$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?

ધારોકે ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ અને $a_5$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.ધારોકે તેમના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{31}{10}$ અન $\frac{m}{n}$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.જો તેમના વ્યસ્ત નું મધ્યક $\frac{31}{40}$ અને $a_3+a_4+a_5=14$ હોય, તો $m+n=..........$

સમગુણોત્તર શ્રેણી $5,25,125, \ldots$ માટે $10$ મું પદ અને $n$ મું પદ શોધો. 

જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S$, ગુણાકાર $P$ અને પ્રથમ $n$ પદોનાં વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો $R$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$

સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે $p, q$ અને $s$ હોય, તો બતાવો કે $q^{2}=p s$