Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(B) સંકર સંખ્યાઓના ધ્રુવીય સ્વરૂપના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$.
આપેલ ગુણાકાર $P = (\cos \theta + i\sin \theta )(\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2})(\cos \frac{\theta }{2^2} + i\sin \frac{\theta }{2^2}) \dots \infty$ છે.
આનું સાદું રૂપ $P = \cos(\theta + \frac{\theta }{2} + \frac{\theta }{2^2} + \dots) + i\sin(\theta + \frac{\theta }{2} + \frac{\theta }{2^2} + \dots)$ થાય છે.
ઘાતાંકોનો સરવાળો એ પ્રથમ પદ $a = \theta$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ ધરાવતી ભૂમિતિ શ્રેણી છે.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{\theta}{1 - 1/2} = \frac{\theta}{1/2} = 2\theta$ છે.
તેથી,$P = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$.

(C) આપેલ છે કે $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.
વળી,$(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$,તેથી $z_1z_2 = \frac{1}{2}((z_1 + z_2)^2 - (z_1^2 + z_2^2))$.
આ કિંમત $z_1^3 + z_2^3$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2)$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|z_1^3 + z_2^3| = |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2|$.
ત્રિકોણ અસમતા $|a - b| \ge ||a| - |b||$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z_1^3 + z_2^3| \ge |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}|z_1^2 + z_2^2| - \frac{1}{2}|z_1 + z_2|^2|$.
આપેલ કિંમતો $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ મૂકતા:
$|z_1^3 + z_2^3| \ge 1 \cdot |\frac{3}{2}(25) - \frac{1}{2}(1)^2| = |37.5 - 0.5| = 37$.

(D) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $z_1 = \overline{z_2}$ થાય.
અહીં $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ આપેલ છે.
$z_2$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ થાય.
$z_1 = \overline{z_2}$ લેતા,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1$) $\sin x = \cos x$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$2$) $\cos 2x = \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = 1$ $\Rightarrow 2x = m\pi + \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
આ બંને સમીકરણો એકસાથે સંતોષાય તેવી $x$ ની કોઈ કિંમત મળતી નથી,તેથી $x$ ની કોઈ કિંમત શક્ય નથી.

(D) $\text{જો } az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ સ્વરૂપના ત્રિઘાત સમીકરણ માટે, બીજનો સરવાળો $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, આપેલ સમીકરણ $z^3 - z^2(4 + 3i) + z(3 + 8i) - 5i = 0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 1$ અને $b = -(4 + 3i)$ મળે છે.
તેથી, બીજનો સરવાળો $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{-(4 + 3i)}{1} = 4 + 3i$ થાય.
આપણને $Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3)$ શોધવાનું કહ્યું છે, જે $Re(z_1 + z_2 + z_3)$ ની બરાબર છે.
કારણ કે $z_1 + z_2 + z_3 = 4 + 3i$, તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $Re(4 + 3i) = 4$ છે.
આમ, $Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3) = 4$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,અને $c = e^{i\gamma}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = 1$ માં મૂકતા:
$e^{i(\beta - \gamma)} + e^{i(\gamma - \alpha)} + e^{i(\alpha - \beta)} = 1$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos(\beta - \gamma) + i\sin(\beta - \gamma)) + (\cos(\gamma - \alpha) + i\sin(\gamma - \alpha)) + (\cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta)) = 1 + 0i$.
બંને બાજુ વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta) = 1$.

(C) આપેલ છે કે ${z_r} = \cos \frac{r\alpha}{n^2} + i\sin \frac{r\alpha}{n^2} = e^{i \frac{r\alpha}{n^2}}$.
તેથી ગુણાકાર $P = {z_1}{z_2} \dots {z_n} = \prod_{r=1}^{n} e^{i \frac{r\alpha}{n^2}} = e^{i \frac{\alpha}{n^2} \sum_{r=1}^{n} r}$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = e^{i \frac{\alpha}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}} = e^{i \frac{\alpha(n^2+n)}{2n^2}} = e^{i \frac{\alpha}{2} (1 + \frac{1}{n})}$.
જ્યારે $n \to \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P = e^{i \frac{\alpha}{2} (1 + 0)} = e^{i \frac{\alpha}{2}} = \cos \frac{\alpha}{2} + i\sin \frac{\alpha}{2}$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z - \bar{z}}{2i} = y$.
$A$ માટેની શરત: $y^2 \leqslant 2y$,જે $y^2 - 2y \leqslant 0$ માં પરિણમે છે,તેથી $0 \leqslant y \leqslant 2$.
$B$ માટેની શરત: $|z| \leqslant \sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે $x^2 + y^2 \leqslant 5$.
આપણે એવા બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવાના છે જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$ અને $0 \leqslant y \leqslant 2$ તથા $x^2 + y^2 \leqslant 5$.
કિસ્સો $y = 0$: $x^2 \leqslant 5 \implies x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. બિંદુઓ: $(-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)$.
કિસ્સો $y = 1$: $x^2 + 1 \leqslant 5 \implies x^2 \leqslant 4 \implies x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. બિંદુઓ: $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1)$.
કિસ્સો $y = 2$: $x^2 + 4 \leqslant 5 \implies x^2 \leqslant 1 \implies x \in \{-1, 0, 1\}$. બિંદુઓ: $(-1, 2), (0, 2), (1, 2)$.
કુલ બિંદુઓ = $5 + 5 + 3 = 13$.

