Word problem -Statistics Questions in Gujarati

(C) કુલ આવૃત્તિ $N = 4 + 4 + \alpha + \beta = 8 + \alpha + \beta$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 6$ છે.
$\frac{4(2) + 4(6) + \alpha(8) + \beta(9)}{8 + \alpha + \beta} = 6$
$8 + 24 + 8\alpha + 9\beta = 48 + 6\alpha + 6\beta$
$2\alpha + 3\beta = 16 \quad \dots (i)$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 6.8$ છે.
$\frac{16 + 144 + 64\alpha + 81\beta}{8 + \alpha + \beta} = 42.8$
$160 + 64\alpha + 81\beta = 342.4 + 42.8\alpha + 42.8\beta$
$21.2\alpha + 38.2\beta = 182.4$
સમીકરણો ઉકેલતા,$\alpha = 5$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
કુલ આવૃત્તિ $N = 15$ છે.
જ્યારે $x_3$ ને $8$ થી બદલીને $7$ કરવામાં આવે ત્યારે નવો સરવાળો $= 90 - (8 \times 5) + (7 \times 5) = 85$ થાય છે.
નવો મધ્યક $= \frac{85}{15} = \frac{17}{3}$.

(C) ધારો કે $n = 50$. ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 15$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$ છે.
ખોટા અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = 50 \times 15 = 750$.
ધારો કે ખોટું અવલોકન $x_1$ છે અને સાચું અવલોકન $x_1'$ છે.
આપેલ છે કે $x_1 + x_1' = 70$ અને સાચો મધ્યક $\bar{x}' = 16$.
સાચા અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i' = 50 \times 16 = 800$.
તેથી,$x_1' - x_1 = \sum x_i' - \sum x_i = 800 - 750 = 50$.
$x_1' + x_1 = 70$ અને $x_1' - x_1 = 50$ ઉકેલતા,આપણને $x_1' = 60$ અને $x_1 = 10$ મળે છે.
ખોટું વિચરણ $\sigma^2 = 4 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ $\Rightarrow 4 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 225$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 50 \times 229 = 11450$.
બાકીના $49$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum_{i=2}^{50} x_i^2 = 11450 - x_1^2 = 11450 - 100 = 11350$.
સાચા વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i'^2 = 11350 + (x_1')^2 = 11350 + 3600 = 14950$.
સાચું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{14950}{50} - 16^2 = 299 - 256 = 43$.

(A) મધ્યક $\bar{x} = 6$ હોવાથી,$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$,તેથી $a+b = 7$.
વિચરણ $\sigma^{2} = 6.8$ હોવાથી,$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.8$.
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 21 = 34 \Rightarrow (a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$b = 7-a$ મૂકતા,$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
તેથી $a=4, b=3$ અથવા $a=3, b=4$.
સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|a-6| + |b-6| + 2 + 1 + 4}{5} = \frac{3 + 2 + 7}{5} = \frac{12}{5}$.
તેથી $25M = 25 \times \frac{12}{5} = 60$.

(B) આપેલ માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = 6$ છે:
$\frac{4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + x + y}{8} = 6$
$36 + x + y = 48 \Rightarrow x + y = 12$ $(1)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{9}{4}$ છે:
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{9}{4}$
$\frac{4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + x^{2} + y^{2}}{8} - 36 = \frac{9}{4}$
$\frac{226 + x^{2} + y^{2}}{8} = 38.25$
$226 + x^{2} + y^{2} = 306 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 80$ $(2)$
$(1)$ પરથી $y = 12 - x$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^{2} + (12 - x)^{2} = 80$
$2x^{2} - 24x + 64 = 0 \Rightarrow x^{2} - 12x + 32 = 0$
$(x - 4)(x - 8) = 0$
$x < y$ હોવાથી,$x = 4$ અને $y = 8$ મળે.
$x^{4} + y^{2} = 4^{4} + 8^{2} = 256 + 64 = 320$.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 7$,મધ્યક $\bar{x} = 62$,અને વિચરણ $\sigma^2 = 20$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2$.
$\sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2 = 20 \times 7 = 140$.
જો વિદ્યાર્થી $x_i < 50$ ગુણ મેળવે તો તે નાપાસ થાય છે. ધારો કે $k$ વિદ્યાર્થીઓ નાપાસ થાય છે. આ વિદ્યાર્થીઓ માટે,$x_i \le 49$.
જો કોઈ વિદ્યાર્થી નાપાસ થાય,તો વર્ગોના સરવાળામાં ન્યૂનતમ ફાળો $(49 - 62)^2 = (-13)^2 = 169$ થાય.
કુલ સરવાળો માત્ર $140$ હોવાથી,અને $169 > 140$ હોવાથી,$62$ ના મધ્યક અને $20$ ના વિચરણ સાથે એક પણ વિદ્યાર્થી $50$ થી ઓછા ગુણ મેળવી શકે નહીં.
તેથી,નાપાસ થઈ શકે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ માહિતી: $3, 7, 12, a, 43-a$. મધ્યક $\bar{x} = 13$.
અવલોકનોનો સરવાળો $= 3 + 7 + 12 + a + 43 - a = 65$.
મધ્યક $= \frac{65}{5} = 13$ (ચકાસાયેલ).
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{3^2 + 7^2 + 12^2 + a^2 + (43-a)^2}{5} - 13^2$.
$\sigma^2 = \frac{2a^2 - 86a + 1206}{5}$.
વિચરણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવા માટે,$2a^2 - 86a + 1206$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$2a^2 - a + 1 \equiv 0 \pmod{5}$.
$a \pmod{5}$ ની કિંમતો તપાસતા,કોઈ પણ કિંમત માટે આ શરત સંતોષાતી નથી.
તેથી,$a$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) $5$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_{i}}{5} = \frac{24}{5}$ હોવાથી,$\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ થાય.
વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - (\bar{x})^{2} = \frac{194}{25}$ છે.
$\bar{x} = \frac{24}{5}$ મૂકતા,$\frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - \frac{576}{25} = \frac{194}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$,તેથી $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = 154$ થાય.
પ્રથમ $4$ અવલોકનો માટે,મધ્યક $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 14$ થાય.
$\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ હોવાથી,$x_{5} = 24 - 14 = 10$ મળે.
પ્રથમ $4$ અવલોકનોનું વિચરણ $a = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - \frac{49}{4}$ છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} = 4a + 49$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} + x_{5}^{2} = 154$.
કિંમતો મૂકતા: $(4a + 49) + 10^{2} = 154$.
$4a + 49 + 100 = 154$ $\Rightarrow 4a + 149 = 154$ $\Rightarrow 4a = 5$.
અંતે,$4a + x_{5} = 5 + 10 = 15$ થાય.

