Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(B) આપેલ બીજ $z_1 = \sqrt{3} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3}$ અને $z_2 = \sqrt{2} + 5i$ છે.
સંમેય સહગુણકો માટે,અસંમેય બીજો અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
$z_1 = 4\sqrt{3}$ માટે,ન્યૂનતમ બહુપદી $x^2 - 48 = 0$ છે,જેના બીજ $4\sqrt{3}$ અને $-4\sqrt{3}$ છે.
$z_2 = \sqrt{2} + 5i$ માટે,ન્યૂનતમ બહુપદી $x^4 + 46x^2 + 729 = 0$ છે,જેના બીજ $\pm\sqrt{2} \pm 5i$ છે.
આમ,કુલ ઘાત $2 + 4 = 6$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $k \sqrt{-1} = ki$ એ સમીકરણ $x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80=0$ નું બીજ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $-ki$ પણ બીજ હોવી જોઈએ.
આમ,$(x-ki)(x+ki) = x^2+k^2$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80$ ને $x^2+k^2$ વડે ભાગતા:
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80 = (x^2+k^2)(x^2+6x-(16+k^2)) + (24-6k^2)x + (k^2(16+k^2)-80)$.
$x^2+k^2$ અવયવ હોવા માટે,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$x$ નો સહગુણક શૂન્ય લેતા: $24-6k^2 = 0 \implies 6k^2 = 24 \implies k^2 = 4$.
અચળ પદ તપાસતા: $k^2(16+k^2)-80 = 4(16+4)-80 = 4(20)-80 = 0$.
આમ,$k^2 = 4$ એ સાચી કિંમત છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે.
જો સંકર સંખ્યા $a+bi$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $a-bi$ પણ બીજ હોય. તેથી,$1+2i$ અને $1-2i$ બીજ છે.
જો અસંમેય સંખ્યા $a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપનું બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $a-\sqrt{b}$ પણ બીજ હોય. તેથી,$2-\sqrt{3}$ અને $2+\sqrt{3}$ બીજ છે.
વધુમાં,$5$ એ પણ બીજ આપેલ છે.
તેથી,કુલ બીજ $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ અને $5$ છે.
આમ,બહુપદીની ન્યૂનતમ ઘાત $n$ એ $5$ છે.

(A) આપેલ છે $(x-iy)^{1/3} = a-ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$x-iy = (a-ib)^3$
$x-iy = a^3 - (ib)^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$x-iy = a^3 + ib^3 - 3a^2bi - 3ab^2$
$x-iy = (a^3 - 3ab^2) - i(3a^2b - b^3)$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = a^3 - 3ab^2 \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$
$y = 3a^2b - b^3 \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2)$
$= 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(C) આપેલ છે $x = -5 + 2 \sqrt{-4} = -5 + 4i$.
$x + 5 = 4i$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x + 5)^2 = (4i)^2$
$x^2 + 10x + 25 = -16$
$x^2 + 10x + 41 = 0$
હવે,બહુપદી $P(x) = x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ને $x^2 + 10x + 41$ વડે ભાગતા:
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$
કારણ કે $x^2 + 10x + 41 = 0$,તેથી:
$P(x) = 0 \cdot (x^2 - x + 4) - 160 = -160$.

(A) આપણી પાસે છે,
$\frac{(1+i)^{2016}}{(1-i)^{2014}} = \frac{(1+i)^{2014} \times (1+i)^2}{(1-i)^{2014}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2014} \times (1+i)^2$
કારણ કે $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i$
તેથી,પદાવલિ $i^{2014} \times (1+2i+i^2)$ બને છે
$= i^{2014} \times (2i)$
કારણ કે $i^4 = 1$,$i^{2014} = (i^4)^{503} \times i^2 = 1^{503} \times (-1) = -1$
તેથી,$-1 \times 2i = -2i$