(A) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એકમાપી છે,તેથી $|z_1| = 1$ અને $|z_2| = 1.$
$|z|^2 = z \bar{z} = 1$ હોવાથી,$\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}$ અને $\bar{z}_2 = \frac{1}{z_2}.$
$z_1^2 + z_2^2 = 5$ આપેલ છે.
આપણે $E = (z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $E = (z_1^2 + \bar{z}_1^2 - 2z_1\bar{z}_1) + (z_2^2 + \bar{z}_2^2 - 2z_2\bar{z}_2).$
$z_1\bar{z}_1 = |z_1|^2 = 1$ અને $z_2\bar{z}_2 = |z_2|^2 = 1$ હોવાથી:
$E = (z_1^2 + z_2^2) + (\bar{z}_1^2 + \bar{z}_2^2) - 2(1) - 2(1).$
$z_1^2 + z_2^2 = 5$ હોવાથી,અનુબદ્ધ લેતા $\bar{z}_1^2 + \bar{z}_2^2 = 5$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = 5 + 5 - 4 = 6.$

(C) ધારો કે $P(z) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$.
આપણે $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2)$ ની કિંમત શોધવી છે.
નોંધો કે $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2) = (-1)^4 \prod_{i=1}^{4} (-2 - z_i) = P(-2)$.
બહુપદી $P(z)$ માં $z = -2$ મૂકતા:
$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1$
$P(-2) = 16 - 8 + 4 - 2 + 1$
$P(-2) = 11$.
તેથી,ગુણાકાર $11$ છે.

(B) સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. આપેલ છે કે $\alpha = 3 + 4i$,તેથી બીજું બીજ $\beta = 3 - 4i$ થાય.
ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ છે. $x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(3 + 4i) + (3 - 4i) + \gamma = 0$.
$6 + \gamma = 0 \implies \gamma = -6$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = (3 + 4i)(3 - 4i)(-6)$ થાય.
$(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ હોવાથી,$\alpha \beta \gamma = 25 \times (-6) = -150$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.
આપણે ગુણાકાર $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ શોધવો છે.
સંકર સંખ્યાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta$,તેથી $x_r = e^{-i\pi/3^r}$.
આમ,$P = e^{-i\pi/3} \cdot e^{-i\pi/9} \cdot e^{-i\pi/27} \cdots \infty$.
$P = e^{-i\pi (1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}$.
ઘાતાંક એ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/3$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = a / (1 - r) = (1/3) / (1 - 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2$.
તેથી,$P = e^{-i\pi(1/2)} = e^{-i\pi/2}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{-i\pi/2} = \cos(\pi/2) - i\sin(\pi/2) = 0 - i(1) = -i$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. કારણ કે $B: \operatorname{Im}(z) = 0$, તેથી $y = 0$, એટલે કે $|z| = |x|$.
$A$ માટેની અસમતામાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{\log_2 |x|} - \frac{1}{\log_2 |x| - 1} < 1$.
ધારો કે $t = \log_2 |x|$. તો $\frac{1}{t} - \frac{1}{t-1} < 1$.
$\frac{(t-1) - t}{t(t-1)} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{t(t-1)} < 1$.
$\frac{1}{t(t-1)} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{1 + t^2 - t}{t(t-1)} > 0$.
$t^2 - t + 1$ નો વિવેચક $1 - 4 = -3 < 0$ હોવાથી, દ્વિઘાત પદાવલિ $t^2 - t + 1$ હંમેશા ધન છે.
તેથી, આપણે $t(t-1) > 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $t < 0$ અથવા $t > 1$.
કિસ્સો $1$: $\log_2 |x| < 0 \Rightarrow 0 < |x| < 1 \Rightarrow x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.
કિસ્સો $2$: $\log_2 |x| > 1 \Rightarrow |x| > 2 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા, $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$z^2 + \bar{w} = z$ ......$(i)$
$w^2 + \bar{z} = w$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ નો અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{w}^2 + z = \bar{w}$,જેનો અર્થ છે $z = \bar{w} - \bar{w}^2$.
આને $(i)$ માં મૂકતા:
$(\bar{w} - \bar{w}^2)^2 + \bar{w} = \bar{w} - \bar{w}^2$
$\bar{w}^2(\bar{w}^2 - 2\bar{w} + 2) = 0$
આથી $\bar{w} = 0$ અથવા $\bar{w} = 1 \pm i$.
જો $\bar{w} = 0$,તો $w = 0$ અને $z = 0$. જોડી: $(0, 0)$.
જો $\bar{w} = 1 + i$,તો $w = 1 - i$ અને $z = 1 - i$. જોડી: $(1 - i, 1 - i)$.
જો $\bar{w} = 1 - i$,તો $w = 1 + i$ અને $z = 1 + i$. જોડી: $(1 + i, 1 + i)$.
આમ,કુલ $3$ ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતા $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ છે.
ધારો કે $t = |z|$,તો $t^2 - t - 2 < 0$.
$(t - 2)(t + 1) < 0$.
કારણ કે $|z| \ge 0$,તેથી $t + 1 > 0$,એટલે કે $t - 2 < 0$,જે દર્શાવે છે કે $|z| < 2$.
હવે,ત્રિકોણ અસમતા $|a + b| \le |a| + |b|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z^2 + z \sin \theta| \le |z^2| + |z \sin \theta| = |z|^2 + |z| \cdot |\sin \theta|$.
કારણ કે $|\sin \theta| \le 1$,તેથી $|z^2 + z \sin \theta| \le |z|^2 + |z|$.
કારણ કે $|z| < 2$,તેથી $|z|^2 < 4$.
તેથી,$|z|^2 + |z| < 4 + 2 = 6$.
આમ,$|z^2 + z \sin \theta| < 6$.