(A) આપેલ છે,$n = 40$,$\mu = 30$,અને $\sigma = 5$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = 40 \times 30 = 1200$.
વિચરણ $\sigma^2 = 25$,તેથી $\frac{\sum x_i^2}{40} - (30)^2 = 25$.
$\sum x_i^2 = 40 \times (900 + 25) = 40 \times 925 = 37000$.
$10$ અને $12$ અવલોકનોને દૂર કર્યા પછી,અવલોકનોની નવી સંખ્યા $n' = 38$.
નવો સરવાળો $\sum x_i' = 1200 - 10 - 12 = 1178$.
નવો મધ્યક $\mu' = \frac{1178}{38} = 31$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum (x_i')^2 = 37000 - 10^2 - 12^2 = 37000 - 100 - 144 = 36756$.
નવું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{n'} - (\mu')^2 = \frac{36756}{38} - (31)^2$.
$38$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $38 \sigma^2 = 36756 - 38 \times 961 = 36756 - 36518 = 238$.

(D) આપેલ છે કે $n = 20$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 15$ અને વિચરણ $\sigma^{2} = 9$ છે.
$\sum x_{i} = 15 \times 20 = 300$
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} \Rightarrow 9 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{20} - 225$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{20} = 234 \Rightarrow \sum x_{i}^{2} = 4680$
હવે,$(x_{i} + \alpha)^{2}$ નો મધ્યક $178$ છે:
$\frac{1}{20} \sum (x_{i} + \alpha)^{2} = 178$
$\sum (x_{i}^{2} + 2\alpha x_{i} + \alpha^{2}) = 178 \times 20 = 3560$
$\sum x_{i}^{2} + 2\alpha \sum x_{i} + 20\alpha^{2} = 3560$
$4680 + 2\alpha(300) + 20\alpha^{2} = 3560$
$20\alpha^{2} + 600\alpha + 1120 = 0$
$20$ વડે ભાગતા:
$\alpha^{2} + 30\alpha + 56 = 0$
$(\alpha + 28)(\alpha + 2) = 0$
તેથી,$\alpha = -28$ અથવા $\alpha = -2$.
$\alpha$ ની મહત્તમ કિંમત $-2$ છે.
મહત્તમ કિંમતનો વર્ગ $(-2)^{2} = 4$ થાય.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.
નવી યાદી માટે,મધ્યક $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$.
હવે,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ અને $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\hat{\mu} = \mu$ હોવાથી,આપણે $\sum x_i^2$ અને $\sum y_i^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$.
આમ,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,તેથી $\sigma \geq \hat{\sigma}$.

(A) મૂળ યાદી $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નો મધ્યક $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ છે.
નવી યાદી $y_1=0, y_2=x_2, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_n=x_1+x_n$ છે.
નવી યાદીનો મધ્યક $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (0 + x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_1 + x_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \mu$.
હવે,વર્ગોનો સરવાળો $\sum y_i^2 = 0^2 + x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + (x_1+x_n)^2$ ધ્યાનમાં લો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\sum y_i^2 = x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + x_1^2 + x_n^2 + 2x_1x_n = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2x_1x_n$.
કારણ કે $x_1 > 0$ અને $x_n > 0$,તેથી $2x_1x_n > 0$,તેથી $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ અને $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\hat{\mu} = \mu$ અને $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$,તેથી $\hat{\sigma}^2 > \sigma^2$,જેનો અર્થ છે કે $\hat{\sigma} > \sigma$.
આમ,$\mu = \hat{\mu}$ અને $\sigma < \hat{\sigma}$,જે $\sigma \leq \hat{\sigma}$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 50$.
સરેરાશ ગુણ $\bar{x} = 47.5$.
બધા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 50 \times 47.5 = 2375$.
ધારો કે $k$ એવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે સરેરાશ $(47.5)$ કરતા વધુ ગુણ મેળવ્યા છે. ગુણ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ વિદ્યાર્થીઓએ ઓછામાં ઓછા $48$ ગુણ મેળવ્યા હશે.
બાકીના $(50 - k)$ વિદ્યાર્થીઓએ ઓછામાં ઓછા $0$ ગુણ મેળવ્યા છે તેમ ધારીએ.
$k$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે આ $k$ વિદ્યાર્થીઓએ સરેરાશ કરતા વધુમાં વધુ ઓછા ગુણ એટલે કે $48$ મેળવ્યા છે.
તેથી,$48k + (50 - k) \times 0 \leq 2375$.
$48k \leq 2375$.
$k \leq \frac{2375}{48} \approx 49.479$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k$ ની મહત્તમ કિંમત $49$ છે.