(D) આપેલ છે $x = 3 - 2\sqrt{3}i$.
ગોઠવતા,$x - 3 = -2\sqrt{3}i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 3)^2 = (-2\sqrt{3}i)^2$.
$x^2 - 6x + 9 = -12$.
$x^2 - 6x + 21 = 0$.
બહુપદી $P(x) = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x - 54$ ને $(x^2 - 6x + 21)$ વડે ભાગતા,
$P(x) = (x^2 - 6x + 21)(x^2 - 6x - 3) + 9$.
તેથી,કિંમત $9$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$|Z-1| \leq 2$ અને $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$-1-\omega = \omega^2$ થાય.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $|\omega^2 Z + \omega^2| = a$.
$|\omega^2| = 1$ હોવાથી,આ $|Z+1| = a$ માં પરિણમે છે.
આને $|(Z-1)+2| = a$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|Z-1+2| \leq |Z-1| + |2|$.
$|Z-1| \leq 2$ આપેલ હોવાથી,$a = |Z+1| \leq |Z-1| + 2 \leq 2 + 2 = 4$.
વળી,માનાંક $a$ હંમેશા અઋણ હોય,તેથી $a \geq 0$.
આમ,$a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $0 \leq a \leq 4$ છે.

(C) આપેલ બીજ $z_1 = 2 - 3i$,$z_2 = i$ અને $z_3 = \bar{z}_1 = 2 + 3i$ છે.
ઘાત સમીકરણ $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(z - i)(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = 0$.
છેલ્લા બે અવયવોનો ગુણાકાર કરતા: $(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = z^2 - 4z + 13$.
હવે,$(z - i)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $(z - i)(z^2 - 4z + 13) = z^3 + (-4 - i)z^2 + (13 + 4i)z - 13i = 0$.
$z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$b = -4 - i$,$c = 13 + 4i$,અને $d = -13i$ મળે છે.
તેથી,$b + c + d = 9 - 10i$.

(D) આપેલ છે,$(x-iy)^{1/3} = 2-i\sqrt{3}$
$\Rightarrow x-iy = (2-i\sqrt{3})^3$
નિત્યસમ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x-iy = 2^3 - 3(2^2)(i\sqrt{3}) + 3(2)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3$
$x-iy = 8 - 12i\sqrt{3} - 18 + 3i\sqrt{3}$
$x-iy = -10 - 9i\sqrt{3}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = -10$ અને $y = 9\sqrt{3}$ મળે છે.
બિંદુ $z = (x, y)$ એ રેખા $\frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{3}} = k$ પર આવેલું હોવાથી:
$\frac{-10}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = k$
$-5 + 9 = k$
$k = 4$

(D) આપેલ શરત $(a+bi)^3 = a-bi$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 = a-bi$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) a^3 - 3ab^2 = a \Rightarrow a(a^2 - 3b^2 - 1) = 0$.
$2) 3a^2b - b^3 = -b \Rightarrow b(3a^2 - b^2 + 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $a=0$ હોય,તો $b(1-b^2) = 0$,તેથી $b=0, 1, -1$. જોડીઓ: $(0,0), (0,1), (0,-1)$.
કિસ્સો $2$: જો $b=0$ હોય,તો $a(a^2 - 1) = 0$,તેથી $a=0, 1, -1$. જોડીઓ: $(0,0), (1,0), (-1,0)$.
કિસ્સો $3$: જો $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ હોય,તો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ મળતો નથી.
કુલ અલગ જોડીઓ $(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)$ છે.
આમ,કુલ $5$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x+iy = \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|x+iy| = \left| \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta} \right|$.
$|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$ હોવાથી,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{|2+\cos \theta + i \sin \theta|}$.
છેદનો માનાંક ગણતા: $|2+\cos \theta + i \sin \theta| = \sqrt{(2+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \sqrt{5+4\cos \theta}$.
તેથી,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{\sqrt{5+4\cos \theta}}$,જેનો અર્થ છે કે $x^2+y^2 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
હવે,$4x-3$ ધ્યાનમાં લો. $x+iy = \frac{3(2+\cos \theta) - 3i \sin \theta}{5+4\cos \theta}$ પરથી,$x = \frac{3(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta}$.
તેથી $4x-3 = \frac{12(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta} - 3 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
આમ,$x^2+y^2 = 4x-3$.

