Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,$x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ અને $z=p \omega^2+q \omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3=1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega+\omega^2=-1$.
હવે,$xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$
$xyz = (p+q)(p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3)$
$xyz = (p+q)(p^2(1) + pq \omega^2 + pq \omega + q^2(1))$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(-1) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$
$xyz = p^3+q^3$.

(B) આપેલ છે $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ જ્યાં $a_i \in \mathbb{Z}$.
સહગુણકો પૂર્ણાંક હોવાથી,સંકર બીજ અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય અને $a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપના અસંમેય બીજ તેમના અનુબદ્ધ $a-\sqrt{b}$ સાથે હોય.
આપેલ બીજ $x_1 = 3+i$ અને $x_2 = 2-\sqrt{3}$ છે.
તેથી,તેમના અનુબદ્ધ $x_3 = 3-i$ અને $x_4 = 2+\sqrt{3}$ પણ બીજ હોવા જોઈએ.
ઓછામાં ઓછા $4$ બીજ હોવાથી,ન્યૂનતમ ઘાત $n=4$ થાય.
$4$ ઘાતવાળા બહુપદી માટે,અચળ પદ $a_0$ એ બીજોના ગુણાકાર જેટલું થાય છે: $a_0 = x_1 x_2 x_3 x_4$.
$a_0 = (3+i)(3-i) \times (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
$a_0 = (9+1) \times (4-3) = 10 \times 1 = 10$.
આમ,$n=4$ અને $a_0=10$.

(D) આપેલ છે કે $3 + i\sqrt{6}$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $3 - i\sqrt{6}$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે અન્ય બે વાસ્તવિક બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બહુપદી $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ના ચાર બીજોનો ગુણાકાર $e/a$ થાય છે.
અહીં,બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot (3 + i\sqrt{6}) \cdot (3 - i\sqrt{6}) = -45/4$ છે.
સંકર બીજોનો ગુણાકાર: $(3 + i\sqrt{6})(3 - i\sqrt{6}) = 3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$.
તેથી,$\alpha \cdot \beta \cdot 15 = -45/4$.
આમ,$\alpha \cdot \beta = -45 / (4 \times 15) = -45 / 60 = -3/4$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2 i}{3}$ છે.
કારણ કે $|r| = |\frac{2 i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1-\frac{2 i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2 i}{3}} = \frac{3}{3-2 i}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(3+2 i)$ વડે ગુણો:
$S = \frac{3(3+2 i)}{(3-2 i)(3+2 i)} = \frac{9+6 i}{3^2 - (2 i)^2} = \frac{9+6 i}{9 - (-4)} = \frac{9+6 i}{13}$.

(B) આપેલ છે કે $z = x + iy$ અને $x^2 + y^2 = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$,તેથી $z\bar{z} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
પદાવલિ $E = \frac{1 + x + iy}{1 + x - iy}$ ધ્યાનમાં લો.
$x + iy = z$ અને $x - iy = \bar{z}$ મૂકતા:
$E = \frac{1 + z}{1 + \bar{z}}$.
ચૂકી $\bar{z} = \frac{1}{z}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$E = \frac{1 + z}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{1 + z}{\frac{z + 1}{z}}$.
$E = \frac{(1 + z) \cdot z}{z + 1} = z$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$. દ્વિઘાત સૂત્ર $x^2 - (2 \sin \alpha)x + 1 = 0$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \sin \alpha \pm i \cos \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \pm i \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = e^{\pm i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ મળે છે.
$x = e^{i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ લેતા,$x^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha)}$.
આપેલ છે કે $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$. $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = \cos \beta \pm i \sin \beta = e^{\pm i\beta}$ મળે છે.
$y = e^{i\beta}$ લેતા,$y^3 = e^{i3\beta}$.
આમ,$x^3 y^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha + 3\beta)} = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) + i \sin(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) = \sin(3(\beta - \alpha)) - i \cos(3(\beta - \alpha))$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{x^3 y^3} = \sin(3(\beta - \alpha)) + i \cos(3(\beta - \alpha))$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$x^3 y^3 + \frac{1}{x^3 y^3} = 2 \sin(3(\beta - \alpha))$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\cos A+\cos B+\cos C=0$ અને $\sin A+\sin B+\sin C=0$.
ધારો કે $x_1 = \cos A + i \sin A$,$x_2 = \cos B + i \sin B$,અને $x_3 = \cos C + i \sin C$.
તેથી $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
સંકર સંખ્યાઓના ગુણધર્મ મુજબ,$x_1+x_2+x_3=0$ નો અર્થ છે કે $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$.
આમ,$x_1, x_2, x_3$ એ $z^3 - k = 0$ ના બીજ છે જ્યાં $k = x_1x_2x_3$.
$x_1+x_2 = -x_3$ નો વર્ગ કરતા,$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = x_3^2$.
$x_1x_2$ વડે ભાગતા,$x_1/x_2 + x_2/x_1 + 2 = x_3^2/(x_1x_2) = x_3^3/k = 1$.
તેથી $2 \cos(A-B) + 2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2 \cos(A-B) = -1$.
તેથી,$\cos(A-B) = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$z_2 = 3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta)$,અને $z_3 = 5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma)$.
આપેલ સમીકરણો સૂચવે છે કે $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
નિત્યસમ $z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 = 3z_1 z_2 z_3$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ હોય:
$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3 + (3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta))^3 + (5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma))^3 = 3(z_1)(z_2)(z_3)$.
$(\cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha) + 27(\cos 9 \beta + i \sin 9 \beta) + 125(\cos 15 \gamma + i \sin 15 \gamma) = 3(1 \cdot 3 \cdot 5) [\cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma) + i \sin(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)]$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = 45 \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$.
આને આપેલ સમીકરણ $\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = (\lambda^2 - 4) \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$ સાથે સરખાવતા:
$\lambda^2 - 4 = 45 \implies \lambda^2 = 49 \implies \lambda = \pm 7$.