(A) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $B$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $G$ છે.
છોકરાઓના કુલ ગુણ $= Bx$.
છોકરીઓના કુલ ગુણ $= Gy$.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= B + G$.
આપેલ છે કે બધા વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ ગુણ $z$ છે,તેથી:
$\frac{Bx + Gy}{B + G} = z$
$Bx + Gy = z(B + G)$
$B(x - z) = G(z - y)$
$\frac{G}{B} = \frac{x - z}{z - y} = \frac{z - x}{y - z}$
આપણે છોકરીઓની સંખ્યાનો કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{G}{B + G}$ છે.
$\frac{G}{B + G} = \frac{1}{\frac{B}{G} + 1} = \frac{1}{\frac{z - x}{y - z} + 1} = \frac{z - x}{y - x}$.

(C) ધારો કે બે ગામોમાં લોકોની સંખ્યા અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે,$x$ લોકોની સરેરાશ આવક $P$ છે અને $y$ લોકોની સરેરાશ આવક $Q$ છે.
તેથી,બે ગામોમાં લોકોની કુલ આવક અનુક્રમે $Px$ અને $Qy$ છે.
$I$ આવક ધરાવતી એક વ્યક્તિ પ્રથમ ગામમાંથી બીજા ગામમાં જાય છે.
ત્યારે,પ્રથમ ગામમાં લોકોની સંખ્યા $x-1$ અને બીજા ગામમાં $y+1$ થાય છે.
નવી સરેરાશ આવક $P^{\prime} = \frac{Px - I}{x-1}$ અને $Q^{\prime} = \frac{Qy + I}{y+1}$ છે.
જો $P^{\prime} = P$ હોય,તો $Px - I = P(x-1) = Px - P$,જેનો અર્થ છે કે $I = P$.
જો $Q^{\prime} = Q$ હોય,તો $Qy + I = Q(y+1) = Qy + Q$,જેનો અર્થ છે કે $I = Q$.
કારણ કે $P \neq Q$,વ્યક્તિ પાસે એવી આવક $I$ ન હોઈ શકે કે જેથી $P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ બંને એકસાથે થાય.
આમ,$P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ ની સ્થિતિ અશક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $S_1$ એ પ્રથમ જૂથની કુલ આવક છે (પગાર $< ₹ 10,000$) અને $S_2$ એ બીજા જૂથની કુલ આવક છે (પગાર $> ₹ 10,000$).
આપેલ છે કે $S_1 < S_2$.
ધારો કે $N_1$ અને $N_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા જૂથમાં લોકોની સંખ્યા છે.
પ્રારંભિક કુલ આવક $S_{total} = S_1 + S_2$ છે.
ફેરફાર પછી નવી કુલ આવક $S'_{total} = S_1(1 + 0.05) + S_2(1 - 0.05) = 1.05 S_1 + 0.95 S_2$ છે.
કુલ આવકમાં ફેરફાર $\Delta S = S'_{total} - S_{total} = (1.05 S_1 + 0.95 S_2) - (S_1 + S_2) = 0.05 S_1 - 0.05 S_2 = 0.05(S_1 - S_2)$ છે.
કારણ કે $S_1 < S_2$,તેથી $S_1 - S_2 < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\Delta S < 0$.
તેથી,કુલ આવક ઘટે છે,અને પરિણામે,તમામ લોકોની સરેરાશ આવક ઘટે છે.

(C) પ્રથમ $n$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૂર્ણાંક $k$ ને ભૂંસી નાખ્યા પછી,બાકી રહેલી $(n-1)$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2} - k$ થાય છે.
બાકી રહેલી સંખ્યાઓની સરેરાશ $16$ આપેલી છે,તેથી:
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - k}{n-1} = 16$
$n(n+1) - 2k = 32(n-1)$
$n^2 + n - 2k = 32n - 32$
$2k = n^2 - 31n + 32$
$k = \frac{n^2 - 31n + 32}{2}$
$1 < k < n$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 < \frac{n^2 - 31n + 32}{2} < n$
$k < n$ પરથી: $n^2 - 31n + 32 < 2n \implies n^2 - 33n + 32 < 0 \implies (n-32)(n-1) < 0$. $n \geq 3$ હોવાથી,$n < 32$ મળે.
$k > 1$ પરથી: $n^2 - 31n + 32 > 2 \implies n^2 - 31n + 30 > 0 \implies (n-30)(n-1) > 0$. $n \geq 3$ હોવાથી,$n > 30$ મળે.
આમ,$n = 31$ હોવું જોઈએ.
$k$ ના સમીકરણમાં $n = 31$ મૂકતા:
$k = \frac{31^2 - 31(31) + 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
તેથી,$n + k = 31 + 16 = 47$.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n$ છે. પ્રારંભિક મધ્યક $\bar{x} = 10$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 4$ છે.
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 10 \implies \sum x_i = 10n$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{n} - 100 = 4 \implies \sum x_i^2 = 104n$.
જ્યારે એક વિદ્યાર્થીના ગુણ $8$ થી બદલાઈને $12$ થાય છે,ત્યારે ગુણનો નવો સરવાળો $\sum x_i' = 10n - 8 + 12 = 10n + 4$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\frac{10n + 4}{n} = 10.2 \implies 10n + 4 = 10.2n \implies 0.2n = 4 \implies n = 20$.
હવે,વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum x_i'^2 = \sum x_i^2 - 8^2 + 12^2 = 104(20) - 64 + 144 = 2080 + 80 = 2160$ છે.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2 = 108 - 104.04 = 3.96$ છે.

