Word problem -Statistics Questions in Gujarati

(B) ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
હવે,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$.
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 20$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\Sigma f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$.
$2x^2 + 2x - 4 = 20$ $\Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0$ $\Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(x+4)(x-3) = 0$.
$x \in R^{+} \cup \{0\}$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
હવે,$x=3$ માટે આવૃત્તિઓ ગણતા:
ગુણ $2$: $(3+1)^2 = 16$.
ગુણ $3$: $2(3)-5 = 1$.
ગુણ $5$: $3^2-3(3) = 0$.
ગુણ $7$: $3$.
સરવાળો: $16+1+0+3 = 20$. સાચું છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20} = \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$.

(C) આપેલ છે,$\text{Mean} = 5$ અને $\text{S.D.} = 2$.
માહિતી $3, 5, 7, a, b$ માટે $n=5$ છે:
$\text{Mean} = \frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$
$\Rightarrow 15+a+b = 25$
$\Rightarrow a+b = 10$ ... $(i)$
વિચરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\text{Var} = \text{S.D.}^2 = 2^2 = 4$:
$\text{Var} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{Mean})^2$
$4 = \frac{3^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{5} - 5^2$
$4 = \frac{9+25+49+a^2+b^2}{5} - 25$
$29 = \frac{83+a^2+b^2}{5}$
$145 = 83 + a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 = 62$ ... $(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
$10^2 = 62 + 2ab$
$100 - 62 = 2ab$
$38 = 2ab \Rightarrow ab = 19$.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 10x + 19 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 5, \sigma_1^2 = 4, \overline{x}_1 = 2$ અને $n_2 = 5, \sigma_2^2 = 5, \overline{x}_2 = 4$.
સંયુક્ત મધ્યક $\overline{x}_c = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{5 + 5} = \frac{30}{10} = 3$.
વિચલન ગણતરી: $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}_c = 2 - 3 = -1$ અને $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}_c = 4 - 3 = 1$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{5(4 + (-1)^2) + 5(5 + 1^2)}{5 + 5} = \frac{5(5) + 5(6)}{10} = \frac{25 + 30}{10} = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 2, 6, a,$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 4$ અને $n = 5$.
$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 6 + a + b}{5} = 4$
$9 + a + b = 20 \implies a + b = 11 \implies b = 11 - a$ ... $(1)$
આપેલ છે કે વિચરણ $\sigma^2 = 5.2$.
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 5.2$
$\frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (6-4)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2}{5} = 5.2$
$(-3)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$9 + 4 + 4 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$17 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$(a-4)^2 + (b-4)^2 = 9$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માં $b = 11 - a$ મૂકતા:
$(a-4)^2 + (11 - a - 4)^2 = 9$
$(a-4)^2 + (7 - a)^2 = 9$
$(a^2 - 8a + 16) + (49 - 14a + a^2) = 9$
$2a^2 - 22a + 65 = 9$
$2a^2 - 22a + 56 = 0$
$a^2 - 11a + 28 = 0$
$(a-4)(a-7) = 0$
તેથી,$a = 4$ અથવા $a = 7$.
જો $a = 4$ હોય,તો $b = 11 - 4 = 7$.
જો $a = 7$ હોય,તો $b = 11 - 7 = 4$.
આમ,બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $7$ છે.

(B) આપેલ છે: મધ્યક $\bar{x} = 16$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 16$.
ધારો કે $y_i = x_i - 5$.
નવા અવલોકનો $y_i$ નો મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} - 5 = 16 - 5 = 11$ થશે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાંથી અચળ સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી,તેથી $\sigma_y = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma_y^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $16^2 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 11^2$.
$256 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 121$.
$\frac{\sum (x_i-5)^2}{50} = 256 + 121 = 377$.
આમ,$(x_i-5)^2$ નો મધ્યક $377$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n=50$,$\bar{x}=16$,અને $\sigma_x^2=256$.
સૂત્ર $\sigma_x^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 256 \implies \frac{1}{50} \sum x_i^2 = 512 \implies \sum x_i^2 = 25600$.
આપણે $(x_i-5)^2$ નો મધ્યક શોધવો છે,જે $\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} (x_i-5)^2$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum (x_i^2 - 10x_i + 25) = \sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25$.
$\bar{x} = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$ હોવાથી,$\sum x_i = 50 \times 16 = 800$.
તેથી,$\sum (x_i-5)^2 = 25600 - 10(800) + 50(25) = 25600 - 8000 + 1250 = 18850$.
માગેલ મધ્યક $= \frac{18850}{50} = 377$.

