दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 48$ की नाभियों के बीच की दूरी है

एक कण दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ पर घड़ी की दिशा में यात्रा कर रहा है। यदि कण $(-8, 3)$ बिंदु पर दीर्घवृत्त को छोड़ देता है और उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के साथ यात्रा करता है,तो वह बिंदु जहाँ कण $Y$-अक्ष को पार करता है,है:

उस दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है जिसका नाभिलंब $8$ है और जिसकी उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,जिसे निर्देशांकों के मुख्य अक्षों के संदर्भ में लिया गया है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक नाभि $S(4, 0)$ है और इसकी उत्केंद्रता $\frac{4}{5}$ है। यदि बिंदु $P(3, \alpha)$ दीर्घवृत्त $E$ पर स्थित है और $O$ मूलबिंदु है, तो $\triangle POS$ का क्षेत्रफल क्या होगा ($\text{/5}$ में)?

यदि $F_1$ और $F_2$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{3} = 1$ की नाभियों $S_1$ और $S_2$ से दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा पर डाले गए लंब के पाद हैं,तो $(S_1 F_1) (S_2 F_2)$ का मान क्या है?

एक दीर्घवृत्त की मुख्य और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः $6$ और $2$ है। यदि केंद्र $(5,6)$ पर है और मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ के अनुदिश है,तो दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?