(A) સમૂહ $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{11+41}{2} = 26$ (સભ્યોની સંખ્યા $n_1 = 31$).
સમૂહ $Y$ નો મધ્યક $\bar{y} = \frac{61+91}{2} = 76$ (સભ્યોની સંખ્યા $n_2 = 31$).
સંયુક્ત મધ્યક $\mu = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{31(26) + 31(76)}{62} = \frac{26+76}{2} = 51$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n_1+n_2} \left( \sum_{i=1}^{31} (x_i - \mu)^2 + \sum_{j=1}^{31} (y_j - \mu)^2 \right)$.
સમૂહ $X$ માટે,$\sum (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=11}^{41} (i - 51)^2 = 21855$.
તે જ રીતે,સમૂહ $Y$ માટે,$\sum (y_j - \mu)^2 = 21855$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{21855 + 21855}{62} = 705$.
અંતે,$|\bar{x} + \bar{y} - \sigma^2| = |26 + 76 - 705| = 603$.

(D) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_7$ છે. આપેલ છે કે $\bar{x} = 8$ અને $\sigma^2 = 16$.
$\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i}{7} = 8 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i = 56$.
જો એક અવલોકન $14$ ને દૂર કરવામાં આવે,તો બાકીના $6$ અવલોકનોનો સરવાળો $56 - 14 = 42$ થાય.
તેથી,નવો મધ્યક $a = \frac{42}{6} = 7$.
આપેલ છે કે $\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i^2}{7} - (8)^2 = 16 \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
તેથી,$\sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 80 \times 7 = 560$.
બાકીના $6$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $560 - (14)^2 = 560 - 196 = 364$ થાય.
નવું વિચરણ $b = \frac{\sum_{i=1}^{6} x_i^2}{6} - a^2 = \frac{364}{6} - (7)^2 = \frac{364}{6} - 49 = \frac{364 - 294}{6} = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}$.
હવે,$a + 3b - 5 = 7 + 3 \times (\frac{35}{3}) - 5 = 7 + 35 - 5 = 37$.

(A) ધારો કે $A = 5$. આપણે $d_i = x_i - A$ અને જરૂરી સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ)
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 45 + \alpha$.
સરવાળો $\sum f_i d_i = 0$.
સરવાળો $\sum f_i d_i^2 = 150$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2 = 3$.
$\frac{150}{45 + \alpha} - 0 = 3$.
$150 = 3(45 + \alpha) \Rightarrow 150 = 135 + 3\alpha$.
$3\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = 5$.

(A) વર્ગ $A$ માટે: $n_1 = 100, \overline{x}_1 = 40, \sigma_1 = \alpha$. વિચરણ $\sigma_1^2 = \alpha^2$.
વર્ગ $B$ માટે: $n_2 = n, \overline{x}_2 = 55, \sigma_2 = 30-\alpha$. વિચરણ $\sigma_2^2 = (30-\alpha)^2$.
સંયુક્ત મધ્યક $\overline{x} = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1+n_2} = 50$.
$\frac{100(40) + n(55)}{100+n} = 50 \implies 4000 + 55n = 5000 + 50n \implies 5n = 1000 \implies n = 200$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1+n_2}$,જ્યાં $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x} = -10$ અને $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x} = 5$.
$350 = \frac{100(\alpha^2 + 100) + 200((30-\alpha)^2 + 25)}{300}$.
$1050 = \alpha^2 + 100 + 2(925 - 60\alpha + \alpha^2) = 3\alpha^2 - 120\alpha + 1950$.
$3\alpha^2 - 120\alpha + 900 = 0 \implies \alpha^2 - 40\alpha + 300 = 0$.
$\alpha = 10$ અથવા $\alpha = 30$. $\alpha = 10$ લેતા,$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 = 100 + 400 = 500$.

(A) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 3, 5, a, b$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 5$ હોવાથી,$\frac{1+3+5+a+b}{5} = 5$.
$9 + a + b = 25 \implies a + b = 16$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 8$ હોવાથી,$\frac{1^2+3^2+5^2+a^2+b^2}{5} - (5)^2 = 8$.
$\frac{1+9+25+a^2+b^2}{5} = 33$.
$35 + a^2 + b^2 = 165 \implies a^2 + b^2 = 130$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ હોવાથી,$16^2 = 130 + 2ab$.
$256 = 130 + 2ab \implies 2ab = 126 \implies ab = 63$.
$a$ અને $b$ એ $x^2 - 16x + 63 = 0$ ના બીજ છે.
$(x-7)(x-9) = 0$,તેથી બાકીના અવલોકનો $7$ અને $9$ છે.
ઘનનો સરવાળો $7^3 + 9^3 = 343 + 729 = 1072$ થાય.

