Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{1+ai}{b+i}\right| = 1$,તેથી $|1+ai| = |b+i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1+a^2 = b^2+1$,જે સૂચવે છે કે $a^2 = b^2$,તેથી $a = \pm b$.
$ab < 0$ હોવાથી,$b = -a$ મળે.
$a+ib$ એ $|z-1| = |2z|$ પર આવેલું હોવાથી,$|(a-1)+ib| = 2|a+ib|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a-1)^2 + b^2 = 4(a^2 + b^2)$.
$b^2 = a^2$ મુકતા,$(a-1)^2 + a^2 = 8a^2$.
$a^2 - 2a + 1 + a^2 = 8a^2 \Rightarrow 6a^2 + 2a - 1 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{6}$.
જો $a = \frac{\sqrt{7}-1}{6} \approx 0.27$ હોય,તો $[a] = 0$ અને $b = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
તેથી $\frac{1+[a]}{4b} = -\frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
જો $a = \frac{-1-\sqrt{7}}{6} \approx -0.607$ હોય,તો $[a] = -1$ અને $b = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$.
તેથી $\frac{1+[a]}{4b} = 0$.

(B) આપેલ છે $|z+2|=z+4(1+i)$,જ્યાં $z=\alpha+i\beta$.
$|\alpha+i\beta+2| = \alpha+i\beta+4+4i$.
$|(\alpha+2)+i\beta| = (\alpha+4)+i(\beta+4)$.
માનાંક વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,જમણી બાજુનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\beta+4=0 \implies \beta=-4$.
હવે,વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2} = \alpha+4$.
$\beta=-4$ મૂકતા:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+(-4)^2} = \alpha+4$.
$(\alpha+2)^2+16 = (\alpha+4)^2$.
$\alpha^2+4\alpha+4+16 = \alpha^2+8\alpha+16$.
$4\alpha = 4 \implies \alpha=1$.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=-4$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = 1-4 = -3$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = 1(-4) = -4$.
બીજ $S = -3$ અને $P = -4$ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.
$x^2 - (-3)x + (-4) = 0 \implies x^2+3x-4=0$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta}$.
$z$ ને શુદ્ધ કાલ્પનિક બનાવવા માટે, તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1+2i \sin \theta)(1+i \sin \theta)}{(1-i \sin \theta)(1+i \sin \theta)} = \frac{1 + i \sin \theta + 2i \sin \theta + 2i^2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = \frac{(1 - 2 \sin^2 \theta) + i(3 \sin \theta)}{1 + \sin^2 \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, $\operatorname{Re}(z) = 0$, તેથી $\frac{1 - 2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = 0$.
આનો અર્થ છે કે $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$, અથવા $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$, જેનો અર્થ છે $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં, $\theta$ માટેના ઉકેલો $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ થાય.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. પદ $\frac{2z - 3i}{2z + i}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
$w = \frac{2(x + iy) - 3i}{2(x + iy) + i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{2x + i(2y + 1)}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $2x - i(2y + 1)$ વડે ગુણતા:
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{4x^2 + (2y - 3)(2y + 1)}{4x^2 + (2y + 1)^2} = 0$ મળે.
આમ,$4x^2 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
આપેલ છે કે $x + y^2 = 0$,તેથી $x = -y^2$.
$x^2 = y^4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4y^4 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
આથી $4(y^4 + y^2 - y) = 3$.
તેથી,$y^4 + y^2 - y = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$, જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{z} = x - iy$ અને $\operatorname{Re}(\bar{z}) = x$.
આપેલ સમીકરણ: $x - iy = i(x^2 - y^2 + 2ixy + x) = i(x^2 - y^2 + x) - 2xy$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy \implies x(1 + 2y) = 0$
$-y = x^2 - y^2 + x$
કિસ્સો $1$: $x = 0$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-y = -y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0$. તેથી $y = 0$ અથવા $y = 1$.
ઉકેલો: $z_1 = 0 + 0i = 0$, $z_2 = 0 + i = i$.
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{1}{2}$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} = x^2 - \frac{1}{4} + x \implies x^2 + x - \frac{3}{4} = 0 \implies 4x^2 + 4x - 3 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(2x - 1)(2x + 3) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{3}{2}$.
ઉકેલો: $z_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$, $z_4 = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$.
દરેક માટે $|z|^2$ ની ગણતરી કરતા:
$|z_1|^2 = 0$, $|z_2|^2 = 1^2 = 1$, $|z_3|^2 = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$, $|z_4|^2 = (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
સરવાળો $= 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 1 + 3 = 4$.