(B) આપેલ સમીકરણ $|z|^n = (z^2 + z)|z|^{n-2} + 1$ છે.
$z^2 + z$ વાસ્તવિક હોવાથી,$z^2 + z = \bar{z}^2 + \bar{z}$ થાય.
આથી $(z - \bar{z})(z + \bar{z} + 1) = 0$ મળે.
$x \neq -1/2$ હોવાથી $z + \bar{z} + 1 \neq 0$,તેથી $z = \bar{z}$ એટલે કે $z$ વાસ્તવિક છે.
સમીકરણ $x^n = x^2|x|^{n-2} + x|x|^{n-2} + 1$ માં $x = -1$ મૂકતા તે સંતોષાય છે.
આમ,$z$ નું માત્ર $1$ મૂલ્ય શક્ય છે.

(B) $z = 1 + ai$
$z^3 = (1 + ai)^3 = 1 + 3ai - 3a^2 - a^3i = (1 - 3a^2) + i(3a - a^3)$
$z^3$ વાસ્તવિક હોવાથી,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય:
$3a - a^3 = 0 \Rightarrow a = \sqrt{3}$ ($a > 0$ હોવાથી).
$z = 1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.
સરવાળો $S = \frac{z^{12} - 1}{z - 1}$.
$z^{12} = 2^{12}(\cos 4\pi + i \sin 4\pi) = 4096$.
$S = \frac{4096 - 1}{\sqrt{3}i} = \frac{4095}{\sqrt{3}i} = -1365\sqrt{3}i$.