(C) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક માટે,કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 4 + 4 + \alpha + 15 + 8 + \beta + 4 + 5 = 40 + \alpha + \beta$.
સરવાળો $\sum f_i x_i = (2 \times 4) + (4 \times 4) + (6 \times \alpha) + (8 \times 15) + (10 \times 8) + (12 \times \beta) + (14 \times 4) + (16 \times 5) = 360 + 6\alpha + 12\beta$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 9$ $\Rightarrow 360 + 6\alpha + 12\beta = 9(40 + \alpha + \beta)$ $\Rightarrow 3\beta = 3\alpha$ $\Rightarrow \alpha = \beta$.
$N = 40 + 2\alpha$ મળે.
સરવાળો $\sum f_i x_i^2 = 3904 + 180\alpha$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 15.08$ $\Rightarrow \frac{3904 + 180\alpha}{40 + 2\alpha} - 81 = 15.08$ $\Rightarrow \alpha = 5$.
તેથી $\beta = 5$.
$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 5^2 + 5^2 - (5 \times 5) = 25$.

(B) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $9$ આપેલ છે:
$\frac{x + y + 52}{8} = 9 \Rightarrow x + y = 20$
વિચરણ $9.25$ આપેલ છે:
$\frac{x^2 + y^2 + 504}{8} - 81 = 9.25 \Rightarrow x^2 + y^2 = 218$
$y = 20 - x$ મુકતા:
$x^2 + (20 - x)^2 = 218 \Rightarrow x^2 - 20x + 91 = 0$
$(x - 13)(x - 7) = 0$
$x > y$ હોવાથી $x = 13$ અને $y = 7$ મળે.
તેથી,$3x - 2y = 3(13) - 2(7) = 25$.

(C) આપેલ છે $n = 12$,$\bar{x} = \frac{9}{2}$,અને $\sigma^2 = 4$.
$\sum x = n \times \bar{x} = 12 \times \frac{9}{2} = 54$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies 4 = \frac{\sum x^2}{12} - (\frac{9}{2})^2$.
$\frac{\sum x^2}{12} = 4 + \frac{81}{4} = \frac{16 + 81}{4} = \frac{97}{4}$.
$\sum x^2 = 12 \times \frac{97}{4} = 3 \times 97 = 291$.
સાચો સરવાળો $\sum x_{\text{new}} = 54 - (9 + 10) + (7 + 14) = 54 - 19 + 21 = 56$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_{\text{new}}^2 = 291 - (9^2 + 10^2) + (7^2 + 14^2) = 291 - (81 + 100) + (49 + 196) = 291 - 181 + 245 = 355$.
સાચું વિચરણ $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{\text{new}}^2}{n} - (\frac{\sum x_{\text{new}}}{n})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{56}{12})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{355}{12} - \frac{196}{9}$.
$\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{355 \times 3 - 196 \times 4}{36} = \frac{1065 - 784}{36} = \frac{281}{36}$.
જેમ કે $m = 281$ અને $n = 36$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $m + n = 281 + 36 = 317$.

(B) ધારો કે $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$ અને $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$.
આપેલ છે,$\overline{A} = 5 \implies \sum a_i = 25$ અને $\overline{B} = 8 \implies \sum b_i = 40$.
વિચરણ $\sigma_A^2 = 12 \implies \frac{\sum a_i^2}{5} - 5^2 = 12 \implies \sum a_i^2 = 5(37) = 185$.
વિચરણ $\sigma_B^2 = 20 \implies \frac{\sum b_i^2}{5} - 8^2 = 20 \implies \sum b_i^2 = 5(84) = 420$.
ગણ $C$ માં $i=1$ થી $5$ માટે $a_i - 3$ અને $b_i + 2$ ઘટકો છે.
$C$ નો મધ્યક,$\overline{C} = \frac{\sum (a_i - 3) + \sum (b_i + 2)}{10} = \frac{(25 - 15) + (40 + 10)}{10} = \frac{60}{10} = 6$.
$C$ નું વિચરણ,$\sigma_C^2 = \frac{\sum (a_i - 3)^2 + \sum (b_i + 2)^2}{10} - (\overline{C})^2$.
$\sum (a_i - 3)^2 = \sum a_i^2 - 6\sum a_i + 45 = 185 - 6(25) + 45 = 80$.
$\sum (b_i + 2)^2 = \sum b_i^2 + 4\sum b_i + 20 = 420 + 4(40) + 20 = 600$.
$\sigma_C^2 = \frac{80 + 600}{10} - 6^2 = 68 - 36 = 32$.
મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $= 6 + 32 = 38$.

(C) આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 5$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 4 + 24 + 28 + \alpha + 8 = 64 + \alpha$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1(4) + 3(24) + 5(28) + 7(\alpha) + 9(8)}{64 + \alpha} = 5$.
$\frac{4 + 72 + 140 + 7\alpha + 72}{64 + \alpha} = 5 \Rightarrow 288 + 7\alpha = 320 + 5\alpha \Rightarrow 2\alpha = 32 \Rightarrow \alpha = 16$.
કુલ આવૃત્તિ $N = 64 + 16 = 80$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{4|1-5| + 24|3-5| + 28|5-5| + 16|7-5| + 8|9-5|}{80} = \frac{128}{80} = 1.6$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{4(1-5)^2 + 24(3-5)^2 + 28(5-5)^2 + 16(7-5)^2 + 8(9-5)^2}{80} = \frac{352}{80} = 4.4$.
તેથી,$\frac{3\alpha}{m + \sigma^2} = \frac{3(16)}{1.6 + 4.4} = \frac{48}{6} = 8$.