(C) આપેલ છે કે, $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
$(1 - \tan \alpha \tan \beta)$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \tan(-\gamma)$ મળે છે.
તેથી, $\tan(\alpha + \beta) = \tan(-\gamma)$, જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = n\pi - \gamma$ કોઈ પૂર્ણાંક $n \in \mathbb{Z}$ માટે.
તેથી, $\alpha + \beta + \gamma = n\pi$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $x = e^{i\alpha}$, $y = e^{i\beta}$, અને $z = e^{i\gamma}$.
તેથી $xyz = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} \cdot e^{i\gamma} = e^{i(\alpha + \beta + \gamma)} = e^{in\pi}$.
કારણ કે $e^{in\pi} = \cos(n\pi) + i\sin(n\pi) = \cos(n\pi)$, અને $\cos(n\pi)$ એ $1$ છે જો $n$ બેકી હોય અને $-1$ છે જો $n$ એકી હોય.
તેથી, $xyz = \pm 1$.

(B) આપેલ છે કે $a = |Z_1|, b = |Z_2|, c = |Z_3|$. $Z_1, Z_2, Z_3$ શૂન્યતર હોવાથી $a, b, c > 0$ છે.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$.
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$.
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$,એટલે કે $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા.
આને $\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$a + b + c \neq 0$.
તેથી,$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = b = c$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવે છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
$1+2i$ એ એક બીજ હોવાથી,તેનો અનુબદ્ધ $1-2i$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે બીજો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. ધારો કે $\alpha = 1+2i$ અને $\beta = 1-2i$.
બીજોનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -(-3)/1 = 3$.
$(1+2i) + (1-2i) + \gamma + \delta = 3 \implies 2 + \gamma + \delta = 3 \implies \gamma + \delta = 1$.
બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = 5/1 = 5$.
$(1+2i)(1-2i) \gamma \delta = 5 \implies (1^2+2^2) \gamma \delta = 5 \implies 5 \gamma \delta = 5 \implies \gamma \delta = 1$.
આપણે અન્ય બીજોના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\gamma^2 + \delta^2$ છે.
નિત્યસમ $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma^2 + \delta^2 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

(A) ધારો કે સહગુણકો સંમેય છે,તેથી અનુબદ્ધ બીજ પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આમ,બીજ $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ છે.
બીજ $1+i$ અને $1-i$ માટે:
સરવાળો $= (1+i) + (1-i) = 2$
ગુણાકાર $= (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1+1 = 2$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - 2x + 2 = 0$ છે.
બીજ $1-\sqrt{2}$ અને $1+\sqrt{2}$ માટે:
સરવાળો $= (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) = 2$
ગુણાકાર $= (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1-2 = -1$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
ચતુર્થઘાત સમીકરણ $(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(D) આપેલ પદાવલિ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n = 1 + \frac{i}{3} + \left(\frac{i}{3}\right)^2 + \dots \infty$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a=1$ અને $r=\frac{i}{3}$ છે.
$S = \frac{1}{1-\frac{i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-i}{3}} = \frac{3}{3-i}$.
સાદું રૂપ આપવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+i)$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{3}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} = \frac{3(3+i)}{3^2 - i^2} = \frac{9+3i}{9 - (-1)} = \frac{9+3i}{10}$.