(A) વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
બીજા વિતરણ માટે: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.86$.
આમ,મધ્યક $35$ અને $22.86$ છે.

(A) વિચલન ગુણાંક $( CV )$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 $
જ્યાં $ \sigma $ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $ \bar{x} $ એ મધ્યક છે.
અહીં $ CV = 60 $ અને $ \sigma = 24 $ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$ 60 = \frac{24}{\bar{x}} \times 100 $
$ 60 = \frac{2400}{\bar{x}} $
$ \bar{x} = \frac{2400}{60} $
$ \bar{x} = 40 $
તેથી,મધ્યક $ 40 $ છે.

(D) ધારો કે $n_1 = 15$,$\bar{x} = 2$,અને $\sigma_x^2 = 4$. અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n_1 \bar{x} = 15 \times 2 = 30$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = n_1(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 15(4 + 2^2) = 15(8) = 120$ છે.
ધારો કે $n_2 = 10$,$\bar{y} = 2$,અને $\sigma_y^2 = 5$. અવલોકનોનો સરવાળો $\sum y_i = n_2 \bar{y} = 10 \times 2 = 20$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $\sum y_i^2 = n_2(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 10(5 + 2^2) = 10(9) = 90$ છે.
કુલ $N = n_1 + n_2 = 25$ અવલોકનો માટે,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{z} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{n_1 + n_2} = \frac{30 + 20}{25} = \frac{50}{25} = 2$ છે.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{n_1 + n_2} - \bar{z}^2 = \frac{120 + 90}{25} - 2^2 = \frac{210}{25} - 4 = 8.4 - 4 = 4.4$ છે.

(B) આપેલ છે $\sum_{i=1}^{11}(x_i-4)=22$.
$11$ વડે ભાગતા,આપણને $\bar{x}-4 = \frac{22}{11} = 2$ મળે,તેથી $\bar{x} = \alpha = 6$.
હવે,વિચરણ $\beta = \frac{1}{n} \sum (x_i-\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x}=6$ હોવાથી,$x_i-\bar{x} = x_i-6 = (x_i-4)-2$.
તેથી,$\sum (x_i-6)^2 = \sum ((x_i-4)-2)^2 = \sum (x_i-4)^2 - 4\sum (x_i-4) + \sum 4$.
કિંમતો મૂકતા: $154 - 4(22) + 11(4) = 154 - 88 + 44 = 110$.
તેથી,$\beta = \frac{110}{11} = 10$.
બીજ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ અને $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{34}{15}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$.
સમીકરણ $x^2 - \frac{34}{15}x + 1 = 0$ છે,જે $15x^2 - 34x + 15 = 0$ માં પરિણમે છે.

(A) માહિતીનો વિસ્તાર એ સૌથી મોટી કિંમત અને સૌથી નાની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ માહિતી: $35, 12, 21, 24, 15, 7, 16, 12, 30, 32, 13, 17$.
સૌથી મોટી કિંમત = $35$.
સૌથી નાની કિંમત = $7$.
વિસ્તાર = $\text{સૌથી મોટી કિંમત} - \text{સૌથી નાની કિંમત} = 35 - 7 = 28$.

(C) કુલ આવૃત્તિ $120$ આપેલ છે. તેથી,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$f_1 + f_2 + 68 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (સમીકરણ $1$).
વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $10, 30, 50, 70, 90$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 50$ છે.
$\frac{17(10) + f_1(30) + 32(50) + f_2(70) + 19(90)}{120} = 50$.
$170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \implies 3f_1 + 7f_2 = 252$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$f_1 = 52 - f_2$. સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$.
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$.
$4f_2 = 96 \implies f_2 = 24$.
તેથી $f_1 = 52 - 24 = 28$.

(D) કુલ વેતન બિલ કામદારોની સંખ્યા અને સરેરાશ દૈનિક વેતનના ગુણાકાર તરીકે ગણવામાં આવે છે.
મિલ $A$ માટે:
કુલ વેતન બિલ $= 500 \times 186 = 93000$.
મિલ $B$ માટે:
કુલ વેતન બિલ $= 600 \times 175 = 105000$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$105000 > 93000$.
તેથી,મિલ $B$ નું વેતન બિલ મિલ $A$ કરતા વધારે છે.

