Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(D) दिया गया है $x = 3 + i$,इसलिए $x - 3 = i$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 3)^2 = i^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 - 6x + 9 = -1$,जो सरल होकर $x^2 - 6x + 10 = 0$ हो जाता है।
अब,$x^3 - 3x^2 - 8x + 15$ को $(x^2 - 6x + 10)$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$x^3 - 3x^2 - 8x + 15 = x(x^2 - 6x + 10) + 3(x^2 - 6x + 10) - 15$।
$x^2 - 6x + 10 = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(0) + 3(0) - 15 = -15$ प्राप्त होता है।

(D) माना ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c + id$,जहाँ $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
तब ${z_1}{z_2} = (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.
गुणनफल का वास्तविक भाग $Re({z_1}{z_2}) = ac - bd$ है।
चूँकि $a = Re(z_1)$,$c = Re(z_2)$,$b = Im(z_1)$,और $d = Im(z_2)$,हमारे पास है:
$Re({z_1}{z_2}) = Re(z_1) \cdot Re(z_2) - Im(z_1) \cdot Im(z_2)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A, B,$ या $C$ सही व्यंजक नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $z = \frac{\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i}}{\sqrt{5 + 12i} - \sqrt{5 - 12i}}$.
अंश और हर को $(\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:
$z = \frac{(\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i})^2}{(\sqrt{5 + 12i})^2 - (\sqrt{5 - 12i})^2}$
$z = \frac{(5 + 12i) + (5 - 12i) + 2\sqrt{(5 + 12i)(5 - 12i)}}{(5 + 12i) - (5 - 12i)}$
$z = \frac{10 + 2\sqrt{25 - 144i^2}}{24i}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $25 - 144i^2 = 25 + 144 = 169$.
$z = \frac{10 + 2(13)}{24i} = \frac{10 + 26}{24i} = \frac{36}{24i} = \frac{3}{2i} = -\frac{3}{2}i$.

(C) दिया गया है कि ${a^2} + {b^2} = 1$ है।
व्यंजक $Z = \frac{{1 + b + ia}}{{1 + b - ia}}$ पर विचार करें।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + b + ia)$ से गुणा करने पर:
$Z = \frac{{(1 + b + ia)(1 + b + ia)}}{{(1 + b - ia)(1 + b + ia)}}$
$Z = \frac{{(1 + b)^2 + (ia)^2 + 2ia(1 + b)}}{{(1 + b)^2 + a^2}}$
चूंकि ${a^2} + {b^2} = 1$,इसलिए ${a^2} = 1 - {b^2}$ है।
$Z = \frac{{1 + 2b + {b^2} - {a^2} + 2ia(1 + b)}}{{1 + 2b + {b^2} + {a^2}}}$
हर में ${a^2} + {b^2} = 1$ रखने पर:
$Z = \frac{{1 + 2b + {b^2} - (1 - {b^2}) + 2ia(1 + b)}}{{1 + 2b + 1}}$
$Z = \frac{{2{b^2} + 2b + 2ia(1 + b)}}{{2 + 2b}}$
$Z = \frac{{2b(b + 1) + 2ia(1 + b)}}{{2(1 + b)}}$
$Z = \frac{{2(1 + b)(b + ia)}}{{2(1 + b)}} = b + ia$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक सम्मिश्र संख्या शुद्ध काल्पनिक होती है यदि उसका वास्तविक भाग $0$ हो।
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta} \times \frac{1 + 2i\sin \theta}{1 + 2i\sin \theta} = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1^2 + (2\sin \theta)^2} = \frac{(3 - 4\sin^2 \theta) + i(8\sin \theta)}{1 + 4\sin^2 \theta}$.
व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए:
$\frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4\sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left( \pm \frac{\pi}{3} \right)$
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है $(x + iy)^{1/3} = a + ib$।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$x + iy = (a + ib)^3$
$x + iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$
$x + iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$
$x + iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2$ और $y = 3a^2b - b^3$
क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ और $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
दोनों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2) = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(A) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)$.
दिया है कि $\text{Re}(z) = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$.
$z^2$ के व्यंजक में $x = 0$ रखने पर,हमें $z^2 = -y^2 + i(0) = -y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\text{Im}(z^2) = 0$.
इसलिए,$\text{Re}(z) = 0 \Rightarrow \text{Im}(z^2) = 0$ सही है।

(A) दिया गया है $z = 3 - 4i$,अतः $z - 3 = -4i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(z - 3)^2 = (-4i)^2$.
$z^2 - 6z + 9 = 16i^2$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^2 - 6z + 9 = -16$,जो सरल होकर $z^2 - 6z + 25 = 0$ बनता है।
अब,$P(z) = z^4 - 3z^3 + 3z^2 + 99z - 95$ को $z^2 - 6z + 25$ से विभाजित करने पर:
$z^4 - 3z^3 + 3z^2 + 99z - 95 = (z^2 + 3z - 4)(z^2 - 6z + 25) + 5$.
$z^2 - 6z + 25 = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(z) = (z^2 + 3z - 4)(0) + 5 = 5$.