(A) આપેલ છે,$z=x-iy$ અને $z^{1/3}=a+ib$.
બંને બાજુ ઘન લેતા,આપણને મળે છે:
$(z^{1/3})^3 = (a+ib)^3$
$z = a^3 + (ib)^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$z = a^3 - ib^3 + 3a^2bi - 3ab^2$
$z = (a^3 - 3ab^2) - i(b^3 - 3a^2b)$
$z = x - iy$ હોવાથી,વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x = a^3 - 3ab^2$ અને $y = b^3 - 3a^2b$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(x/a + y/b)}{a^2+b^2} = \frac{((a^3 - 3ab^2)/a + (b^3 - 3a^2b)/b)}{a^2+b^2}$
$= \frac{(a^2 - 3b^2 + b^2 - 3a^2)}{a^2+b^2}$
$= \frac{-2a^2 - 2b^2}{a^2+b^2} = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\bar{z} = x - iy$.
$z + \bar{z} = 2x$ અને $z - \bar{z} = 2iy$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(7 + i)(2x) - (4 + i)(2iy) + 116i = 0$
$(14x + 2ix) - (8iy - 2y) + 116i = 0$
$(14x + 2y) + i(2x - 8y + 116) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$14x + 2y = 0 \Rightarrow y = -7x$
$2x - 8y + 116 = 0$
બીજા સમીકરણમાં $y = -7x$ મૂકતા:
$2x - 8(-7x) + 116 = 0$
$2x + 56x + 116 = 0$
$58x = -116 \Rightarrow x = -2$
તેથી $y = -7(-2) = 14$.
આમ,$z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2 = (-2)^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200$.

(D) આપેલ છે: $z_1=1-2 i, z_2=1+i, z_3=3+4 i$.
આપણે $\left(\frac{1}{z_1}+\frac{3}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{1-2 i}+\frac{3}{1+i} = \frac{(1+i)+3(1-2 i)}{(1-2 i)(1+i)} = \frac{4-5 i}{3-i}$.
હવે,$\frac{z_3}{z_2}$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$\left(\frac{4-5 i}{3-i}\right) \left(\frac{3+4 i}{1+i}\right) = \frac{32+i}{4+2 i}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{32+i}{4+2 i} \times \frac{4-2 i}{4-2 i} = \frac{130-60 i}{20} = \frac{13}{2}-3 i$.

(D) ધારો કે $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
$z$ ને શુદ્ધ કાલ્પનિક બનાવવા માટે,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1+2i \sin \theta$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)} = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta + 7i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$ છે.
વાસ્તવિક ભાગને $0$ લેતા: $2 - 6 \sin^2 \theta = 0 \implies 6 \sin^2 \theta = 2 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.

