એક વિદ્યાર્થીએ $100$ અવલોકનોનો મધ્યક $40$ અને પ્રમાણિત વિચલન $5.1$ મેળવ્યા છે, પરંતુ એણે ભૂલથી એક અવલોકન $40$ ને બદલે $50$ લઈ લીધું હતું, તો સાચો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શું છે?
Given that number of observations $(n)=100$
$\text { Incorrect mean }(\bar{x})=40$
Incorrect standard deviation $(\sigma)=5.1$
We know that $\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $
i.e. $40 = \frac{1}{{100}}\sum\limits_{i = 1}^{100} {{x_i}} $ or $\sum\limits_{i = 1}^{100} {{x_i}} = 4000$
i.e., Incorrect sum of observations $=4000$
Thus the correct sum of observations $=$ Incorrect sum $-50+40$
$=4000-50+40=3990$
Hence Correct mean $=\frac{\text { correct sum }}{100}=\frac{3990}{100}=39.9$
Also Standard deviation $\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{1}{{{n^2}}}{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}} } $
$ = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {\bar x} \right)}^2}} } $
i.e. $5.1 = \sqrt {\frac{1}{{100}} \times Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {40} \right)}^2}} } $
or $26.01 = \frac{1}{{100}} \times Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - 1600} $
Therefore $Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 = 100\left( {26.01 + 1600} \right) = 162601} $
Now $Correct\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} = Incorrect\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - {{\left( {50} \right)}^2} + {{\left( {40} \right)}^2}} $
$=162601-2500+1600=161701$
Therefore Correct standard deviation
$=\sqrt{\frac{\text { Correct } \sum x_{i}^{2}}{n}-(\text { Correct mean })^{2}}$
$=\sqrt{\frac{161701}{100}-(39.9)^{2}}$
$=\sqrt{1617.01-1592.01}=\sqrt{25}=5$
$5$ અવલોકન વાળી માહિતીનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $5$ અને $8$ છે. જો $3$ અવલોકનો $1,3,5$ હોય તો બાકીના બે અવલોકનોનો ઘનનો સરવાળો મેળવો.
ધારો કે $a_1, a_2, \ldots a_{10}$ એવા $10$ અવલોકનો છે કે જેથી $\sum_{k=1}^{10} a_k=50$ અને $\sum_{k < j} a_k \cdot a_j=1100$, તો $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ નું પ્રમાણિત વિચલન ....................છે.
જો આપેલ આવૃતિ વિતરણનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $9$ અને$15.08$ છે તો $\alpha^2+\beta^2-\alpha \beta$ ની કિમંત મેળવો.
$x_i$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ |
$f_i$ | $4$ | $4$ | $\alpha$ | $15$ | $8$ | $\beta$ | $4$ | $5$ |
નીચે આપેલ માહિતી માટે પ્રમાણિત વિચલન શોધો :
${x_i}$ | $3$ | $8$ | $13$ | $18$ | $25$ |
${f_i}$ | $7$ | $10$ | $15$ | $10$ | $6$ |
સંખ્યાઓ $3, 4, 5, 6, 7 $ નું સરેરાશ વિચલન શોધો.