(D) दिया गया है कि $\frac{3x + 2iy}{-2 + 5i} = \frac{15}{8x + 3iy}$।
वज्र-गुणन करने पर,$(3x + 2iy)(8x + 3iy) = 15(-2 + 5i)$ प्राप्त होता है।
$24x^2 + 9ixy + 16ixy + 6i^2y^2 = -30 + 75i$।
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास $24x^2 - 6y^2 + 25ixy = -30 + 75i$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$24x^2 - 6y^2 = -30 \implies 4x^2 - y^2 = -5$ (समीकरण $1$)।
$25xy = 75 \implies xy = 3$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,$y = \frac{3}{x}$। समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4x^2 - (\frac{3}{x})^2 = -5 \implies 4x^2 - \frac{9}{x^2} = -5$।
माना $t = x^2$,तब $4t - \frac{9}{t} = -5 \implies 4t^2 + 5t - 9 = 0$।
$(4t + 9)(t - 1) = 0$। चूंकि $x$ वास्तविक है,$x^2 = t = 1$,इसलिए $x = \pm 1$।
यदि $x = 1$,तो $y = 3$। यदि $x = -1$,तो $y = -3$।
अतः,$(x, y) = (1, 3)$ या $(-1, -3)$।

(A) दिया है $z = \frac{b + ic}{1 + a}$.
$\frac{1 + iz}{1 - iz}$ में $z$ का मान रखने पर:
$\frac{1 + i(\frac{b + ic}{1 + a})}{1 - i(\frac{b + ic}{1 + a})} = \frac{1 + a + ib - c}{1 + a - ib + c} = \frac{(1 + a - c) + ib}{(1 + a + c) - ib}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$= \frac{((1 + a - c) + ib)((1 + a + c) + ib)}{(1 + a + c)^2 + b^2}$.
अंश को सरल करने पर:
$= \frac{1 + 2a + a^2 - c^2 - b^2 + 2ib(1 + a)}{(1 + a + c)^2 + b^2}$.
चूंकि $a^2 + b^2 + c^2 = 1$,इसलिए $a^2 - b^2 - c^2 = 2a^2 - 1$.
अंश $= 2(1 + a)(a + ib)$ और हर $= 2(1 + a)(1 + c)$.
अतः,उत्तर $\frac{a + ib}{1 + c}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $Z = \frac{(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)}{(\cot u + i)(1 + i\tan v)}$
यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर,अंश $e^{i(x+y)}$ है।
हर के लिए:
$(\cot u + i) = \frac{\cos u + i\sin u}{\sin u} = \frac{e^{iu}}{\sin u}$
$(1 + i\tan v) = \frac{\cos v + i\sin v}{\cos v} = \frac{e^{iv}}{\cos v}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$Z = \frac{e^{i(x+y)}}{\frac{e^{iu}}{\sin u} \cdot \frac{e^{iv}}{\cos v}} = \sin u \cos v \cdot \frac{e^{i(x+y)}}{e^{i(u+v)}}$
$Z = \sin u \cos v \cdot e^{i(x+y-u-v)}$
$Z = \sin u \cos v [\cos(x+y-u-v) + i\sin(x+y-u-v)]$

(B) दिया गया है कि $(x + iy)^{1/3} = a - ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$x + iy = (a - ib)^3$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$x + iy = a^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 - (ib)^3 = (a^3 - 3ab^2) + i(b^3 - 3a^2b)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2$ और $y = b^3 - 3a^2b$.
अब,$\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ और $\frac{y}{b} = b^2 - 3a^2$.
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (b^2 - 3a^2) = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$.
अतः,$k = 4$.

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $a = c$ और $b = -d$ हो।
दिया गया है $z_1 = \sin x + i\cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i\sin 2x$,अतः:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने वाला $x$ का कोई मान नहीं है।
अतः,$x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए ये सम्मिश्र संख्याएँ संयुग्मी हों।