(B) ધારો કે $t = z^4$. સમીકરણ $t^2 - 20t + 64 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(t-16)(t-4) = 0$ મળે છે.
તેથી,$z^4 = 16$ અથવા $z^4 = 4$.
$z^4 = 16$ માટે,બીજો $z = 2, -2, 2i, -2i$ છે.
કાલ્પનિક બીજો $2i$ અને $-2i$ છે.
$z^4 = 4$ માટે,બીજો $z = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$ છે.
કાલ્પનિક બીજો $\sqrt{2}i$ અને $-\sqrt{2}i$ છે.
કાલ્પનિક બીજોના વર્ગો $(2i)^2 = -4$,$(-2i)^2 = -4$,$(\sqrt{2}i)^2 = -2$,અને $(-\sqrt{2}i)^2 = -2$ છે.
કાલ્પનિક બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $(-4) + (-4) + (-2) + (-2) = -12$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^3+\bar{z}=0$ છે,જ્યાં $z=x+iy$ એક સંકર સંખ્યા છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|z^3| = |-\bar{z}|$.
$|z^3| = |z|^3$ અને $|-\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^3 = |z|$ મળે.
આથી $|z|(|z|^2-1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $|z|=0$,જે ઉકેલ $z=0$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $|z|^2=1$,જેનો અર્થ છે $z\bar{z}=1$,તેથી $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,જે $z^4+1=0$ માં પરિણમે છે.
સમીકરણ $z^4 = -1$ ના $4$ ભિન્ન બીજ મળે છે.
કિસ્સો $1$ માંથી મળેલ ઉકેલ $z=0$ ને ઉમેરતા,કુલ ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 4 = 5$ થાય છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{3-2 i \sin \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1-2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3-2 i \sin \theta)(1-2 i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta - 8 i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા માટે વાસ્તવિક ભાગ $0$ થવો જોઈએ:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
તેથી,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $z^3+\bar{z}=0$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z^3| = |-\bar{z}|$,જેનો અર્થ છે $|z|^3 = |z|$.
આથી $|z|(|z|^2 - 1) = 0$ મળે.
કિસ્સો $1$: $|z| = 0$,જેનો અર્થ છે $z = 0$. આ $1$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $|z|^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $z\bar{z} = 1$,તેથી $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,જે $z^4 + 1 = 0$ આપે છે.
સમીકરણ $z^4 = -1$ ના $4$ ભિન્ન ઉકેલો મળે છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 4 = 5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતાના ગુણધર્મ $||z_1|-|z_2|| \leq |z_1-z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$||z|-\left|\frac{2}{z}\right|| \leq \left|z-\frac{2}{z}\right| = 2$.
ધારો કે $|z| = r$. તેથી $|r - \frac{2}{r}| \leq 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $-2 \leq r - \frac{2}{r} \leq 2$.
જમણી બાજુની અસમતા લેતા: $r - \frac{2}{r} \leq 2
\Rightarrow r^2 - 2r - 2 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $r^2 - 2r - 2 = 0$ ઉકેલતા:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
કારણ કે $r = |z| > 0$,તેથી $r \leq 1 + \sqrt{3}$.
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{3} + 1$ છે.

(D) ધારો કે $z = -3-4i$. આપણને $\sqrt{z} = re^{i\theta}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$z = r^2 e^{i2\theta} = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી $z = -3-4i$ સાથે કરતા:
$r^2 \cos 2\theta = -3$ અને $r^2 \sin 2\theta = -4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r^2 = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
ટેન્જન્ટ માટે ડબલ એંગલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan 2\theta = \frac{r^2 \sin 2\theta}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 \tan \theta = 4 - 4 \tan^2 \theta$,અથવા $4 \tan^2 \theta + 6 \tan \theta - 4 = 0$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$2 \tan^2 \theta + 3 \tan \theta - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(2 \tan \theta - 1)(\tan \theta + 2) = 0$ મળે,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\tan \theta = -2$.
$\tan \theta = -2$ લેતા,$r^2 \tan \theta = 5 \times (-2) = -10$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $i z^3+z^2-z+i=0$
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$i z^2(z-i) - 1(z-i) = 0$
$(z-i)(i z^2-1) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $z-i=0 \Rightarrow z=i$. તેથી $|z| = |i| = 1$.
કિસ્સો $2$: $i z^2-1=0 \Rightarrow i z^2=1$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|i z^2| = |1|$
$|i| \cdot |z|^2 = 1$
$1 \cdot |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z| = 1$.
બંને કિસ્સામાં,$|z| = 1$ મળે છે.