(B) આપેલ છે $n = 10$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 12$.
ગુણનો સરવાળો $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 50 = 500$.
સાચો સરવાળો $\sum x_{i, \text{correct}} = 500 - 45 - 50 + 20 + 25 = 450$.
સાચો મધ્યક $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{450}{10} = 45$.
વિચરણ $\sigma^2 = 144$,તેથી $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 144$.
$\sum x_i^2 = 10 \times (144 + 50^2) = 10 \times (144 + 2500) = 26440$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 26440 - 45^2 - 50^2 + 20^2 + 25^2 = 26440 - 2025 - 2500 + 400 + 625 = 22940$.
સાચું વિચરણ $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{22940}{10} - (45)^2 = 2294 - 2025 = 269$.

(A) ધારો કે ખોટો મધ્યક $\mu^{\prime}$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma^{\prime}$ છે.
આપણી પાસે $\mu^{\prime} = \frac{\Sigma x_i}{15} = 12 \Rightarrow \Sigma x_i = 180$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,સાચો $\Sigma x_i = 180 - 10 + 12 = 182$.
$\mu = \frac{182}{15}$.
વળી,$\sigma^{\prime} = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{15} - (12)^2} = 3$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x_i^2}{15} - 144 = 9$ $\Rightarrow \Sigma x_i^2 = 15 \times 153 = 2295$.
સાચો $\Sigma x_i^2 = 2295 - 10^2 + 12^2 = 2295 - 100 + 144 = 2339$.
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2 = \frac{2339}{15} - \left(\frac{182}{15}\right)^2$.
આપણે $15(\mu + \mu^2 + \sigma^2)$ શોધવાનું છે.
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2$ મૂકતા:
$15(\mu + \mu^2 + \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2) = 15(\mu + \frac{\Sigma x_i^2}{15}) = 15\mu + \Sigma x_i^2$.
$= 15 \times \frac{182}{15} + 2339 = 182 + 2339 = 2521$.

(C) આપેલ અવલોકનો: $125, 170, 190, 210, 230, a, b$. મધ્યસ્થ $170$ હોવાથી,આપણે તેને $125, a, b, 170, 190, 210, 230$ તરીકે ગોઠવીએ છીએ.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{|125-170| + |a-170| + |b-170| + |170-170| + |190-170| + |210-170| + |230-170|}{7} = \frac{205}{7}$.
ગણતરી કરતા $a+b = 130$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = 165$ મળે છે.
મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= 30$ થાય છે.

(A) અવલોકનો $-3, 4, 7, -6, a, b$ છે. $N = 6$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{-3 + 4 + 7 - 6 + a + b}{6} = 2 \implies a + b = 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\overline{x})^2 = 23$.
$\frac{9 + 16 + 49 + 36 + a^2 + b^2}{6} = 27 \implies a^2 + b^2 = 52$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો $4$ અને $6$ મળે છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{6} = \frac{5 + 2 + 5 + 8 + 2 + 4}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.

(C) આપેલ છે: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$S.D. = 2$.
$\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
સુધારેલ સરવાળો $\Sigma x_i = 200 - 8 + 12 = 204$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}' = \frac{204}{20} = 10.2$.
વિચરણ $= (S.D.)^2 = 2^2 = 4$.
વિચરણ $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ હોવાથી,$4 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{20} = 104 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 2080$.
સુધારેલ $\Sigma x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
સુધારેલ વિચરણ $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2$.
$= 108 - 104.04 = 3.96$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{3.96}$.

(D) આપેલ અવલોકનો $9, 25, a, b, c$ છે જ્યાં $a < b < c$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{9 + 25 + a + b + c}{5} = 18 \implies a + b + c = 56$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = 4 \implies |9-18| + |25-18| + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20$.
$9 + 7 + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20 \implies |a-18| + |b-18| + |c-18| = 4$.
વિચરણ $= \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{5} = \frac{136}{5} \implies (9-18)^2 + (25-18)^2 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136$.
$81 + 49 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136 \implies (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 6$.
ધારો કે $x = a-18, y = b-18, z = c-18$. તેથી $|x| + |y| + |z| = 4$ અને $x^2 + y^2 + z^2 = 6$.
$a < b < c$ હોવાથી $x < y < z$.
$x^2 + y^2 + z^2 = 6$ માટે પૂર્ણાંક ઉકેલો $\{-1, 1, 2\}$ મળે છે.
$a-18 = -1 \implies a = 17$.
$b-18 = 1 \implies b = 19$.
$c-18 = 2 \implies c = 20$.
$2a + b - c = 2(17) + 19 - 20 = 33$.