(B) છોકરાઓની સંખ્યા $= 25$
છોકરાઓના ગુણનો મધ્યક $= 61$
છોકરીઓની સંખ્યા $= 35$
છોકરીઓના ગુણનો મધ્યક $= 58$
બધા $60$ વિદ્યાર્થીઓનો કુલ મધ્યક $= \frac{61 \times 25 + 35 \times 58}{60}$
$= \frac{1525 + 2030}{60} = \frac{3555}{60} = 59.25$

(A) ધારો કે વર્ગમાં છોકરાઓની સંખ્યા $m$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $n$ છે. આપેલી માહિતી મુજબ:
છોકરાઓના કુલ ગુણ $= 40m$
છોકરીઓના કુલ ગુણ $= 45n$
છોકરાઓ અને છોકરીઓના સંયુક્ત કુલ ગુણ $= 42(m + n)$
કુલ ગુણને સરખાવતા:
$40m + 45n = 42(m + n)$
$40m + 45n = 42m + 42n$
$3n = 2m$
$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$
વર્ગમાં છોકરાઓની ટકાવારી:
$\frac{m}{m + n} \times 100 = \frac{3}{3 + 2} \times 100$
$= \frac{3}{5} \times 100 = 60 \%$
તેથી,છોકરાઓની ટકાવારી $60 \%$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ સમાંતર મધ્યક છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \implies \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
બીજા વિતરણ માટે: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \implies \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.857$.
આમ,સમાંતર મધ્યકો $35$ અને આશરે $22.85$ છે.

(A) સુસંગતતા (consistency) એ વિચલન ગુણાંક $(CV)$ દ્વારા માપવામાં આવે છે. ઓછો $CV$ વધુ સુસંગતતા સૂચવે છે.
બેટ્સમેન $A$ એ $B$ કરતા વધુ સુસંગત છે,તેથી $CV_{A} < CV_{B}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\sigma_{A}}{\bar{x}} < \frac{\sigma_{B}}{\bar{y}}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ મળે છે.
કારણ કે $\sigma_{A}, \sigma_{B}, \bar{x}, \bar{y} > 0$,તેથી $0 < \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$.
$A$ વધુ રન બનાવનાર હોય તે માટે,$\bar{x} > \bar{y}$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\bar{x}}{\bar{y}} > 1$.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 4.4$ હોવાથી,$\frac{1+2+6+x+y}{5} = 4.4$ $\Rightarrow 9+x+y = 22$ $\Rightarrow x+y = 13 \dots (i)$.
વિચરણ $\sigma^2 = 8.24$ હોવાથી,$\frac{1}{5}(1^2+2^2+6^2+x^2+y^2) - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41+x^2+y^2}{5} = 27.6 \Rightarrow x^2+y^2 = 97 \dots (ii)$.
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ નો ઉપયોગ કરતા,$169 = 97+2xy \Rightarrow xy = 36$.
સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ઉકેલતા,$(t-9)(t-4) = 0$ મળે.
તેથી,બાકીના બે અવલોકનો $9$ અને $4$ છે.

(D) પદાવલિ $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ એ મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
જો આ સરવાળો લગભગ શૂન્ય હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે દરેક વ્યક્તિગત અવલોકન $x_i$ એ મધ્યક $\bar{x}$ ની ખૂબ નજીક હોવું જોઈએ.
પરિણામે,વિચરણ,જે આ સરવાળાના પ્રમાણમાં છે,તે ખૂબ નાનું છે,જે સૂચવે છે કે મધ્યકની આસપાસ ડેટા પોઈન્ટ્સના પ્રસારનું પ્રમાણ ઓછું છે.

(A) આપેલ માહિતી માટે મધ્યક અને મધ્યસ્થ અલગ અલગ કિંમતો ધરાવી શકે છે. તેથી,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન અને મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન હંમેશા સમાન હોતા નથી.

(C) ગણ $A$ માટે: $\text{મધ્યક} = \frac{\sum x_i}{5} = 2 \Rightarrow \sum x_i = 10$.
વિચરણ $= \frac{1}{5} \sum x_i^2 - (\text{મધ્યક})^2 = 4$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum x_i^2 - 4 = 4$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 40$.
ગણ $B$ માટે: $\text{મધ્યક} = \frac{\sum y_i}{5} = 4 \Rightarrow \sum y_i = 20$.
વિચરણ $= \frac{1}{5} \sum y_i^2 - (\text{મધ્યક})^2 = 5$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum y_i^2 - 16 = 5$ $\Rightarrow \sum y_i^2 = 105$.
$A \cup B$ માટે: કુલ ઘટકો $N = 10$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{10} = \frac{10 + 20}{10} = 3$.
સંયુક્ત વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{10} - (\bar{X})^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = 14.5 - 9 = 5.5$.

