાદુંરૂપ આપતા $\frac{n_{1}n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}$ મળે છે.
આમ,$SD = \sqrt{\frac{n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$.

(D) આપેલ છે,$n_{1}=20, \sigma_{1}=5, \bar{x}_{1}=17$ અને $n_{2}=20, \sigma_{2}=5, \bar{x}_{2}=22$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ નીચે મુજબ છે:
$\sigma=\sqrt{\frac{n_{1} \sigma_{1}^{2}+n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma=\sqrt{\frac{20 \times(5)^{2}+20 \times(5)^{2}}{20+20}+\frac{20 \times 20(17-22)^{2}}{(20+20)^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{500+500}{40}+\frac{400 \times (-5)^{2}}{40^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{1000}{40}+\frac{400 \times 25}{1600}}$
$\sigma=\sqrt{25+\frac{10000}{1600}}$
$\sigma=\sqrt{25+6.25} = \sqrt{31.25} \approx 5.59$

(N/A) આવૃત્તિઓનો સરવાળો:
$(x-2) + x + x^2 + (x+1)^2 + 2x + (x+1) = 60$
$2x^2 + 7x - 60 = 0$
$(2x+15)(x-4) = 0$
$x$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$x=4$.
$x=4$ માટે આવૃત્તિ કોષ્ટક:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & f_i & d_i=x_i-3 & f_i d_i & f_i d_i^2 \\ \hline 0 & 2 & -3 & -6 & 18 \\ \hline 1 & 4 & -2 & -8 & 16 \\ \hline 2 & 16 & -1 & -16 & 16 \\ \hline 3 & 25 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 4 & 8 & 1 & 8 & 8 \\ \hline 5 & 5 & 2 & 10 & 20 \\ \hline \text{કુલ} & \Sigma f_i=60 & & \Sigma f_i d_i=-12 & \Sigma f_i d_i^2=78 \\ \hline \end{array}$
મધ્યક $= A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 3 + (\frac{-12}{60}) = 2.8$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - (\frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i})^2} = \sqrt{1.3 - 0.04} = \sqrt{1.26} \approx 1.12$

આપેલ છે: $n_{1}=60, \bar{x}_{1}=650, s_{1}=8$ અને $n_{2}=80, \bar{x}_{2}=660, s_{2}=7$.
સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma = \sqrt{\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{60(8)^{2} + 80(7)^{2}}{60 + 80} + \frac{60 \times 80(650 - 660)^{2}}{(60 + 80)^{2}}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{60(64) + 80(49)}{140} + \frac{4800(-10)^{2}}{(140)^{2}}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{3840 + 3920}{140} + \frac{480000}{19600}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{7760}{140} + \frac{4800}{196}} = \sqrt{55.428 + 24.489} = \sqrt{79.917} \approx 8.94$ કલાક.

આપેલ છે,$n=100, \bar{x}=40$ અને $\sigma=10$.
$\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 100 \times 40 = 4000$.
સુધારેલ $\Sigma x_{i} = 4000 - 30 - 70 + 3 + 27 = 3930$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{3930}{100} = 39.3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$.
$100 = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{100} - (40)^{2} \Rightarrow \Sigma x_{i}^{2} = 100(100 + 1600) = 170000$.
સુધારેલ $\Sigma x_{i}^{2} = 170000 - (30)^{2} - (70)^{2} + (3)^{2} + (27)^{2} = 170000 - 900 - 4900 + 9 + 729 = 164938$.
સુધારેલ $\sigma_{\text{new}} = \sqrt{\frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^{2}} = \sqrt{\frac{164938}{100} - (39.3)^{2}}$.
$= \sqrt{1649.38 - 1544.49} = \sqrt{104.89} \approx 10.24$.