(A) $\theta=\frac{\pi}{2}$ માટે,$\cos \theta = 0$ અને $\sin \theta = 1$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2020} + \left(\frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)}\right)^{2021}$
$= (i)^{2020} + \left(\frac{1+i}{1+i}\right)^{2021}$
$= (i^4)^{505} + (1)^{2021}$
$= (1)^{505} + 1 = 1 + 1 = 2$.
તેથી $x+iy = 2$ હોવાથી,$x=2$ અને $y=0$ મળે.
આમ,$x+y = 2+0 = 2$.

(A) આપેલ છે: $\frac{(2-i) x+(1+i)}{2+i}+\frac{(1-2 i) y+(1-i)}{1+2 i}=1-2 i$
પ્રથમ પદને $\frac{2-i}{2-i}$ વડે અને બીજા પદને $\frac{1-2i}{1-2i}$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2-i)^2 x+(1+i)(2-i)}{5}+\frac{(1-2 i)^2 y+(1-i)(1-2 i)}{5}=1-2 i$
$\Rightarrow \frac{(3-4i)x + (3+i)}{5} + \frac{(-3-4i)y + (-1-3i)}{5} = 1-2i$
$\Rightarrow (3x-3y-1) + i(-4x-4y-2) = 5-10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$3x-3y-1 = 5 \Rightarrow 3x-3y = 6 \Rightarrow x-y = 2 \quad (i)$
$-4x-4y-2 = -10 \Rightarrow -4x-4y = -8 \Rightarrow x+y = 2 \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$x=2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$2+y = 2 \Rightarrow y = 0$.
તેથી,$2x+4y = 2(2) + 4(0) = 4$.

(A) આપેલ છે $x+iy = \frac{13 \sqrt{-5+12i}}{(2-3i)(3+2i)}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(2-3i)(3+2i) = 12-5i$.
$\sqrt{-5+12i} = 2+3i$ લેતા (કારણ કે $x, y > 0$ છે).
તેથી $x+iy = \frac{13(2+3i)}{12-5i} = \frac{13(2+3i)(12+5i)}{169} = \frac{9+46i}{13} = \frac{9}{13} + i\frac{46}{13}$.
તેથી $x = \frac{9}{13}$ અને $y = \frac{46}{13}$.
અંતે,$13y-26x = 13(\frac{46}{13}) - 26(\frac{9}{13}) = 46 - 18 = 28$.

(C) ધારો કે $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ ને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+2i \cos \theta)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$Z = \frac{(1+i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}{(1-2i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}$
$Z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$Z = \frac{(1 - 2 \cos^2 \theta) + i(3 \cos \theta)}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$Z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Im}(Z) = \frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 0$.
જો $\cos \theta = 0$ હોય,તો $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^3 \theta + \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 = (0)^3 + 1 + 0 + 1 = 2$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક બને તે માટે તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$\text{Re}(z) = 0$:
$\frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
આથી $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+i(x-2)}{3+i}-i=\frac{2y+i(1-3y)}{i-3}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $x=3$ અને $y=-1$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 3+(-1) = 2$.

(A) આપેલ છે $x = \frac{4+3i}{5}$,તેથી $\frac{1}{x} = \frac{5}{4+3i} = \frac{5(4-3i)}{16+9} = \frac{4-3i}{5}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{4+3i+4-3i}{5} = \frac{8}{5}$.
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\frac{8}{5})^2 - 2 = \frac{64}{25} - 2 = \frac{14}{25}$.
આપેલ છે $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$,તેથી $\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}i} = \frac{\sqrt{8}(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{3+5} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i+\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$.
$y - \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i-(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{\sqrt{8}} = \frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y^2 - \frac{1}{y^2} = (y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}})(\frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}) = \frac{-4\sqrt{15}i}{8} = \frac{-\sqrt{15}i}{2}$.
તેથી,$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 - \frac{1}{y^2}) = (\frac{14}{25})(\frac{-\sqrt{15}i}{2}) = \frac{-7\sqrt{15}i}{25} = \frac{-7\sqrt{3}\sqrt{5}i}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{-7\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}i$.