(D) माना $z = x + iy$,जिससे $\bar{z} = x - iy$। अतः,समीकरण इस प्रकार है:
$z^2 + \bar{z} = 0 \iff (x + iy)^2 + (x - iy) = 0$
$(x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 - y^2 + x = 0$ .....$(i)$
$2xy - y = 0$ .....$(ii)$
$(ii)$ से,$y(2x - 1) = 0$,जिसका अर्थ है $y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $y = 0$ है,तो $(i)$ देता है $x^2 + x = 0$,इसलिए $x(x + 1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। यह दो हल देता है: $z = 0$ और $z = -1$।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$ है,तो $(i)$ देता है $(\frac{1}{2})^2 - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $\frac{1}{4} - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{3}{4}$,इसलिए $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$। यह दो हल देता है: $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(B) माना $\frac{2z_1}{3z_2} = ki$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$ और $k \neq 0$ है।
तब $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}ki$ है।
माना $\frac{z_1}{z_2} = iy$,जहाँ $y = \frac{3}{2}k$ है।
अब,व्यंजक $\left| \frac{z_1 - z_2}{z_1 + z_2} \right|$ पर विचार करें।
अंश और हर को $z_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\left| \frac{\frac{z_1}{z_2} - 1}{\frac{z_1}{z_2} + 1} \right|$ प्राप्त होता है।
$\frac{z_1}{z_2} = iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{iy - 1}{iy + 1} \right| = \frac{|iy - 1|}{|iy + 1|} = \frac{|-(1 - iy)|}{|1 + iy|} = \frac{|1 - iy|}{|1 + iy|}$ प्राप्त होता है।
चूँकि एक सम्मिश्र संख्या $z$ का मापांक उसके संयुग्मी $\overline{z}$ के मापांक के बराबर होता है,और $\overline{1 + iy} = 1 - iy$,इसलिए $|1 - iy| = |1 + iy|$ है।
अतः,$\frac{|1 - iy|}{|1 + iy|} = 1$।

(D) मान लीजिए कि दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ हैं,जहाँ $|z_1| < 1$ और $|z_2| < 1$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ होता है।
चूँकि $|z_1| < 1$ और $|z_2| < 1$ है,इसलिए $|z_1| + |z_2| < 2$ होगा।
इसका अर्थ है कि $|z_1 + z_2| < 2$ है।
हालाँकि,$|z_1 + z_2|$ का मान $1$ से कम,अधिक या उसके बराबर हो सकता है।
उदाहरण के लिए,यदि $z_1 = 0.1$ और $z_2 = 0.1$ है,तो $|z_1 + z_2| = 0.2 < 1$ है।
यदि $z_1 = 0.8$ और $z_2 = 0.8$ है,तो $|z_1 + z_2| = 1.6 > 1$ है।
यदि $z_1 = 0.5$ और $z_2 = 0.5$ है,तो $|z_1 + z_2| = 1$ है।
अतः,योग का मापांक $[0, 2)$ अंतराल में कोई भी मान हो सकता है।

(B) मान लीजिए $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
दिया गया है $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$,इसलिए $\left| z + \frac{1}{z} \right|^2 = 1$ है।
$z = r e^{i\theta}$ रखने पर,हमें $\left| r e^{i\theta} + \frac{1}{r} e^{-i\theta} \right|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 \cos^2 \theta + \left( r - \frac{1}{r} \right)^2 \sin^2 \theta = 1$ होता है।
सरल करने पर,$r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos(2\theta) = 1$ प्राप्त होता है।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और $\frac{dr}{d\theta} = 0$ रखते हैं।
इससे $-4 \sin(2\theta) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin(2\theta) = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$।
चूंकि $z$,$X$-अक्ष पर स्थित नहीं है,इसलिए $\theta \neq 0, \pi$। अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$ या $\frac{3\pi}{2}$ है।
इन स्थितियों में,$z$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $\text{Re}(z) = 0$ है।

(A) माना $z_1 + \sqrt{z_1^2 - z_2^2} = u$ और $z_1 - \sqrt{z_1^2 - z_2^2} = v$.
तब $u + v = 2z_1$ और $uv = z_2^2$.
हमें $|u| + |v|$ ज्ञात करना है।
$z_1 = 5, z_2 = 3$ रखने पर,$|5 + 4| + |5 - 4| = 9 + 1 = 10$.
विकल्प $A$ में मान रखने पर: $|5+3| + |5-3| = 8 + 2 = 10$.
अतः सही उत्तर $|z_1 + z_2| + |z_1 - z_2|$ है।

(C) माना $z_1 = a^2$ और $z_2 = b^2$,जहाँ $a = \sqrt{z_1}$ और $b = \sqrt{z_2}$ है।
तब व्यंजक $\left| \frac{1}{2}(a^2 + b^2) + ab \right| + \left| \frac{1}{2}(a^2 + b^2) - ab \right|$ हो जाता है।
यह $\frac{1}{2} |a^2 + b^2 + 2ab| + \frac{1}{2} |a^2 + b^2 - 2ab|$ में सरल हो जाता है।
$= \frac{1}{2} |(a+b)^2| + \frac{1}{2} |(a-b)^2|$.
चूंकि $|z^2| = |z|^2$,इसलिए यह $\frac{1}{2} |a+b|^2 + \frac{1}{2} |a-b|^2$ है।
समांतर चतुर्भुज नियम $|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} \cdot 2(|a|^2 + |b|^2) = |a|^2 + |b|^2$.
$a^2 = z_1$ और $b^2 = z_2$ वापस रखने पर,हमें $|z_1| + |z_2|$ प्राप्त होता है।