(B) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ અનુબદ્ધ હોય જો $a = c$ અને $b = -d$ હોય.
અહીં $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ આપેલ છે.
તેથી,$\sin x = \cos x$ અને $\cos 2x = \sin 2x$ થવું જોઈએ.
$\sin x = \cos x$ પરથી $\tan x = 1$ મળે,એટલે કે $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\cos 2x = \sin 2x$ પરથી $\tan 2x = 1$ મળે,એટલે કે $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.
કોઈપણ $x$ માટે આ બંને શરતો એકસાથે સંતોષાતી નથી,તેથી કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $\overline{z} = i z^2 \dots (i)$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|\overline{z}| = |i z^2|$ $\Rightarrow |z| = |i| |z|^2$ $\Rightarrow |z| = |z|^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z|(|z| - 1) = 0$,તેથી $|z| = 0$ અથવા $|z| = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $|z| = 0$,તો $z = 0$. આ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $|z| = 1$,તો $\overline{z} = 1/z$. સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$1/z = i z^2 \Rightarrow z^3 = 1/i = -i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-i = e^{i(3\pi/2 + 2k\pi)}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
તેથી,$z = e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$.
$k = 0$ માટે,$z = e^{i\pi/2} = i$.
$k = 1$ માટે,$z = e^{i(7\pi/6)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$k = 2$ માટે,$z = e^{i(11\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$z = 0$ ને ગણતા,કુલ $1 + 3 = 4$ ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$
પદોને ગોઠવતા: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$
$(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$
$z$ અને $w$ શૂન્યતર હોવાથી: $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1}$
ધારો કે $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1} = k$
તેથી $z = k(|z|^2 + 1)$ અને $w = k(|w|^2 + 1)$
$z$ અને $w$ સંકર સંખ્યાઓ હોવાથી,$k$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
જો $k$ વાસ્તવિક હોય,તો $\frac{z}{w} = \frac{|z|^2 + 1}{|w|^2 + 1}$,જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,$z = cw$ જ્યાં $c \neq 1$ એક વાસ્તવિક અચળાંક છે.
મૂળ સમીકરણમાં $z = cw$ મૂકતા:
$c^2 |w|^2 w - c |w|^2 w = (c - 1) w$
$w \neq 0$ હોવાથી,$w$ વડે ભાગતા:
$c |w|^2 (c - 1) = c - 1$
$z \neq w$ હોવાથી,$c \neq 1$,તેથી $(c - 1)$ વડે ભાગતા:
$c |w|^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{|w|^2}$
તેથી,$z = \frac{w}{|w|^2} = \frac{w}{w \bar{w}} = \frac{1}{\bar{w}}$
આમ,$z \bar{w} = 1$ મળે છે.

(A) આપણે $f(z) = |z| + |2z - 3| + |z - 1|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
માનાંકના ગુણધર્મ $|a| + |b| \geq |a + b|$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |z + z - 1 + 3 - 2z|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |2|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq 2$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(2+i)$ એ સમીકરણ $x^3-5x^2+9x-5=0$ નું બીજ છે,તેથી બીજું અવાસ્તવિક સંકર બીજ $(2-i)$ થશે.
ધારો કે ત્રીજું બીજ $\alpha$ છે,તેથી બીજના ગુણાકારના નિયમ મુજબ,
$(2+i)(2-i) \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $i x^2 - 3 x - 2 i = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં $a = i$,$b = -3$,$c = -2i$.
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(i)(-2i)}}{2(i)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8i^2}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm 1}{2i}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{4}{2i} = -2i$
કિસ્સો $2$: $x = \frac{2}{2i} = -i$
આમ,ઉકેલ $x = -i$ અને $x = -2i$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\bar{z} = i z^2$ છે.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને મળે $z = \bar{i} \bar{z}^2 = -i \bar{z}^2$.
સમીકરણમાં $\bar{z} = i z^2$ મૂકતા:
$z = -i (i z^2)^2$
$z = -i (i^2 z^4)$
$z = -i (-1) z^4$
$z = i z^4$
$z^4 - i z = 0$
$z (z^3 - i) = 0$
આપણે શૂન્યતર ઉકેલો શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $z \neq 0$,માટે $z^3 - i = 0$.