(A) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એ $x^2+2x+2=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $z_1+z_2 = -2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $z_2 = -2-z_1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2z_2 = -2z_1-4$,અથવા $2z_2+2 = -2z_1-2$.
ધારો કે આપેલ પદ $E = \frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ છે.
આને $E = -2^6 \left( \frac{z_1+1+3i}{z_2+1-3i} \right)^{11}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{2z_2+2-6i} \right)^{11}$.
છેદમાં $2z_2+2 = -2z_1-2$ મૂકતા:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-2z_1-2-6i} \right)^{11} = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-(2z_1+2+6i)} \right)^{11}$.
$E = -2^6 (-1)^{11} = -2^6 (-1) = 2^6 = 64$.

(C) આપેલ છે કે $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ એ બહુપદી સમીકરણ $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં સહગુણકો $p_i$ વાસ્તવિક છે.
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,તેનો સંકર અનુબદ્ધ $z = e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ પણ સમીકરણનો ઉકેલ હશે.
$z = e^{ix}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(e^{ix})^n + p_1 (e^{ix})^{n-1} + \ldots + p_{n-1} e^{ix} + p_n = 0$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{ikx} = \cos kx + i \sin kx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos nx + i \sin nx) + p_1(\cos(n-1)x + i \sin(n-1)x) + \ldots + p_{n-1}(\cos x + i \sin x) + p_n = 0$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\sin nx + p_1 \sin(n-1)x + \ldots + p_{n-1} \sin x = 0$.

(A) આપેલ છે કે $a^2+b^2+c^2=1$ અને $b+ic=(1+a)z$.
$z = \frac{b+ic}{1+a}$.
તેથી $iz = \frac{-c+ib}{1+a}$.
$\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1 + \frac{-c+ib}{1+a}}{1 - \frac{-c+ib}{1+a}} = \frac{1+a-c+ib}{1+a+c-ib}$.
અંશ અને છેદને $(1+a+c)+ib$ વડે ગુણતા:
$= \frac{((1+a)+ib)^2 - c^2}{(1+a+c)^2+b^2} = \frac{2(1+a)(a+ib)}{2(1+a)(1+c)} = \frac{a+ib}{1+c}$.

(B) આપણી પાસે છે,$x+iy = (1+i)^6 - (1-i)^6$.
પ્રથમ,$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$ ગણો.
તેથી,$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$.
તે જ રીતે,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
તેથી,$(1-i)^6 = ((1-i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+iy = (-8i) - (8i) = -16i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 0$ અને $y = -16$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 0 + (-16) = -16$.

(C) આપેલ છે કે $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$.
તેથી $z_4 = (1 + i \sqrt{2})^4$ અને $\bar{z}_5 = (1 - i \sqrt{2})^5$.
ગુણાકાર $z_4 \bar{z}_5 = (1 + i \sqrt{2})^4 (1 - i \sqrt{2})^5$ ધ્યાનમાં લો.
આને આપણે $z_4 \bar{z}_5 = [(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2})]^4 (1 - i \sqrt{2})$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2}) = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$, તેથી:
$z_4 \bar{z}_5 = 3^4 (1 - i \sqrt{2}) = 81(1 - i \sqrt{2}) = 81 - 81i \sqrt{2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = 81$ છે.
તેથી, $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = \frac{81}{9} = 9$.

(A) ધારો કે $z = \frac{(1-i)^3(2-i)}{(2+i)(1+i)}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(1-i)^2 = -2i$,તેથી $(1-i)^3 = -2i(1-i) = -2-2i$.
હવે,$(1-i)^3(2-i) = (-2-2i)(2-i) = -6-2i$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(2+i)(1+i) = 1+3i$.
તેથી,$z = \frac{-6-2i}{1+3i} = -1.2 + 1.6i$.
માનાંક $r = \sqrt{(-1.2)^2 + (1.6)^2} = 2$.
કોણાંક $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ (બીજા ચરણમાં હોવાથી).
આમ,માનાંક-કોણાંક સ્વરૂપ $2 \operatorname{cis}\left(\pi - \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(x-iy)^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$x-iy = (a+ib)^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$i^2 = -1$ અને $i^3 = -i$ હોવાથી,$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા,$x = a^3-3ab^2$ અને $y = b^3-3a^2b$.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{ax-by}{a-b}$ માં મૂકતા:
$\frac{a(a^3-3ab^2) - b(b^3-3a^2b)}{a-b} = \frac{a^4-3a^2b^2 - b^4+3a^2b^2}{a-b}$.
$= \frac{a^4-b^4}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a-b}$.
$= (a+b)(a^2+b^2) = a^3+a^2b+ab^2+b^3$.

