दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $\theta$ की नाभि से दूरी क्या है?

मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं। $E_1$ और $E_2$ के मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए $S$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो सही व्यंजक है/हैं:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु $P$ पर अभिलंब,दीर्घ और लघु अक्ष को क्रमशः $G$ और $g$ पर काटता है,और $C$ दीर्घवृत्त का केंद्र है,तो:

माना $L$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के दो समांतर अभिलंबों के बीच की दूरी है,तो $L$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त अतिपरवलय $9x^2 - 4y^2 = 36$ की नाभियों से होकर गुजरता है और इसके दीर्घ और लघु अक्ष क्रमशः अतिपरवलय के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों पर स्थित हैं। यदि दो शांकवों की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित नहीं है?

मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,की उत्केंद्रता $\frac{1}{4}$ है। यदि यह दीर्घवृत्त बिंदु $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ से होकर गुजरता है,तो $a^{2}+b^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।