(C) આપેલ સંખ્યાઓનો સમૂહ: $2, 3, 2x, 11$. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 4$. પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ $3.5 = \frac{7}{2}$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 2x + 11}{4} = \frac{16 + 2x}{4} = \frac{8 + x}{2}$.
વિચરણ $(V)$ એ $V = (SD)^2 = (3.5)^2 = 12.25$ દ્વારા મળે છે.
વિચરણનું સૂત્ર $V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + (2x)^2 + 11^2 = 4 + 9 + 4x^2 + 121 = 134 + 4x^2$.
$12.25 = \frac{134 + 4x^2}{4} - \left(\frac{8 + x}{2}\right)^2$.
$12.25 = \frac{134 + 4x^2 - 64 - 16x - x^2}{4}$.
$49 = 3x^2 - 16x + 70$.
$3x^2 - 16x + 21 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 9x - 7x + 21 = 0$ ઉકેલતા:
$3x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$.
$(3x - 7)(x - 3) = 0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = \frac{7}{3}$.

(C) માહિતીનો વિસ્તાર એ મહત્તમ કિંમત અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ માહિતી: $15, 14, k, 25, 30, 35$.
વિસ્તાર $= 23$.
કિસ્સો $1$: જો $35$ એ મહત્તમ કિંમત હોય,તો ન્યૂનતમ કિંમત $35 - 23 = 12$ હોવી જોઈએ.
જો $k = 12$ હોય,તો માહિતી $12, 14, 15, 25, 30, 35$ બને છે. વિસ્તાર $35 - 12 = 23$ થાય છે. આ એક માન્ય કિસ્સો છે.
કિસ્સો $2$: જો $k$ એ મહત્તમ કિંમત હોય,તો $k - 14 = 23$,જે $k = 37$ આપે છે.
આપણે $k$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $12$ અને $37$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ ધન કિંમત $12$ મળે છે.

(B) આપેલ અવલોકનો $20, 28, 40, 12, 30, 15, 50$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે માહિતીના સમૂહમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો ઓળખીએ છીએ.
મહત્તમ મૂલ્ય $= 50$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $= 12$.
વિસ્તાર $= \text{મહત્તમ મૂલ્ય} - \text{ન્યૂનતમ મૂલ્ય}$.
વિસ્તાર $= 50 - 12 = 38$.

(C) આપેલ છે કે $n=100$,$\bar{x}_1=40$,અને $\sigma_1=15$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n \times \bar{x}_1 = 100 \times 40 = 4000$ છે.
સુધારેલ સરવાળો $\sum x_i^{\prime} = 4000 - 30 - 60 + 40 + 50 = 4000$ છે.
આમ,સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}_2 = \frac{4000}{100} = 40$ છે.
તેથી,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$.
હવે,$\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2$ $\Rightarrow 225 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 182500$.
વર્ગોનો સુધારેલ સરવાળો $\sum x_i^{\prime 2} = 182500 - 30^2 - 60^2 + 40^2 + 50^2 = 182100$ છે.
સુધારેલ વિચરણ $\sigma_2^2 = \frac{182100}{100} - (40)^2 = 1821 - 1600 = 221$ છે.
કારણ કે $\sigma_1^2 = 225$ અને $\sigma_2^2 = 221$,તેથી $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma_1 > \sigma_2$.
તેથી,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ અને $\sigma_1 > \sigma_2$.

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. આપેલ છે કે $x_1=1, x_2=3, x_3=4$. બાકીના બે $a$ અને $b$ ધારો.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+4+a+b}{5} = 4 \implies 8+a+b = 20 \implies a+b = 12$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4$.
$\frac{1^2+3^2+4^2+a^2+b^2}{5} - 16 = 4 \implies \frac{26+a^2+b^2}{5} = 20$.
$26+a^2+b^2 = 100 \implies a^2+b^2 = 74$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.
$12^2 = 74+2ab \implies 144 = 74+2ab$.
$2ab = 70 \implies ab = 35$.