(D) किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए:
$1$. गुणनफल का मापांक,मापांकों का गुणनफल होता है: $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$। अतः,$(a)$ सही है।
$2$. गुणनफल का कोणांक,कोणांकों का योग होता है: $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$। अतः,$(b)$ गलत है।
$3$. मापांक के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार: $|z_1 - z_2| \geqslant ||z_1| - |z_2||$। अतः,$(c)$ सही है।
इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है ${z_1} = 1 + 2i$ और ${z_2} = 3 + 5i$।
सबसे पहले, ${z_2}$ का संयुग्मी ज्ञात करें: ${\bar{z}_2} = 3 - 5i$।
अब, अंश की गणना करें: ${\bar{z}_2}{z_1} = (3 - 5i)(1 + 2i) = 3 + 6i - 5i - 10i^2 = 3 + i + 10 = 13 + i$।
अब, ${z_2}$ से भाग दें: $\frac{13 + i}{3 + 5i}$।
सरल बनाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 - 5i)$ से गुणा करें:
$\frac{13 + i}{3 + 5i} \times \frac{3 - 5i}{3 - 5i} = \frac{39 - 65i + 3i - 5i^2}{3^2 + 5^2} = \frac{39 - 62i + 5}{9 + 25} = \frac{44 - 62i}{34}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{44}{34} - \frac{62}{34}i = \frac{22}{17} - \frac{31}{17}i$।
अतः वास्तविक भाग $\operatorname{Re} \left( \frac{{\bar{z}_2}{z_1}}{{z_2}} \right) = \frac{22}{17}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(3 + i)z = (3 - i)\bar{z}$ है।
माना $z = x(3 - i)$ जहाँ $x \in R$ है।
तब $\bar{z} = x(3 + i)$ होगा।
बाएँ पक्ष $(LHS)$ में मान रखने पर: $(3 + i)z = (3 + i)x(3 - i) = x(3^2 + 1^2) = 10x$।
दाएँ पक्ष $(RHS)$ में मान रखने पर: $(3 - i)\bar{z} = (3 - i)x(3 + i) = x(3^2 + 1^2) = 10x$।
चूँकि $LHS = RHS$ है,इसलिए सम्मिश्र संख्या $z$,$x \in R$ के लिए $x(3 - i)$ के रूप में है।

(A) दिया गया व्यंजक: $z = \frac{1 + 7i}{(2 - i)^2}$
सबसे पहले,हर का विस्तार करें: $(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$
अब,भिन्न को सरल करें: $z = \frac{1 + 7i}{3 - 4i}$
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 + 4i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(1 + 7i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$
ध्रुवीय रूप $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ में बदलने के लिए,मापांक $r$ और कोणांक $\theta$ ज्ञात करें:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$
चूंकि $z$ दूसरे चतुर्थांश में है (वास्तविक भाग ऋणात्मक,काल्पनिक भाग धनात्मक),$\theta = \pi - \tan^{-1}\left| \frac{1}{-1} \right| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
अतः,$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} \right)$

(C) दिया गया है कि ${e^{iA}} \cdot {e^{iB}} \cdot {e^{iC}} = {e^{i(A + B + C)}}$.
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $A + B + C = \pi$ होता है,इसलिए:
${e^{i(A + B + C)}} = {e^{i\pi }}$.
यूलर के सूत्र ${e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
${e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi$.
चूंकि $\cos \pi = -1$ और $\sin \pi = 0$,इसलिए:
$-1 + i(0) = -1$.

(D) दिया गया है $z = \frac{7 - i}{3 - 4i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 + 4i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(7 - i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{21 + 28i - 3i - 4i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{21 + 25i + 4}{9 + 16} = \frac{25 + 25i}{25} = 1 + i$.
अब,$z^{14}$ की गणना करने पर:
$z^{14} = (1 + i)^{14} = ((1 + i)^2)^7$.
चूँकि $(1 + i)^2 = 1^2 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$,
$z^{14} = (2i)^7 = 2^7 \times i^7$.
चूँकि $i^7 = i^4 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$,
$z^{14} = 2^7 \times (-i) = -2^7i$.

(C) दिया गया है: $(\cos \theta + i\sin \theta )(\cos 2\theta + i\sin 2\theta ) \dots (\cos n\theta + i\sin n\theta ) = 1$.
गुणधर्म $(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta + 2\theta + 3\theta + \dots + n\theta) + i\sin(\theta + 2\theta + 3\theta + \dots + n\theta) = 1$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n + 1)}{2}$ होता है,अतः:
$\cos\left(\frac{n(n + 1)}{2}\theta\right) + i\sin\left(\frac{n(n + 1)}{2}\theta\right) = 1$.
इसे $1$ (अर्थात $\cos(2m\pi) + i\sin(2m\pi)$) के बराबर होने के लिए,कोण को $2\pi$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\frac{n(n + 1)}{2}\theta = 2m\pi$,जहाँ $m \in \mathbb{Z}$.
$\theta$ के लिए हल करने पर:
$\theta = \frac{4m\pi}{n(n + 1)}$.