(D) ધારો કે $z = 3 + iy$,તો $\bar{z} = 3 - iy$.
આપેલ પદાવલિમાં $z$ અને $\bar{z}$ ની કિંમત મૂકતા:
$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3 + iy)(3 - iy) = 2iy + (9 + y^2)$.
છેદ: $2 - 3(3 + iy) + 5(3 - iy) = 2 - 9 - 3iy + 15 - 5iy = 8 - 8iy = 8(1 - iy)$.
ધારો કે $w = \frac{9 + y^2 + 2iy}{8(1 - iy)}$.
$\operatorname{Re}(w)$ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $(1 + iy)$ વડે ગુણતા:
$w = \frac{(9 + y^2 + 2iy)(1 + iy)}{8(1 - iy)(1 + iy)} = \frac{9 + y^2 + i(9y + y^3) + 2iy - 2y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{9 - y^2 + i(11y + y^3)}{8(1 + y^2)}$.
$\operatorname{Re}(w) = \frac{9 - y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{1}{8} \left( \frac{10 - (1 + y^2)}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{10}{1 + y^2} - 1 \right)$.
કારણ કે $1 + y^2 \in [1, \infty)$,તેથી $\frac{1}{1 + y^2} \in (0, 1]$.
આમ,$\frac{10}{1 + y^2} \in (0, 10]$,અને $\frac{10}{1 + y^2} - 1 \in (-1, 9]$.
તેથી,$\operatorname{Re}(w) \in \left( -\frac{1}{8}, \frac{9}{8} \right]$.
અહીં $\alpha = -\frac{1}{8}$ અને $\beta = \frac{9}{8}$.
$24(\beta - \alpha) = 24 \left( \frac{9}{8} - (-\frac{1}{8}) \right) = 24 \left( \frac{10}{8} \right) = 30$.

(B) આપેલ છે કે $|z-z_0|^2=4$ અને $\alpha$ તેના પર છે,તેથી $|\alpha-z_0|^2=4$.
$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 - \alpha\bar{z}_0 - \bar{\alpha}z_0 + |z_0|^2 = 4$.
$z_0 = 1+i$ હોવાથી,$|z_0|^2 = 1^2+1^2 = 2$.
તેથી,$|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 4 - 2 = 2$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ એ $|z-z_0|^2=16$ પર છે,તેથી $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=16$.
$|\frac{1-\bar{\alpha}z_0}{\bar{\alpha}}|^2 = 16 \Rightarrow \frac{|1-\bar{\alpha}z_0|^2}{|\alpha|^2} = 16$.
$|1-\bar{\alpha}z_0|^2 = 16|\alpha|^2 \Rightarrow (1-\bar{\alpha}z_0)(1-\alpha\bar{z}_0) = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + |\alpha|^2|z_0|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + 2|\alpha|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 14|\alpha|^2$ ... $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) - (1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) = 2 - 14|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 - 1 = 2 - 14|\alpha|^2$.
$15|\alpha|^2 = 3 \Rightarrow |\alpha|^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$100|\alpha|^2 = 100 \times \frac{1}{5} = 20$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+2=0$ માટે, બીજ $\alpha, \beta = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ છે.
ચૂંક $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$ હોવાથી, $\alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ અને $\beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ મળે.
અહીં $\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha \beta = 2$ છે.
વળી, $\alpha^2 = \alpha - 2$.
તેથી $\alpha^4 = (\alpha-2)^2 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 = (\alpha-2) - 4\alpha + 4 = -3\alpha + 2$.
અને $\alpha^6 = \alpha^2 \cdot \alpha^4 = (\alpha-2)(-3\alpha+2) = -3\alpha^2 + 2\alpha + 6\alpha - 4 = -3(\alpha-2) + 8\alpha - 4 = 5\alpha + 2$.
તે જ રીતે, $\beta^4 = -3\beta + 2$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\alpha^6 + \alpha^4 + \beta^4 - 5\alpha^2$ માં મૂકતા:
$= (5\alpha + 2) + (-3\alpha + 2) + (-3\beta + 2) - 5(\alpha - 2)$
$= 5\alpha - 3\alpha - 3\beta + 6 - 5\alpha + 10$
$= -3\alpha - 3\beta + 16$
$= -3(\alpha + \beta) + 16$
$= -3(1) + 16 = 13$.