(B) આપેલ છે કે,$\bar{z}^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $\bar{z} = (a+ib)^3$ મળે.
કારણ કે $\bar{z} = x-iy$,તેથી $x-iy = (a+ib)^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $x-iy = (a^3-3ab^2) + i(3a^2b-b^3)$.
સરખાવતા,$x = a^3-3ab^2$ અને $-y = 3a^2b-b^3$,એટલે કે $y = b^3-3a^2b$.
હવે,$\frac{x}{a} = a^2-3b^2$ અને $\frac{y}{b} = b^2-3a^2$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2-3b^2) + (b^2-3a^2) = -2a^2-2b^2 = -2(a^2+b^2)$.
તેથી,$\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$.
$x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$
$2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: જો $x=0$,તો $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. ઉકેલ: $(0,0)$.
કિસ્સો $2$: જો $y=0$,તો $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. ઉકેલ: $(0,0)$.
કિસ્સો $3$: જો $x \neq 0$ અને $y \neq 0$,તો $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ અને $3x^2 - y^2 - 1 = 0$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$.
$x^2 = y^2$ ને $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ માં મૂકતા: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x^2 = y^2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
શક્ય જોડીઓ $(x,y)$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કુલ ઉકેલો: $(0,0)$ અને ઉપરની $4$ જોડીઓ,આમ કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1-2i \sin \theta$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \cos \theta)(1-2i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{(1 - \sin(2 \theta)) - i(2 \sin \theta + \cos \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $0$ લેતા,$1 - \sin(2 \theta) = 0 \Rightarrow \sin(2 \theta) = 1$.
તેથી,$2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ છે કે $|Z_1| = |Z_2| = |Z_3| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|Z|^2 = Z \overline{Z}$.
આપેલ છે કે $|Z_1-Z_2|^2+|Z_1-Z_3|^2=4$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(Z_1-Z_2)(\overline{Z_1}-\overline{Z_2}) + (Z_1-Z_3)(\overline{Z_1}-\overline{Z_3}) = 4$.
$Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_2} - \overline{Z_1}Z_2 + Z_2\overline{Z_2} + Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_3} - \overline{Z_1}Z_3 + Z_3\overline{Z_3} = 4$.
કારણ કે $|Z_1|^2 = |Z_2|^2 = |Z_3|^2 = 1$,તેથી:
$1 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2) + 1 + 1 - (Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) + 1 = 4$.
$4 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) = 4$.
તેથી,$Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$
$z\bar{z}$ સામાન્ય લેતા:
$z\bar{z}(\bar{z}^2 + z^2) = 350$
$z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી:
$|z|^2((x - iy)^2 + (x + iy)^2) = 350$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$|z|^2(x^2 - y^2 - 2xyi + x^2 - y^2 + 2xyi) = 350$
$|z|^2(2x^2 - 2y^2) = 350$
$2|z|^2(x^2 - y^2) = 350$
$|z|^2(x^2 - y^2) = 175$
$|z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 175$
$x^4 - y^4 = 175$
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસતા:
જો $x = 4, y = 3$ હોય,તો $4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175$
આમ,$|z|^2 = x^2 + y^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
તેથી,$|z| = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ છે.
$-i$ બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + (-i) = -\frac{b}{a} = \frac{2(i+1)}{i} = 2(1-i) = 2-2i$ થાય.
તેથી,$\alpha = 2-i$.
પરંતુ,પ્રશ્ન $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ પરથી $5^3 \cos 6\theta$ ની કિંમત માંગે છે.
સૂત્ર $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} = \frac{3(-1/2) - (-1/8)}{1 - 3(1/4)} = \frac{-3/2 + 1/8}{1/4} = \frac{-11/8}{1/4} = -\frac{11}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
હવે,$5^3 \cos 6\theta = 125 \left( \frac{1 - \tan^2 3\theta}{1 + \tan^2 3\theta} \right) = 125 \left( \frac{1 - (-11/2)^2}{1 + (-11/2)^2} \right) = 125 \left( \frac{1 - 121/4}{1 + 121/4} \right) = 125 \left( \frac{-117/4}{125/4} \right) = -117$.