(A) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\left( \cos \theta_1 + i\sin \theta_1 \right) \left( \cos \theta_2 + i\sin \theta_2 \right) = \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)$.
दिया गया व्यंजक $= \cos \left( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{{{2^2}}} + \frac{\pi }{{{2^3}}} + \dots \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{{{2^2}}} + \frac{\pi }{{{2^3}}} + \dots \right)$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \dots = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \pi$.
अतः,व्यंजक $\cos(\pi) + i\sin(\pi)$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(\pi) = -1$ और $\sin(\pi) = 0$,इसलिए मान $-1$ है।

(C) दिया गया है $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$.
सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos u \cos (iv) - \sin u \sin (iv) = \alpha + i\beta$.
चूंकि $\cos (iv) = \cosh v$ और $\sin (iv) = i \sinh v$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos u \cosh v - i \sin u \sinh v = \alpha + i\beta$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\alpha = \cos u \cosh v$ और $\beta = - \sin u \sinh v$.
अब,${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ की गणना करने पर:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1 = (\cos u \cosh v)^2 + (- \sin u \sinh v)^2 + 1$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + 1$.
सर्वसमिका $\cosh ^2 v - \sinh ^2 v = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v)$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sinh ^2 v (\sin ^2 u - 1) + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v - \sinh ^2 v \cos ^2 u + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v) + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u (1) + \cosh ^2 v = \cos ^2 u + \cosh ^2 v$.

(C) हम सर्वसमिका $\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$ का उपयोग करेंगे।
साथ ही,$\cosh(i\beta) = \cos \beta$ और $\sinh(i\beta) = i \sin \beta$ होता है।
$\cosh (\alpha + i\beta ) - \cosh (\alpha - i\beta ) = (\cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta )) - (\cosh \alpha \cosh (i\beta ) - \sinh \alpha \sinh (i\beta ))$
$= \cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta ) - \cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta )$
$= 2 \sinh \alpha \sinh (i\beta )$
चूंकि $\sinh (i\beta ) = i \sin \beta$,इसलिए व्यंजक $2i \sinh \alpha \sin \beta $ हो जाता है।

(B) हाइपरबोलिक फलनों के योग सूत्र का उपयोग करने पर: $\cosh(\alpha + i\beta) = \cosh \alpha \cosh(i\beta) + \sinh \alpha \sinh(i\beta)$.
चूंकि $\cosh(i\beta) = \cos \beta$ और $\sinh(i\beta) = i \sin \beta$,इसलिए:
$\cosh(\alpha + i\beta) = \cosh \alpha \cos \beta + i \sinh \alpha \sin \beta$.
अतः काल्पनिक भाग $\sinh \alpha \sin \beta$ है.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हैं।
$A = x$ और $B = iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(x + iy) = \cos x \cos(iy) - \sin x \sin(iy)$.
$\cos(iy) = \cosh y$ और $\sin(iy) = i \sinh y$ संबंधों का उपयोग करने पर:
$\cos(x + iy) = \cos x \cosh y - \sin x (i \sinh y)$.
अतः,$\cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y$.

(B) दिया गया है $\tan (u + iv) = i$.
सर्वसमिका $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan u + \tan (iv)}{1 - \tan u \tan (iv)} = i$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan (iv) = i \tanh v$,समीकरण $\frac{\tan u + i \tanh v}{1 - i \tan u \tanh v} = i$ बन जाता है।
दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर: $\tan u + i \tanh v = i(1 - i \tan u \tanh v) = i + \tan u \tanh v$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan u - i = \tanh v (\tan u - i)$।
इसका अर्थ है कि $(\tan u - i)(1 - \tanh v) = 0$।
इसके लिए $1 - \tanh v = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\tanh v = 1$।
चूँकि $\tanh v = \frac{e^v - e^{-v}}{e^v + e^{-v}}$,इसे $1$ के बराबर रखने पर $e^v - e^{-v} = e^v + e^{-v}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2e^{-v} = 0$ हो जाता है।
यह केवल $v \to \infty$ होने पर ही संभव है।

(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।
चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$।
माना $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$ है।
ध्रुवीय रूप $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ का उपयोग करने पर:
$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$।
चूँकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए ऐसे दो पदों का योग भी हमेशा वास्तविक होता है।
अतः, यह व्यंजक सभी धनात्मक पूर्णांकों $n_1$ और $n_2$ के लिए एक वास्तविक संख्या है।