(B) પ્રથમ,$\alpha$ શોધો: $|1-i|^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{1^2+(-1)^2})^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{2})^x = 2^x$ $\Rightarrow 2^{x/2} = 2^x$. આનો અર્થ એ છે કે $x/2 = x$,તેથી $x=0$. આમ,$\alpha = 1$.
આગળ,$z$ ને સરળ બનાવો: $(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i$,તેથી $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$.
કૌંસની અંદર: $\frac{1-\sqrt{\pi}i}{\sqrt{\pi}+i} + \frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi}i} = -1-i$.
આમ,$z = \frac{\pi}{4}(-4)(-1-i) = \pi(1+i) = \pi + \pi i$.
$|z| = \pi\sqrt{2}$ અને $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.
$\beta = \frac{|z|}{\arg(z)} = 4\sqrt{2}$.
જો $\beta = 4$ લેવામાં આવે,તો $(1,4)$ થી રેખા $4x-3y-7=0$ નું અંતર $\frac{|4(1)-3(4)-7|}{5} = \frac{15}{5} = 3$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $z_1 + z_2 = 5$ અને $z_1^3 + z_2^3 = 20 + 15i$.
નિત્યસમ $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)^3 - 3z_1z_2(z_1 + z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 + 15i = (5)^3 - 3z_1z_2(5)$
$20 + 15i = 125 - 15z_1z_2$
$15z_1z_2 = 105 - 15i$
$z_1z_2 = 7 - i$
હવે,$z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1z_2 = 25 - 2(7 - i) = 11 + 2i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(z_1^2 + z_2^2)^2 = (11 + 2i)^2 = 117 + 44i$.
$z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2)^2 - 2(z_1z_2)^2 = 117 + 44i - 2(7 - i)^2 = 117 + 44i - 2(48 - 14i) = 21 + 72i$.
માનાંક $|z_1^4 + z_2^4| = \sqrt{21^2 + 72^2} = \sqrt{441 + 5184} = \sqrt{5625} = 75$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\bar{z} = x - iy$ અને $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
આપેલ સમીકરણ: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$.
$(x^2 - y^2 - 2ixy) + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $-2xy = 0 \implies x = 0$ અથવા $y = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $-y^2 + |y| = 0 \implies |y|^2 = |y|$. $z \neq 0$ હોવાથી,$|y| = 1$,તેથી $y = 1$ અથવા $y = -1$. આમ,$z_1 = i$ અને $z_2 = -i$.
કિસ્સો $2$: જો $y = 0$,તો $x^2 + |x| = 0 \implies |x|^2 + |x| = 0$. $|x| \geq 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $|x| = 0$,તેથી $x = 0$,જે $z = 0$ આપે છે (જે શૂન્યતર ઉકેલ નથી).
શૂન્યતર ઉકેલો $z_1 = i$ અને $z_2 = -i$ છે.
સરવાળો $\alpha = i + (-i) = 0$.
ગુણાકાર $\beta = i \times (-i) = -i^2 = 1$.
તેથી,$4(\alpha^2 + \beta^2) = 4(0^2 + 1^2) = 4(1) = 4$.

(C) વિધાન $I$:
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યાઓ $w_1, w_2$ માટે,$|w_1 + w_2| \leq |w_1| + |w_2|$.
ધારો કે $w_1 = \frac{z_1}{|z_1|}$ અને $w_2 = \frac{z_2}{|z_2|}$.
તો $|w_1| = |\frac{z_1}{|z_1|}| = 1$ અને $|w_2| = |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1$.
તેથી,$|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq |\frac{z_1}{|z_1|}| + |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ $(|z_1| + |z_2|)$ વડે ગુણતા,આપણને $(|z_1| + |z_2|)|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq 2(|z_1| + |z_2|)$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$:
આપેલ છે કે $\frac{a}{|y-z|} = \frac{b}{|z-x|} = \frac{c}{|x-y|} = k$ (જ્યાં $k > 0$).
તો $a = k|y-z|$,$b = k|z-x|$,$c = k|x-y|$.
પદ $S = \frac{a^2}{y-z} + \frac{b^2}{z-x} + \frac{c^2}{x-y}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $|w|^2 = w \bar{w}$,આપણી પાસે $a^2 = k^2|y-z|^2 = k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,$S = \frac{k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})}{y-z} + \frac{k^2(z-x)(\bar{z}-\bar{x})}{z-x} + \frac{k^2(x-y)(\bar{x}-\bar{y})}{x-y}$.
$S = k^2(\bar{y}-\bar{z} + \bar{z}-\bar{x} + \bar{x}-\bar{y}) = k^2(0) = 0$.
કારણ કે $0 \neq 1$,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $|z+2|=1$, તેથી આપણે $z+2 = \cos \theta + i \sin \theta$ લખી શકીએ.
તેથી $\frac{1}{z+2} = \cos \theta - i \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{z+1}{z+2} = \frac{z+2-1}{z+2} = 1 - \frac{1}{z+2} = 1 - (\cos \theta - i \sin \theta) = (1 - \cos \theta) + i \sin \theta$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right) = \frac{1}{5}$, તેથી $\sin \theta = \frac{1}{5}$.
હવે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, તેથી $\cos \theta = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
હવે, $\overline{z+2} = \overline{\cos \theta + i \sin \theta} = \cos \theta - i \sin \theta$.
તેથી, $\operatorname{Re}(\overline{z+2}) = \cos \theta$.
તેથી, $|\operatorname{Re}(\overline{z+2})| = |\cos \theta| = \left| \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5} \right| = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(B) આપેલ છે $a + 5b = 42$ જ્યાં $a, b \in N$.
$a = 42 - 5b$.
$b = 1$ માટે,$a = 37$.
$b = 2$ માટે,$a = 32$.
$b = 3$ માટે,$a = 27$.
$b = 4$ માટે,$a = 22$.
$b = 5$ માટે,$a = 17$.
$b = 6$ માટે,$a = 12$.
$b = 7$ માટે,$a = 7$.
$b = 8$ માટે,$a = 2$.
આમ,ગણ $R$ માં $8$ ઘટકો છે,તેથી $m = 8$.
આપણે $\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = x + iy$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n \geq 4$ માટે,$n!$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $i^{n!} = (i^4)^k = 1^k = 1$.
તેથી,$\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = (1 - i^{1!}) + (1 - i^{2!}) + (1 - i^{3!}) + 5(1 - 1)$.
$= (1 - i) + (1 - (-1)) + (1 - (-1)) + 0$.
$= 1 - i + 2 + 2 = 5 - i$.
$x + iy$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,$m + x + y = 8 + 5 - 1 = 12$.