(D) વિધાન $(A)$ માટે: આપેલ છે $|z| \geq 3$.
આપણે અસમતા $|z_1 + z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$ નો ઉપયોગ કરીએ.
તેથી,$|z + \frac{3}{z}| \geq ||z| - |\frac{3}{z}|| = ||z| - \frac{3}{|z|}||$.
ધારો કે $f(t) = t - \frac{3}{t}$ જ્યાં $t = |z| \geq 3$.
$f(t)$ એ $t \geq 3$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 3$ આગળ મળે.
$f(3) = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.
તેથી,$|z + \frac{3}{z}| \geq 2$.
વિધાનમાં ન્યૂનતમ કિંમત $1$ આપેલી છે,જે ખોટું છે.
કારણ $(R)$ માટે: ત્રિકોણીય અસમતા મુજબ $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. વિધાન $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ એ ત્રિકોણીય અસમતાનું સાચું સ્વરૂપ છે,જે સત્ય છે.
તેથી,$A$ ખોટું છે પણ $R$ સાચું છે.

(A) પદાવલિને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $z = \frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-10 i \cos \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}{(1-10 \sqrt{3} i \sin \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}$
$z = \frac{1 + 10 \sqrt{3} i \sin \theta - 10 i \cos \theta + 100 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$ છે.
કાલ્પનિક ભાગને $0$ લેતા:
$10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta = 0$
$10 \sqrt{3} \sin \theta = 10 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{10}{10 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી $\bar{a} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(i)$ $a \bar{a} = |a|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. જે $(D)$ સાથે જોડાય છે.
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right) = \arg(a) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. જે $(A)$ સાથે જોડાય છે.
$(iii)$ $a - \bar{a} = \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -i \sqrt{3}$. જે $(B)$ સાથે જોડાય છે.
$(iv)$ $\frac{4}{3a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} + i \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} + i \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ, $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. જે $(F)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી, સાચું જોડાણ $(i)-D, (ii)-A, (iii)-B, (iv)-F$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z=1-\sqrt{3} i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$.
તેથી,$z^3 - 3z^2 + 3z = (z-1)^3 + 1$.
$z = 1 - \sqrt{3} i$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(z-1) = (1 - \sqrt{3} i - 1) = -\sqrt{3} i$.
હવે,$(z-1)^3$ ની ગણતરી કરો:
$(-\sqrt{3} i)^3 = -(\sqrt{3})^3 \times i^3 = -3\sqrt{3} \times (-i) = 3\sqrt{3} i$.
અંતે,$z^3 - 3z^2 + 3z = 3\sqrt{3} i + 1 = 1 + 3\sqrt{3} i$.

(A) આપેલ છે $Z_1 = \sqrt{3} + i \sqrt{3} = \sqrt{6} e^{i \frac{\pi}{4}}$ અને $Z_2 = \sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}$.
તેથી $\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \frac{\pi}{12}}$.
હવે,$\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{50\pi}{12}} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{25\pi}{6}}$.
કારણ કે $\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
આ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\pi}{6}$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,બિંદુ $(x, y)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $z=e^{i \theta}$,તેથી $\cos n \theta = \frac{z^n+z^{-n}}{2}$ અને $\sin n \theta = \frac{z^n-z^{-n}}{2i}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(\frac{z^3+z^{-3}}{2})+2(\frac{z^2+z^{-2}}{2})+5(\frac{z^5+z^{-5}}{2})}{3(\frac{z^3-z^{-3}}{2i})+2(\frac{z^2-z^{-2}}{2i})+5(\frac{z^5-z^{-5}}{2i})} = i \frac{5z^{10}+3z^8+2z^7+2z^3+3z^2+5}{5z^{10}+3z^8+2z^7-2z^3-3z^2-5} = i \frac{\sum_{r=0}^{10} a_r z^r}{\sum_{r=0}^{10} b_r z^r}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,સહગુણકોનો સરવાળો $\sum (a_r+b_r) = 2+3+5 = 10$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\sum_{r=0}^{10} (a_r+b_r)}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) ધારો કે $z_1 = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta} = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{i(\cos \theta-i \sin \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{e^{i \theta}}{e^{-i \theta}} = -i e^{i 2 \theta}$.
તેથી $z_1^8 = (-i)^8 (e^{i 2 \theta})^8 = 1 \cdot e^{i 16 \theta} = \cos 16 \theta + i \sin 16 \theta$.
ધારો કે $z_2 = \frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{e^{-i \theta/2}}{e^{i \theta/2}} = e^{-i \theta}$.
તેથી $z_2^{16} = (e^{-i \theta})^{16} = e^{-i 16 \theta} = \cos 16 \theta - i \sin 16 \theta$.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $z_1^8 + z_2^{16} = (\cos 16 \theta + i \sin 16 \theta) + (\cos 16 \theta - i \sin 16 \theta) = 2 \cos 16 \theta$.