(B) બહુપદી $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 2 + 3i$ છે,તેથી બીજું સંકર બીજ $\beta = 2 - 3i$ થશે.
ધારો કે વાસ્તવિક બીજ $\gamma$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 2$ અને $d = -13$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ થશે.
જાણીતા બીજો મૂકતા: $(2 + 3i)(2 - 3i) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(2^2 + 3^2) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(4 + 9) \gamma = \frac{13}{2}.$
$13 \gamma = \frac{13}{2}.$
$\gamma = \frac{1}{2}.$
આમ,વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$, જ્યાં $\operatorname{Im}(z) = r \sin \theta$.
તેથી $z^5 = r^5(\cos 5\theta + i \sin 5\theta)$, તેથી $\operatorname{Im}(z^5) = r^5 \sin 5\theta$.
પદાવલિ $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5} = \frac{r^5 \sin 5\theta}{(r \sin \theta)^5} = \frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta}$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin 5\theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta} = \frac{16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta}{\sin^5 \theta} = 16 - 20 \csc^2 \theta + 5 \csc^4 \theta$.
ધારો કે $x = \csc^2 \theta$. $z$ બિન-વાસ્તવિક હોવાથી, $\sin \theta \neq 0$, તેથી $x \geq 1$.
પદાવલિ $f(x) = 5x^2 - 20x + 16$ છે.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2(5)} = 2$ પર છે.
$x=2$ એ પ્રદેશ $[1, \infty)$ માં હોવાથી, ન્યૂનતમ કિંમત $f(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 16 = 20 - 40 + 16 = -4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z = 1 + i\alpha$,જ્યાં $\alpha \in R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$z^2 = (1 + i\alpha)^2 = 1^2 + (i\alpha)^2 + 2(1)(i\alpha)$.
$z^2 = 1 - \alpha^2 + 2i\alpha$.
$z^2 = x + iy$ આપેલ હોવાથી,વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = 1 - \alpha^2$ અને $y = 2\alpha$.
$y = 2\alpha$ પરથી,$\alpha = \frac{y}{2}$ મળે.
આ કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 - (\frac{y}{2})^2$
$x = 1 - \frac{y^2}{4}$
$4$ વડે ગુણતા:
$4x = 4 - y^2$
$y^2 + 4x - 4 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(x + iy) + \sqrt{2} |x + iy + 1| + i = 0$
$(x + iy) + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + i = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = 0$
$x + \sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = 0$
$\sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = -x$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2(x^2 + 2x + 2) = x^2$
$2x^2 + 4x + 4 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$
આમ,$z = -2 - i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

(B) ધારો કે $|Z| = |W| = r$.
તેથી $Z = r e^{i\theta}$ અને $W = r e^{i\phi}$,જ્યાં $\theta = \text{arg } Z$ અને $\phi = \text{arg } W$.
આપેલ છે કે $\theta + \phi = \pi$,તેથી $\theta = \pi - \phi$.
આમ,$Z = r e^{i(\pi - \phi)} = r e^{i\pi} e^{-i\phi} = -r e^{-i\phi}$.
કારણ કે $\overline{W} = r e^{-i\phi}$,આપણને $Z = -\overline{W}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે,$\text{arg } \overline{W} = -\text{arg } W = -\phi$.
તેથી $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \theta - (-\phi) = \theta + \phi = \pi$.
આમ,વિધાન $2$ પણ સાચું છે અને તે વિધાન $1$ ની સમજૂતી આપે છે.

(D) આપેલ છે કે $3|z_1| = 4|z_2|$,તેથી $\left|\frac{3z_1}{2z_2}\right| = \frac{3|z_1|}{2|z_2|} = \frac{4|z_2|}{2|z_2|} = 2$.
ધારો કે $w = \frac{3z_1}{2z_2}$. તો $|w| = 2$,તેથી આપણે $w = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ લખી શકીએ.
તેથી $z = w + \frac{1}{w} = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2(\cos \theta + i \sin \theta)}$.
$z = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2}(\cos \theta - i \sin \theta)$.
$z = (2 + \frac{1}{2}) \cos \theta + i(2 - \frac{1}{2}) \sin \theta = \frac{5}{2} \cos \theta + i \frac{3}{2} \sin \theta$.
અહીં $\text{Im}(z) = \frac{3}{2} \sin \theta$ હોવાથી,તે દરેક $\theta$ માટે શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી. આમ,$\text{Im}(z) \neq 0$ એ સામાન્ય રીતે સાચું વિધાન છે.

(A) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$.
$(1 + iz + z^5 + iz^8)^9$ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$1 + iz + z^5 + iz^8 = 1 + e^{i\pi/2}e^{i\pi/6} + e^{i5\pi/6} + e^{i\pi/2}e^{i8\pi/6}$
$= 1 + e^{i2\pi/3} + e^{i5\pi/6} + e^{i11\pi/6}$
$= 1 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$.
હવે,તેની $9$ ઘાત લેતા:
$(e^{i\pi/3})^9 = e^{i3\pi} = -1$.