(B) ધારો કે $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે, $Z$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, અથવા $Z + \overline{Z} = 0$.
$\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta} + \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = 0$
$(1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta) + (1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = 0$
$(1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) + (1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 0$
$2 - 4 \cos^2 \theta = 0$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in [-\pi, 2 \pi]$ માટે, $\theta$ ના મૂલ્યો $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$ થાય.

(A) આપેલ છે $A = \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta}$.
અંશમાંથી $281$ સામાન્ય લેતા: $A = \frac{281(7 + 6 i \sin \theta)}{7 - 3 i \cos \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(7 + 3 i \cos \theta)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$A = \frac{281(49 + 21 i \cos \theta + 42 i \sin \theta - 18 \sin \theta \cos \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta}$.
$A$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$21 \cos \theta + 42 \sin \theta = 0 \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$\sin 2 \theta = -\frac{4}{5}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આ કિંમતો $A$ ના વાસ્તવિક ભાગમાં મૂકતા:
$A = \frac{281(49 - 9 \sin 2 \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta} = \frac{281(49 + 36/5)}{49 + 36/5} = 281$.
આમ,એકમાત્ર ધન પૂર્ણાંક $n = 281$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ ...$(1)$
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા:
$|z|^3 + 2\bar{z}^2 + 4z - 8 = 0$ ...$(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2(z^2 - \bar{z}^2) + 4(\bar{z} - z) = 0$
$2(z - \bar{z})(z + \bar{z}) - 4(z - \bar{z}) = 0$
કારણ કે $\text{Im}(z) \neq 0$,તેથી $z - \bar{z} \neq 0$,તેથી $2(z + \bar{z}) - 4 = 0 \Rightarrow z + \bar{z} = 2$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
$x=1$ ને મૂળ સમીકરણ $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ માં મૂકતા:
$|z|^3 + 2(1+iy)^2 + 4(1-iy) - 8 = 0$
$|z|^3 + 2(1 - y^2 + 2iy) + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 + 2 - 2y^2 + 4iy + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 - 2y^2 - 2 = 0$
કારણ કે $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1 + y^2$,તેથી $|z|^3 = (1+y^2)^{3/2}$.
$(1+y^2)^{3/2} - 2(y^2 + 1) = 0$
$(1+y^2) [\sqrt{1+y^2} - 2] = 0$
કારણ કે $1+y^2 \neq 0$,તેથી $\sqrt{1+y^2} = 2 \Rightarrow |z| = 2$.
આમ,$|z|^2 = 4$.
$1 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}$.
$|z-\bar{z}|^2 = |2iy|^2 = 4y^2 = 4(3) = 12$.
$|z|^2 + |z+\bar{z}|^2 = 4 + |2|^2 = 4 + 4 = 8$.
$|z+1|^2 = |(1+iy)+1|^2 = |2+iy|^2 = 2^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$.
તેથી,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 3, S \rightarrow 5$.

(A) આપેલ છે કે $\omega = e^{i \pi / 3}$.
$|x|^2 = (a+b+c)(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = |a|^2+|b|^2+|c|^2 + (a\bar{b} + \bar{a}b) + (b\bar{c} + \bar{b}c) + (c\bar{a} + \bar{c}a)$.
$|y|^2 = (a+b\omega+c\omega^2)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}+\bar{c}\bar{\omega}^2)$.
$|z|^2 = (a+b\omega^2+c\omega)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}^2+\bar{c}\bar{\omega})$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા,એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મોને કારણે ક્રોસ પદો દૂર થાય છે અને પરિણામ $3(|a|^2+|b|^2+|c|^2)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2} = 3$.

(A) સંકર સંખ્યા $-1-i$ એ ત્રીજા ચરણમાં આવેલી છે. મુખ્ય કોણાંક $\arg(-1-i) = -\pi + \arctan(1) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ $FALSE$ છે.
$(B)$ $f(t) = \arg(-1+it)$. જ્યારે $t > 0$ હોય,ત્યારે $\arg(-1+it) = \pi - \arctan(t)$. જ્યારે $t < 0$ હોય,ત્યારે $\arg(-1+it) = -\pi + \arctan(|t|)$. $t \to 0$ માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત $-\pi$ છે અને જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત $\pi$ છે. તેથી,તે $t=0$ પર અસતત છે. વિધાન $(B)$ $FALSE$ છે.
$(C)$ કોણાંકના ગુણધર્મ મુજબ,$\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) + 2k\pi$. આ એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે. વિધાન $(C)$ $TRUE$ છે.
$(D)$ શરત $\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ સૂચવે છે કે બિંદુઓ $z, z_1, z_2, z_3$ એક વર્તુળ પર આવેલા છે. બિંદુપથ એક વર્તુળ છે,સીધી રેખા નથી. વિધાન $(D)$ $FALSE$ છે.
તેથી,ખોટા વિધાનો $(A), (B)$ અને $(D)$ છે.