(N/A) આપેલ છે $n=10, \bar{x}=45$ અને $\sigma^{2}=16$.
$\bar{x} = \frac{\Sigma x_{i}}{n} = 45 \Rightarrow \Sigma x_{i} = 450$.
સુધારેલ $\Sigma x_{i} = 450 - 52 + 25 = 423$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x} = \frac{423}{10} = 42.3$.
$\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16 = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{10} - (45)^{2} \Rightarrow \Sigma x_{i}^{2} = 10(16 + 2025) = 20410$.
સુધારેલ $\Sigma x_{i}^{2} = 20410 - (52)^{2} + (25)^{2} = 20410 - 2704 + 625 = 18331$.
સુધારેલ $\sigma^{2} = \frac{18331}{10} - (42.3)^{2} = 1833.1 - 1789.29 = 43.81$.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $a$ અને $b$ છે.
$8$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 10$ આપેલ છે:
$\frac{5+7+10+12+14+15+a+b}{8} = 10$
$63 + a + b = 80 \Rightarrow a + b = 17 \quad (1)$
વિચરણ $\sigma^2 = 13.5$ આપેલ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$13.5 = \frac{5^2+7^2+10^2+12^2+14^2+15^2+a^2+b^2}{8} - 10^2$
$113.5 = \frac{25+49+100+144+196+225+a^2+b^2}{8}$
$908 = 739 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \quad (2)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ પરથી,$17^2 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 120$ $\Rightarrow ab = 60$.
હવે,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 17^2 - 4(60) = 289 - 240 = 49$.
તેથી,$|a-b| = \sqrt{49} = 7$.

(B) આપેલ માહિતી $3, 5, 7, a, b$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 5$ છે.
$\frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$ $\Rightarrow 15+a+b = 25$ $\Rightarrow a+b = 10$.
આપેલ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$ છે.
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = 4$.
$\frac{3^{2}+5^{2}+7^{2}+a^{2}+b^{2}}{5} - 5^{2} = 4$.
$\frac{9+25+49+a^{2}+b^{2}}{5} = 29$.
$83+a^{2}+b^{2} = 145 \Rightarrow a^{2}+b^{2} = 62$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$.
$10^{2} = 62+2ab$ $\Rightarrow 100-62 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 38$ $\Rightarrow ab = 19$.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 10x + 19 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $25$ શિક્ષકોની ઉંમરનો સરવાળો $\sum x_i$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\sum x_i}{25} = 40$,તેથી $\sum x_i = 1000$.
ધારો કે નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $N$ છે.
$60$ વર્ષના શિક્ષકની નિવૃત્તિ અને નવા શિક્ષકની નિમણૂક પછી,ઉંમરનો નવો સરવાળો $\sum x_i - 60 + N$ થાય છે.
હવે $25$ શિક્ષકોની સરેરાશ ઉંમર $39$ વર્ષ છે.
$\frac{1000 - 60 + N}{25} = 39$
$940 + N = 39 \times 25$
$940 + N = 975$
$N = 975 - 940 = 35$.
આમ,નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $35$ વર્ષ છે.

(C) બે સમૂહોના સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^{2}$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}\sigma_{1}^{2} + n_{2}\sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1}n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
આપેલ કિંમતો:
$n_{1} = 10, n_{2} = n, \sigma_{1}^{2} = 2, \sigma_{2}^{2} = 1$
$\bar{x}_{1} = 2, \bar{x}_{2} = 3, \sigma^{2} = \frac{17}{9}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{17}{9} = \frac{10(2) + n(1)}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}(2 - 3)^{2}$
$\frac{17}{9} = \frac{20 + n}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}$
સાદુરૂપ આપતા:
$17(10 + n)^{2} = 9[(20 + n)(10 + n) + 10n]$
$8n^{2} - 20n - 100 = 0$
$2n^{2} - 5n - 25 = 0$
$(2n + 5)(n - 5) = 0$
$n$ ધન હોવાથી,$n = 5$.

(B) ધારો કે સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \ldots, x_{2n}$ અને $y_1, y_2, \ldots, y_n$ છે.
પ્રથમ $2n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = 6$ છે,તેથી $\sum x_i = 12n$.
બાકીની $n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{y} = 3$ છે,તેથી $\sum y_i = 3n$.
કુલ મધ્યક $\bar{X} = \frac{12n + 3n}{3n} = 5$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - (\bar{X})^2 = 4$.
$4 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - 25 \implies \sum x_i^2 + \sum y_i^2 = 87n$.
નવા સમૂહમાં,સંખ્યાઓ $(x_i + 1)$ અને $(y_i - 1)$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{X}' = \frac{\sum (x_i + 1) + \sum (y_i - 1)}{3n} = \frac{12n + 2n + 3n - n}{3n} = \frac{16n}{3n} = \frac{16}{3}$.
નવો વિચરણ $k = \frac{\sum (x_i + 1)^2 + \sum (y_i - 1)^2}{3n} - (\bar{X}')^2$.
$k = \frac{\sum x_i^2 + 2\sum x_i + 2n + \sum y_i^2 - 2\sum y_i + n}{3n} - (\frac{16}{3})^2$.
$k = \frac{87n + 2(12n) + 2n - 2(3n) + n}{3n} - \frac{256}{9} = \frac{108n}{3n} - \frac{256}{9} = 36 - \frac{256}{9} = \frac{324 - 256}{9} = \frac{68}{9}$.
આમ,$9k = 68$.