(C) આપેલ છે કે $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ અને $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$.
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
ધારો કે $z_1 = \cos \theta + i \sin \theta$. તેથી $x_1 = \cos \theta, y_1 = \sin \theta$.
$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ હોવાથી, $x_2 \cos \theta + y_2 \sin \theta = 0$ મળે.
આ સૂચવે છે કે $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin \theta, \cos \theta)$.
$x_2 = -2 \sin \theta$ અને $y_2 = 2 \cos \theta$ લેતા:
$z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos \theta - i \sin \theta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$.
$z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin \theta + i 2 \cos \theta = 2i(\cos \theta - i \sin \theta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$.
$z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = 2 \sin 2\theta + 2i \cos 2\theta$.
જોકે, $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ શરત ચકાસતા ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ ને બદલે):
જો $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ હોય, તો $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$.
$z_1 = e^{i\theta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - \theta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $z_3 = \cos \theta + i \sin \theta = z_1$ અને $z_4 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta = 2i \bar{z}_1$.
$z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$.
આમ, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ અને $|z_3|=1, |z_4|=2$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{1-\sqrt{3}i}{2} = -\omega^2$ અને $\frac{1+\sqrt{3}i}{2} = -\omega$.
તેથી,$\left(-\omega^2\right)^{2020} + (-\omega)^{2026} = \omega^{4040} + \omega^{2026} = \omega^2 + \omega = -1$.
હવે,સરવાળો $\sum_{j=1}^6 (j+\omega)(j+\omega^2) = \sum_{j=1}^6 (j^2 + j(\omega+\omega^2) + \omega^3) = \sum_{j=1}^6 (j^2 - j + 1)$ ધ્યાનમાં લો.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{j=1}^6 j^2 = 91$,$\sum_{j=1}^6 j = 21$,અને $\sum_{j=1}^6 1 = 6$.
તેથી,સરવાળો $91 - 21 + 6 = 76$ થાય છે.
સાઇન પદ $\sin\left(76 \times \frac{3\pi}{152}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ થાય છે.
અંતે,કુલ અભિવ્યક્તિ $-1 + (-1) = -2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3$ એ $x^3 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $a_1 + a_2 + a_3 = 0$ થાય.
$a_k = e^{i \alpha_k}$ હોવાથી,$\sum a_k = 0$ અને $\sum \bar{a_k} = 0$ થાય.
$b = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1$ છે.
$(a_1 + a_2 + a_3)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2b = 0$.
તેથી $b = -\frac{1}{2}(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
એકમ વર્તુળ પરના સંકર સંખ્યાઓ માટે જો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો તેમના વર્ગોનો સરવાળો પણ શૂન્ય થાય છે.
તેથી $b = 0$.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \sqrt{5} - i \sqrt{15}$ છે.
$r(\cos \theta + i \sin \theta)$ સાથે સરખાવતા,$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{5 + 15} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ મળે.
તેથી,$r^2 = 20$.
આપણને $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{-\sqrt{15}}{2 \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 2$.
અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$,તેથી $\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{4}{3}$.
આ કિંમતોને $r^2(\sec \theta + 3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$20 \times (2 + 3 \times \frac{4}{3}) = 20 \times (2 + 4) = 20 \times 6 = 120$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(A \pm B) = \cosh A \cosh B \pm \sinh A \sinh B$ થાય છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh(x + iy) = \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)$
$\cosh(x - iy) = \cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy)$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\cosh(x + iy) - \cosh(x - iy) = (\cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)) - (\cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy))$
$= 2 \sinh x \sinh(iy)$
કારણ કે $\sinh(iy) = i \sin y$ થાય છે,તેથી:
$= 2i \sinh x \sin y$.