(D) ધારો કે $z = r_1 e^{i\theta_1}$ અને $w = r_2 e^{i\theta_2}$ છે.
આપેલ છે કે $|zw| = |z||w| = r_1 r_2 = 1$,તેથી $r_2 = \frac{1}{r_1}$.
આપેલ છે કે $\arg(z) - \arg(w) = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta_1 = \theta_2 + \frac{\pi}{2}$.
હવે,$\bar{z}w = (r_1 e^{-i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,$\bar{z}w = (1) e^{i(-\pi/2)} = \cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2) = -i$.
આમ,$\bar{z}w = -i$.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^{2}+bx+45=0$ ના બીજ $z$ અને $\bar{z}$ છે.
બીજ સંકર હોવાથી,વિવેચક $D < 0$,તેથી $b^{2}-4(45) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} < 180$.
બીજ $z = \frac{-b \pm i\sqrt{180-b^{2}}}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $|z+1| = 2\sqrt{10}$,તેથી $|z+1|^{2} = 40$.
ધારો કે $z = x+iy$,તો $x = -b/2$ અને $y = \pm \frac{\sqrt{180-b^{2}}}{2}$.
તેથી,$(x+1)^{2} + y^{2} = 40$.
કિંમતો મૂકતા,$(1 - b/2)^{2} + \frac{180-b^{2}}{4} = 40$.
$1 - b + \frac{b^{2}}{4} + 45 - \frac{b^{2}}{4} = 40$.
$46 - b = 40$,જે $b = 6$ આપે છે.
હવે,$b=6$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$b^{2}-b = 36-6 = 30$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1+2 i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1^2 - (2 i \sin \theta)^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{3 + 8 i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 0$.
તેથી,$\theta = n\pi$,જ્યાં $n \in Z$.

(B) આપેલ છે $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$z = \frac{i-1}{\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2(i-1)}{1 + i \sqrt{3}}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(1 - i \sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{2(i-1)(1 - i \sqrt{3})}{(1 + i \sqrt{3})(1 - i \sqrt{3})} = \frac{2(i + \sqrt{3} - 1 - i^2 \sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{2(\sqrt{3}-1 + i(\sqrt{3}+1))}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ માટે,$r = |z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$.
હવે,$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = \frac{5\pi}{12}$.
આમ,$z = \sqrt{2} (\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$.

(A) આપેલ છે $(x+iy)^{3}=u+iv$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$(x+iy)^{3} = x^{3}+(iy)^{3}+3(x)(iy)(x+iy) = u+iv$
$x^{3}+i^{3}y^{3}+3x^{2}yi+3xy^{2}i^{2} = u+iv$
કારણ કે $i^{2}=-1$ અને $i^{3}=-i$:
$x^{3}-iy^{3}+3x^{2}yi-3xy^{2} = u+iv$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા:
$(x^{3}-3xy^{2}) + i(3x^{2}y-y^{3}) = u+iv$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$u = x^{3}-3xy^{2}$ અને $v = 3x^{2}y-y^{3}$
હવે,$\frac{u}{x}+\frac{v}{y}$ ની કિંમત મેળવતા:
$\frac{u}{x} = \frac{x^{3}-3xy^{2}}{x} = x^{2}-3y^{2}$
$\frac{v}{y} = \frac{3x^{2}y-y^{3}}{y} = 3x^{2}-y^{2}$
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{u}{x}+\frac{v}{y} = (x^{2}-3y^{2}) + (3x^{2}-y^{2})$
$= 4x^{2}-4y^{2} = 4(x^{2}-y^{2})$
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ અસમતા: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$.
અહીં આધાર $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(|z|+11) \geq (|z|-1)^2$.
$2|z| + 22 \geq |z|^2 - 2|z| + 1$.
પદોને ગોઠવતા:
$|z|^2 - 4|z| - 21 \leq 0$.
અવયવ પાડતા:
$(|z|-7)(|z|+3) \leq 0$.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$|z|+3 > 0$,તેથી $|z|-7 \leq 0$,જેનો અર્થ છે $|z| \leq 7$.
$|z| \neq 1$ આપેલ હોવાથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\left| \frac{z+i}{z-3i} \right| = 1$, તેથી $|z+i| = |z-3i|$.
આ સંકર સમતલ પર $-i$ અને $3i$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દર્શાવે છે, જે રેખા $\operatorname{Im}(z) = 1$ છે.
ધારો કે $z = x + i$, જ્યાં $x \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે $w = z \bar{z} - 2z + 2$, $z = x + i$ મૂકતા:
$w = (x+i)(x-i) - 2(x+i) + 2$
$w = (x^2 + 1) - 2x - 2i + 2$
$w = (x^2 - 2x + 3) - 2i$.
આમ, $\operatorname{Re}(w) = x^2 - 2x + 3$.
$\operatorname{Re}(w)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે, $x = 1$ લેતા.
$x = 1$ પર, $\operatorname{Re}(w) = 1 - 2 + 3 = 2$.
તેથી $w = 2 - 2i = 2(1 - i) = 2\sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
$w^n$ વાસ્તવિક હોય તે માટે, $w^n$ નો કોણાંક $\pi$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$\operatorname{arg}(w^n) = n \times (-\pi/4) = -n\pi/4$.
આ $k\pi$ થાય તે માટે, $n/4$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી $n \in N$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $4$ છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}$.
અંશને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $-1+i \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2e^{i 2\pi/3}$.
છેદને લખતા: $1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{-\pi}{4} + i \sin \frac{-\pi}{4} \right) = \sqrt{2}e^{-i \pi/4}$.
તેથી,$z = \frac{2e^{i 2\pi/3}}{\sqrt{2}e^{-i \pi/4}} = \sqrt{2} e^{i (2\pi/3 + \pi/4)} = \sqrt{2} e^{i 11\pi/12}$.
હવે,$z^{30} = (\sqrt{2})^{30} e^{i (11\pi/12) \cdot 30} = 2^{15} e^{i 55\pi/2}$.
કારણ કે $e^{i 55\pi/2} = e^{i (26\pi + 3\pi/2)} = e^{i 3\pi/2} = -i$.
તેથી,$z^{30} = 2^{15} \cdot (-i) = -2^{15} i$.