(A) અંકગણિતીય મધ્યક $\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$ છે.
$a + b + 23 = 30$,તેથી $a + b = 7$.
વિચરણ $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 6.8$ છે.
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$.
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$.
$a^2 + b^2 + 189 = 214$,તેથી $a^2 + b^2 = 25$.
$a + b = 7$ હોવાથી,$b = 7 - a$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $a^2 + (7 - a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0$.
$a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a - 3)(a - 4) = 0$.
તેથી,$a = 3$ અથવા $a = 4$.
જો $a = 3$,તો $b = 4$. જો $a = 4$,તો $b = 3$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(3, 4)$ અથવા $(4, 3)$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 4)$ સાચો જવાબ છે.

(C) વિચલનાંક $(CV)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$: $35, 45, 55, 65, 75, 85$
આવૃત્તિઓ $(f_i)$: $17, 28, 21, 15, 13, 6$
કુલ આવૃત્તિ $(N = \sum f_i)$ = $100$
$(f_i x_i)$ નો સરવાળો: $5470$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{5470}{100} = 54.7$
આપેલ પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $14.72$
$CV = \frac{14.72}{54.7} \times 100 \approx 26.91$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2(1+2+\dots+n)}{n} = \frac{2 \times n(n+1)}{2n} = n+1$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2i)^2 - (n+1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sigma^2 = \frac{4}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1)^2 = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - (n+1)^2$.
$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2-3n-3}{3} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
$n=20$ માટે,મધ્યક $20+1 = 21$ છે.
વિચરણ $\frac{20^2-1}{3} = \frac{399}{3} = 133$ છે.
તફાવત $133 - 21 = 112$ છે.
આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે કે મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $n\bar{x}^2$ છે.
વિચલનોના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = n\bar{x}^2$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = n\bar{x}^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$ મળે.
કારણ કે $\sum x_i = n\bar{x}$,તેથી કિંમત મૂકતા: $\sum x_i^2 - 2\bar{x}(n\bar{x}) + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
$\sum x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
તેથી,$\sum_{i=1}^n x_i^2 = 2n\bar{x}^2$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4(1) + 24(3) + 28(5) + 16(7) + 8(9)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{400}{80} = 5$ શોધીએ છીએ.
ત્યારબાદ,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{128}{80} = \frac{8}{5} = 1.6$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{2352}{80} - 25 = 29.4 - 25 = 4.4 = \frac{22}{5}$.
અંતે,$m + \sigma^2 = \frac{8}{5} + \frac{22}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

(D) આપેલ છે: $n_1 = 20, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1^2 = 9$ અને $n_2 = 30, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2^2 = 16$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{20 \times 25 + 30 \times 10}{20 + 30} = \frac{500 + 300}{50} = \frac{800}{50} = 16$.
ધારો કે $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$ અને $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{20(9 + 9^2) + 30(16 + (-6)^2)}{20 + 30} = \frac{20(9 + 81) + 30(16 + 36)}{50} = \frac{20(90) + 30(52)}{50} = \frac{1800 + 1560}{50} = \frac{3360}{50} = 67.2$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ અને $\sum_{i=1}^n x_i = 80$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ વડે ગુણતા ($n > 0$ હોવાથી):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq 16$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $16$ છે.

(A) આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 5, 8, 12$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+5+8+12}{5} = \frac{30}{5} = 6$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(2-6)^2 + (3-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (12-6)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{16 + 9 + 1 + 4 + 36}{5} = \frac{66}{5} = 13.2$
માહિતી $2, 3, 5, 8, 12$ નો મધ્યસ્થ $m = 5$ છે.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - m|}{n} = \frac{|2-5| + |3-5| + |5-5| + |8-5| + |12-5|}{5}$
$M = \frac{3 + 2 + 0 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,$\sigma^2 - M = 13.2 - 3 = 10.2$.

(D) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 40$,$\sigma = 5.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{વિચરણ} = \sigma^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 1626.01$.
$\sum x_i^2 = 162601$ (આ ખોટો વર્ગોનો સરવાળો છે).
સાચો વર્ગોનો સરવાળો મેળવવા માટે,આપણે ખોટા અવલોકનનો વર્ગ બાદ કરીશું અને સાચા અવલોકનનો વર્ગ ઉમેરીશું:
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600$.
$\text{સાચો } \sum x_i^2 = 161701$.