(B) આપેલ છે $|z^2+z+1|=1$.
આને $|(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ અસમતા $|a+b| \leq |a| + |b|$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = |(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| \leq |z+\frac{1}{2}|^2 + \frac{3}{4}$,જે સૂચવે છે કે $|z+\frac{1}{2}|^2 \geq \frac{1}{4}$,તેથી $|z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
વળી,$|z^2+z| = |(z^2+z+1)-1| \leq |z^2+z+1| + |-1| = 1+1 = 2$.
કારણ કે $|z^2+z| = |z||z+1| \leq 2$,મોટા $|z|$ માટે,$|z|^2 \approx |z^2+z| \leq 2$,તેથી $|z| \leq 2$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
કારણ કે સમીકરણ $|z^2+z+1|=1$ એ સંકર સમતલમાં એક વક્ર દર્શાવે છે,ગણ $S$ અનંત છે,તેથી $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ છે।
કારણ કે $|z|^2 = z\bar{z}$, તેથી $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$.
કિસ્સો $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$. જોકે, $z = 0$ એ $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ અથવા $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી.
કિસ્સો $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$.
કારણ કે $z = x + iy$, તેથી $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ અને $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.
આમ, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$.
તેને $4i$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4ixy = 4i$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $xy = 1$ થાય છે.
આપણે $|z_1 - z_2|^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવાની જરૂર છે જ્યાં $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $x_1 > 0$ તથા $z_2 = x_2 + iy_2$ અને $x_2 < 0$ છે.
કારણ કે $xy = 1$, તેથી $y = 1/x$. આમ $z = x + i/x$.
$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$.
ધારો કે $x_1 = a > 0$ અને $x_2 = -b$ જ્યાં $b > 0$. તો $x_1x_2 = -ab$.
$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ, $(a + b)^2 \ge 4ab$. ઉપરાંત $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$.
તેથી $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$.

(B) આપેલ છે કે $z \neq \overline{z}$.
ધારો કે $\alpha = \frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2} = 1 + \frac{6z}{2-3z+4z^2}$.
જો $\alpha$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $\alpha = \overline{\alpha}$.
તેથી $\frac{z}{2-3z+4z^2} = \frac{\overline{z}}{2-3\overline{z}+4\overline{z}^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(z-\overline{z}) = 4z\overline{z}(z-\overline{z})$.
$z \neq \overline{z}$ હોવાથી,$4z\overline{z} = 2$.
તેથી $|z|^2 = z\overline{z} = 0.50$.

(C) આપેલ છે,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ મળે છે.
તેથી,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.
ધારો કે $z = x+iy$,તો $\bar{z} = x-iy$.
$\bar{z} = iz^2$ માં કિંમત મૂકતા,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.
$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.
કિસ્સો $I$: જો $x=0$,તો $y^2-y=0$,તેથી $y=0$ અથવા $y=1$. આનાથી $z=0$ અને $z=i$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $y=-\frac{1}{2}$,તો $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,તેથી $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આનાથી $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ અને $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ $4$ ભિન્ન ઉકેલો છે.

(A) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,તેથી $\bar{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$.
તેથી $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta$.
ધારો કે $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta = m$ અને $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta = -n$,જ્યાં $m, n \in \mathbb{Z}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.
તેથી $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,જે $m^2 + n^2 = 45$ છે. આ પૂર્ણાંક $m, n$ માટે શક્ય છે (દા.ત.,$6^2 + 3^2 = 45$).
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + c$ અને $f(1) = -9$,તેથી $1 + a + b + c = -9$,એટલે કે $a + b + c = -10$ $(1)$.
સમીકરણ $4x^3 + 3ax^2 + 2bx = 0$ નું એક બીજ $i\sqrt{3}$ છે. વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,$-i\sqrt{3}$ પણ બીજ થશે. ત્રીજું બીજ $0$ થશે કારણ કે અચળ પદ $0$ છે.
આમ,બીજ $0, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ છે.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\frac{2b}{4} = (i\sqrt{3})(-i\sqrt{3}) + 0 + 0 = 3$ થાય,તેથી $b = 6$.
બીજનો સરવાળો $-\frac{3a}{4} = 0 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3} = 0$ થાય,તેથી $a = 0$.
$a = 0$ અને $b = 6$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$0 + 6 + c = -10$,તેથી $c = -16$.
આમ,$f(x) = x^4 + 6x^2 - 16 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x^2 + 8)(x^2 - 2) = 0$,તેથી $x^2 = -8$ અને $x^2 = 2$.
બીજ $\alpha_1 = i\sqrt{8}, \alpha_2 = -i\sqrt{8}, \alpha_3 = \sqrt{2}, \alpha_4 = -\sqrt{2}$ છે.
માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો: $|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + |\alpha_4|^2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20$.