(A) આપેલ અસમતા: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$
પ્રથમ,જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $|5 \sqrt{7}+9 i| = \sqrt{(5 \sqrt{7})^2 + 9^2} = \sqrt{175 + 81} = \sqrt{256} = 16$.
તેથી,$\log _{\sqrt{2}}(16) = \log _{2^{1/2}}(2^4) = 8 \log _{2}(2) = 8$.
હવે,અસમતા આ મુજબ બને છે: $2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1}} \geq 8$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી: $\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \geq 3$.
ધારો કે $x = |z|$,જ્યાં $x \geq 0$. તો $\frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \geq 3$.
$(x^2 + 2x - 3) \geq 3(x+1)$.
$x^2 + 2x - 3 \geq 3x + 3$.
$x^2 - x - 6 \geq 0$.
$(x-3)(x+2) \geq 0$.
કારણ કે $x = |z| \geq 0$,$x+2$ હંમેશા ધન છે,તેથી $x-3 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|z| \geq 3$.
આમ,$|z|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$ અને $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.
ધારો કે $z = r e^{i \theta_1}$ અને $\omega = \frac{1}{r} e^{i \theta_2}$.
તેથી $\bar{z} = r e^{-i \theta_1}$.
આમ,$\bar{z} \omega = r e^{-i \theta_1} \cdot \frac{1}{r} e^{i \theta_2} = e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3 \pi}{2}$,તેથી $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{3 \pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
તેથી,$\bar{z} \omega = e^{i \pi/2} = i$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2 \bar{z} \omega}{1 + 3 \bar{z} \omega} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$.
કોણાંક શોધવા માટે,છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{1 - 2i}{1 + 3i} \times \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{1 - 3i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 5i - 6}{10} = \frac{-5 - 5i}{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
આ સંકર સંખ્યા ત્રીજા ચરણમાં આવેલી છે.
તેનો કોણાંક $\tan^{-1}\left(\frac{-1/2}{-1/2}\right) - \pi = \tan^{-1}(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3 \pi}{4}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.
ધારો કે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.
$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-3iy=0$.
$(x^{2}-y^{2}+3x) + i(2xy-3y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) \ 2xy-3y=0 \Rightarrow y(2x-3)=0$.
આથી $y=0$ અથવા $x=\frac{3}{2}$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $y=0$,તો $x^{2}+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=-3$. ઉકેલો: $(0,0)$ અને $(-3,0)$.
કિસ્સો $2$: જો $x=\frac{3}{2}$,તો $(\frac{3}{2})^{2}-y^{2}+3(\frac{3}{2})=0$ $\Rightarrow \frac{9}{4}-y^{2}+\frac{9}{2}=0$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{27}{4}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. ઉકેલો: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ અને $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $n=4$.
આપણે $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે, છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 3i \cos \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}{(1 - 3i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}$
$z = \frac{3 + 9i \cos \theta + 2i \cos \theta + 6i^2 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta + 11i \cos \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z) = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$ છે.
$\operatorname{Re}(z) = 0$ આપેલ હોવાથી, $3 - 6 \cos^2 \theta = 0$, જેનો અર્થ છે $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી, $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
હવે, $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ ની ગણતરી કરતા:
$\sin^2 3(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$
પદોને ગોઠવતા: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z + \bar{z} = 2x$.
તેથી,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.
$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$
$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.
$2x(1 + 2y) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $y = -1/2$.
જો $x = 0$,તો $(2)$ પરથી,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. આમ $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.
જો $y = -1/2$,તો $(2)$ પરથી,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.
ઉકેલ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ છે.
આ કિંમતો માટે,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.
$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ પરથી,$x^{2} = x + 1/4$.
તેથી $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.
$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ માટે,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ માટે,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + (2i - 1) = 0$ પરથી,$x^{2} = 1 - 2i$ મળે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} = 1 - 2i$ અને $\beta^{2} = 1 - 2i$ થાય.
તેથી,$\alpha^{8} = (\alpha^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ અને $\beta^{8} = (\beta^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ થાય.
આમ,$\alpha^{8} = \beta^{8}$ છે.
આપણે $|\alpha^{8} + \beta^{8}| = |2\alpha^{8}| = 2|\alpha^{8}| = 2|\alpha^{2}|^{4}$ શોધવાનું છે.
માનાંક $|\alpha^{2}| = |1 - 2i| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ મળે.
તેથી,$|\alpha^{8} + \beta^{8}| = 2(\sqrt{5})^{4} = 2(5^{2}) = 2(25) = 50$.