(D) दिया गया समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$ ... $(i)$
माना $z = \alpha$ (जहाँ $\alpha$ वास्तविक है) समीकरण $(i)$ का एक मूल है।
तब,$\alpha^2 + (p + iq)\alpha + r + is = 0$.
इसे $(\alpha^2 + p\alpha + r) + i(q\alpha + s) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) \alpha^2 + p\alpha + r = 0$
$2) q\alpha + s = 0$
$(2)$ से,$\alpha = -\frac{s}{q}$ प्राप्त होता है।
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\left(-\frac{s}{q}\right)^2 + p\left(-\frac{s}{q}\right) + r = 0$.
$\frac{s^2}{q^2} - \frac{ps}{q} + r = 0$.
$q^2$ से गुणा करने पर,$s^2 - pqs + q^2r = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$pqs = s^2 + q^2r$.

(B) दिया गया है $x = -5 + 2\sqrt{-4} = -5 + 4i$.
अतः $x + 5 = 4i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 5)^2 = (4i)^2$.
$x^2 + 10x + 25 = -16$,जिसका अर्थ है $x^2 + 10x + 41 = 0$.
अब,$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ को $x^2 + 10x + 41$ से विभाजित करने पर,
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$.
चूंकि $x^2 + 10x + 41 = 0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $0 \times (x^2 - x + 4) - 160 = -160$ होगा।

(B) दिया गया है कि $(1 + i)(1 + 2i)(1 + 3i) \dots (1 + ni) = a + ib$ ..... $(i)$
दोनों पक्षों का संयुग्मी (conjugate) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $(1 - i)(1 - 2i)(1 - 3i) \dots (1 - ni) = a - ib$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$[(1 + i)(1 - i)] \times [(1 + 2i)(1 - 2i)] \times \dots \times [(1 + ni)(1 - ni)] = (a + ib)(a - ib)$
चूंकि $(1 + ki)(1 - ki) = 1^2 - (ki)^2 = 1 + k^2$,इसलिए:
$(1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2) \dots (1 + n^2) = a^2 + b^2$
$2 \times 5 \times 10 \times \dots \times (1 + n^2) = a^2 + b^2$

(D) दिया गया है कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$,अतः ${z_1} = \cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}$ और ${z_2} = \cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}$ है।
यहाँ $a = \cos {\theta _1}, b = \sin {\theta _1}, c = \cos {\theta _2}, d = \sin {\theta _2}$ है।
$R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ होने के कारण,$\cos({\theta _1} - {\theta _2}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${\theta _1} - {\theta _2} = \pm \frac{\pi }{2}$।
अब,$|{w_1}|^2 = a^2 + c^2 = \cos^2 {\theta _1} + \cos^2 {\theta _2} = \cos^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _1} = 1$,अतः $|{w_1}| = 1$।
इसी प्रकार,$|{w_2}|^2 = b^2 + d^2 = \sin^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _2} = 1$,अतः $|{w_2}| = 1$।
अंत में,$R({w_1}\overline {{w_2}} ) = ab + cd = \cos {\theta _1}\sin {\theta _1} + \cos {\theta _2}\sin {\theta _2} = 0$ सिद्ध होता है।
अतः,उपरोक्त सभी विकल्प सही हैं।

(C) दिया गया है $|z| \le 1$ और $|w| \le 1$।
हमें $|z + iw| = 2$ और $|z - i\overline{w}| = 2$ दिया गया है।
मान लीजिए $z = a + ib$ और $w = c + id$ है। तब $|z|^2 = a^2 + b^2 \le 1$ और $|w|^2 = c^2 + d^2 \le 1$ होगा।
$|z + iw| = |(a + ib) + i(c + id)| = |(a - d) + i(b + c)| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b + c)^2 = 4$ $(i)$।
$|z - i\overline{w}| = |(a + ib) - i(c - id)| = |(a - d) + i(b - c)| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a - d)^2 + (b - c)^2 = 4$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर,हमें $(b + c)^2 - (b - c)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $4bc = 0$ में सरल हो जाता है,अतः $bc = 0$ है।
यदि $b = 0$ है,तो $(a - d)^2 + c^2 = 4$ होगा। चूँकि $a^2 \le 1$ और $c^2 + d^2 \le 1$ है,$4$ प्राप्त करने का एकमात्र तरीका $a = 1, d = -1, c = 0$ या $a = -1, d = 1, c = 0$ है।
दोनों स्थितियों में,$z = a + i(0) = \pm 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $\left| \frac{z - 12}{z - 8i} \right| = \frac{5}{3}$ और $\left| \frac{z - 4}{z - 8} \right| = 1$ हैं।
माना $z = x + iy$ है।
दूसरे समीकरण से,$|z - 4| = |z - 8|$,जिसका अर्थ है $|(x - 4) + iy| = |(x - 8) + iy|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 4)^2 + y^2 = (x - 8)^2 + y^2$।
$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 16x + 64$,जिससे $8x = 48$ प्राप्त होता है,अतः $x = 6$।
अब $x = 6$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3|z - 12| = 5|z - 8i|$।
$3|(6 - 12) + iy| = 5|6 + (y - 8)i|$।
$3|-6 + iy| = 5|6 + (y - 8)i|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9(36 + y^2) = 25(36 + (y - 8)^2)$।
$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$।
$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$।
$16y^2 - 400y + 2176 = 0$।
$16$ से भाग देने पर,$y^2 - 25y + 136 = 0$।
$(y - 8)(y - 17) = 0$।
अतः,$y = 8$ या $y = 17$।
इसलिए,$z = 6 + 8i$ या $z = 6 + 17i$।