(A) પ્રથમ,$x_i$ ના ચડતા ક્રમમાં ડેટા ગોઠવો:
$x_i: 3, 4, 5, 8, 10, 11$
$f_i: 5, 4, 4, 2, 2, 3$
કુલ આવૃત્તિ $N = \Sigma f_i = 5 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 20$.
$(P)$ મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{(3 \times 5) + (4 \times 4) + (5 \times 4) + (8 \times 2) + (10 \times 2) + (11 \times 3)}{20} = \frac{15 + 16 + 20 + 16 + 20 + 33}{20} = \frac{120}{20} = 6$.
$(Q)$ મધ્યસ્થ: $N=20$ (બેકી) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $10^{th}$ અને $11^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે. સંચયી આવૃત્તિઓ $5, 9, 13, 15, 17, 20$ છે. $10^{th}$ અને $11^{th}$ બંને અવલોકનો $5$ મૂલ્યમાં આવે છે. તેથી,મધ્યસ્થ $= 5$.
$(R)$ મધ્યક વિશે સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 6|}{N} = \frac{5|3-6| + 4|4-6| + 4|5-6| + 2|8-6| + 2|10-6| + 3|11-6|}{20} = \frac{5(3) + 4(2) + 4(1) + 2(2) + 2(4) + 3(5)}{20} = \frac{15 + 8 + 4 + 4 + 8 + 15}{20} = \frac{54}{20} = 2.7$.
$(S)$ મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 5|}{N} = \frac{5|3-5| + 4|4-5| + 4|5-5| + 2|8-5| + 2|10-5| + 3|11-5|}{20} = \frac{10 + 4 + 0 + 6 + 10 + 18}{20} = \frac{48}{20} = 2.4$.
જોડકાં: $(P) \rightarrow 3, (Q) \rightarrow 2, (R) \rightarrow 4, (S) \rightarrow 5$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) જૂથબદ્ધ ડેટાના મધ્યસ્થ માટેનું સૂત્ર $\text{Median} = \ell + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$ છે.
આપેલ છે: $\text{Median} = 14$,$\ell = 12$,$h = 6$,$f = 12$,અને $F = 18$.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$14 = 12 + \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{12} \right) \times 6$
$14 - 12 = \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{2} \right)$
$2 = \frac{\frac{N}{2} - 18}{2}$
$4 = \frac{N}{2} - 18$
$22 = \frac{N}{2}$
$N = 44$.
આમ,વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $44$ છે.

(B) આપેલ માહિતી: $6, 4, a, 8, b, 12, 10, 13$. અવલોકનોની સંખ્યા $N = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+4+a+8+b+12+10+13}{8} = 9$.
$53 + a + b = 72 \Rightarrow a + b = 19$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 9.25 = \frac{37}{4}$.
$\frac{36+16+a^2+64+b^2+144+100+169}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{529 + a^2 + b^2}{8} = 81 + 9.25 = 90.25$.
$529 + a^2 + b^2 = 722 \Rightarrow a^2 + b^2 = 193$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$19^2 = 193 + 2ab$.
$361 = 193 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 168$ $\Rightarrow ab = 84$.
તેથી,$a + b + ab = 19 + 84 = 103$.

(D) આપેલ છે $n = 100$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 40$,ખોટું પ્રમાણિત વિચલન $s = 5.1$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $\sum x_i = 100 \times 40 = 4000$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $\sum x_i' = 4000 - 50 + 40 = 3990$.
સાચો મધ્યક $\mu = \frac{3990}{100} = 39.9$.
ખોટું વિચરણ $s^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
$s^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 40^2$.
$\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 100(1626.01) = 162601$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_i'^2 = 162601 - 50^2 + 40^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.
સાચું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{161701}{100} - (39.9)^2 = 1617.01 - 1592.01 = 25$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$10(\mu + \sigma) = 10(39.9 + 5) = 10(44.9) = 449$.

(C) આવૃત્તિઓનો સરવાળો $N = 5 + f_1 + f_2 + 2 + 1 + 1 + 3 = 19 \implies f_1 + f_2 = 7$.
મધ્યસ્થ $6$ હોવાથી,$x=6$ પર સંચયી આવૃત્તિ $N/2 = 9.5$ હોવી જોઈએ.
ક્રમબદ્ધ કિંમતો: $4(5), 5(f_1), 6(1), 8(f_2), 9(2), 11(3), 12(1)$.
સંચયી આવૃત્તિઓ: $5, 5+f_1, 6+f_1, 6+f_1+f_2, 8+f_1+f_2, 11+f_1+f_2, 12+f_1+f_2$.
મધ્યસ્થ $6$ માટે,$5+f_1 < 9.5$ અને $6+f_1 \ge 9.5 \implies f_1 \ge 3.5$.
વળી,$f_1+f_2=7$. કિંમતો ચકાસતા: જો $f_1=4, f_2=3$,તો $f_1+f_2=7$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{19} = \frac{4(5) + 5(4) + 6(1) + 8(3) + 9(2) + 11(3) + 12(1)}{19} = \frac{20+20+6+24+18+33+12}{19} = \frac{133}{19} = 7$.
$(P) \ 7f_1 + 9f_2 = 7(4) + 9(3) = 28 + 27 = 55$.
મધ્યક વિશે સરેરાશ વિચલન $\alpha = \frac{\sum f_i |x_i - 7|}{19} = \frac{5|4-7| + 4|5-7| + 1|6-7| + 3|8-7| + 2|9-7| + 3|11-7| + 1|12-7|}{19} = \frac{15+8+1+3+4+12+5}{19} = \frac{48}{19} \implies 19\alpha = 48$.
મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $\beta = \frac{\sum f_i |x_i - 6|}{19} = \frac{5|4-6| + 4|5-6| + 1|6-6| + 3|8-6| + 2|9-6| + 3|11-6| + 1|12-6|}{19} = \frac{10+4+0+6+6+15+6}{19} = \frac{47}{19} \implies 19\beta = 47$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{19} - (\bar{x})^2 = \frac{5(16) + 4(25) + 1(36) + 3(64) + 2(81) + 3(121) + 1(144)}{19} - 49 = \frac{80+100+36+192+162+363+144}{19} - 49 = \frac{1077}{19} - 49 = \frac{1077-931}{19} = \frac{146}{19} \implies 19\sigma^2 = 146$.
આમ,$(P)\rightarrow(5), (Q)\rightarrow(3), (R)\rightarrow(2), (S)\rightarrow(1)$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે વિદ્યાર્થીઓ $P, Q, R$ અનુક્રમે દાખલો ઉકેલે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{3}$,$P(E_3) = \frac{1}{4}$ છે.
દાખલો કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ દાખલો ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયત્ન કરતા હોવાથી,કોઈ પણ દાખલો ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c)$
$P(E_1^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(E_2^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(E_3^c) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી})$ છે.
$P(\text{ઉકેલાય}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) ધારો કે $n$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_n = n \bar{x}$ છે.
જ્યારે ત્રણ અવલોકનો $n+1, n-1, 2n-1$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $S_{new} = n \bar{x} + (n+1) + (n-1) + (2n-1) = n \bar{x} + 4n - 1$ થાય છે.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $n+3$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક સમાન રહે છે,તેથી:
$\bar{x} = \frac{n \bar{x} + 4n - 1}{n+3}$
બંને બાજુ $(n+3)$ વડે ગુણતા:
$\bar{x}(n+3) = n \bar{x} + 4n - 1$
$n \bar{x} + 3 \bar{x} = n \bar{x} + 4n - 1$
બંને બાજુથી $n \bar{x}$ બાદ કરતા:
$3 \bar{x} = 4n - 1$
$4n = 3 \bar{x} + 1$
$n = \frac{3 \bar{x} + 1}{4}$