(D) આપેલ છે $z_1 = e^{-i\pi/4}, z_2 = 1, z_3 = e^{i\pi/4}$.
$|z|=1$ હોવાથી,$\bar{z} = 1/z$.
$z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1 = e^{-i\pi/4}(1) + 1(e^{-i\pi/4}) + e^{i\pi/4}(e^{i\pi/4}) = 2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2}$.
$2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2} = 2(\cos(\pi/4) - i\sin(\pi/4)) + i = 2(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) + i = \sqrt{2} - i\sqrt{2} + i = \sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})$.
તેનો વર્ગિત માનાંક $|\sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})|^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 = 2 + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 5 - 2\sqrt{2}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 5$ અને $\beta = -2$ મળે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2z^2 - 3z - 2i = 0$ છે.
$z$ વડે ભાગતા,આપણને $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,અથવા $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ અને $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$.
આમ,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$. તેવી જ રીતે,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$.
પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ ધ્યાનમાં લો.
નોંધો કે $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$.
તેથી,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$.
આને $E$ માં મૂકતા: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$.
તેથી $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ અને $\operatorname{Im}(E) = 9$.
જરૂરી કિંમત $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ છે.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $i^k$ નું મૂલ્ય માત્ર ચાર કિંમતોમાંથી એક હોઈ શકે: $\{i, -1, -i, 1\}$.
$k_1$ અને $k_2$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$(i^{k_1}, i^{k_2})$ માટે કુલ $4 \times 4 = 16$ શક્ય જોડ મળે.
આપણે $i^{k_1} + i^{k_2} \neq 0$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $1 - P(i^{k_1} + i^{k_2} = 0)$ ને સમાન છે.
શરત $i^{k_1} + i^{k_2} = 0$ નો અર્થ છે $i^{k_1} = -i^{k_2}$.
આ શરતનું પાલન કરતી શક્ય જોડ: $(i, -i), (-i, i), (1, -1), (-1, 1)$ છે.
આવી $4$ પ્રતિકૂળ સ્થિતિઓ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $16 - 4 = 12$ છે.
સંભાવના $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ થાય.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0$ છે. \\
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{(3-2 i)^2 - 4(1)(-(2 i-2))}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{9 - 4 - 12i + 8i - 8}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{-3 - 4i}}{2}$ \\
કારણ કે $-3-4i = 1^2 + (2i)^2 - 2(1)(2i) = (1-2i)^2$,તેથી: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm (1-2 i)}{2}$ \\
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3-2i + 1-2i}{2} = \frac{4-4i}{2} = 2-2i$. અહીં $\alpha=2, \beta=-2$. \\
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3-2i - (1-2i)}{2} = \frac{2}{2} = 1+0i$. અહીં $\gamma=1, \delta=0$. \\
આમ,$\alpha \gamma + \beta \delta = (2)(1) + (-2)(0) = 2+0 = 2$.

(A) આપેલ છે $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$. $|z|=1$ હોવાથી,$\overline{z} = \frac{1}{z}$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{2+k^2z}{k+\frac{1}{z}} = kz$ મળે.
$\frac{z(2+k^2z)}{kz+1} = kz \implies 2+k^2z = k^2z+k$.
તેથી $k=2$ મળે.
બિંદુ $k+ik^2 = 2+4i$ છે.
વર્તુળ $|z-(1+2i)|=1$ નું કેન્દ્ર $C(1,2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $P(2,4)$ થી કેન્દ્ર $C(1,2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળથી મહત્તમ અંતર $d+r = \sqrt{5}+1$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{z^2+3i}{z-2+i} = 2+3i$
બંને બાજુ $(z-2+i)$ વડે ગુણતા: $z^2+3i = (2+3i)(z-2+i)$
$z^2+3i = 2z - 4 + 2i + 3iz - 6i - 3$
$z^2 - z(2+3i) + 7 + 7i = 0$
ધારો કે $z_1$ અને $z_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. વીએટાના સૂત્રો મુજબ,$z_1+z_2 = 2+3i$ અને $z_1z_2 = 7+7i$.
આપણે $z^2$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $z_1^2 + z_2^2$ છે.
$z_1^2 + z_2^2 = (z_1+z_2)^2 - 2z_1z_2$
$z_1^2 + z_2^2 = (2+3i)^2 - 2(7+7i)$
$z_1^2 + z_2^2 = (4 - 9 + 12i) - 14 - 14i$
$z_1^2 + z_2^2 = -19 - 2i$