(D) આપેલ છે: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$\sigma = 2.5$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો: $\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો: $\Sigma x_i = 200 - 25 + 35 = 210$.
સાચો મધ્યક $\alpha = \frac{210}{20} = 10.5$.
વર્ગોનો ખોટો સરવાળો: $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies (2.5)^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$.
$6.25 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 100 \implies \Sigma x_i^2 = 20 \times 106.25 = 2125$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો: $\Sigma x_i^2 = 2125 - 25^2 + 35^2 = 2125 - 625 + 1225 = 2725$.
સાચું વિચરણ $\beta = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\alpha)^2 = \frac{2725}{20} - (10.5)^2 = 136.25 - 110.25 = 26$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (10.5, 26)$.

(C) $3, 7, x, y$ નો મધ્યક $5$ છે:
$\frac{3+7+x+y}{4} = 5$ $\Rightarrow 10+x+y = 20$ $\Rightarrow x+y = 10$
વિચરણ $10$ છે:
$\frac{3^2+7^2+x^2+y^2}{4} - (5)^2 = 10$
$\frac{9+49+x^2+y^2}{4} = 35$ $\Rightarrow 58+x^2+y^2 = 140$ $\Rightarrow x^2+y^2 = 82$
$x+y=10$ અને $x^2+y^2=82$ પરથી,
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ $\Rightarrow 100 = 82+2xy$ $\Rightarrow xy = 9$.
$x=9$ અને $y=1$ મળે છે (કારણ કે $x>y$).
ચાર સંખ્યાઓ $21, 9, 10, 8$ છે.
તેમનો મધ્યક $\frac{21+9+10+8}{4} = \frac{48}{4} = 12$ છે.

(B) ધારો કે $n_1 = 20$ (છોકરાઓ) અને $n_2 = 30$ (છોકરીઓ). કુલ ઉમેદવારો $N = 50$.
આપેલ છે: $\bar{x}_b = 12$,$\sigma_b^2 = 2$,$\sigma_g^2 = 2$,અને સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 15$.
પ્રથમ,છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ $(\mu = \bar{x}_g)$ શોધો:
$N \bar{x} = n_1 \bar{x}_b + n_2 \bar{x}_g$
$50 \times 15 = 20 \times 12 + 30 \times \bar{x}_g$
$750 = 240 + 30 \bar{x}_g$
$30 \bar{x}_g = 510 \Rightarrow \bar{x}_g = 17 = \mu$.
હવે,સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{n_1 \sigma_b^2 + n_2 \sigma_g^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} (\bar{x}_b - \bar{x}_g)^2$
$\sigma^2 = \frac{20 \times 2 + 30 \times 2}{50} + \frac{20 \times 30}{50^2} (12 - 17)^2$
$\sigma^2 = \frac{100}{50} + \frac{600}{2500} (-5)^2$
$\sigma^2 = 2 + \frac{6}{25} \times 25 = 2 + 6 = 8$.
અંતે,$\mu + \sigma^2 = 17 + 8 = 25$.

(C) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, 6, 8$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i + 6 + 8}{7} = 8$ છે.
$\sum_{i=1}^{5} x_i + 14 = 56 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i = 42$.
વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 6^2 + 8^2}{7} - (8)^2 = 16$ છે.
$\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 36 + 64}{7} = 16 + 64 = 80$.
$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 100 = 560 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 460$.
હવે,બાકીના $5$ અવલોકનોનું વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2}{5} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5}\right)^2$ છે.
$= \frac{460}{5} - \left(\frac{42}{5}\right)^2 = 92 - \frac{1764}{25} = \frac{2300 - 1764}{25} = \frac{536}{25}$.