(A) સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ $\Rightarrow a = 7-b$ $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = 6.8$ આપેલ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36$
$6.8 + 36 = \frac{a^2+b^2+189}{5}$
$42.8 \times 5 = a^2+b^2+189$
$214 = a^2+b^2+189 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ (ii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા:
$(7-b)^2 + b^2 = 25$
$49 - 14b + b^2 + b^2 = 25$
$2b^2 - 14b + 24 = 0$
$b^2 - 7b + 12 = 0$
$(b-3)(b-4) = 0$
તેથી,$b=3$ અથવા $b=4$.
જો $b=3$,તો $a=4$. જો $b=4$,તો $a=3$. આમ,$(a, b)$ ની જોડી $(3, 4)$ અથવા $(4, 3)$ છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ છે.
આપેલ છે કે $30$ થી વિચલનોનો સરવાળો $50$ છે,તેથી:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
હવે,મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(C) ધારો કે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $7$ અવલોકનોનો મધ્યક $8$ છે:
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42+x+y = 56$
$x+y = 14$ ... $(i)$
આપેલ છે કે વિચરણ $16$ છે:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2 = 16$
$\frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2 = 16$
$\frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7} = 16+64$
$460+x^2+y^2 = 7 \times 80 = 560$
$x^2+y^2 = 100$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$y = 14-x$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14-x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x-6)(x-8) = 0$
તેથી,$x=6$ અને $y=8$ (અથવા તેનાથી ઉલટું).
ગુણાકાર $6 \times 8 = 48$ થાય.

(B) ધારો કે બે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
$5$ અવલોકનોનો મધ્યક $4.4$ હોવાથી,અવલોકનોનો સરવાળો $5 \times 4.4 = 22$ થાય.
$1 + 2 + 6 + x + y = 22 \Rightarrow x + y = 13$.
વિચરણ $8.24$ આપેલ છે,તેથી સૂત્ર $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41 + x^2 + y^2}{5} = 27.60$.
$x^2 + y^2 = 97$.
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$ ઉકેલતા,$x^2 - 13x + 36 = 0$ મળે.
તેથી $x = 4$ અથવા $x = 9$.
બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n = 50$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 16$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 256$ છે.
$\text{મધ્યક} = \frac{\sum x_i}{n}$ $\Rightarrow 16 = \frac{\sum x_i}{50}$ $\Rightarrow \sum x_i = 800$.
$\text{વિચરણ} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - (16)^2$.
$256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 256$ $\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{50} = 512$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 25600$.
આપણે $(x_i - 5)^2$ નો મધ્યક શોધવો છે.
$\text{નવો મધ્યક} = \frac{\sum (x_i - 5)^2}{50} = \frac{\sum (x_i^2 - 10x_i + 25)}{50}$.
$= \frac{\sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25}{50} = \frac{25600 - 10(800) + 25(50)}{50}$.
$= \frac{25600 - 8000 + 1250}{50} = \frac{18850}{50} = 377$.

(A) ધારો કે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને $n = 7$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56 \Rightarrow x + y = 14 \dots (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$80 = \frac{460 + x^2 + y^2}{7} - 64$
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y = 14 - x$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$. તેથી $x = 6$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 6$ તો $y = 8$. જો $x = 8$ તો $y = 6$.
ગુણાકાર $xy = 48$.
ગુણાકારનું વર્ગમૂળ $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે: મૂળ મધ્યક $\bar{x} = 20$,મૂળ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$.
જો દરેક અવલોકન $x_i$ ને $y_i = p x_i - q$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવો મધ્યક $\bar{y} = p \bar{x} - q$ અને નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_y = |p| \sigma$ થાય.
નવો મધ્યક મૂળ મધ્યક કરતા અડધો છે: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$.
તેથી,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$.
નવું પ્રમાણિત વિચલન મૂળ પ્રમાણિત વિચલન કરતા અડધું છે: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $p = \frac{1}{2}$,તો $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$. આ $q \neq 0$ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = -\frac{1}{2}$,તો $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$.
આમ,$q = -20$.

(B) ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
હવે,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$.
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.