(C) આપેલ છે કે $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ઋણ સંખ્યાઓ છે જે ચડતા ક્રમમાં છે.
પ્રથમ પદ $x_1$ અને છેલ્લા પદ $x_n$ ની નિશાની બદલતા,નવો ક્રમ $-x_1, x_2, \ldots, -x_n$ બને છે.
અહીં સૌથી મોટી કિંમત $-x_1$ છે અને સૌથી નાની કિંમત $x_2$ છે.
તેથી,વિસ્તાર $= (-x_1) - x_2 = |x_1| - x_2$.

(A) વિધાન $(I)$: વિસ્તાર એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવલોકનો વચ્ચેનો તફાવત છે. મધ્યવર્તી અવલોકનો મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યોને અસર કરતા નથી,તેથી વિસ્તાર બદલાતો નથી. આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: સરેરાશ વિચલનનો એક જાણીતો ગુણધર્મ એ છે કે તે મધ્યસ્થની સાપેક્ષે લેવામાં આવે ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે. આમ,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
વિધાન $(III)$: વર્ગીકૃત માહિતી માટે,વિસ્તાર એ સૌથી મોટા વર્ગની ઉપલી સીમા અને સૌથી નાના વર્ગની નીચલી સીમા વચ્ચેનો તફાવત છે. આપેલ વિધાનમાં આ ઉલટાવી દેવામાં આવ્યું છે,તેથી તે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $I$ અને $II$ સાચા છે પરંતુ વિધાન $III$ ખોટું છે.

(C) આપેલ માહિતી $50, 70, 60, B, 20, 40$ છે. વિસ્તાર એટલે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત,જે $65$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $B$ મહત્તમ કિંમત હોય,તો $B - 20 = 65$,જેનો અર્થ છે કે $B = 85$.
કિસ્સો $2$: જો $B$ ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $70 - B = 65$,જેનો અર્થ છે કે $B = 5$.
$B$ માટે શક્ય કિંમતો $85$ અને $5$ છે.
આ કિંમતોનો તફાવત $|85 - 5| = 80$ થાય.

(A) ચલનાંક $(CV)$ ની વ્યાખ્યા $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
સમૂહ $A$ એ સમૂહ $B$ કરતા વધુ સુસંગત હોવા માટે,$A$ નો ચલનાંક એ $B$ ના ચલનાંક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
તેથી,$CV_A < CV_B$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sigma_A}{\bar{x}} < \frac{\sigma_B}{\bar{y}}$.
અહીં $\sigma_A = 2$ અને $\sigma_B = 3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{\bar{x}} < \frac{3}{\bar{y}}$.
અસમતાને $\frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{\bar{y}}{\bar{x}} < \frac{3}{2}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ પાંચ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $(\alpha) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$.
વિચરણ $(\beta) = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2}{5} - (5.6)^2 = \frac{4 + 9 + 25 + 49 + 121}{5} - 31.36 = \frac{208}{5} - 31.36 = 41.6 - 31.36 = 10.24$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (2.72, 10.24)$ છે.

(B) આપેલ છે,$n = 100$,$\bar{x} = 40$,અને $\sigma = 5.1$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(5.1)^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\sum x_i^2 = (26.01 + 1600) \times 100 = 162601$.
આ સરવાળામાં ખોટું અવલોકન $50$ સામેલ છે. સાચો સરવાળો મેળવવા માટે,આપણે ખોટા અવલોકનનો વર્ગ બાદ કરીશું અને સાચા અવલોકનનો વર્ગ ઉમેરીશું:
સાચું $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
સાચું $\sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.

(B) ધારો કે $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 10$,અને $\sigma_1 = 2$ એ પ્રથમ જૂથના પરિમાણો છે. ધારો કે $n_2 = 50$,$\bar{x}_2$,અને $\sigma_2$ એ બીજા જૂથના પરિમાણો છે. કુલ અવલોકનો $N = 100$ છે,જેનો મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{10.5}$ છે.
પ્રથમ,બીજા જૂથનો મધ્યક શોધો:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} \implies 8 = \frac{50(10) + 50(\bar{x}_2)}{100} \implies 800 = 500 + 50\bar{x}_2 \implies \bar{x}_2 = 6$.
ત્યારબાદ,સંયુક્ત વિચરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$,જ્યાં $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 10 - 8 = 2$ અને $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 6 - 8 = -2$.
$10.5 = \frac{50(2^2 + 2^2) + 50(\sigma_2^2 + (-2)^2)}{100}$
$10.5 = \frac{50(8) + 50(\sigma_2^2 + 4)}{100} = \frac{400 + 50\sigma_2^2 + 200}{100}$
$1050 = 600 + 50\sigma_2^2$
$50\sigma_2^2 = 450 \implies \sigma_2^2 = 9 \implies \sigma_2 = 3$.