(A) ધારો કે $6$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ છે. આપેલ છે કે $x_1=2, x_2=4, x_3=5, x_4=7$. ધારો કે $x_5=a$ અને $x_6=b$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+5+7+a+b}{6} = 6.5$.
$18+a+b = 39$ $\Rightarrow a+b = 21$ $\Rightarrow b = 21-a$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 10.25$.
$\frac{2^2+4^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{6} - (6.5)^2 = 10.25$.
$\frac{4+16+25+49+a^2+b^2}{6} = 10.25 + 42.25 = 52.5$.
$94 + a^2 + b^2 = 315 \Rightarrow a^2 + b^2 = 221$.
$b = 21-a$ મૂકતા: $a^2 + (21-a)^2 = 221$.
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 221$.
$2a^2 - 42a + 220 = 0 \Rightarrow a^2 - 21a + 110 = 0$.
$(a-10)(a-11) = 0$.
તેથી,બાકીના બે અવલોકનો $10$ અને $11$ છે.

(D) આપેલ $6$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 10$ છે:
$\frac{7+10+11+15+a+b}{6} = 10$
$43+a+b = 60 \Rightarrow a+b = 17 \quad (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{20}{3}$ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$\frac{20}{3} = \frac{7^2+10^2+11^2+15^2+a^2+b^2}{6} - 10^2$
$\frac{20}{3} + 100 = \frac{495+a^2+b^2}{6}$
$640 = 495 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 145 \quad (ii)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$17^2 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow ab = 72$
હવે,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 289 - 288 = 1$
$|a-b| = 1$

(B) કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f = 584$ આપેલ છે,તેથી $\alpha + 110 + 54 + 30 + \beta = 584$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha + \beta + 194 = 584$ એટલે કે $\alpha + \beta = 390$ થાય છે.
મધ્યસ્થ $45$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $40-50$ માં આવે છે. તેથી,અધઃસીમા $\ell = 40$,વર્ગ લંબાઈ $h = 10$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f = 30$,અને મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $c = \alpha + 164$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર $Median = \ell + \left[\frac{\frac{N}{2} - c}{f}\right] \times h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $45 = 40 + \left[\frac{292 - (\alpha + 164)}{30}\right] \times 10$.
$5 = \frac{128 - \alpha}{3}$.
$15 = 128 - \alpha$,જે પરથી $\alpha = 113$ મળે છે.
$\alpha + \beta = 390$ હોવાથી,$\beta = 390 - 113 = 277$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha - \beta| = |113 - 277| = |-164| = 164$.

(C) આપેલ છે $n_{1} = 100$,$\bar{x}_{1} = 15$,$\sigma_{1} = 3$.
કુલ વસ્તુઓ $n = 250$,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 15.6$,સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^{2} = 13.44$.
$n = n_{1} + n_{2}$ હોવાથી,$n_{2} = 250 - 100 = 150$.
સંયુક્ત મધ્યકના સૂત્ર $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15.6 = \frac{100(15) + 150(\bar{x}_{2})}{250}$ $\Rightarrow 3900 = 1500 + 150\bar{x}_{2}$ $\Rightarrow 150\bar{x}_{2} = 2400$ $\Rightarrow \bar{x}_{2} = 16$.
સંયુક્ત વિચરણના સૂત્ર $\sigma^{2} = \frac{n_{1}(\sigma_{1}^{2} + d_{1}^{2}) + n_{2}(\sigma_{2}^{2} + d_{2}^{2})}{n_{1} + n_{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $d_{1} = \bar{x}_{1} - \bar{x} = 15 - 15.6 = -0.6$ અને $d_{2} = \bar{x}_{2} - \bar{x} = 16 - 15.6 = 0.4$:
$13.44 = \frac{100(3^{2} + (-0.6)^{2}) + 150(\sigma_{2}^{2} + (0.4)^{2})}{250}$.
$13.44 \times 250 = 100(9 + 0.36) + 150(\sigma_{2}^{2} + 0.16)$.
$3360 = 936 + 150\sigma_{2}^{2} + 24$.
$3360 = 960 + 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow 2400 = 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow \sigma_{2}^{2} = 16$.
આમ,$\sigma_{2} = 4$.