(C) આપેલ $Z = a + ib$ માટે,$\hat{Z} = b + ia = i(a - ib) = i\bar{Z}$ છે.
ધારો કે $Z_1 = a + ib$ અને $Z_2 = c + id$.
તો $Z_1 Z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$.
$\hat{Z}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\widehat{Z_1 Z_2} = (ad + bc) + i(ac - bd)$.
હવે,$\hat{Z}_1 \hat{Z}_2 = (b + ia)(d + ic) = (bd - ac) + i(bc + ad)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\alpha = \frac{a+ib}{1-c}$.
બંને બાજુ માનાંકનો વર્ગ લેતા,$|\alpha|^2 = \frac{a^2+b^2}{(1-c)^2} \quad \dots(i)$.
આપેલ છે કે $a^2+b^2+c^2=c$,તેથી $a^2+b^2 = c-c^2 = c(1-c) \quad \dots(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$|\alpha|^2 = \frac{c(1-c)}{(1-c)^2} = \frac{c}{1-c}$.
આથી $1+|\alpha|^2 = 1 + \frac{c}{1-c} = \frac{1-c+c}{1-c} = \frac{1}{1-c}$.
તેથી,$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$.
$(ii)$ પરથી,$a^2+b^2 = c(1-c) = (1-(1-c))(1-c) = (1-c) - (1-c)^2$.
$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$ મૂકતા,$a^2+b^2 = \frac{1}{1+|\alpha|^2} - \left(\frac{1}{1+|\alpha|^2}\right)^2 = \frac{1+|\alpha|^2-1}{(1+|\alpha|^2)^2} = \frac{|\alpha|^2}{(1+|\alpha|^2)^2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે.
$z^2$ વડે ભાગતા ($z \neq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$.
વળી,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,તેથી $z+\frac{1}{z} = \pm 1$.
$z^3+\frac{1}{z^3}$ માટે,આપણે નિત્યસમ $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
જો $z+\frac{1}{z} = 1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$.
પદાવલિ $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ બને છે.
જો $z+\frac{1}{z} = -1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$.
પદાવલિ $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ બને છે.
સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના બીજ $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ છે. આ માટે,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$. તેથી,કિંમત $8$ છે.

(A) આપેલ છે,$(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|a+ib|^2 = |c+id|^2 |x+iy|$
$|z|^2 = a^2+b^2$ હોવાથી,
$a^2+b^2 = (c^2+d^2) \sqrt{x^2+y^2}$
આપેલ કિંમતો $a^2+b^2=4$ અને $c^2+d^2=2$ મૂકતા:
$4 = 2 \sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+y^2 = 4$

(D) આપેલ છે,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતા $|a+b| \leq |a|+|b|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \left|z-\frac{4}{z} + \frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા: $|z|^2 \leq 2|z| + 4$.
$|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(|z|-1)^2 - 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow (|z|-1)^2 \leq 5$.
વર્ગમૂળ લેતા: $|z|-1 \leq \sqrt{5}$.
તેથી,$|z| \leq \sqrt{5}+1$.
$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{5}+1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
ગુણાકાર $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ નીચે મુજબ છે:
$P = e^{i \frac{\pi}{4^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^3}} \ldots = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
ઘાતાંક એ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$P = e^{i \pi \left(\frac{1}{3}\right)} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
$P = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $z = 3+5i$,તેથી તેનો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 3-5i$ થાય.
પ્રથમ,$z^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$z^2 = (3+5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3 = 0 + 5i + 3 = 3 + 5i$.

(A) આપેલ છે કે $(r, \theta) = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
તેથી,$x = e^{i\alpha}$,$y = e^{i\beta}$,અને $z = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $x + y + z = 0$,આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યાઓ માટે,જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
$xyz$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\frac{e^{2i\alpha}}{e^{i\beta}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\beta}}{e^{i\alpha}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\gamma}}{e^{i\alpha}e^{i\beta}} = 3$.
$e^{i(2\alpha - \beta - \gamma)} + e^{i(2\beta - \alpha - \gamma)} + e^{i(2\gamma - \alpha - \beta)} = 3$.
બંને બાજુ વાસ્તવિક ભાગ લેતા:
$\cos(2\alpha - \beta - \gamma) + \cos(2\beta - \alpha - \gamma) + \cos(2\gamma - \alpha - \beta) = 3$.