(B) આપેલ છે કે $\omega_1 = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta) + i(\sin \theta + 4 \cos \theta)$ અને $\omega_2 = (\sin \theta + 4 \cos \theta) + i(8 \sin \theta + 7 \cos \theta)$.
ધારો કે $x = 8 \sin \theta + 7 \cos \theta$ અને $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$.
તેથી $\omega_1 = x + iy$ અને $\omega_2 = y + ix$.
ગુણાકાર $\omega_1 \omega_2 = (x + iy)(y + ix) = xy + ix^2 + iy^2 + i^2yx = xy + i(x^2 + y^2) - xy = i(x^2 + y^2)$.
આમ,$\alpha = 0$ અને $\beta = x^2 + y^2$.
$\beta = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 65 \sin^2 \theta + 65 \cos^2 \theta + 120 \sin \theta \cos \theta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$.
તેથી $\alpha + \beta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$,મહત્તમ કિંમત $p = 125$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q = 5$.
તેથી $p + q = 125 + 5 = 130$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ હોવાથી,પદ $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ એ $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$.
આ $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ છે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,ધારો કે $n=3m$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,તેથી $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ નો ગુણક નથી).
જો $n = 3m+1$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,તેથી $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).
જો $n = 3m+2$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,તેથી $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.
$11 = 3(3) + 2$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $z = x+iy$. $|z|=1$ હોવાથી,$x^2+y^2=1$. $\frac{z-i}{z+i}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે તેનો અર્થ એ કે $\frac{z-i}{z+i} = \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2i(z+\bar{z}) = 0$ મળે,એટલે કે $x=0$. $|z|=1$ હોવાથી $y^2=1$,તેથી $z = \pm i$. પરંતુ $z \neq -i$ હોવાથી,માત્ર $z=i$ શક્ય છે. તેથી,$(S1)$ ખોટું છે.
$(S2)$ માટે: ધારો કે $w = \frac{z-1}{z+1}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે તેનો અર્થ $w + \bar{w} = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2|z|^2 - 2 = 0$ મળે,એટલે કે $|z|^2 = 1$. જે આપેલ શરત $|z|=1$ નું પાલન કરે છે. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0$ છે।
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(\cos \theta + 3i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2 \cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta + 3i \sin \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{2 \cos^2 \theta + 6i \cos \theta \sin \theta + i \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{(2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta \cos \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$ છે।
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + 10 \left(\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}\right) = 0$.
$\frac{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 20 \cos^2 \theta - 30 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = 0$.
$21 \cos^2 \theta - 21 \sin^2 \theta = 0 \implies 21 \cos(2\theta) = 0$.
તેથી, $\cos(2\theta) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
તેથી, $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
હવે $\sum \theta^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{5\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{7\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84 \pi^2}{16} = \frac{21 \pi^2}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1+i)^5(1-i)^7$
$= (1+i)^5(1-i)^5(1-i)^2$
$= [(1+i)(1-i)]^5(1-2i+i^2)$
$= (1-i^2)^5(1-2i-1)$
$= (1-(-1))^5(-2i)$
$= (2)^5(-2i)$
$= 32(-2i) = -64i$

(D) આપેલ છે $\frac{2z-n}{2z+n} = 2i-1$.
ધારો કે $2z = x+iy$. કારણ કે $\operatorname{Im}(z)=10$, તેથી $\operatorname{Im}(2z) = 20$. એટલે કે $2z = x+20i$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x+20i-n}{x+20i+n} = 2i-1$.
$(x-n)+20i = (2i-1)(x+n+20i)$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) + 40i^2 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) - 40 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = -(x+n+40) + i(2x+2n-20)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x-n = -(x+n+40) \implies x-n = -x-n-40 \implies 2x = -40 \implies x = -20$.
તેથી $2z = -20+20i$, એટલે કે $z = -10+10i$. આમ $\operatorname{Re}(z) = -10$.
કાલ્પનિક ભાગ: $20 = 2x+2n-20$.
$x=-20$ મૂકતા: $20 = 2(-20)+2n-20 \implies 20 = -40+2n-20 \implies 20 = 2n-60 \implies 2n = 80 \implies n = 40$.
તેથી, $n=40$ અને $\operatorname{Re}(z)=-10$.

(A) આપેલ છે કે $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $x+iy = (a+ib)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,$x+iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x+iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $x+iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x = a^3 - 3ab^2$ અને $y = 3a^2b - b^3$.
અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ અને $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$.
તેથી,$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (3a^2 - b^2) = a^2 - 3b^2 - 3a^2 + b^2 = -2a^2 - 2b^2 = -2(a^2+b^2)$.

(A) આપેલ છે $x = -2 - \sqrt{3} i$.
$x + 2 = -\sqrt{3} i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 2)^2 = (-\sqrt{3} i)^2$.
$x^2 + 4x + 4 = 3i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$x^2 + 4x + 4 = -3$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$.
હવે,$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41$ ને $x^2 + 4x + 7$ વડે ભાગતા:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 6$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$ મૂકતા:
$0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 6 = 6$.

(B) આપેલ છે $x = 1 + 2i$,તેથી $x - 1 = 2i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 1)^2 = (2i)^2$,જેનો અર્થ થાય છે $x^2 - 2x + 1 = -4$,અથવા $x^2 - 2x + 5 = 0$.
હવે,$x^3 + 7x^2 - x + 16$ ને $x^2 - 2x + 5$ વડે ભાગતા:
$x^3 + 7x^2 - x + 16 = (x^2 - 2x + 5)(x + 9) + (12x - 29)$.
કારણ કે $x^2 - 2x + 5 = 0$ છે,તેથી પદાવલિ $12x - 29$ માં પરિણમે છે.
$x = 1 + 2i$ મૂકતા:
$12(1 + 2i) - 29 = 12 + 24i - 29 = -17 + 24i$.