(C) આપેલ છે $|z| - 2 = 0$,તેથી $|z| = 2$. આ સૂચવે છે કે $x^2 + y^2 = 4$.
આપેલ છે $|z - i| - |z + 5i| = 0$,તેથી $|z - i| = |z + 5i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + (y - 1)i| = |x + (y + 5)i|$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 5)^2$
$(y - 1)^2 = (y + 5)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 10y + 25$
$-12y = 24$
$y = -2$.
$y = -2$ ને $x^2 + y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$x^2 + (-2)^2 = 4$
$x^2 + 4 = 4$
$x^2 = 0$,તેથી $x = 0$.
આમ,બિંદુ $(0, -2)$ છે.
$(0, -2)$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$C: 0 - 2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$.
$\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{1+4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2\sin^2 \alpha - 3i \sin \alpha}{1+4 \sin^2 \alpha}$.
વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય લેતા: $1 - 2\sin^2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
$\pi < \alpha < 2\pi$ હોવાથી,$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
$\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{(1+i \cos \beta)(1+2i \cos \beta)}{1+4 \cos^2 \beta} = \frac{1 - 2\cos^2 \beta + 3i \cos \beta}{1+4 \cos^2 \beta}$.
કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય લેતા: $3 \cos \beta = 0 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
$\pi < \beta < 2\pi$ હોવાથી,$\beta = \frac{3\pi}{2}$.
$\alpha = \frac{5\pi}{4}$ માટે,$\sin 2\alpha = \sin \frac{5\pi}{2} = 1$. $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ માટે,$\sin 2\alpha = \sin \frac{7\pi}{2} = -1$.
$\beta = \frac{3\pi}{2}$ માટે,$\cos 2\beta = \cos 3\pi = -1$.
આમ,$Z_1 = 1-i$ અને $Z_2 = -1-i$.
$Z = 1-i$ માટે,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1+i}{2}$.
$Z = -1-i$ માટે,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1-i}{2}$.
સરવાળો $= \frac{1+i}{2} + \frac{1-i}{2} = 1$.

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.
$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$.
$b \neq 0$ હોવાથી,$z \neq 0$,તેથી $|z| = 2^{1-|z|}$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$|z| = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$.
મૂળ સમીકરણમાં $|z| = 1$ મૂકતા,$z^{2} = \overline{z}$.
$z$ વડે ગુણતા,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$.
આમ,$z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,એટલે કે $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/3}$.
આપણે $n \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે જેથી $z^{n} = (z + 1)^{n}$ થાય.
$1 + \omega = -\omega^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,અથવા $\omega^{n} = (-1)^{n}$.
જો $n = 3$ હોય,તો $\omega^{3} = 1$ અને $(-1)^{3} = -1$ (સમાન નથી).
જો $n = 6$ હોય,તો $\omega^{6} = 1$ અને $(-1)^{6} = 1$. આમ,$n = 6$ એ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(A) આપેલ છે કે $z = 2 + 3i$,તેથી $\bar{z} = 2 - 3i$.
આપણે $z^{5} + (\bar{z})^{5} = (2 + 3i)^{5} + (2 - 3i)^{5}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^{n} + (a-b)^{n} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z^{5} + (\bar{z})^{5} = 2 [\binom{5}{0} 2^{5} + \binom{5}{2} 2^{3} (3i)^{2} + \binom{5}{4} 2^{1} (3i)^{4}]$
$= 2 [1 \times 32 + 10 \times 8 \times (-9) + 5 \times 2 \times 81]$
$= 2 [32 - 720 + 810]$
$= 2 [122]$
$= 244$.