(C) આપેલ છે કે $|z|=1$ અને $\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}$.
$z = |z|e^{i \operatorname{Arg}(z)} = 1 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}} = e^{i \frac{\pi}{6}}$.
તેથી $z^6 = (e^{i \frac{\pi}{6}})^6 = e^{i \pi} = -1$.
અને $z^{12} = (e^{i \frac{\pi}{6}})^{12} = e^{2 \pi i} = 1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{z^{12}+1-z^6}{z^{12}+i z^6-1} = \frac{1+1-(-1)}{1+i(-1)-1} = \frac{3}{-i} = \frac{3}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{3i}{-i^2} = 3i$.

(C) ધારો કે $C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ અને $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{2^n}$.
$C + iS = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{e^{i \theta}}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{e^{i \theta}}{2}} = \frac{2}{2 - \cos \theta - i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને $(2 - \cos \theta + i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$C + iS = \frac{2(2 - \cos \theta + i \sin \theta)}{(2 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \frac{4 - 2 \cos \theta + 2i \sin \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગની સરખામણી કરતા, $C = \frac{4 - 2 \cos \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.

(D) આપેલ છે $z = \cos 6^{\circ} + i \sin 6^{\circ} = e^{i 6^{\circ}}$.
આપણે $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}(z^{2n-1}) = \operatorname{Im} \left( \sum_{n=1}^{20} z^{2n-1} \right)$ શોધવાનું છે.
આ સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = z + z^3 + z^5 + \dots + z^{39}$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = z$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = z^2 = e^{i 12^{\circ}}$ છે.
$20$ પદોનો સરવાળો $S = z \frac{(z^2)^{20} - 1}{z^2 - 1} = z \frac{z^{40} - 1}{z^2 - 1}$ થાય.
$z = e^{i 6^{\circ}}$ મૂકતા,$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 240^{\circ}} - 1}{e^{i 12^{\circ}} - 1}$ મળે.
$e^{i \theta} - 1 = e^{i \theta/2} (2i \sin(\theta/2))$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = e^{i 6^{\circ}} \frac{e^{i 120^{\circ}} (2i \sin 120^{\circ})}{e^{i 6^{\circ}} (2i \sin 6^{\circ})} = e^{i 120^{\circ}} \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 6^{\circ}} = \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 6^{\circ}}$.
$S = -\frac{\sqrt{3}}{4 \sin 6^{\circ}} + i \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.
કાલ્પનિક ભાગ લેતા,$\operatorname{Im}(S) = \frac{3}{4 \sin 6^{\circ}}$.

(C) $\theta = \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ અને $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ થાય.
પ્રથમ પદમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2024} = (i)^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1$.
બીજા પદ માટે: $\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)} = \frac{1+i}{1+i} = 1$.
આમ,પદાવલિ $1^{2024} + 1^{2025} = 1 + 1 = 2$ બને છે.
$x+iy = 2$ હોવાથી,$x=2$ અને $y=0$ મળે.
તેથી,$x+y = 2+0 = 2$.

(C) સંકર સંખ્યાઓના ધ્રુવીય સ્વરૂપના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,આપેલ પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય:
$e^{i \frac{\pi}{2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \frac{\pi}{8}} \ldots \infty$
$= e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \infty)}$
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\pi}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ છે.
$S_{\infty} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}} = \pi$.
આમ,પદાવલિ $e^{i\pi}$ બને છે.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)^2 - 4$.
ધારો કે $x = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. તો $x+\frac{1}{x} = 2 \cos \theta = \sqrt{3}$,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ અને $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$.
તેથી $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$.
તેથી,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}\right)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
કારણ કે $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ નો આવર્તકાળ $6$ છે,તેથી $24$ પદોનો સરવાળો $4 \times \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ થાય.
$\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$.
આમ,કુલ સરવાળો $-4 \times (4 \times 3) = -48$ થાય.