(D) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $z_1 = \overline{z_2}$ થાય.
અહીં $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ છે.
$z_2$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ થાય.
$z_1 = \overline{z_2}$ માટે,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ હોવું જોઈએ.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1$) $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$2$) $\cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
$x$ ની આ બંને શરતોની સરખામણી કરતા,એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોને એકસાથે સંતોષે.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે આપેલી સંકર સંખ્યાઓ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય.

(B) કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય ત્યારે તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થાય,એટલે કે $\text{Re}(z) = 0$.
આપેલ $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 2i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 8i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$\text{Re}(z) = 0$:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
તેથી,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in Z$.

(B) $z^{1/3} = p+iq$
$\Rightarrow z = (p+iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$
$\Rightarrow x = p^3 - 3pq^2$ અને $y = 3p^2q - q^3$
$\Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ અને $\frac{y}{q} = 3p^2 - q^2$
$\therefore \left(\frac{x}{p} + \frac{y}{q}\right) = (p^2 - 3q^2) + (3p^2 - q^2) = 4p^2 - 4q^2 = 4(p^2 - q^2)$

(C) આપેલ છે કે $x = -2 + i\sqrt{3}$,તેથી $x + 2 = i\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + 2)^2 = -3$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4x + 4 = -3$ એટલે કે $x^2 + 4x + 7 = 0$ થાય છે.
હવે,બહુપદી $P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38$ ને $x^2 + 4x + 7$ વડે ભાગતા:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 3$.
કારણ કે $x^2 + 4x + 7 = 0$,તેથી પદાવલિની કિંમત:
$P(x) = 0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 3 = 3$.
આમ,જવાબ $3$ છે.

(A) આપેલ પદ $(1-\cos \theta+i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{1-\cos \theta+i \sin \theta}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2 \sin^2(\theta/2) + i(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i \cos(\theta/2)]}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $[\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)]$ વડે ગુણતા:
$= \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) [\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)]} = \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)}$.
$= \frac{\sin(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} - i \frac{\cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} \cot(\theta/2)$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $1/2$ છે.

(D) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણીય અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $Z_1$ અને $Z_2$ માટે,તેમના સરવાળાનું માન તેમના માનના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $\left|Z_1+Z_2\right| \leq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$.
તેથી,વિધાન $\left|Z_1+Z_2\right| \geq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$ સામાન્ય રીતે અસત્ય છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \frac{4 + 5i}{2}$ $\Rightarrow 2x = 4 + 5i$ $\Rightarrow 2x - 4 = 5i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2x - 4)^2 = (5i)^2$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 16 = -25$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 41 = 0$.
હવે,બહુપદી $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ ને $4x^2 - 16x + 41$ વડે ભાગતા:
$4x^3 - 4x^2 - 7x + 127 = x(4x^2 - 16x + 41) + 12x^2 - 48x + 127$
$= x(0) + 3(4x^2 - 16x) + 127$
$= 3(-41) + 127$
$= -123 + 127 = 4$.

(D) આપેલ છે કે $f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8$ નું એક બીજ $2i$ છે. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની સંકર અનુબદ્ધ સંખ્યા $-2i$ પણ બીજ હશે.
તેથી,$(z - 2i)(z + 2i) = (z^2 + 4)$ એ $f(z)$ નો અવયવ છે.
$f(z)$ ને $(z^2 + 4)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(z) = (z^2 + 4)(z^2 + z - 2)$.
વધુમાં દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા:
$z^2 + z - 2 = (z + 2)(z - 1)$.
આમ,$f(z) = 0$ ના બીજ $2i, -2i, -2$ અને $1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,બીજ અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
બીજ $a+ib, a-ib, b+ai, b-ai$ છે.
બીજનો સરવાળો $(a+ib) + (a-ib) + (b+ai) + (b-ai) = 2a + 2b = 10$ છે,તેથી $a+b=5$.
બીજનો ગુણાકાર $(a^2+b^2)(b^2+a^2) = (a^2+b^2)^2 = 169$ છે.
આમ,$a^2+b^2 = 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.
કિંમતો મૂકતા,$5^2 = 13 + 2ab$,જે $25 = 13 + 2ab$ આપે છે,તેથી $2ab = 12$ અથવા $ab = 6$.
આપણે $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{13}{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-3x^2+3x-9=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$x^2(x-3) + 3(x-3) = 0$.
$(x-3)(x^2+3) = 0$.
તેથી,એક બીજ $x = 3$ છે.
અન્ય બીજ માટે,$x^2+3=0$ ઉકેલતા,$x^2 = -3$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2+\omega+1=0$,તેથી $\omega^2+\omega = -1$.
$x = 1+2\omega$ ચકાસતા: $(1+2\omega)^2 + 3 = 1 + 4\omega + 4\omega^2 + 3 = 4(1+\omega+\omega^2) = 0$.
તે જ રીતે,$x = 1+2\omega^2$ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,બીજ $3, 1+2\omega$ અને $1+2\omega^2$ છે.