(B) दी गई असमिका $|z - 25i| \le 15$ एक वृत्त को दर्शाती है जिसका केंद्र $25i$ और त्रिज्या $15$ है। मूल बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु $z_1$ और $z_2$ हैं।
त्रिभुज के अनुपात के अनुसार,$\sin \alpha = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$,जिससे $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
आर्ग्युमेंट का विस्तार $\left[\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha\right]$ है।
अतः,अंतर $2\alpha = 2\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \pi - 2\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ होगा।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(z_1),$ और $B(z_2)$ हैं। चूँकि $\Delta OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,मूल बिंदु $O$ के परितः सदिश $OA$ का $60^\circ$ ($\pi/3$ रेडियन) घूर्णन सदिश $OB$ के संपाती होना चाहिए।
अतः,$z_2 = z_1 e^{\pm i\pi/3}$.
इसका अर्थ है $\frac{z_2}{z_1} = \cos(\pi/3) \pm i \sin(\pi/3) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $2z_2 = z_1(1 \pm i\sqrt{3})$,या $2z_2 - z_1 = \pm i\sqrt{3} z_1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2z_2 - z_1)^2 = -3z_1^2$.
$4z_2^2 - 4z_1 z_2 z_1^2 = -3z_1^2$.
$4z_1^2 4z_2^2 = 4z_1 z_2$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $z_1^2 z_2^2 = z_1 z_2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $a = \cos (2\pi /7) + i\sin (2\pi /7)$।
चूँकि $a^7 = \cos (2\pi) + i\sin (2\pi) = 1$,इसलिए $a^7 = 1$ है।
मूलों का योग $S = \alpha + \beta = (a + a^2 + a^4) + (a^3 + a^5 + a^6) = a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर,$S = \frac{a(1 - a^6)}{1 - a} = \frac{a - a^7}{1 - a} = \frac{a - 1}{1 - a} = -1$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $P = \alpha \beta = (a + a^2 + a^4)(a^3 + a^5 + a^6) = a^4 + a^6 + a^7 + a^5 + a^7 + a^8 + a^7 + a^9 + a^{10}$ है।
$a^7 = 1$ का उपयोग करने पर,$P = a^4 + a^6 + 1 + a^5 + 1 + a + 1 + a^2 + a^3 = 3 + (a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6) = 3 + S$ प्राप्त होता है।
$S = -1$ रखने पर,$P = 3 - 1 = 2$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है,जो $x^2 - (-1)x + 2 = 0$ अर्थात $x^2 + x + 2 = 0$ बन जाता है।

(A) दी गई श्रेणी $S = i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 + \dots$ है।
पदों को जोड़ों में व्यवस्थित करने पर: $(i - 2) + (-3i + 4) + (5i - 6) + (-7i + 8) + \dots$
कुल $100$ पद हैं,इसलिए $50$ जोड़े बनेंगे।
प्रत्येक जोड़े का योग: $(i - 2) + (4 - 3i) + (-6 + 5i) + (8 - 7i) + \dots$
वास्तविक भाग का योग: $-2+4-6+8+\dots+100 = 50$.
काल्पनिक भाग का योग: $i(1-3+5-7+\dots-99) = -50i$.
अतः,$S = 50 - 50i = 50(1 - i)$.

(C) चूंकि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः,$3 - i\sqrt{6}$ भी एक मूल है।
इन मूलों के संगत द्विघात गुणनखंड $(x - (3 + i\sqrt{6}))(x - (3 - i\sqrt{6})) = (x - 3)^2 + 6 = x^2 - 6x + 15 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ को $(x^2 - 6x + 15)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = (x^2 - 6x + 15)(4x^2 - 3) = 0$.
दूसरे गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$4x^2 - 3 = 0$,जिससे $x^2 = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $3 \pm i\sqrt{6}$ और $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।

$(A)$ हम जानते हैं कि $e^z$ का विस्तार $1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots \infty$ है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \dots \infty = 1 + \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$.
इसी प्रकार, $e^{-ix} = 1 - \frac{ix}{1!} + \frac{(-ix)^2}{2!} + \frac{(-ix)^3}{3!} + \frac{(-ix)^4}{4!} + \dots \infty = 1 - \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \infty \right)$.
अतः, $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \infty$.