(C) $(a) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}) = \sum x_i - \sum \bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. તેથી,$(a)-(iii)$.
$(b) \text{ વિચરણ } (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$,જે મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો મધ્યક છે. તેથી,$(b)-(v)$.
$(c) \text{ સરેરાશ વિચલન} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - A|$,જ્યાં $A$ એ મધ્યવર્તી સ્થિતિનું માપ છે. તેથી,$(c)-(iv)$.
$(d) \text{ વિચલનનો સહગુણક} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જે બે શ્રેણીઓની સમાનતાની સરખામણી કરવા માટે વપરાય છે. તેથી,$(d)-(ii)$.
આમ,સાચી જોડ $a-(iii), b-(v), c-(iv), d-(ii)$ છે.

(D) ધારો કે $\bar{x}_1$ અને $\bar{x}_2$ એ બે વિતરણોના મધ્યક છે અને $\sigma_1^2$ અને $\sigma_2^2$ એ તેમના વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1^2 = 144$ અને $\sigma_2^2 = 64$,તેથી $\sigma_1 = 12$ અને $\sigma_2 = 8$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$.
બીજા વિતરણ માટે: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$.
સમાંતર મધ્યકોનો મધ્યક $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ થાય.

(D) ધારો કે $\bar{x}_1$ અને $\bar{x}_2$ એ બે વિતરણોના મધ્યક છે અને $\sigma_1^2$ અને $\sigma_2^2$ એ તેમના વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1^2 = 144$ અને $\sigma_2^2 = 64$.
તેથી,$\sigma_1 = \sqrt{144} = 12$ અને $\sigma_2 = \sqrt{64} = 8$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$.
બીજા વિતરણ માટે: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$.
તેમના સમાંતર મધ્યકોનો મધ્યક $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ થાય.

(D) આપેલ માહિતી $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|}{9} = \frac{10+8+6+4+0+2+6+8+12}{9} = \frac{56}{9}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(-10)^2 + (-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 12^2}{9} = \frac{100 + 64 + 36 + 16 + 0 + 4 + 36 + 64 + 144}{9} = \frac{464}{9}$.
હવે,$3(\sigma^2 - M) = 3 \left( \frac{464}{9} - \frac{56}{9} \right) = 3 \left( \frac{408}{9} \right) = \frac{408}{3} = 136$.

(A) ધારો કે બંને વિતરણોનો સમાન મધ્યક $\bar{x}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ અને $B$ માટે વિચલન ગુણાંક $(CV)$ અનુક્રમે $6$ અને $2$ છે.
વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
વિતરણ $A$ માટે: $\frac{\sigma_A}{\bar{x}} \times 100 = 6 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_A}{6}$.
વિતરણ $B$ માટે: $\frac{\sigma_B}{\bar{x}} \times 100 = 2 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\bar{x}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{100 \sigma_A}{6} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{6} = \frac{\sigma_B}{2}$.
$\sigma_A = \frac{6}{2} \sigma_B$.
$\sigma_A = 3 \sigma_B$.

(C) ધારો કે જોખમનું સ્તર વધારવા માટે શહેરની વસ્તીની ન્યૂનતમ ટકાવારી જે બીમાર પડે તે $x \%$ છે.
આપેલ છે કે બીમાર વ્યક્તિને $ICU$ માં દાખલ કરવાની સંભાવના $10 \%$ છે.
તેથી,શહેરની કોઈપણ વ્યક્તિને $ICU$ માં દાખલ થવાની સંભાવના $10 \% \text{ of } x \%$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે જો આ સંભાવના $5 \%$ થી વધી જાય તો જોખમનું સ્તર વધારવામાં આવે છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ બનાવીએ: $\frac{10}{100} \times x = 5$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $0.1x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{0.1} = 50$.
આમ,જોખમનું સ્તર વધારવા માટે વસ્તીના ઓછામાં ઓછા $50 \%$ લોકો બીમાર પડવા જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.