उस दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है जिसके नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ हैं?

दीर्घवृत्त $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ के नाभिलंब (latus rectum) के समीकरण हैं:

$100$ व्यक्तियों के एक समूह में $75$ अंग्रेजी बोलते हैं और $40$ हिंदी बोलते हैं। प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक भाषा बोलता है। यदि केवल अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\alpha$ है और केवल हिंदी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\beta$ है,तो दीर्घवृत्त $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ की उत्केंद्रता $.......$ है।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के लिए $\frac{1}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा,वृत्त $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ का अभिलंब है,तो $a^2$ किस अंतराल में स्थित है?

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(1, 3)$ की स्थिति क्या है?

दीर्घवृत्त $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( 1 - \frac{4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।