(A) माना $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ और $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
अतः,व्यंजक $\frac{(2\omega)^{15}}{(1-i)^{20}} + \frac{(2\omega^2)^{15}}{(1+i)^{20}}$ हो जाता है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{15} = 1$ और $\omega^{30} = 1$ है।
अतः,व्यंजक $\frac{2^{15}}{(1-i)^{20}} + \frac{2^{15}}{(1+i)^{20}} = 2^{15} \left[ \frac{(1+i)^{20} + (1-i)^{20}}{(1-i^2)^{20}} \right]$ है।
ध्यान दें कि $(1-i^2) = (1 - (-1)) = 2$,इसलिए $(1-i^2)^{20} = 2^{20}$ है।
इस प्रकार,$\frac{2^{15}}{2^{20}} [(1+i)^{20} + (1-i)^{20}] = \frac{1}{2^5} [(1+i)^2]^{10} + [(1-i)^2]^{10}$ है।
$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 2i$ और $(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = -2i$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{32} [(2i)^{10} + (-2i)^{10}] = \frac{1}{32} [2^{10} i^{10} + 2^{10} i^{10}] = \frac{1}{32} [2 \times 2^{10} \times (-1)]$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1}{32} [-2^{11}] = -\frac{2048}{32} = -64$।

(A) दिया गया है $z = x - iy$ और $z^{1/3} = p + iq$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$z = (p + iq)^3$.
$z = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$.
$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3$.
$z = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की $z = x - iy$ से तुलना करने पर:
$x = p^3 - 3pq^2 = p(p^2 - 3q^2)$ और $-y = 3p^2q - q^3$,जिसका अर्थ है $y = q^2 - 3p^2q = q(q^2 - 3p^2)$.
अब,$\frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ और $\frac{y}{q} = q^2 - 3p^2$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2p^2 - 2q^2 = -2(p^2 + q^2)$.
अतः,$\frac{\frac{x}{p} + \frac{y}{q}}{p^2 + q^2} = \frac{-2(p^2 + q^2)}{p^2 + q^2} = -2$.

(C) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right) = e^{i\pi / 3^n}$।
गुणनफल ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty } = e^{i\pi / 3^1} \cdot e^{i\pi / 3^2} \cdot e^{i\pi / 3^3} \cdots e^{i\pi / 3^\infty }$ है।
घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,यह $e^{i\pi \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \right)}$ के बराबर है।
घातांक में अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,गुणनफल $e^{i\pi (1/2)} = e^{i\pi / 2}$ है।
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\pi / 2} = \cos \left( \frac{\pi }{2} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} \right) = 0 + i(1) = i$।

(B) दिया गया है $\frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib$.
अंश और हर को $(1 - ix)$ से गुणा करने पर:
$\frac{(1 - ix)^2}{1 + x^2} = a - ib$
$\frac{1 - x^2 - 2ix}{1 + x^2} = a - ib$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$a = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ और $b = \frac{2x}{1 + x^2}$.
हम जानते हैं कि $a^2 + b^2 = 1$.
व्यंजक $\frac{b}{1 + a} = \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{1 + \frac{1 - x^2}{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2 + 1 - x^2} = \frac{2x}{2} = x$.
अतः,$x = \frac{b}{1 + a}$.
चूँकि $a^2 + b^2 = 1$,हम $1 = a^2 + b^2$ लिख सकते हैं।
इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{b}{1 + a} = \frac{2b}{2(1 + a)} = \frac{2b}{1 + 1 + 2a} = \frac{2b}{1 + (a^2 + b^2) + 2a} = \frac{2b}{(1 + a)^2 + b^2}$.

(C) प्रतिबंध $|z - 5i| \le 1$ केंद्र $C(0, 5)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है।
$\text{amp } z$ को न्यूनतम करने के लिए,रेखा $OA$ को बिंदु $A$ पर वृत्त का स्पर्शरेखा होना चाहिए।
$\triangle OAC$ में,$\angle OAC = 90^\circ$ (त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है)।
$OC = 5$ और $AC = 1$ है।
$\triangle OAC$ में,$\sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OC} = \frac{1}{5}$ है।
मान लीजिए $\alpha = \angle AOC$ है। तो $\sin \alpha = \frac{1}{5}$,इसलिए $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ है।
$z$ का कोण $\theta = 90^\circ - \alpha$ है। अतः,$\cos \theta = \sin \alpha = \frac{1}{5}$ और $\sin \theta = \cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ है।
दूरी $OA = \sqrt{OC^2 - AC^2} = \sqrt{25 - 1} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः,$z = OA(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{6}(\frac{1}{5} + i\frac{2\sqrt{6}}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5} + \frac{24}{5}i$।