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય.
આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$.
આપેલ છે $z^2+w^2=1$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ મળે છે.
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $\bar{w}=\frac{1}{w}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ થાય છે.
$z^2+w^2=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z^2w^2}=1$ મળે,તેથી $z^2w^2=1$,જેનો અર્થ છે કે $(zw)^2=1$,એટલે કે $zw=1$ અથવા $zw=-1$.
કિસ્સો $1$: $zw=1$. તો $w=\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ મળે. આ $z^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ આપે છે. આમ $z$ ની $4$ કિંમતો મળે.
કિસ્સો $2$: $zw=-1$. તો $w=-\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ મળે,જે કિસ્સા $1$ જેવું જ છે. આ પણ $z$ ની $4$ કિંમતો આપે છે.
કુલ ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા $4+4=8$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $11 z^8 + 21 i z^7 + 10 i z - 22 = 0$ છે.
આને $11 z^8 - 22 = -21 i z^7 - 10 i z$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|11 z^8 - 22| = |-21 i z^7 - 10 i z|$ મળે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|11 z^8 - 22| \leq 11|z|^8 + 22$ મળે.
તે જ રીતે,$|-21 i z^7 - 10 i z| = |z| |21 i z^6 + 10 i| \leq |z| (21|z|^6 + 10)$ મળે.
આ બહુપદીના બીજ માટે $1 < |z| < 2$ સાબિત કરી શકાય છે.
ધારો કે $r = |z|$,તો $1 < r < 2$ થાય.
$S = r^2 + r + 1$ લેતા,$1^2 + 1 + 1 < S < 2^2 + 2 + 1$ મળે.
આમ,$3 < S < 7$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$.
ધારો કે $z = re^{i\theta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3\theta} + r^{-3}e^{-i3\theta}| \leq 2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$.
જો કે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$.
$AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$r^3 + r^{-3} \geq 2$.
કારણ કે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ અને $r^3+r^{-3} \geq 2$,તેથી શરત સંતોષવા માટે $|z|=1$ હોવું જરૂરી છે.
જો $|z|=1$,તો $z = e^{i\theta}$,તેથી $|z+z^{-1}| = |e^{i\theta} + e^{-i\theta}| = |2\cos\theta|$.
$|2\cos\theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $\cos\theta = \pm 1$ હોય.

(C) ધારો કે $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$
$i$ વડે ગુણતા,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$
$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$
$(1 - i)^2 = -2i$ હોવાથી:
$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$
મોટા $n$ માટે,$n$ વાળું પદ પ્રભાવી છે. $|S_n| = 18\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી:
$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$
તેથી $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે $n = 36$.

(C) ધારો કે $x = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x - \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
$(x - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$
$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 2 + 3 + 2\sqrt{6}$
$x^2 + 1 = 2\sqrt{6}(x + 1)$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x^2 + 1)^2 = 24(x + 1)^2$
$x^4 + 2x^2 + 1 = 24(x^2 + 2x + 1)$
$x^4 - 22x^2 - 48x - 23 = 0$.
આમ,લઘુત્તમ બહુપદીની ઘાત $4$ છે,તેથી $n$ ની લઘુત્તમ શક્ય કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
અહીં $|z|^2 = 1$ હોવાથી,$\bar{z} = \frac{1}{z}$ થાય.
આથી પદાવલિ $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ બને.
હવે,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
તેથી $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(B) ધારો કે $z_1 = x_1 + i y_1$ અને $z_2 = x_2 + i y_2$, જ્યાં $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1 + x_2 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $x_2 = -x_1$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $x_2 = -x_1$ મૂકતા, આપણને $x_1(-x_1) - y_1 y_2 = 0$ મળે છે, જેનું સાદુંરૂપ $-x_1^2 - y_1 y_2 = 0$ અથવા $y_1 y_2 = -x_1^2$ થાય છે.
કારણ કે $z_1, z_2$ શૂન્યતર છે, જો $x_1 = 0$ હોય, તો $x_2 = 0$ થાય. પરિણામે, $y_1 y_2 = 0$ થાય. પરંતુ $z_1, z_2 \neq 0$ હોવાથી, આનો અર્થ એ થાય કે $y_1 \neq 0$ અને $y_2 \neq 0$, જે $y_1 y_2 = 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી, $x_1 \neq 0$, એટલે કે $x_1^2 > 0$.
તેથી, $y_1 y_2 = -x_1^2 < 0$.
આ દર્શાવે છે કે $y_1$ અને $y_2$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ, $\operatorname{Im}(z_1)$ અને $\operatorname{Im}(z_2)$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ છે, જે કિસ્સાઓ $(B)$ અને $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ છે $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદ $e^{i\pi/3}$ છે.
તેથી,$z = (i-1) e^{-i\pi/3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i-1 = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4}$.
તેથી,$z = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4} \cdot e^{-i\pi/3} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4 - \pi/3)} = \sqrt{2} e^{i(9\pi/12 - 4\pi/12)} = \sqrt{2} e^{i 5\pi/12}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,આ $\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ છે.